COURS DE MATHÉMATIQUES SEPTIÈMES 5 PÉRIODES

COURS DE MATHÉMATIQUES SEPTIÈMES 5 PÉRIODES

Valère B

ONNET

(valere.bonnet@eeb1.eu)

26 février 2013

É^COLEE^UROPÉENNE B^RUXELLESI

Table des matières

Table des matières iii

I GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 1

I.1 Applications . . . 1

I.1.1 Expression analytique de la symétrie par rapport à la première bissectrice . . 1

I.1.2 Introduction . . . 1

I.1.3 Image, image réciproque d’un ensemble . . . 3

I.1.4 Cas ou les ensembles de départ et d’arrivée sont des intervalles . . . 4

I.1.5 Dérivée de la réciproque . . . 6

I.1.6 Exercices . . . 7

I.2 Les fonctions ln et exp. . . 8

I.2.1 Introduction de la fonction ln . . . 8

I.2.2 Propriété algébrique de la fonction ln . . . 8

I.2.3 Introduction de la fonction exp . . . 9

II Intégration 11 II.1 Primitives d’une fonction . . . 11

II.1.1 Introduction . . . 11

II.1.2 Détermination pratique. . . 12

II.1.3 Exercices . . . 13

II.2 Premiers calculs . . . 14

II.2.1 Introduction . . . 14

II.2.2 Intégrale d’une fonction constante . . . 15

II.2.3 Intégrale d’une fonction en escalier . . . 15

II.2.4 Activité. . . 18

II.2.5 Propriétés des intégrales de fonctions en escalier. . . 18

II.3 Intégrale de Riemann . . . 19

II.3.1 Définition . . . 19

II.3.2 Sommes de Riemann . . . 20

II.3.3 Exemple d’intégrale d’une fonction usuelle . . . 23

II.4 Théorème fondamental de l’analyse . . . 24

II.4.1 Problème ouvert . . . 24

II.4.2 Théorème fondamental de l’analyse . . . 25

II.4.3 Exercices . . . 28

II.5 Proptiétés algébriques. . . 28

II.5.1 Relation de Chasles . . . 28

II.5.2 Linéarité. . . 29

II.5.3 Exercices . . . 30

II.6 Propriétés de comparaison . . . 30

II.6.1 Signe de l’intégrale. . . 30 iii

II.6.2 Inégalité de la moyenne. . . 32

II.6.3 Valeur moyenne d’une fonction . . . 34

II.6.4 Exercices . . . 35

II.7 Autres techniques de calcul . . . 35

II.7.1 Intégration par parties . . . 35

II.7.2 Intégration et invariance géométrique . . . 37

II.7.3 Exercices . . . 40

II.7.4 Intégrales généralisées . . . 40

III Géométrie dans l’espace 43 III.1 Rappels . . . 43

III.1.1 Les vecteurs de l’espaces . . . 43

III.1.2 Des droites, des plans et des sphères . . . 45

III.1.3 Exercices . . . 48

III.2 Outils du calcul analytique . . . 48

III.2.1 Repérage . . . 48

III.2.2 Produit scalaire. . . 51

III.2.3 Exercices . . . 56

III.3 Géométrie analytique . . . 57

III.3.1 Équations d’ensembles . . . 57

III.3.2 Distance entre deux ensembles . . . 57

III.3.3 Plans particuliers. . . 62

III.3.4 Exercices . . . 65

III.4 Exercices . . . 66

IV Nombres complexes 67 IV.1 Introduction . . . 67

IV.1.1 Des équations et des ensembles . . . 67

IV.1.2 Activités . . . 68

IV.1.3 Définitions . . . 68

IV.1.4 Calcul dans^C . . . 68

IV.1.5 Exercices . . . 71

IV.2 Propriétés algébriques . . . 72

IV.2.1 Théorème fondamental de l’algèbre . . . 72

IV.2.2 Propriétés du conjugué . . . 73

