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Quel est l’ordre d’un 2-sous-groupe de Sylow de (Z/20Z

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Academic year: 2022

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(1)

Universit´e Paris Diderot Alg`ebre

Licence de Math´ematiques Ann´ee 2016-17

H. Chen, B. Klingler, L. Merel INTERROGATION du 20 octobre 2016

Dur´ee : 30 minutes. Tout appareil ´electronique et tout document est interdit. R´epondre ci-dessous et au verso en justifiant bri`evement.

1. Donner un exemple de groupe d’ordre 9 non isomorphe `a Z/9Z.

2. L’application x7→x−1 est-elle un isomorphisme de (Z/9Z)× ? 3. Quel est l’ordre d’un 2-sous-groupe de Sylow de (Z/20Z)× ?

4. Un groupe d’ordre 15 peut-il poss´eder plus d’un 5-sous-groupe de Sylow ? 5. Donner un g´en´erateur du groupe (Z/7Z)×.

6. Quel est le noyau du morphisme de groupes C× →C× qui `a z associe z4 ? 7. Trouver un nombre premier p tel qu’il existe un p-groupe non ab´elien.

Références

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