Le groupe des traces de Poisson de la variete quotient h+h*/W en rang 2

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HAL Id: hal-00020120

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Preprint submitted on 9 Jul 2007

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Le groupe des traces de Poisson de la variete quotient **h+h*/W en rang 2**

Jacques Alev, Loïc Foissy

To cite this version:

Jacques Alev, Loïc Foissy. Le groupe des traces de Poisson de la variete quotient h+h*/W en rang 2.

2007. �hal-00020120v2�

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hal-00020120, version 2 - 9 Jul 2007

Le groupe des traces de Poisson de la vari´et´e quotient h ⊕ h

^∗

/W en rang 2

Jacques Alev ^∗et Lo¨ıc Foissy ^†

Laboratoire de Math´ematiques - UMR6056, Universit´e de Reims Moulin de la Housse - BP 1039 - 51687 REIMS Cedex 2, France

1 Introduction

1.1. Soit V un espace vectoriel symplectique surC, dimCV = 2l, et soit G un sous-groupe fini de Sp(V). Posons S = C[V]. L’algèbre des fonctions régulières invariantes S^G hérite naturellement d’une structure d’algèbre de Poisson induite et munit ainsi la variété quotient X = V /G d’une structure de variété de Poisson. On peut alors considérer la déformation non commutative deX définie par l’algèbre des invariantsAl(C)^G, oùAl(C) désigne l’algèbre de Weyl de rangl. Il existe une littérature récente abon- dante sur l’étude des désingularisations (symplectiques) deX, le calcul des (co)homologies équivariantes deX et les algèbres de réflexions symplectiques qui en fournissent les déformations les plus riches (voir [AF00, EG02, Fu05, BG03]).

1.2. Il existe deux familles particulières d’exemples de la situation décrite en 1.1. La première consiste

à commencer avec un sous-groupe fini Γ deSL(2,C), à considérerV = (C²)ⁿ,n∈N^∗, et à prendre pour Gle produit en couronne de Γ parSn, produit semi-direct de Γⁿ par le groupe symétriqueSn. Comme cas particulier, nous avons ici les surfaces dites de Klein,XΓ=C²/Γ, pour Γ de type An, Dn, E6,7,8. La deuxième famille consiste à commencer avec une algèbre de Lie simpleg, une sous-algèbre de Cartanh, considérerV =h⊕h^∗ et prendre pourGle groupe de WeylW avec l’action diagonale.

1.3. Conformément à l’esprit des déformations algébriques, la question standard consiste à comparer la (co)homologie de Poisson de X à la (co)homologie de Hochschild de Al(C)^G. Le théorème 6.1 de [AFLS00] donne le calcul complet de la (co)homologie de Hochschild deAl(C)^G. Siak désigne le nombre de classes de conjugaison deGagissant dans la représentationV avec un sous-espace de points fixes de dimensionk, 0≤k≤2l, alors,dimCHHk(Al(C)^G) =ak. Curieusement, le calcul de la (co)homologie de Poisson deX se révèle bien plus compliqué : cela est dû au fait qu’en ce qui concerneAl(C)^G, on dispose d’une équivalence de Morita qui ramène les calculs à ceux relatifs au produit croiséAl(C))6=6=G qui se prête beaucoup mieux aux calculs (co)homologiques. Pour le calcul de la (co)homologie de Poisson, nous n’avons actuellement que la méthode directe.

1.4. Dans la généralité du paragraphe 1.1, on démontre dans [BEG04] queHP0(X) est de dimension finie. Le but de cette note est de présenter le calcul du groupe d’homologie de Poisson deX en degré zéro,HP0(X), dans différents cas oùHP0(X) a même dimension queHH0(Al(C)^G). Cette co¨ıncidence de dimensions peut être interprétée comme étant le reflet d’une bonne déformation, comme c’est le cas pour les surfaces de Klein ([AL98]). Pour les trois exemples en rang 2 de la deuxième famille, on trouve ainsi :

Théorème.Avec les notations précédentes, on a l’égalité :

dimCHP0(h⊕h^∗/W) =dimCHH0 Al(C)^W et cette dimension commune vaut 1 en typeA2, 2 en typeB2 et 3 en typeG2.

