E554 - Faire le buzz [*** à la main]

E554 - Faire le buzz [*** à la main]

Des étudiants en nombre k > 2 sont simultanément informés par courrier nominatif de leur classement à une compétition de mathématiques. Ils décident de s'appeler au téléphone pour que tous soient informés de leurs classements respectifs.Quand deux d'entre eux sont en ligne, chacun communique à son homologue son propre classement ainsi que les classements des autres étudiants dont il vient de prendre connaissance lors des précédents appels.

Chaque conversation dure exactement 5 minutes. On désigne par f(k) le temps minimal f(k) à l'issue duquel ils sont tous complètement informés. En supposant que les étudiants ont défini préalablement la manière optimale d'organiser leurs appels,déterminer respectivement f(14), f(15), f(16), f(17) et f(18).

Pour les plus courageux: donner la formule générale exprimant f(k) en fonction de k.Pour quelles valeurs de k a-t-on f(k) > f(k+1)?

Solution proposée par Bernard Vignes

Dans une première partie le calcul de f(k) pour k variant de 1 à 8 va permettre de distinguer trois familles distinctes pour les valeurs de k. Dans une seconde partie on détermine pour chacune d'elles une expression générale de f(k) en fonction de k.

1ère partie

Le terme "période" désigne le laps de temps de 5 minutes au cours duquel une ou plusieurs conversations téléphoniques peuvent être menées.

Soit x(k) le nombre minimal de périodes à l'issue desquelles tous les étudiants sont informés. On a f(k) = 5x(k).

Les étudiants seront désignés ci-après par z₁,z₂,z₃,.zi.... On désigne par (z_₁,z_₂) une conversation téléphonique entre z_₁ et z_₂ et par (z₁,z₂) + (z₃,z₄) deux conversations téléphoniques simultanées entre z₁ et z₂ d'une part et entre z₃ et z₄ d'autre part.

- Pour k= 1 et n = 2 on a trivialement x(1) = 0 et x(2) = 1.

- Pour k = 3, on a nécessairement x(3) = 3 avec les conversations successives (z₁,z₂),(z₁,z₃) et (z₂,z₃) Pendant que deux étudiants sont au téléphone, le troisième est obligé d'attendre..

-Pour k = 4, on a x(4) = 2 avec (z₁,z₂) + (z₃,z₄) puis (z₁,z₃) + (z₂,z₄). On vérifie aisément qu'à l'issue de deux périodes chacun des quatre étudiants est bien informé des classements des trois autres.

- Pour k = 5, on a x(5) = 4 .Quatre périodes sont nécessaires compte tenu du fait qu'à l'issue de deux périodes chaque étudiant connaît au plus le classement de quatre étudiants y compris le sien.Au cours d'une troisième période l'un des cinq étudiants est obligé d'attendre pendant que les autres sont au téléphone et il ne pourra être complètement informé qu'à l'issue d'une quatrième période. Une séquence optimale de conversations peut être la suivante : (z₁,z₅) puis (z₁,z₂) + (z₃,z₄) puis (z₁,z₃) + (z₂,z₄).et enfin (z₁,z₅) à nouveau. Au cours de la première période, z₁ prend connaissance du classement de z₅ qu'il fait connaître à z₂,z₃ et z₄ en même temps que z₁,z₂,z₃ et z₄ prennent connaissance de leurs classements respectifs. Au cours de la quatrième période, z₅ apprend les classements de z₂,z₃ et z₄ par la bouche de z₁. Mêmes vérifications pour les autres étudiants.

- Pour k = 6, on a x(6) = 3 avec (z₁,z₄) + (z₂,z₅) + (z₃,z₆) puis (z₁,z₅) + (z₂,z₆) + (z₃,z₄) puis (z₁,z₆) + (z₂,z₄) + (z₃,z₅). Comme il y a un nombre pair

d'étudiants,contrairement au cas précédent, dans chaque période tous les étudiants peuvent être occupés au téléphone. Trois périodes suffisent. On vérifie que z₁ apprend le classement de z₄ au cours de la première conversation, puis apprend le classement de z₅ et celui de z₂ communiqué par z₅ et enfin apprend le classement de z₆ et celui de z₃ communiqué par z₆. Mêmes vérifications pour les autres étudiants.