IV.2.3 Résolution des équations du second degré . . . 74

IV.2.4 Racines carrées d’un nombre complexe . . . 76

IV.2.5 Exercices . . . 78

IV.3 Interprétations géométriques . . . 78

IV.3.1 Affixe, point image, vecteur image. . . 78

IV.3.2 ~u+u~^′,k~u,MM~ ^′ . . . 79

IV.3.3 Écriture complexe de certaines symétries . . . 79

IV.3.4 Coordonnées polaires . . . 80

IV.3.5 Module et arguments . . . 80

IV.4 Propriétés algébriques . . . 82

IV.4.1 Propriétés du conjugué . . . 82

IV.4.2 Propriétés du module et des arguments . . . 82

IV.4.3 Formule de MOIVRE(complément) . . . 83

IV.5 Notation exponentielle . . . 84

IV.5.1 Une équation différentielle . . . 84

Table des matières v

IV.5.2 Définitions et propriétés . . . 84

IV.5.3 Forme exponentielle et symétries usuelles . . . 85

IV.5.4 Formules d’EULER . . . 85

IV.5.5 Racines carrées d’un nombre complexe . . . 85

IV.6 Nombres complexes et polynômes (compléments). . . 86

IV.6.1 Théorème fondamental de l’algèbre . . . 86

IV.6.2 Résolution des équations du second degré . . . 87

IV.7 Utilisation des nombres complexes (compléments) . . . 89

IV.7.1 Racinesn-ièmes de l’unité . . . 89

IV.7.2 Racinesn-ièmes d’un nombre complexe non nul. . . 89

IV.7.3 Polynômes . . . 90

IV.7.4 Forme algébrique des racines carrées d’un nombre complexe . . . 93

IV.7.5 Trigonométrie . . . 94

IV.8 Géométrie et nombres complexes. . . 96

IV.8.1 Propriétés générales . . . 96

IV.8.2 Écriture complexe de quelques transformations usuelles . . . 96

IV.8.3 Affixe du barycentre d’un système de points pondérés. . . 97

IV.9 Exercices . . . 98

V Calcul des probabilités 101 V.1 Calculs de probabilités . . . 101

V.1.1 Vocabulaire des événements . . . 101

V.1.2 Probabilité d’un événement . . . 102

V.1.3 Probabilités conditionnelles . . . 107

V.2 Variables aléatoires discrètes . . . 111

V.2.1 Introduction . . . 111

V.2.2 Fonction de répartition d’une variable aléatoire . . . 111

V.2.3 Caractéristiques d’une variable aléatoire . . . 112

V.2.4 Variables aléatoires indépendantes . . . 115

V.3 Lois de probabilités discrètes . . . 118

V.3.1 Loi discrète uniforme . . . 118

V.3.2 Loi binomiale . . . 119

V.3.3 Loi de Poisson . . . 121

V.4 Variables aléatoires continues . . . 124

V.4.1 Généralités sur lois de probabilités continues . . . 124

V.5 Lois de probabilités continues . . . 127

V.5.1 Loi uniforme . . . 127

Index 129

Chapitre I

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

Ce chapitre traite de fonctions numériques d’une variable réelle ; c’est-à-dire de fonctions qui à un nombre réel associe un nombre réel.

I.1 Applications

I.1.1 Expression analytique de la symétrie par rapport à la première bissec- trice

On suppose ici que le repère (O;~ı,~) est orthonormé.∆désigne la droite d’équation :y=x.∆ est l’une des bissectrices des axes Ox et Oy. On dit que c’est la première bissectrice. La seconde bissectrice à pour équation :y=x.

FIGURE I.1 – Symétrie par rapport à la première bissectrice.