∗e-mail : jacques.alev@univ-reims.fr

†e-mail : loic.foissy@univ-reims.fr

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La méthode est la suivante : dans les différents cas étudiés, la composante homogène de degré 2 de C[V]^G, munie du crochet de Poisson, est une algèbre de Lie que nous noterons g, agissant sur C[V]^G de manière semi-simple. De plus, les composantes isotypiques non triviales de C[V]^G sous l’action de g sont inclus dans{g,C[V]^G}; par suite, le calcul deHP0(X) se restreint à calculer la composante isotypique triviale deC[V]^Get son intersection avec{C[V]^G,C[V]^G}. Dans les exemples de la deuxième partie (groupes cycliques) et de la dernière partie (sous-groupes de (Z/3Z)ⁿ), l’algèbre de Lie gest abélienne.

Dans les exemples de la troisi`eme partie (groupes de Weyl de rang 2), il s’agit desl(2). Dans les exemples de la cinqui`eme partie (sous-groupes de (Z/2Z)ⁿ), il s’agit desl(2)^⊕n.

1.5. Le papier s’organise de la manière suivante : nous considérons d’abord une famille d’exemples simples, puis nous continuons en effectuant une étude commune des trois groupes de Weyl de rang 2 en présentant les détails d’un calcul basé essentiellement sur le pléthysme des représentations de sl(2) ; nous poursuivons par une remarque-question sur le fait que l’idéal dérivé de Poisson de C[X], algèbre de fonctions régulières sur la variété quotient affine X, est également un idéal associatif. A notre con- naissance, les premiers exemples où cela ne se produit pas sont les casB2 et G2. Nous donnons ensuite une présentation de ces trois algèbres d’invariants. La partie suivante expose une famille d’exemples pour lesquels ces deux dimensions diffèrent. Nous terminons par l’étude d’une famille d’exemples qui montrent que la différence des deux dimensions considérées dans le théorème principal peut être arbitrairement grande.

Remerciements.Le premier auteur tient `a remercier Y. Berest, D. Farkas, B. Fu et T. Lambre pour des conversations fructueuses `a l’origine de ce travail.

2 Une famille d’exemples simples

2.1. Soitn≥2 et soitG=Cn = (σ) le groupe cyclique d’ordren, agissant surC² par le caractère ζ =e^2iπ/n et donc sur V =C²⊕(C²)^∗. Soit S =S(V) l’algèbre symétrique de V,A l’algèbre de Weyl A2(C), avec pour coordonnées respectivesx1, x2, y1, y2 et p1,p2, q1, q2. L’action de Gsur S et A est alors donnée par :

x1 x2 y1 y2

σ ζx1 ζx2 ζⁿ⁻¹y1 ζⁿ⁻¹y2 et p1 p2 q1 q2

σ ζp1 ζp2 ζⁿ⁻¹q1 ζⁿ⁻¹q2

On note S^G et A^G les algèbres d’invariants respectives. Par la structure symplectique standard, S est une algèbre de Poisson etGagit surS par automorphismes de Poisson, ce qui implique queS^G est une sous-algèbre de Poisson de S. Autrement dit,S^G est une algèbre de Poisson commutative et peut être considérée comme l’algèbre des fonctions régulières sur une variété de Poisson algébrique affine.

2.2. D’autre part,Sest (en tant qu’algèbre de Poisson) graduée par le degré total, le crochet de Poisson

étant homogène de degré−2. Comme G agit de manière homogène sur S, S^G est une sous-algèbre de Poisson graduée deS. On noteS^G(n) sa composante homogène de degrén. En particulier,S^G(2) munie du crochet de Poisson est une algèbre de Lie et l’identité de Jacobi implique queS^Gest unS^G(2)-module.

