Examen du 10 Juin 2013

Universit´e d’Artois

Facult´e des sciences Jean Perrin Licence de Math´ematiques ModuleCalcul Diff´erentiel 1

Examen du 10 Juin 2013

Dur´ee : 4h

Questions de cours.

(1) Soient A, B ∈ M_n(R), et soit (α_k)_k≥0 une suite de nombres r´eels non nuls telle que limk→∞|α_k| = +∞. Montrer que la s´erie Psin(k√

2)

(αk)^k A^kB^k converge dans M_n(R).

(2) Soit F un espace de Banach et soit ϕ: [0,∞[→F une fonction de classeC². On suppose qu’on a ϕ(0) =ϕ⁰(0) = 0 et kϕ⁰⁰(t)k ≤e^−3t pour toutt ∈[0,∞[.

Montrer que kϕ(x)k ≤ ¹₃x− ¹₉ + ¹₉e^−3x pour tout x≥0.

(3) Soient p, q ∈ N^∗. On d´efinit f :R² →R par f(0,0) = 0 et f(x, y) = _x^x2^p+y^yq2 si (x, y)6= (0,0).

(a) Montrer que f admet des d´eriv´ees partielles en tout point.

(b) Montrer que f est de classe C¹ si et seulement sip+q >3.

(4) Soit g : R² → R une fonction de classe C¹ et soit f : R³ → R la fonction d´efinie parf(x, y, z) = g(3x−2y+z,4x−3y+5z). Montrer quef est solution de l’´equation aux d´eriv´ees partielles

7∂f

∂x + 11∂f

∂y +∂f

∂z = 0.

(5) Soit E un espace vectoriel norm´e, et soit B : E ×E → R une application bilin´eaire continue. Montrer que l’application f : E → R d´efinie parf(x) = B(x, x)³ est diff´erentiable surE, et d´eterminer sa diff´erentielle.

(6) Montrer que pour tout δ > 0, la fonction t 7→ _1+δt^t 2 est born´ee sur R. En d´eduire que si g :R² → R est une fonction de classe C¹ telle que g(x, y)6= 0 pour tout (x, y) ∈ R² et si (α_n)n≥1 est une suite de nombres r´eels, alors la formule

f(x, y) =

∞

X

n=1

1

n²arctan (α_ng(x, y)) d´efinit une fonction de classe C¹ surR².

1

2

(7) Soitf :R² →Rune fonction de classeC²telle quef(0,0) = 0 etDf(0,0) = 0.

En utilisant la formule de Taylor, montrer qu’il existe trois fonctions continues a, b, csur R² telles que

∀(x, y)∈R² : f(x, y) =x²a(x, y) +xy b(x, y) +y²c(x, y).

(8) Soit Ω = {(x, y) ∈ R²; 1 + x+ 2y > 0}, et soit f : Ω → R d´efinie par f(x, y) = cos(3x+y) ln(1 +x+ 2y). D´eterminer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de la fonction f en (0,0).

(9) Soit u : ]0,∞[→ R une fonction de classe C² d´ecroissante v´erifiant u⁰(t) + 2tu⁰⁰(t)≥0 pour tout t > 0. On pose Ω = {(x, y)∈R²; x >0, y > 0} et on d´efinit f : Ω→R par f(x, y) =u(xy). Montrer que f est convexe.

(10) D´eterminer les extrema locaux de la fonctionf :R² →Rd´efinie parf(x, y) = x³+y³−xy.

(11) Soit Σ = {(x, y, z) ∈ R³; x² +y² +z² = 1}. En utilisant le th´eor`eme des extrema li´es, d´eterminer le maximum sur Σ de la fonction (x, y, z)7→x+y+z.

(12) Soit Φ :R² → R² d´efinie par Φ(x, y) = (e^x2−y2cos(xy), e^x2−y2sin(xy)). Mon- trer que Φ est un diff´eomorphisme local en tout point (x, y)6= (0,0).

Exercice 1. Soit E un espace vectoriel norm´e. On rappelle qu’une application lin´eaire continue L : E → E est dite inversible si elle est bijective et si L⁻¹ est continue.

(1) Montrer que si L ∈ L(E) est inversible, alors il existe une constante α > 0 telle que

∀h∈E : kL(h)k ≥αkhk.

(2) Soitf :E →E une application diff´erentiable en un pointa∈E. On suppose que Df(a) est inversible. Montrer qu’on peut trouver une boule ouverte B(a, δ) (avec δ >0) et une constante c >0 telles que

∀x∈B(a, δ) : kf(x)−f(a)k ≥ckx−ak.

Exercice 2. Soit I : Rⁿ\ {0} → Rⁿ l’application d´efinie par I(x) = _kxk^x2, o`u k · k est la norme euclidienne.

(1) Justifier que I est de classe C¹.

(2) On noteh, ile produit scalaire usuel surRⁿ. Montrer que pour x∈Rⁿ\ {0}

eth∈Rⁿ on a

DI(x)h= 1

kxk²h−2hx, hi kxk⁴ x .

(3) Montrer que si a ∈Rⁿ v´erifie kak = 1, alors DI(a) est une sym´etrie orthog- onale.

3

Exercice 3. Soient E et F deux espaces vectoriels norm´es, et soit f :E → F une application diff´erentiable.

(1) PourR >0, on poseε(R) = sup{kDf(ξ)k; kξk ≥R}. En utilisant l’in´egalit´e des accroissements finis, montrer que six ∈ E v´erifie kxk ≥ R et si on pose π_R(x) =R_kxk^x , alors

kf(x)k ≤ kf(π_R(x))k+ε(R)kx−π_R(x)k.

(2) On suppose que f est born´ee sur tout partie born´ee de E et qu’on a

kξk→∞lim kDf(ξ)k= 0. Montrer que

lim

kxk→∞

kf(x)k kxk = 0.

Exercice 4. Dans tout l’exercice, on fixe des nombres r´eelsα1, . . . , αntels queαi >0 pour tout iet Pn

i=1α_i = 1.

(1) Soit Σ = {(x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ; x₁ ≥0, . . . , x_n≥0 et Pn

1 α_ix_i = 1}. Justifier l’existence de

M = max

(x1,...,xn)∈Σ x^α₁¹ × · · · ×x^α_nⁿ. (2) Soit (x₁, . . . , x_n)∈Σ tel que x^α₁¹· · ·x^α_nⁿ =M.

(a) Montrer que tous les x_i sont strictement positifs.

(b) Montrer qu’il existe un nombre r´eel λ tel que

∀i∈ {1, . . . , n} : x^α_iⁱ⁻¹ = λ Q

j6=i

x^α_j^j · (c) Montrer que tous les x_i sont ´egaux, puis calculerM.

(3) D´eduire de (2) que pour tous x₁, . . . , x_n≥0, on a l’in´egalit´e suivante (qu’on appelle l’in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique) :

(AG) x^α₁¹· · ·x^α_nⁿ ≤

n

X

i=1

α_ix_i.

(4) Red´emontrer (AG) en utilisant la concavit´e de la fonction logarithme.