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T.D.n 1:Polynômes o

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Academic year: 2022

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(1)

U

NIVERSITÉ DE

B

ORDEAUX

Licence Économie et Gestion – 1

ère

année

Semestre 1 2014-2015

T.D. n o 1 : Polynômes

Exercice 1

Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : 1. 2x

2

− 8x + 6 = 0

2. − x

2

+ 6x − 10 = 0 3. x

2

+ 4x − 21 = 0 4. x

4

+ 4x

2

− 21 = 0 5. x

4

+ 4x

2

+ 21 = 0 6. x

2

+ 4x = 0

7. (x + 1)

3

+ x + 1 = 0 8. x

2

= 9

9. 2x

4

+ 4x

2

+ 2 ≥ 0 10. −2x

2

+ 7x − 5 ≤ 0 11. (x

2

+ 2x + 1)

2

< 16 12. 3x

2

+ x + 1

x

2

− 3x − 10 > 0

Exercice 2

Existe-t-il deux nombres ayant pour somme 9 et pour produit -70 ? Si oui, les calculer.

Exercice 3

La somme des âges de deux amis est 53 ans. Dans 5 ans, le produit de leurs âges sera 990.

Quels sont les âges des deux amis ?

Exercice 4

Soit le polynôme P (x) = x

2

+ 6x − 7. Déterminer les racinces de P sans calculer son discriminant.

Même question avec le polynôme Q(x) = 3x

2

− 9x − 12.

Exercice 5

Effectuer les divisions euclidiennes suivantes : 1. A(x) = 4x

3

− 13x − 5 par B(x) = 2x + 1.

2. A(x) = x

8

par B(x) = x

4

+ x

2

+ 1.

3. A(x) = x

3

− 4x + 5 par B(x) = x

2

− 3x + 2.

4. A(x) = x

4

+ 1 par B(x) = x

2

− √ 2x + 1.

Exercice 6

Soient les polynômes P (x) = 6x

5

− 14x

4

+ 11x

3

− 17x

2

+ a x + b et Q(x) = 2x

2

+ 1, où a et b sont des nombres réels.

Déterminer les valeurs de a et b de sorte que Q(x) divise P (x).

Exercice 7

1. Montrer que le polynôme D(x) = x + 1 divise le polynôme P(x) = x

5

+ 1, et déterminer le quotient de P (x) par D(x).

2. Même question avec D(x) = x

2

− 1 et P (x) = x

8

− 1. Quelles sont les racines de P (x) ?

(2)

Exercice 8

Calculer le reste de la division euclidienne de P (x) = x

n

+ x + 1 par (x − 1)

2

(où n est un entier supérieur ou égal à 2).

Exercice 9

Soit P un polynôme tel que le reste de la division de P (x) par x + 1 est 2 et le reste de la division de P (x) par x − 1 est − 4.

Quel est le reste de la division de P(x) par x

2

− 1 ?

Exercice 10

Factoriser les polynômes suivants.

1. P

1

(x) = 3x

3

+ x

2

. En déduire la factorisation de P

2

(x) = 3x

3

+ x

2

+ 3x + 1.

2. P

3

(x) = x

4

− 6x

2

+ 8.

3. P

4

(x) = x

4

− x

2

− 12.

4. P

5

(x) = − 2x

3

− 3x

2

+ 12x + 20 (vérifier que − 2 est une racine).

Exercice 11

Déterminer l’ordre des racines des polynômes suivants : 1. P

1

(x) = x

4

+ 2x

3

+ 2x

2

+ 2x + 1.

2. P

2

(x) = x

4

− 6x

2

+ 8x − 3.

Exercice 12

Soit le polynôme P (x) = 5x

4

− 4x

3

+ 3x

2

− 2x + 1. À l’aide l’algorithme de Horner, calculer P (5).

Même question avec le polynôme P (x) = x

5

+ 3x

3

− 2x

2

+ 4x − 10 à évaluer en − 4.

Références

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