Remarquons que x1y1 et x2y2 appartiennent à S^G(2) et queg=V ect(x1y1, x2y2) est une sous-algèbre de Lie abélienne deS^G(2). Par suite,S^G est ung-module. Pour tout (α1, α2, β1, β2)∈N⁴ :

{x1y1, x^α₁¹y^β₁¹x^α₂²y^β₂²} = (β1−α1)x^α₁¹y^β₁¹x^α₂²y₂^β², {x2y2, x^α₁¹y^β₁¹x^α₂²y^β₂²} = (β2−α2)x^α₁¹y^β₁¹x^α₂²y₂^β²,

donc S est une somme directe de g-modules de dimension 1 : g agit de mani`ere semi-simple sur S.

D´ecomposonsS en composantes isotypiques :

S= M

(i,j)∈Z²

S(i,j), avec :

S(i,j) = {X∈S /{x1y1, X}=iX, {x2y2, X}=jX}

= V ect(x^α₁¹y₁^β¹x^α₂²y₂^β²/ β1−α1=i, β2−α2=j).

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De plus, pour tous (i, j), (k, l)∈Z², S(i,j)S(k,l) ⊆S(i+k,j+l) et {S(i,j), S(k,l)} ⊆S(i+k,j+l) : S est ainsi Z-gradu´ee en tant qu’alg`ebre de Poisson.

2.3. D´ecrivons maintenantS^G :

Proposition 1 i) Pour tout (i, j)∈Z², posonsS_(i,j)^G =S^G∩S(i,j). Alors S^G= M

(i,j)∈Z²

S_(i,j)^G . ii) Sii+j≡/0[n], alors S_(i,j)^G = 0.

iii) Sii+j≡0[n], alorsS_(i,j)^G =S(i,j).

iv) S_(0,0)^G =C[t1, t2], avec t1=x1y1 ett2=x2y2.

v) S^G est engendr´ee par t1 = x1y1, t2 = x2y2, xⁿ₁, yⁿ₁, xⁿ₂, yⁿ₂, x^α₁x^n−α₂ (1 ≤ α ≤ n−1), y₁^αy₂^n−α (1≤α≤n−1),x1y2 etx2y1.

Preuve.i) Commeg⊆S^G,S^Gest un sous-g-module deSet donc se d´ecompose selon les composantes isotypiques deS, d’o`u le premier point.

ii) etiii) Pour tout (α1, α2, β1, β2)∈N⁴,σ.x^α₁¹y^β₁¹x^α₂²y^β₂² =ζ^α¹^−β¹^+α²^−β²x^α₁¹y₁^β¹x^α₂²y^β₂². Par suite : S^G =V ect(x^α₁¹y₁^β¹x^α₂²y₂^β²/ α1−β1+α2−β2≡0[n]).

Les pointsii) etiii) s’en d´eduisent imm´ediatement.

iv) On a : S_(0,0)^G =V ect

x^α₁¹y₁^β¹x^α₂²y₂^β²/ β1−α1=β2−α2= 0

=V ect t^α₁¹t^α₂²/(α1, α2)∈N²

=C[t1, t2].

v) NotonsS^′ la sous-algèbre deSengendrée par les éléments décrits dans l’énoncé de la proposition.

De manière immédiate, ces générateurs proposés sont dansS^G, doncS^′⊆S^G.

