PREBAC CULHAM 2012
DATE : 20 janvier 2012 (matin)
DURÉE DE L'EXAMEN : 3 heures (180 minutes)
MATÉRIEL AUTORISÉ :
Calculatrice
REMARQUES :
Traiter les quatre parties sur des feuilles d’examen différentes
Prendre le temps de lire entièrement les énoncés.
MATHÉMATIQUES 5 PÉRIODES
Partie B : avec outil technologique
B 1. ANALYSE Page 1 sur 5 Barème
On considère la fonction d’une variable réelle f définie par :
( ) .
2x
e x x
f
.
Total : 22 points
a) Etudier la fonction f : domaine de définition, zéros, extremums, point d’inflexion et ainsi que toutes les asymptotes.
Représenter la fonction f dans un repère orthonormé.
7 points
On considère maintenant la famille des fonctions réelles à variable réelle définie par :
0 avec .
)
( x x e
.p
f
p pxb) Le paramètre p>0 étant fixé, étudier la fonction .
En particulier, déterminer les coordonnées de l’extremum et ainsi que celles du point d’inflexion.
5 points
c) A l’aide de l’outil technologique, déterminer une primitive de la fonction sur son intervalle de définition.
2 points
B 1. ANALYSE Page 1 sur 5 Barème
e) Calculer
. 2 points
f)
Un repère orthonormé étant donné, notons F la représentation graphique de f, définie par :
Soit la surface S(k) délimitée par F, l’axe des abscisses et par la droite d’équation x=k.
On considère le volume V(k) engendré par la rotation de la surface S (k) autour de l’axe des abscisses.
Déterminer la formule permettant de calculer ce volume.
Calculer V(k) à l’aide de l’outil technologique (sans justification) Déterminer
.
4 points
B 2. GEOMETRIE DANS L’ESPACE Page 3 sur 5 Barème
On considère deux points A et B de l’espace de coordonnées et .
On considère les sphères S1 et S2 d’équations respectives : Le plan π d’équation :
Total : 25 points
a) Déterminer le centre et le rayon des sphères S
1et S
2. 3 points
Considérons la sphère S de centre A et de rayon 5, et la sphère S’ de centre B et de rayon 6.
b) i. Justifier que les sphères S et S’ sont sécantes.
ii. Etablir une équation cartésienne du plan contenant l’intersection de ces deux sphères.
1 point 2 points
c) Déterminer les coordonnées du point K intersection de la droite (AB) et du plan π.
4 points
d) Justifier que le lieu C des points M de l’espace tels que et est un cercle dont vous en donnerez TOUTES les caractéristiques.
3 points
e) On considère le point D de coordonnées (5 , -1 , 5) i. Vérifier que le point D appartient à C .
ii. Déterminer une équation du plan α tangent à la sphère S au point D.
2 points
B 3. SUITES Page 4 sur 5 Barème
On considère la suite réelle définie par