- Pour k = 7, on a x(7) = 4. Comme dans le cas k = 5 quatre périodes sont nécessaires compte tenu du fait qu'un au moins des sept étudiants est toujours obligé d'attendre deux périodes de plus que les deux premières périodes qui permettent à chacun d'eux de connaître au plus le classement de quatre étudiants y compris le

sien.Une séquence optimale est obtenue par exemple avec (z₁,z₅) + (z₂,z₆) + (z₃,z₇) puis (z₁,z₂) + (z₃,z₄) puis (z₁,z₃) + (z₂,z₄) puis à nouveau ((z₁,z₅) + (z₂,z₆) + (z₃,z₇). On vérifie que z₁ apprend le classement de z₅ au cours de la première conversation, puis apprend le classement de z₂ et celui de z₆ communiqué par z₂ puis apprend le classement de z₃ et ceux de z₄ et de z₇ communiqués par z₃ et enfin communique à z₅ les classements de z₂,z₃,z₄,z₆,z₇.S'agissant de z₄, il apprend au cours de la deuxième période le classement de z₃ et celui de z₇ et au cours de la troisième période, il apprend le classement de z₂, ceux de z₁ et de z₆ via z₂ et enfin celui de z₅ via z₁ et z₂. Mêmes vérifications pour les autres étudiants.

- Pour k = 8, on a x(8) = 3 avec deux sous-groupes (z₁,z₂,z₃,z₄) et (z₅,z₆,z₇,z₈) qui se communiquent leurs classements respectifs en deux périodes. Au cours de la troisième période, les quatre conversations (z₁,z₅) + (z₂,z₆) + (z₃,z₇) + (z₄,z₈) permettent à chacun d'entr'eux de connaître les classements des quatre derniers étudiants.

D'où le tableau qui permet de distinguer trois cas distincts: k est une puissance de 2, k est impair, k est pair distinct d'une puissance de 2.

k 1 2 3 4 5 6 7 8

x(k) 0 1 3 2 4 3 4 3

f(k) 0 5 15 10 20 15 20 15

2ème partie

1) k est une puissance de 2 = 2ⁿ

Pour n = 2, on a x(4) = 2 et pour n = 3, on a x(8) = 3.En reprenant le raisonnement fait pour k = 8, on va démontrer par récurrence que pour n quelconque x(2ⁿ) = n.

On partage les 2ⁿ étudiants en deux sous-groupes d'effectifs 2^n-1chacun. Pour chacun de ces deux sous-groupes, n ‒ 1 périodes sont nécessaires et suffisantes pour qu'à l'intérieur de chaque sous-groupe chaque étudiant soit informé des classements des 2^n-1 ‒ 1 autres étudiants. A cours de la n-ième période, les 2^n-1

conversations menées simultanément entre un membre du premier sous-groupe et un homologue du deuxième sous-groupe permettent à chacun d'entr'eux de connaître les classements des 2^n-1 étudiants du sous-groupe auquel il n'appartient pas.

Conclusion : x(2ⁿ) = n et f(2ⁿ) = 5n

2) k est un entier impair compris entre 2ⁿ et 2ⁿ⁺¹

D'après ce qui précède, à l'issue de n périodes chaque étudiant connaît au plus le classement de 2ⁿ ‒ 1 étudiants autres que lui-même. Au cours de la (n+1)-ième période, comme il y a un nombre impair d'étudiants, l'un d'eux est nécessairement passif et il est obligé d'attendre la (n+2)-ième période pour disposer des classements qui lui manquent. On a donc x(k) ≥ n + 2.