SoitX =x^α₁¹y₁^β¹x^α₂²y₂^β², avecα1−β1+α2−β2≡0[n]. Suivant les valeurs deα1, β1et deα2, β2, on peut alors ´ecrireX sous l’une des formes suivantes :

X =t^γ₁¹t^γ₂²x^α₁^′¹x^α₂^′² ouX=t^γ₁¹t^γ₂²x^α₁^′¹y^β₂²^′ ouX =t^γ₁¹t^γ₂²y^β₁¹^′x^α₂^′² ouX =t^γ₁¹t^γ₂²y^β₁^′¹y^β₂²^′. En effectuant une division euclidienne parn, on peut ´ecrire X sous l’une des formes suivantes :

X = t^γ₁¹t^γ₂²(xⁿ₁)^δ¹(xⁿ₂)^δ²x^α₁^′′¹x^α₂^′′², 0≤α^′′₁, α^′′₂ < n ouX = t^γ₁¹t^γ₂²(xⁿ₁)^δ¹(y₂ⁿ)^δ²x^α₁^′′¹y₂^β^′′², 0≤α^′′₁, β₂^′′< n ouX = t^γ₁¹t^γ₂²(yⁿ₁)^δ¹(xⁿ₂)^δ²y^β₁¹^′′x^α₂^′′², 0≤β₁^′′, α^′′₂< n ouX = t^γ₁¹t^γ₂²(yⁿ₁)^δ¹(yⁿ₂)^δ²y₁^β^′′¹y^β₂²^′′, 0≤β₁^′′, β^′′₂ < n.

Dans le premier cas, on a α^′′₁ +α^′′₂ ≡ 0[n] et donc α^′′₁ +α^′′₂ = 0 ou n. Par suite, soit X est de la formet^γ₁¹t^γ₂²(xⁿ₁)^δ¹(xⁿ₂)^δ², soitX est de la forme t^γ₁¹t^γ₂²(xⁿ₁)^δ¹(xⁿ₂)^δ²

x^α₁^′′¹x^n−α₂ ^′′¹

, avec 0< α^′′₁ < n. Donc X ∈S^′. De mˆeme, dans le quatri`eme cas, SoitX est de la formet^γ₁¹t^γ₂²(yⁿ₁)^δ¹(y₂ⁿ)^δ², soitX est de la forme t^γ₁¹t^γ₂²(y₁ⁿ)^δ¹(y₂ⁿ)^δ²

y₁^β^′′¹y^n−β₂ ^′′¹

, avec 0< β₁^′′< n, doncX ∈S^′.

Dans le deuxi`eme cas, on aα^′′₁−β₂^′′≡0[n], doncα^′′₁ =β₂^′′et X s’´ecrit : X=t^γ₁¹t^γ₂²(xⁿ₁)^δ¹(yⁿ₂)^δ²(x1y2)^α^′′¹.

Par suite,X∈S^′. De mˆeme, dans le troisi`eme cas, on montre queX ∈S^′ et doncS^G=S^′.2

2.4. SoitM un sous-g-module simple non trivial deS^G. Alorsg.M est un sous-module non nul deM, donc est égal à M. Par suite,M =g.M ={g, M} ⊆ {S^G, S^G}. Donc les composantes isotypiques non triviales deS^G sont incluses dans{S^G, S^G}. On en déduit :

M

(i,j)∈Z²−{(0,0)}

S^G_(i,j) ⊆ {S^G, S^G},

S^G = S_(0,0)^G +{S^G, S^G}, HP0(S^G) = S_(0,0)^G

S_(0,0)^G ∩ {S^G, S^G}. Nous pouvons maintenant montrer queHP0(S^G) est de dimensionn−1.

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Th´eor`eme 2 On a l’galit dimCHP0(S^G) =n−1.

Preuve.Utilisons l’identité générale suivante, valable pour toute algèbre de Poisson, et qui est une application directe de l’identité de Leibniz :

{ab, c}={a, bc}+{b, ca}.

