Université Paris 13, Institut Galilée MACS 1 – Intégration et probabilités Année universitaire 2012-2013
Examen final du 21 juin 2013
Durée : 3 heures
Feuille A4 de notes autorisée, autres notes et appareils électroniques interdits.
Toute réponse doit être soigneusement rédigée et justifiée.
Exercice 1. Une variable aléatoire réelleX a pour densité
f :x7→cx21[−1,1]
oùcest une constante.
1.Déterminer la valeur dec. On remplacera désormaiscpar la valeur trouvée.
2.Calculer la fonction de répartition deX.
3.Calculer l’espérance et la variance deX. 4.On poseY =X2. Quelle est la loi deY?
Exercice 2. Soit(X, Y)une variable aléatoire à valeurs dansR2, de densité f(X,Y): (x, y)7→xe−x(y+1)1R+(x)1R+(y).
1.Calculer la densité de la loi deY.
2.On définit le couple de variables aléatoires(U, V) = (X, XY).
2.a)Calculer la densité de la loi de(U, V).
2.b)Est-ce que les variables aléatoiresU etV sont indépendantes ? Quelles sont leurs lois ?
Exercice 3. On dispose de N boîtes numérotées de1 à N. On répartitn boules dans ces boîtes de la façon suivante : chaque boule est placée dans une boîte choisie uniformément et indépendamment des autres boules (une boîte peut donc contenir plusieurs boules). Autrement dit, siXi est le numéro de la boîte où on place la boulei, alorsX1, . . . , Xn sont des variables aléatoires indépendantes et de loi uniforme dans{1, . . . , N}.
Pourk= 1, . . . , N, on pourra noterNk le nombre de boules dans la boîtek.
1.Quelle est la loi du nombre de boules dans la boîte 1 ? Quelle est son espérance ? 2.Pouri= 1, . . . , N, on noteAi l’événement « la boîteiest vide ». Que vautP(A1)?
3.Que vaut P(A1∩A2)? Est-ce queA1 et A2 sont indépendants ? Donner une justification rigoureuse etune justification « intuitive ».
4.On noteV le nombre de boîtes vides.
4.a)ExprimerV à l’aide deA1, . . . , AN.(Penser aux fonctions indicatrices).
4.b)En déduire l’espérance du nombre de boîtes vides.
4.c)ExprimerV2à l’aide deA1, . . . , AN, et en déduire que
E[V2] =N(N−1)
1− 2 N
n +N
1− 1
N n
puis donner une expression deVar(V).
On suppose désormais que N =n. On note Vn au lieu de V. 5.Quelle est la limite de E[Vn]
n ? On la note`.
6.(On pourra admettre cette question pour la suite) Montrer que, quand n → ∞, Var(Vn) ∼ Cn pour une constanteC à préciser.
7.À l’aide d’une inégalité du cours, montrer que la proportion de boîtes vides (c’est-à-dire Vn
n ) converge en probabilité vers`.
1
Exercice 4. On considère la loi ditelogistique, admettant pour densité la fonction
f :x7→c e−x (1 +e−x)2
définie surR, oùcest une constante.
1.Déterminerc. On remplacera désormaiscpar la valeur trouvée.
2.Soitn∈N∗etX1, . . . , Xnune famille de variables aléatoires indépendantes distribuées selon une loi logistique.
2.a)Quelle est la loi deMn= max(X1, . . . , Xn)? On donnera sa fonction de répartition et sa densité.
2.b)On pose
Yn=Mn−logn.
Calculer la fonction de répartition deYn, et en déduire la convergence en loi deYn quandn→ ∞.
Exercice 5. Soit(Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes. On suppose qu’elles suivent la même loi, telle que0≤X1<∞presque sûrement, etE[X1] =∞.
1.Donner un exemple de loi pourX1 qui vérifie ces hypothèses.
2.SoitM ∈N. Pour toutn, on poseYn(M)= min(Xn, M).
2.a)Que peut-on dire de la suite(Yn(M))M≥0? 2.b)Justifier les propriétés suivantes :
• Y1(M) est intégrable ;
• E[Y1(M)] −→
M→∞+∞.
3.SoitM ∈N.
3.a)Montrer que la suite suivante converge presque sûrement quandn→ ∞:
min(X1, M) +· · ·+ min(Xn, M) n
et donner sa limite.
3.b)En déduire que, presque sûrement, il existen0 tel que, pour toutn≥n0,
X1+· · ·+Xn
n ≥ 1
2E[Y1(M)].
4.Conclure que, presque sûrement,
X1+· · ·+Xn
n −→
n→∞+∞.
2