On va montrer que x(k) = n + 2. On donne les numéros a(1),a(2)...a(2ⁿ),b(1),b(2),...b(k ‒ 2ⁿ) aux n étudiants. Dans la première période,pour 1≤ i ≤ k ‒ 2ⁿ, a(i) appelle b(i). Au cours des n périodes suivantes, les étudiants du sous-groupe a(1),(a2),..., a(2ⁿ) prennent connaissance des classements non seulement des 2ⁿ étudiants numérotés a(j) pour 1≤ j ≤ 2ⁿ mais aussi des classements des k ‒ 2ⁿ étudiants numérotés b(1),b(2)... b(k ‒ 2ⁿ) grâce aux aux informations recueillies par les étudiants numérotés a(i) au cours de la première période. A l'issue de la (n + 1)-ième période tous les étudiants numérotés a(j) connaissent donc les classements de tous les étudiants. Au cours de la (n+2)-ième période, on répète les conversations de type a(i) + b(i) de la première période. Désormais tout le monde est informé de tous les classements.

Conclusion : x(k) = n + 2 et f(k)= 5(n + 2)

3) k est un entier pair compris entre 2ⁿ et 2ⁿ⁺¹

Comme précédemment x(k) > n mais comme il y a un nombre pair d'étudiants une (n + 2)-ième période comme précédemment n'est pas forcément nécessaire.

On a donc x(k) ≥ n + 1.

On va montrer que x(k) = n + 1. Soit k = 2p. On partage les 2p étudiants en deux sous-groupes de p étudiants numérotés respectivement a(1),a(2)...a(p) et b(1),b(2),....b(p).

Au cours de la première période : a(1) + b(1), a(2) + b(2)...,a(i) + b(i),...,a(p) + b(p).

Au cours de la seconde période : a(1) + b(2), a(2) + b(3)...,a(i) + b(i + 1),...,a(p) + b(1).

Au cours de la troisième période : a(1) + b(4) ,a(2) + b(5)...,a(i) + b(i + 3),...,a(p) + b(3) ....

Au cours de la j-ième période : a(1) + b(2^j-1),a(2) + b(2^j-1+ 1),.,a(i) + b(i + 2^j-1‒ 1 modulo p),.,a(p) + b(p + 2^j-1‒ 1 modulo p).

....

Au cours de la n-ième période: a(1) + b(2^n-1),a(2) + b(2^n-1+ 1),....,a(i) + b(i + 2^n-1‒ 1 modulo p),...,a(p) + b(p + 2^n-1‒ 1 modulo p).

Au cours de la (n+1)-ième période : a(1) + b(1), a(2) + b(2),...., a(i) + b(i),...,a(p) + b(p).

A l'issue de la (n+1)-ième période, chacun est informé des classements de tous les autres étudiants.

Nous allons l'illustrer pour n = 2p = 14 soit p = 7 et le vérifier à titre d'exemples pour a(1) et b(6).

1er cas

a(1) prend connaissance successivement des classements de : - b(1) à l'issue de la période 1,

- b(2) et a(2) par le canal de b(2) à l'issue de la période 2,

- b(4) et {a(3), a(4) et b(3) par le canal de b(4} à l'issue de la période 3,

A l'issue de la période 3, a(1) a donc appris les classements de a(2),a(3),a(4),b(1),b(2),b(3),b(4).

Par ailleurs pendant la période 1 on a a(5) + b(5), a(6) + b(6) et a(7) + b(7) puis pendant la période 2 : a(5) + b(6), a(6) + b(7),a(7) + b(1) et pendant la période 3 : a(5) + b(1).

Au cours de la période 4, a(1) prend donc connaissance par le canal de b(1) des classements de a(5),b(5),a(6),b(6) et a(7),b(7).

2ème cas

b(6) prend connaissance successivement des classements de : - a(6) à l'issue de la période 1,

- a(5) et b(5) par le canal de a(5) à l'issue de la période 2,

- a(3) et {a(4), b(3) et b(4) par le canal de a(3)} à l'issue de la période 3,

A l'issue de la période 3, b(6) a donc appris les classements de a(3),a(4),a(5),a(6),b(3),b(4),b(5)

Par ailleurs pendant la période 1 on a : a(1) + b(1),a(2) + b2),a(7) + b(7) puis pendant la période 2 : a(1) + b(2), a(2) + b(3),a(6) + b(7), a(7) + b(1) et pendant la période 3 : a(6) + b(2).