×

×

~ı

~

O

M(x,y)

M^′(x^′,y^′) P^′(0,x)

Q(0,y)

P(x,0) Q^′(y,0)

Désignons pars∆la symétrie d’axe∆.s∆transforme Oxen Oyet Oyen Ox. Désignons par P et Q les projetés othogonaux respectifs de M sur Oxet Oy, ils ont respectivement pour coordonnées (x,0) et (0,y). Le quadrilatère OPMQ a trois angles droits (en O, P et Q), c’est donc un rectangle. s_∆est une isométrie elle conserve donc les distances et l’orthogonalité. En particulier elle transformera le rectangle OPMQ en un rectangle OP^′M^′Q^′. P est sur Oxdonc P^′ est sur Oy, de plus OP^′=OP, donc P^′a pour coordonnées (0,x). De même Q^′a pour coordonnées (y,0). P^′et Q^′sont les projetés orthogonaux de M^′sur les axes de coordonnées, on en déduit l’expression analytique des∆:

½ x^′=y y^′=x .

I.1.2 Introduction

Sur les schémas sagittaux de la tableI.1figurent des relations entre un ensemble de départ,

D

_,

et un ensemble d’arrivée,

A

_.

1

TABLEI.1 – Relations entre deux ensembles.

D

a ^b b ^b c ^b

A

1

b

2

b

3

b

4

b

f₁

D

a ^b b ^b c ^b

A

1

b

2

b

3

b

4

b

f₂

D

a ^b b ^b c ^b d ^b

A

1

b

2

b

3

b

f₃

D

a ^b b ^b c ^b

A

1

b

2

b

3

b

4

b

f₄

D

a ^b b ^b c ^b d ^b

A

1

b

2

b

3

b

4

b

f₅

Une relationunivoqueest une relation dans laquelle tout élément de l’ensemble de départ à une image et une seule dans l’ensemble d’arrivée :

– f₁n’est pas univoque car c n’a pas d’image ; – f₂n’est pas univoque car c a plusieurs images ; – f₃, f₄, f₅sont univoques.

Une relationbiunivoqueest une relation univoque dans laquelle tout élément de l’ensemble d’ar- rivée à un antécédent et un seul dans l’ensemble de départ :

– f₃n’est pas biunivoque car 3 a plusieurs antécédents ; – f₄n’est pas univoque car 4 n’a pas d’antécédent ; – f₅est biunivoque ;

– f₂n’est pas biunivoque car elle n’est pas univoque.

DÉFINITIONSI.1.1

(1) Une application est une relation univoque entre un ensemble de départ et un ensemble d’arrivée.

(2) Une bijection est une relation biunivoque entre un ensemble de départ et un ensemble d’arrivée.

Notations et vocabulaire

1. Pour définir une application f de

D

_vers

A

, on peut écrire : f :

D

_−→

A

x7−→f(x) .

Par exemple, l’application , f, de [1;2] vers^Rdéfinie par, f(x)=2x−3, pourra être notée : f : [1 ;2]−→ ^R

x 7−→2x−3 .

2. Le graphe d’une relation est l’ensemble des couples de

D × ^A

dont les éléments sont en rela- tion. Par exemple, le graphe de f₁est :©

(a;1);(b;1)ª .

Plus généralement, le graphe d’une application,f, est l’ensemble :©

(x;y)∈

D × ^A

^{¯¯y=f(x)ª.}

I.1. Applications 3 Par exemple, le graphe de f₁est :©

(a;2);(b;1);(c;3);(d;3)ª

3. Lorsqu’une application,f, est une bijection, on dit aussi que. f est bijective.

4. Si f est bijective et siyest un élément de

A

, l’antécédent deyparf est noté f⁻¹(y).

On a alors : ∀(x;y)∈

D × ^A

^{, y=f(x) ⇐⇒ x=f−1(y).}

5. On définit ainsi la bijection réciproque def, notéef⁻¹, qui est une bijection de

A

_vers

D

_.

6. Pour tout ensemble,

E

, l’application identique de

E

, notée IdE, est l’application qui a tout élé- ment de

E

associe lui-même

D’après les définitionsI.1.1une application est déterminée par son ensemble de départ, son en- semble d’arrivée et son graphe ; on en déduit le théorème suivant.