En utilisant cette identit´e autant que n´ecessaire et le pointv) de la proposition 1 : {S^G, S^G} = {t1, S^G}+{t2, S^G}+{x1y2, S^G}+{x2y1, S^G}

+{xⁿ₁, S^G}+{yⁿ₁, S^G}+{xⁿ₂, S^G}+{y₂ⁿ, S^G} +

n−1X

α=1

{x^α₁x^n−α₂ , S^G}+{y^α₁y₂^n−α, S^G} . Par homogénéité du crochet de Poisson :

{S^G, S^G} ∩S_(0,0)^G = {t1, S_(0,0)^G }+{t2, S_(0,0)^G }+{x1y2, S_(1,−1)^G }+{x2y1, S_(−1,1)^G } +{xⁿ₁, S_(n,0)^G }+{y₁ⁿ, S_(−n,0)^G }+{xⁿ₂, S_(0,n)^G }+{y₂ⁿ, S_(0,−n)^G } +

n−1X

α=1

{x^α₁x^n−α₂ , S_(α,n−α)^G }+{y^α₁y₂^n−α, S_{(−α,α−n)}^G }

= {t1, S_(0,0)^G }+{t2, S_(0,0)^G }+{x1y2, S_(1,−1)^G }+{x2y1, S_(−1,1)^G } +

Xn

α=0

{x^α₁x^n−α₂ , S_(α,n−α)^G }+{y^α₁y₂^n−α, S_{(−α,α−n)}^G } .

S(0,0) =C[t1, t2] ´etant la composante isotypique triviale de S^G,{t1, S_(0,0)^G } ={t2, S^G_(0,0)} = (0). D’autre part,

S_(1,−1)^G = V ect(x^α₁¹y^β₁¹x^α₂²y^β₂²/ β1−α1= 1, β2−α2=−1)

= V ect(t^α₁¹t^β₂²y1x2/ α1, β2∈N)

= y1x2C[t1, t2].

Calculons :

{x1y2, y1x2t^α₁¹t^α₂²}= (1 +α1)t^α₁¹t^α₂²⁺¹−(1 +α2)t^α₁¹⁺¹t^α₂². Par suite :

{x1y2, S^G_(1,−1)}=V ect (1 +α1)t^α₁¹t^α₂²⁺¹−(1 +α2)t^α₁¹⁺¹t^α₂²/α1, α2∈N . Un calcul semblable montre que{x2y1, S_(−1,1)^G }={x1y2, S_(1,−1)^G }.

Fixons 0≤α≤n.

S_(α,n−α)^G = V ect

x^α₁¹y₁^β¹x^α₂²y₂^β²/ β1−α1=α, β2−α2=n−α

= V ect t^α₁¹t^α₂²y^α₁y₂^n−α/ α1, α2∈N

= y₁^αy₂^n−αC[t1, t2].

Calculons :

{x^α₁x^n−α₂ , y^α₁y₂^n−αt^α₁¹t^α₂²}=α(α+α1)t^α−1+α₁ ¹t^n−α+α₂ ²+ (n−α)(n−α+α2)t^α+α₁ ¹t^{n−α−1+α}₂ ². En particulier, pourα= 0 etα=n:

{xⁿ₂, yⁿ₂t^α₁¹t^α₂²}=n(n+α2)t^α₁¹t^n−1+α₂ ², {xⁿ₁, yⁿ₁t^α₁¹t^α₂²}=n(n+α1)t^n−1+α₁ ¹t^α₂². Par suite,

{x1y2, S_(1,−1)^G }+{x2y1, S_(−1,1)^G }+ Xn

α=0

{x^α₁x^n−α₂ , S_(α,n−α)^G }

= V ect (1 +α1)t^α₁¹t^α₂²⁺¹−(1 +α2)t^α₁¹⁺¹t^α₂²/α1, α2∈N

+tⁿ⁻¹₁ C[t1, t2] +tⁿ⁻¹₂ C[t1, t2].

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On obtient un r´esultat semblable pour{y₁^αy₂^n−α, S_{(−α,α−n)}^G }.

