L'expédition au grand air
Problème D331 de Diophante
J’ai installé sur le méridien de Greenwich un campement à partir duquel je réalise une expédition au grand air, faite de six tronçons. Sur les cinq premiers de dix kilomètres chacun je maintiens le cap successivement vers l’ouest, le sud, l’ouest, le sud, enfin l’ouest. Sur le sixième et dernier tronçon qui me ramène au campement, je garde toujours le cap plein nord. Je ne passe jamais deux fois par le même endroit.
Déterminer la longueur du dernier tronçon et la latitude du campement.
Solution
Vous êtes au voisinage d’un pôle.
Proche du pôle nord, vous pouvez effectué le parcours représenté ici, où on note r le rayon du premier arc de cercle, A, B, C les angles des arcs de cercles parcourus.
B A r
10 10
C
20
Considérons que la terre est suffisamment aplatie pour, ici, être plane.
rA = (r+10)B = (r+20)C = 10 et A + B + C = 2π Donc 1 / r + 1 / (r+10) + 1 / (r+20) = π / 5
Avec un tableur, par approximations successives, on trouve r = 2,00181367…
et, en degrés, A = 286,22 B = 47,74 C = 26,04
Pour répondre précisément aux questions posées, il apparaît que la longueur du dernier tronçon est 20 km et que la latitude du campement est 89 ° 58 ’ 55 ”nord (mais il est plus parlant de dire qu’il est situé à deux kilomètres du pôle nord).
Proche du pôle sud, le même schéma convient, au détail près que le campement doit être situé à vingt-deux kilomètres du pôle sud