THÉORÈMEI.1.1

Deux applications sont égales si, et seulement si : – elles ont le même ensemble de départ ;

– elles ont le même ensemble d’arrivée ;

– chaque élément de l’ensemble de départ a la même image par les deux applications.

Remarque Sif est une application d’un ensemble

E

vers un ensemble

F

_etg est une application de

F

vers un ensemble

G

_{, alorsg◦f} est une application de

E

_vers

G

THÉORÈMEI.1.2

Soitf une application d’un ensemble

D

dans un ensemble

A

_.

(1) Si f est bijective, alors : f⁻¹◦f =IdDet f ◦f⁻¹=IdA.

(2) S’il existe une applicationg de

A

_vers

D

_{telle que, f ◦g =IdAetg◦f =}IdD, alors : f est bijective et sa bijection réciproque estg.

Démonstration (1) Les applicationsf ◦f⁻¹et IdAont le même ensemble de départ et d’arrivée,A_.

Il ne reste qu’à démontrer que chaque élément de l’ensemble de départ a la même image par les deux applications.

Soitxun élément deDdésignons paryson image parf, on a donc :x=f⁻¹(y).

Ainsi :¡ f⁻¹◦f¢

(x)=f⁻¹¡ f(x)¢

=f⁻¹¡ y¢

=x=IdD(x). Donc :f⁻¹◦f =IdD.

Les applicationsf ◦f⁻¹et IdAont le même ensemble de départ et d’arrivée,A_.

Soityun élément deAdésignons parxson antécédent parf, on a donc :y=f(x) etx=f⁻¹(y).

Ainsi :¡ f ◦f⁻¹¢

(y)=f ¡ f⁻¹(y)¢

=f(x)=y=IdA(y). Donc :f◦f⁻¹=IdA.

(2) Pour démontrer quef est bijective, il suffit de montrer que tout élément deAa un unique antécédent parf. existence Tout élément,y, deAa pour antécédent :g(y). En effet :f(g(y))=f◦g(y)=IdA(y)=y.

unicité Soitxetx^′deux antécédents d’un élément,y, deA. Démontrons que :x=x^′. On a :x=IdD(x)=g◦f(x)=g(f(x))=g(y)=g(f(x^′))=g◦f(x^′)=IdD(x^′)=x^′

Démontrons quegest la bijection réciproque def. Les applicationgetf⁻¹ont le même ensemble de départ,A_{, et}

le même ensemble d’arrivée,D_{. Soity∈}A_{. Posons :x=f}⁻¹(y). On a :f⁻¹(y)=x=IdD(x)=g◦f(x)=g(f(x))=g(y).

Donc :f⁻¹=g.ä

L

L

Pour démontrer l’unicité d’un objet vérifiant une propriété, il suffit de considérer deux objets vérifiant la propriété et de démontrer qu’ils sont identiques.

I.1.3 Image, image réciproque d’un ensemble

Soit D un sous-ensemble de

D

. L’image de D par une application,f, est l’ensemble des images des éléments de D. Cet ensemble est noté : f(D).

f(D)=©

f(x)¯¯x∈Dª Exemple En reprenant les applications de tableI.1, il vient : f₃¡©

b;cª¢

=© 1 ;3ª

Soit A un sous-ensemble de

A

. L’image de réciproque de A par une application, f, est l’ensemble

des antécédents des éléments de A. Cet ensemble est noté :f⁻¹(A).

f⁻¹(A)=©

x∈

D

^¯¯f(x)∈Aª Exemple En reprenant les applications de la tableI.1, il vient :f₃⁻¹¡©

1 ;3ª¢

=©

b;c;dª

Remarque D’après les deux exemples précédents, lorsque f n’est pas bijective, les ensembles D et f⁻¹(f(D))ne sont pas forcément égaux.

