D331. L'expédition au grand air
J’ai installé sur le méridien de Greenwich un campement à partir duquel je réalise une
expédition au grand air faite de six tronçons. Sur les cinq premiers de dix kilomètres chacun je maintiens le cap successivement vers l’ouest, le sud, l’ouest, le sud, enfin l’ouest. Sur le sixième et dernier tronçon qui me ramène au campement, je garde toujours le cap plein nord.
Je ne passe jamais deux fois par le même endroit. Déterminer la longueur du dernier tronçon et la latitude du campement.
Solution proposée par Paul Voyer:
Bien évidemment, tout doit se passer au voisinage d'un pôle.
On assimilera le voisinage à un plan, étant donnés les ordres de grandeur des distances.
1- Si le campement est situé à d km du pôle Nord, le premier tronçon décrit dans le sens horaire un arc de cercle de rayon d et de longueur 10 km centré au pôle.
Le deuxième tronçon éloigne du pôle de 10 km le long d'un méridien.
Le troisième tronçon décrit un arc de rayon d+10 de longueur 10 centré au pôle.
Le quatrième tronçon éloigne du pôle de 10 km le long d'un méridien
Le cinquième tronçon décrit un arc de rayon d+20 de longueur 10 centré au pôle.
Il aboutit sur le méridien de Greenwich, à 20 km au sud du campement.
La longueur du dernier tronçon est 20 km.
On aura fait une fois et une seule le tour du pôle en 3 arcs de parallèles, de longueur 10, et de rayons respectifs d, d+10 et d+20.
d 10+
10 10
d +
20 10
d =2π.
Equation de degré 3 en d.
10d(d+10)+10d(d+20)+10(d+10)(d+20)=2πd(d+10)(d+20) 2πd³+(60π-30)d²+(400π-600)d-2000=0
Seule la racine positive convient : d2.00 km Le campement est situé à 2.00 km du pôle Nord.
2- Si le campement est situé à d km du pôle Sud, le premier tronçon décrit dans le sens trigonométrique un arc de cercle de rayon d et de longueur 10 km centré au pôle.
Le deuxième tronçon rapproche du pôle de 10 km le long d'un méridien.
Le troisième tronçon décrit un arc de rayon d-10 de longueur 10 centré au pôle.
Le quatrième tronçon rapproche du pôle de 10 km le long d'un méridien
Le cinquième tronçon décrit un arc de rayon d-20 de longueur 10 centré au pôle.
Il aboutit sur le méridien de Greenwich, à 20 km au sud du campement.
La longueur du dernier tronçon est 20 km.
La carte est identique à celle du pôle Nord, à une symétrie près est/ouest, et en inversant le parcours.
Le campement est situé à 22.00 km du pôle Sud.
