D331. L’expédition au grand air
Travaillons dans un premier temps en coordonnées sphériques (ρ, ϕ, θ) avec 2πρ≈40000 km une mesure de la circonférence de la terre, 06ϕ6π orienté positivement vers le sud (colatitude) et 0 6θ <2π orienté positivement vers l’ouest (opposée de la longitude). Voici les positions successives après chaque tronçon :
0 1 2 3 4 5
(ϕ1,0) (ϕ1, θ1) (ϕ2, θ1) (ϕ2, θ2) (ϕ3, θ2) (ϕ3,0)
Nous en déduisons les relations suivantes : ρθ1sinϕ1 = 10, ρ(ϕ2−ϕ1) = 10, ρ(θ2−θ1) sinϕ2= 10, ρ(ϕ3−ϕ2) = 10 etρ(2π−θ2) sinϕ3= 10.
Le dernier tronçon mesureρ(ϕ3−ϕ1) =ρ(ϕ3−ϕ2) +ρ(ϕ2−ϕ1) = 20 km.
Exprimons les autres variables en fonction deϕ1: – θ2= 2π−ρsin10ϕ
3 oùϕ3= 20ρ +ϕ1 – θ1= 2π−ρsin10ϕ
2 −ρsin10ϕ
3 = ρsin10ϕ1 oùϕ2=10ρ +ϕ1
Nous en déduisons la relation 2πρ10 =sin1ϕ1 +sin(10ρ1+ϕ1) +sin(20ρ1+ϕ1),soit gros- sièrementϕ1≈arcsin40003 et nous sommes très proches des pôles.
A l’aide d’un tableur, nous en déduisons la latitudeφ=π2−ϕavec plus de préci- sion 89,98198° soit près de 2 km du pôle nord. Par symétrie, il existe également une autre solution où le campement est situé à 22 km du pôle sud.
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