I.1.4 Cas ou les ensembles de départ et d’arrivée sont des intervalles

Dans ce paragraphe I et J désignent deux intervalles de^R,f désigne une application de I vers J et

C

_f désigne la représentation graphique def. Le graphe def est donc l’ensemble des coordon- nées des points de

C

_f.

Dans l’hypothèse ou f est bijective, désignons par

C

f⁻¹ la représentation graphique def⁻¹. Pour tout point M(a;b) on désigne par M^′le symétrique de M par rapport à la première bissectrice. M^′ est donc, d’aprèsI.1.1, le point de coordonnées (b;a). On a :

M∈

C

_{f ⇐⇒ b=f(a) ⇐⇒ a=f}⁻¹_{(b) ⇐⇒ M}^′_∈

C

_f−1.

On en déduit que les courbes

C

_{f et}

C

f⁻¹sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

Nous admettons le théorème suivant.

THÉORÈMEI.1.3

Une fonction, f, continue et strictement monotone sur un intervalle, I, réalise une bijection de I sur f(I) ; la bijection et sa réciproque ont le même sens de variation et leurs représentations graphiques sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

Exemple L’application cos de^Rvers^Rn’est pas bijective car le nombre 1 a plusieurs antécédents (tous les multiples de 2π). Cependant, si on restreint cos à l’intervalle [0;π], on a le tableau de variation suivant.

x 0 π

1 cos(x)

−1

Ce tableau signifie que la fonction cos est continue et strictement décroissante sur [0;π], d’après le théorèmeI.1.3, l’application, f : [0 ;π]−→[−1 ;1]

x 7−→cos(x)

est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction Arc cosinus, notée Arccos, c’est une bijec- tion de [−1 ;1]dans [0;π]. Sa courbe représentative se déduit de celle de la fonction cosinus par la réflexion d’axe∆.

Exercice I.1.1. On considère l’application :

f : ^R\ {−1} −→ ^R\ {2}

x 7−→ 2x

x+1 .

1. Vérifier que l’applicationf est bien définie.

2. Démontrer quef est bijective et déterminer sa réciproque.

I.1. Applications 5

FIGURE I.2 – Représentations graphiques de fonctions cosinus et Arc cosinus.

~ı

~

O

C

_Arccos

C

_cos

π

π

Solution 1.Pour vérifier quef est bien définie, il suffit de vérifier que :∀x∈^R\{−1}f(x)∈^R\{2} ; c’est-à-dire que l’équation : f(x)=2; n’a pas de solution dans^R\ {−1}. Résolvons cette équation dans cet ensemble.

f(x)=2 ⇐⇒ 2x x+1=2

⇐⇒ 2x=2x+2 carx,₋₁

⇐⇒ 0=2

L’applicationf est bien définie.

2.Soitx∈^R\ {−1} ety∈^R\ {2}. On a :

y=f(x) ⇐⇒ 2x x+1=y

⇐⇒ 2x=y x+y carx,₋₁

⇐⇒ x(2−y)=y

⇐⇒ x= y

2−y cary,₂ On en déduit queya un antécédent unique : y

2−y.

f est bijective et sa réciproque est f⁻¹: ^R\ {2} −→ ^R\ {−1}

x 7−→ x

−x+2 .

I.1.5 Dérivée de la réciproque

LEMMEI.1.4

Si f est une fonction affine dont le coefficient de degré 1,m, est non nul ; alors f est une bijection de^Rsur lui même et sa réciproque, f⁻¹, est une fonction affine dont le coefficient de degré 1 est

1 m.

Démonstrationsoitf :x7→mx+pune fonction affine, avecm,0. Pour tous nombres réelsxety, on a : y=mx+p ⇐⇒ x= 1

my− p m.

On en déduit quef est une bijection de^Rsur lui même et que sa réciproque,f⁻¹, est défini par :f⁻¹(x)= 1 mx− p

m; ce qui démontre le théorème.ä

THÉORÈMEI.1.5

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et dont la dérivée est de signe constant et ne s’annule pas sur I, alors f réalise une bijection de I sur f(I) dont la réciproque est dérivable sur

f(I) et vérifie pour tout,x∈f(I) :¡ f⁻¹¢_′

(x)= 1

f^′¡

f⁻¹(x)¢.

