D331 – L’expédition au grand air
J’ai installé sur le méridien de Greenwich un campement à partir duquel je réalise une
expédition au grand air faite de six tronçons. Sur les cinq premiers de dix kilomètres chacun je maintiens le cap successivement vers l’ouest, le sud, l’ouest, le sud, enfin l’ouest. Sur le sixième et dernier tronçon qui me ramène au campement, je garde toujours le cap plein nord.
Je ne passe jamais deux fois par le même endroit. Déterminer la longueur du dernier tronçon et la latitude du campement.
Solution proposée par Patrick Gordon
Comme je ne vais jamais vers l'est et que je reviens néanmoins à ma longitude de départ, il faut bien qu'au cours de mes 3 déplacements vers l'ouest j'aie parcouru au total un nombre entier k de tours de la Terre, le long de 3 parallèles successifs (du Nord au Sud).
Soient a, b et c (en km) les rayons des parallèles que j'emprunte. Sur chacun, je parcours 10 km (tous vers l'ouest) et mes déplacements angulaires respectifs dans les plans des parallèles (également tous vers l'ouest) sont donc (en radians) :
(1) =10/a, = 10/b, = 10/c.
La somme de ces trois angles vaut donc : (2) = 2kπ.
Voilà 4 premières équations.
Mais ces angles sont liés aux rayons homologues a, b, c. En effet, dans le plan d'un méridien cette fois, l'angle que fait l'axe de la Terre avec le contour d'un parallèle donné a pour sinus le rayon du parallèle divisé par celui de la Terre, soit : a/R, b/R, c/R.
Or ces angles (dans le plan d'un méridien) s'expriment en radians par le rapport [longueur de l'arc qui va du Pôle au contour du parallèle] / [circonférence de la Terre]. Et les numérateurs successifs sont les distances en km du campement de base aux parallèles successifs. Comme les déplacements vers le Sud sont de 10 km, ces numérateurs sont (si je note x la distance en km du campement de base au premier parallèle) : x, x + 10, x + 20 si je suis dans l'hémisphère Nord, x, x – 10, x – 20 si je suis dans l'hémisphère Sud.
Dans l'hémisphère Nord, on aura donc :
(3) sin (x / R) = a / R; sin (x+10 / R) = b / R; sin (x+20 / R) = c / R En rapprochant (1) et (2), il vient :
(4) 10 (1/a + 1/b + 1/c) = 2kπ
Mais, comme (3) nous permet d'exprimer a, b, c en fonction de la seule inconnue x (et de la constante k), on arrive à :
(5) 10 [1 / sin (x / R) + 1 / sin (x+10 / R) + 1 / sin (x+20 / R)] = 2kπR.
Pour chaque valeur de k donnée, c'est une équation à la seule inconnue x, que l'on peut résoudre par tâtonnements au moyen d'un tableur.
Pour k = 1, on trouve x = 2,0018 km du Pôle Nord, soit 89,997 ° de latitude Nord – et, bien entendu, 20 km pour le dernier tronçon.
Il y a des solutions pour toutes les valeurs entières de k (nombre de tours), mais elles ont de moins en moins de sens pratique.
Par exemple, pour k = 2, on trouve x = 0,8952 km.
Dans l'hémisphère Sud, l'équation (5) s'écrit :
(6) 10 [1 / sin (x / R) + 1 / sin (x – 10 / R) + 1 / sin (x – 20 / R)] = 2kπR.
Pour k = 1, elle donne un campement à 22,0018 km du Pôle Sud, soit 89,968° de latitude Sud – et toujours 20 km pour le dernier tronçon.
Il y a des solutions pour toutes les valeurs entières de k (nombre de tours), et elles ont à peu près le même sens pratique.
Par exemple, pour k = 2, on trouve x = 20,8952 km.
Annexe :
Représentation des deux parcours,certes imparfaite car elle ne respecte pas du tout les distances de chacun des tronçons, mais qui donne une bonne idée de leurs profils respectifs autour des deux pôles :