On a donc :

{S^G, S^G} ∩S_(0,0)^G

= V ect (1 +α1)t^α₁¹t^α₂²⁺¹−(1 +α2)t^α₁¹⁺¹t^α₂²/α1, α2∈N

+tⁿ⁻¹₁ C[t1, t2] +tⁿ⁻¹₂ C[t1, t2]

= V ect (1 +α1)t^α₁¹t^α₂²⁺¹−(1 +α2)t^α₁¹⁺¹t^α₂²/α1+α2< n−1

+V ect(t^α₁¹t^α₂²/ α1+α2≥n−1). Une base deS_(0,0)^G /{S^G, S^G} ∩S_(0,0)^G est donc donn´ee par

t⁰₁, . . . , tⁿ⁻²₁

, d’o`u S_(0,0)^G /{S^G, S^G} ∩S^G_(0,0) est de dimensionn−1.2

2.5.Remarques.

i) a) Si n= 2,{S^G, S^G} est l’id´eal d’augmentation deS^G.

b) Si n= 3, S_(0,0)^G /{S^G, S^G} ∩S_(0,0)^G est V ect(t1−t2) +V ect(t^α₁¹t^α₂²/ α1+α2≥n−1) et est donc l’id´eal deS_(0,0)^G engendr´e part1−t2,t²₁,t²₂et t1t2.

c) Sin≥4,t1−t2∈ {S^G, S^G} ∩S_(0,0)^G et (t1−t2)t2∈ {S/ ^G, S^G} ∩S^G_(0,0), donc{S^G, S^G}n’est pas un id´eal deS^G.

ii) Sin≥3, alorsS^G(2) =g. Sin= 2, alorsS^G(2) =S(2) est isomorphe à sl(2)⊕sl(2). On peut alors en déduire une preuve plus rapide du théorème 2 en utilisant la composante isotypique triviale de S^G sous l’action de sl(2)⊕sl(2) plutôt que l’action de g. En effet, cette composante isotypique Ssl(2)⊕sl(2)^G vérifie :

S^Gsl(2)⊕sl(2) ⊆ Ker({x²₁, .})∩Ker({x²₂, .})∩Ker({y₁², .})∩Ker({y²₂, .})

⊆ Ker

x1

∂

∂y1

∩Ker

x2

∂

∂y2

∩Ker

y1

∂

∂x1

∩Ker

y2

∂

∂x2

⊆ C[x1, x2, y2]∩C[x1, x2, y1]∩C[x2, y1, y2]∩C[x1, y1, y2]

⊆ C,

doncSsl(2)⊕sl(2)^G =C. Par suite,S^G=C+{S^G, S^G}et on v´erifie ais´ement queC∩ {S^G, S^G}= (0).

3 M´ethode utilis´ee pour les trois groupes de Weyl de rang 2

3.1. Nous montrerons par la suite que, dans le cas des groupesA2,B2 etG2, les hypothèses suivantes sont vérifiées :

Hypoth`eses

a) S =S(V), avec V de dimension 4, graduée avec les éléments deV homogènes de degré 1. La composante homogène de degrénde S est notée S(n). De plus, S est munie d’un crochet de Poisson {−,−}homogène de degré−2.

b) Gest un groupe fini agissant par automorphismes de Poisson homogènes de degré 0 sur S. On note S^G l’ensemble des éléments de S invariants sous l’action de G; c’est une sous-algèbre de Poisson graduée deS.

c) Il existe trois éléments non nuls deS^G(2) notésE, F, H vérifiant :

{E, F}=H, {H, E}= 2E, {H, F}=−2F.

Autrement dit,V ect(E, F, H) muni de{−,−}est une algèbre de Lie isomorphe àsl(2). Alorssl(2) agit surS de la manière suivante : pour tousP ∈S,X ∈sl(2),

X.P ={X, P}.

Cette action est homog`ene de degr´e 0. Par suite, pour toutn∈N,S(n) est somme directe d’espaces de poids :

S(n) =M

i∈Z

S(n)i, o`uS(n)i ={P ∈S(n)/ H.P =iP}.