Démonstrationf est dérivable sur I et sa dérivée est de signe constant et ne s’annule pas sur I, doncf est continue et strictement monotone sur I, d’après la théorème I.1.3,f réalise une bijection de I surf(I). Soitbun élément def⁻¹(I) etason image parf⁻¹. On a donc :a=f⁻¹(b) etb=f(a). Ainsi,C_f passe par le point A(a,b),C_f−1passe par le point B(b,a) et A et B sont symétriques par rapport à∆.C_f présente en A une tangente de coefficient directeur,f^′(a) et la symétrie conserve le contact, donc d’après le lemme I.1.4,C_f−1présente en B une tangente de coefficient directeur :

1

f^′(a). On en déduit quef⁻¹est dérivable enbet que,¡

f⁻¹¢′(b)= 1

f^′(a)= 1 f^′¡

f⁻¹(b)¢.ä

Remarques

(1) La formule de dérivation est très simple à retrouver, en effet pour tout élément,x, de f(I), on a : f ¡

f⁻¹(x)¢

=x. En dérivant membre à membre cette inégalité par rapport à x, il vient :

¡f⁻¹¢_′

(x)·f^′¡

f⁻¹(x)¢

=1. On en déduit que :¡ f⁻¹¢_′

(x)= 1

f^′¡

f⁻¹(x)¢. (2) Cette formule peut également s’écrire :¡

f⁻¹¢_′

= 1 f^′◦f⁻¹

Exercice I.1.2. Étudier la dérivabilité de Arccos.

Solution La courbe de cos présente en 0 etπdes tangentes horizontales, donc celle de Arccos présente en−1et en 1des demi-tangentes verticales, on en déduit que Arccos n’est dérivable ni en−1ni en 1. La dérivée de cos est strictement négative sur ]0;π[dont l’image par cos est ]−1 ;1[, donc Arccos est dérivable sur ]−1 ;1[et en appliquant la formule,¡

f⁻¹¢_′

= 1

f^′◦f⁻¹, on a pour tout x∈]−1 ;1[:

Arccos^′(x)= 1

−sin(Arccosx)

Or, Arccosx∈]0 ;π[, donc, sin(Arccosx)>0, donc, sin(Arccosx)= p

1 cos²(Arccosx)= p 1−x². La dérivée de Arccos est définie sur ]−1 ;1[par :

Arccos^′(x)= 1

−p 1−x²

I.1. Applications 7

I.1.6 Exercices

I.1.a. Déterminer la bijection réciproque de,f : x7→3x+2 de^Rdans^R.

I.1.b. Démontrer que, f :x7→ −5x+4, est une bijection de ^R dans ^R et déterminer sa réci- proque.

I.1.c. Démontrer que, f :x7→ −5x+4

2x−1 , est une bijection de son ensemble de définition sur son image, et déterminer sa réciproque.

I.1.d. On considère l’application : f : ^R\ {−2} −→ ^R\ {3}

x 7−→ 3x+4 x+2

.

1. Vérifier que f est bien définie.

2. Démontrer que f est bijective et déterminer sa réciproque.

I.1.e. On considère l’application, f :x7→x², de

Rvers^R+. Est-elle bijective ? justifier.

I.1.f. On considère l’application, f : x 7→ −x², de^R+vers^R−. Démontrer quef est bijective et déterminer sa réciproque.

I.1.g. 1. Démontrer que la fonction sinus réa- lise une bijection deh

−π 2;π

2

idans un intervalle qu’il conviendra de préciser. La bijection réci- proque est appelée Arc sinus et notée Arcsin.

2. Dresser le tableau de variation de Arcsin, puis tracer sur un même graphique les représenta- tions graphiques de sin et Arcsin.