Au cours de la période 4, b(6) prend donc connaissance par le canal a(6) des classements de a(1),b(1),a(2),b(2),a(7),b(7).

Les mêmes vérifications peuvent être faites avec n'importe quel autre étudiant.

D'une manière générale, au cours des n premières périodes, a(i) prend connaissance des classements de a(i+1),a(i+2),...,a(i+2^n-1‒1),b(i),b(i+1),b(i+2),...b(i+2^n-1‒1) , tous les numéros étant mesurés modulo p et au cours de la (n+1)-ième période par le canal de b(i), il apprend les 2p ‒ 2ⁿ classements qui lui manquent tandis que b(i) prend connaissance des classements de a(i ‒2^n-1+1),...a(i),b(i ‒2^n-1+1),...b(i-1) tous les numéros étant mesurés modulo p et au cours de la (n+1)-ième période par le canal de a(i), il apprend les 2p ‒ 2ⁿ classements qui lui manquent

Conclusion : x(k) = n+ 1 et f(k) = 5(n + 1)

Application numérique:

x(14) = 4, x(15)= 5, x(16) = 4, x(17) = 6, x(18) = 5. D'où f(14) = 20, f(15) = 25, f(16) = 20, f(17) = 30, f(18) = 25.

Pour tout k impair, on a f(k) > f(k+1).

Nota

La séquence des x(n) figure dans l'OEIS sous la rubrique A0007456 et donne la formule générale de x(k) = [log₂(k‒1)] + (k‒2) modulo 2 + 1 (k ≥ 2) avec [..] qui désigne la partie entière par défaut.

A007456 Days required to spread gossip to n people. ⁷

0, 1, 3, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 6, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 5, 7, 6, 7, 6, 7, 6, 7, 6, 7, 6, 7, 6, 7, 6, 7, 6, 7, 6, 7, 6, 7, 6, 7, 6, 7, 6, 7, 6, 7, 6, 7, 6, 8, 7, 8, 7, 8, 7, 8, 7, 8, 7, 8, 7, 8, 7, 8, 7, 8, 7, 8, 7, 8, 7, 8 (list; graph; refs; listen; history; text; internal format)

OFFSET _1,3

COMMENTS On first day, each gossip has his own tidbit. On each successive day, disjoint pairs of gossips may share tidbits (over the phone). After a(n) days, all gossips have all tidbits.

a(A240277(n)) = n and a(m) < n for m < A240277(n). - Reinhard Zumkeller, Apr 03 2014

REFERENCES Fan, C. Kenneth, Bjorn Poonen and George Poonen, How to spread rumors fast. Mathematics Magazine 70 (Feb, 1997), pp. 40-42.

D. Shasha, Gossiping Defenders, The Puzzling Adventures of Dr. Ecco, pp.

62-4;156 W. H. Freeman NY 1988.

LINKS T. D. Noe, Table of n, a(n) for n = 1..10000

I. Peterson, Spreading Rumors, MathLand, March 17, 1997.

FORMULA a(1) = 0; a(n) = [ log_2 (n-1) ] + ((n-2) mod 2) + 1 (n >= 2)

G.f.: 1/(1-z)*(sum(k>=0, z^(2^k))+1/(1+z))-1. - Ralf Stephan, Apr 06 2003

MATHEMATICA Join[{0}, Table[Floor[Log[2, n - 1]] + Mod[n - 2, 2] + 1, {n, 2, 100}]] (*

T. D. Noe, Mar 16 2012 *)

PROG _(Haskell)

a007456 1 = 0

a007456 n = a000523 (n - 1) + mod n 2 + 1

-- Reinhard Zumkeller, Apr 03 2014

CROSSREFS Cf. A160464, A043529.

Cf. A000523.

Sequence in context: A247190 A243289 A134559 * A119707 A052938 A140114

Adjacent sequences: A007453 A007454 A007455 * A007457 A007458 A007459

KEYWORD nonn,nice,easy

AUTHOR Alex Graesser (AlexG(AT)sni.co.za)

EXTENSIONS More terms from David W. Wilson

Formulae corrected by Johannes W. Meijer, May 15 2009

STATUS _approved