E554. Faire le buzz
Des étudiants en nombre k > 2 sont simultanément informés par courrier nominatif de leur classement à une compétition de mathématiques. Ils décident de s'appeler au téléphone pour que tous soient informés de leurs classements respectifs. Quand deux d'entre eux sont en ligne, chacun communique à son
homologue son propre classement ainsi que les classements des autres étudiants dont il a pris connaissance lors de précédents appels.
Chaque conversation dure exactement 5 minutes. On désigne par f(k) le temps minimal f(k) à l'issue duquel les étudiants sont tous complètement informés. En supposant qu'ils ont défini préalablement la manière optimale d'organiser leurs appels, déterminer respectivement f(14), f(15), f(16), f(17) et f(18).
Pour les plus courageux: donner la formule générale exprimant f(k) en fonction de k. Pour quelles valeurs de k a-t-on f(k) > f(k+1)?
Solution proposée :
Il semble plus simple de s’attaquer directement au cas général.
Nous avons k étudiants.
Passons de la notation décimale à une notation binaire :
k = 2n + Xn-1 .2n-1 + … + X1 . 2 + X0 (k s’écrit donc en binaire sous la forme 1 Xn-1 … X1 X0) Profitons de cette décomposition pour répartir les étudiants dans plusieurs groupes :
Un premier groupe de 2n étudiants appelé Groupe majoritaire.
Successivement des groupe de 2i étudiants si Xi est égal à 1. Ce sont les Groupes minoritaires.
Il peut ne pas y avoir de groupes minoritaires (ex : k=16 s’écrit en binaire 10000)
Construction d’un algorithme d’échange des notes pour un groupe composé de 2n étudiants (Il n’y a donc dans ce cas que le seul Groupe majoritaire)
Conversations de niveau 1 : Les étudiants de rang pair j prennent contact avec l’étudiant de rang impair j-1.
Nous constituons ainsi 2n-1 sous-groupes de 2 étudiants équi-informés
Conversations de niveau 2 : Chaque étudiant d’un sous-groupe de rang pair j prend contact avec son homologue du sous-groupe de rang impair j-1.
Nous constituons ainsi 2n-2 sous-groupes de 22 sous étudiants équi-informés
Et ainsi de suite jusqu’à la
n
ième conversation (avant laquelle il n’y a plus que 2 sous-groupes). On termine donc avec :Conversations de niveau
n
: Chaque étudiant du premier sous-groupe résultant des conversations de niveaun-1
prend contact avec son homologue du second sous-groupe.Nous constituons ainsi 1 seul groupe de 2n étudiants tous équi-informés de toutes leurs notes
Conclusion : Si k = 2
n, alors f(k) = 5.n
Extension de l’algorithme pour un groupe composé de k#2n étudiants
(2
n< k < 2
n+1)
Dans ce cas il y a des Groupes minoritaires. Le nombre d’étudiants qui sont dans ces groupes peut donc aller de 1 à 2n-1 selon l’existence ou non des divers Groupes minoritaires possibles.
Pour répondre au problème posé, nous ajoutons au processus une conversation initiale ou chaque étudiant appartenant à un Groupe Minoritaire (nombre maximum = 2n-1) prend contact avec un étudiant du Groupe Majoritaire (nombre =2n).
Ainsi chaque note attribuée est connue par un étudiant du Groupe majoritaire (certains connaissent donc outre leur note, celle d’un étudiant de l’un des Groupes minoritaires.
il en résulte par l’algorithme décrit plus haut qu’avec les
n
conversations suivantes, tous les étudiants du Groupe majoritaire parviennent à être informés de toutes les notes.Il reste une dernière conversation nécessaire où chaque étudiant appartenant à un Groupe Minoritaire reprend contact avec un étudiant du Groupe Majoritaire (par exemple celui qu’il avait contacté lors de la première conversation). Les étudiants des Groupe minoritaires deviennent ainsi eux aussi informés de toutes les notes.
Conclusion : Si k # 2
n, alors f(k) = 5(n + 2)
Second algorithme optimisant ce résultat pour un groupe composé d’un nombre d’étudiants k pair et #2n
(2
n< k pair< 2
n+1)
Nous partageons alors les étudiants en 2 groupes en distinguant ceux de rang impair et ceux de rang pair.
Disposons les en 2 cercles concentriques, l’un où sont répartis les étudiants de rang impair, les autres de rang pair.
Au départ 1 est en face de 2, 3 en face de 4 etc…
Nous allons montrer que 1 prend connaissance de toutes les notes (plusieurs fois pour certaines d’entre elles) en n+1 conversations (par souci de clarté pour comprendre la généralisation on a pris k>=10, mais l’algorithme convient dès k=6).
Le processus décrit est absolument symétrique pour tous les étudiants. La conclusion pour 1 se généralise donc à tous les étudiants.
Conversation de niveau 1 : chacun prend connaissance du partenaire en face de lui.
1 connaît alors 2 (1 connaît donc 21 notes)
Faisons tourner le cercle intérieur de 20, soit 1 cran. Alors 1 arrive en face de 4, 3 en face de 6 etc…
Conversation de niveau 2 : chacun prend connaissance du partenaire en face de lui.
1 connaît alors 2,3,4 (1 connaît donc 22 notes)
Faisons tourner le cercle intérieur de 21, soit 2 crans. Alors 1 arrive en face de 8 (qui connaît 5,6,7,8) Conversation de niveau 3 : chacun prend connaissance du partenaire en face de lui.
1 connaît alors 2,3,4,5,6,7,8 (1 connaît donc 23 notes)
……..
Faisons tourner le cercle intérieur de 2n-1 crans. Alors 1 arrive en face d’un étudiant qui connaît au moins tous les chiffres qui lui manquait car ce dernier les a collecté durant son propre parcours.
Conversation de niveau n+1 : chacun prend connaissance du partenaire en face de lui.
1 connaît alors toutes les autres notes avec une redondance d’autant plus faible que k est proche de 2n+1.
(Il a connaissance de 2n+1 notes dont les dernière en double)
De plus on peut remarquer que cet algorithme redonne le résultat du premier algorithme car il permet en allant jusqu’à k=2n+1 d’aboutir à la connaissance de toutes les notes sans redondance en n+1
conversations…Conclusion rassurante !!
Conclusion : Si k = 2
n, alors f(k) = 5.n
Sinon si k pair avec 2
n< k < 2
n+1, alors f(k) = 5(n+1) Sinon si k impair avec 2
n< k < 2
n+1, alors f(k) = 5(n+2)
Les formules montrent que f(k)> f(k+1) si k est impair
Michel Goudard 1 2
3 4
5
1
6
1
7 8 1 1
