Université Paris-Dauphine Méthodes numériques
Département MIDO année /
DE MI2E deuxième année
Examen du 3 juin 2013
Les documents, calculatrices et téléphones sont interdits. Il sera tenu compte de la présentation de la copie et de la rédaction dans l'évaluation.
Durée : 2 heures
Questions de cours.
1. Démontrer la convergence de la méthode de dichotomie pour la recherche d'un zéroξd'une fonction continuef, appartenant à un intervalle[a, b]tel quef(a)f(b)<0.
2. Démontrer l'existence et l'unicité du polynôme d'interpolation de LagrangeΠn, avecn∈N, associé auxn+ 1couples(xi, yi),i= 0, . . . , n, dont les n÷udsxi,i= 0, . . . , n, sont deux à deux distincts.
Exercice 1. Le but de cet exercice est d'établir deux formes de représentation alternatives, dites ba- rycentriques, du polynôme d'interpolation de Lagrange Πn associés aux points deux à deux distincts {(xi, yi)}i=0,...,n,n∈N, dont les n÷udsxi,i= 0, . . . , n, sont deux à deux distincts.
1. À partir de la forme de Lagrange deΠn, montrer que
Πn(x) =ωn+1(x)
n
X
i=0
wi
x−xiyi,
oùωn+1 désigne le polynôme de Newton associé aux n÷udsxi,i= 0, . . . , n, et où l'on a posé
wi= 1
n
Y
j=0 j6=i
(xi−xj)
, i= 0, . . . , n.
2. Montrer que
n
X
i=0
li(x) = 1,
où les fonctions li, i = 0, . . . , n, constituent la famille des polynômes de Lagrange associés aux n÷uds{xi}i=0,...,n. En déduire alors que
Πn(x) =
n
X
i=0
wi
x−xi
yi n
X
i=0
wi
x−xi
.
Exercice 2. Soit la fonction f(x) =ex−2. On rappelle quee'2,71828182846.
1. Montrer que cette fonction dénit une bijection sur l'intervalle[0,1]et en déduire qu'elle possède un unique zéroξdans cet intervalle.
2. Donner l'approximation deξ(on ne demande pas de fournir une valeur numérique) obtenue (a) après trois itérations de la méthode de NewtonRaphson à partir de l'initialisationx(0) = 0,
1
(b) en se servant d'un procédé d'interpolation quadratique inverse utilisant les n÷uds x0 = 0, x1 = 12 et x2= 1, c'est-à-dire en remplaçant la fonction réciproque de f sur l'intervalle[0,1]
par son polynôme d'interpolation de Lagrange aux points{(f(xi), xi)}i=0,...,2.
Exercice 3. Soit f une fonction de classeC1 sur l'intervalle[0,1]. Pour l'approximation de l'intégrale
I(f) = Z 1
0
f(t) dt,
on considère la formule de quadrature
Iap(f) =α0f(0) +α1f0(0) +α2f0(η), où le n÷ud ηappartient à ]0,1]et les poidsα0,α1 etα2sont des réels.
1. Déterminer les valeurs des paramètres η, α0, α1 et α2 pour que cette formule de quadrature soit exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à trois.
2. Les valeurs des paramètres étant ainsi xées, calculer l'erreur de quadrature pourf(x) =x4 et en déduire le degré d'exactitude de la formule.
Problème.
Le but de ce problème est d'étudier une méthode itérative de résolution d'un système linéaireAx=b, avecAune matrice symétrique dénie positive que l'on suppose pouvoir s'écrire
A=M −N=P−Q,
les matricesM etP étant inversibles. À partir d'une initialisationx(0)arbitraire, on considère la méthode dénie par les relations de récurrence
Mx(k+12)=Nx(k)+b, Px(k+1)=Qx(k+12)+b, k≥0.
Dans la suite, on pose, pour toutk≥0,
e(k)=x(k)−x, ε(k)=M−1Ae(k), e(k+12)=x(k+12)−xetε(k+12)=M−1Ae(k+12),
et l'on désigne park·kAla norme associée au produit scalaire déni par la matriceA, i.e.kuk2A= (Au,u). 1. Montrer que les matricesM +NT etP+QT sont des matrices symétriques.
2. Vérier queε(k)=e(k)−e(k+12),∀k∈N.
3. Montrer queke(k+12)k2A− ke(k)k2A=− (M+NT)ε(k),ε(k)
, ∀k∈N.
4. En déduire que l'on a égalementke(k+1)k2A− ke(k+12)k2A=− (P+QT)ε(k+12),ε(k+12)
, ∀k∈N.
On suppose à partir de maintenant que les matrices symétriquesM+NT etP+QT sont dénies positives.
5. Montrer que la suite ke(k)k2A
k∈N converge. On note`sa limite.
6. En déduire que la suite ke(k+12)k2A
k∈N est convergente, de limite égale à`. 7. En déduire que la suite ε(k)
k∈Nconverge, vers une limite nulle.
8. En conclure que la méthode est convergente.
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