3. Après avoir préciser l’ensemble de dérivabi- lité de Arcsin, déterminer sa dérivée.

I.1.h.⋆On considère la fonction, f :x7→x+p

x²+1.

1. Vérifier que pour tout réel,x: f(x)>0.

2. Démontrer que f est solution de l’équation différentielle :y^′= y

px²+1.

3. Démontrer que f est réalise une bijection de

Rsur un ensemble qu’il conviendra de préciser

et déterminer sa réciproque.

I.1.i.⋆1. On considère la fonction, f :x7→x−1

x.

Démontrer que f réalise une bijection de ^R+₀ sur un ensemble qu’il conviendra de préciser et déterminer sa réciproque.

I.1.j. ⋆ f est une bijection strictement crois- sante de^Rdans un intervalle I.

Déterminer le sens de variation def⁻¹.

I.1.k.⋆ f est une bijection strictement décrois- sante de^Rdans un intervalle I.

Déterminer le sens de variation def⁻¹.

I.1.l.⋆ f est une application d’un ensemble

D

vers un ensemble

A

_etg est une application de

A

_vers

D

telle que : f ◦g=IdA.

f etg sont-elles deux bijections réciproques ? il conviendra de justifier la réponse par une dé- monstration ou par un contre-exemple.

I.1.m.⋆ f est une application d’un ensemble

D

vers un ensemble

A

_etg est une application de

A

_vers

D

telle que :g◦f =IdD.

f etg sont-elles deux bijections réciproques ? il conviendra de justifier la réponse par une dé- monstration ou par un contre-exemple.

I.1.n. f est une bijection d’un ensemble

D

_vers

un ensemble

A

_{et g} est une application de

A

vers

D

telle que : f ◦g =IdA. Démontrer queg est la bijection réciproque def.

I.1.o. f est une bijection d’un ensemble

D

_vers

un ensemble

A

_{et g} est une application de

A

vers

D

telle que :g◦f =IdD. Démontrer queg est-elle la bijection réciproque def.

I.1.p. f est une bijection d’un ensemble

E

_vers

un ensemble

F

_{et g} est une bijection de

F

vers un ensemble

G

. Démontrer que g ◦f est une bijection de

E

_dans

G

et déterminer une ex- pression de la bijection réciproque deg ◦f en fonction def⁻¹etg⁻¹.

I.2 Les fonctions ln et exp

I.2.1 Introduction de la fonction ln

La fonctionx7→ 1

x est continue sur^R+₀, elle est donc intégrable sur cet intervalle. On justifie ainsi l’existence de fonction ln définie sur^R+₀ par :

lnx= Z_x

1

dt t . Remarque ln1=

Z1 1

dt t =0.

La fonction ln est ainsi dérivable sur^R+₀ et sa dérivée sur cet intervalle est la fonction, x7→ 1 x. Or cette fonction est strictement positive sur cet intervalle, donc la fonction ln est strictement croissante sur^R+₀.

x 0 1 +∞

lnx 0

Le théorème suivant est une conséquence immédiate du théorème de dérivation des fonctions composées.

THÉORÈMEI.2.1

Pour toute fonction,u, dérivable et strictement positive sur un intervalle, I, la fonction lnu est dérivable sur I et sa dérivée sur I est : u^′

u.

DémonstrationEn effet : (ln◦u)^′=u^′×ln^′◦u=u^′ u ä

I.2.2 Propriété algébrique de la fonction ln

THÉORÈMEI.2.2

Pour tous nombres réels,aetb, strictement positifs, on a : lnab=lna+lnb.

DémonstrationSoitaetbdeux nombres réels strictement positifs. Introduisons la fonction,fa:x7→lnax−lna−lnx.

On a :fa(1)=lna−lna−ln 1=0. De plus, faest dérivable sur^R+₀ et sa dérivée est définie par :f_a^′(x)= a ax−0−1

x=0.

On en déduit que la fonctionfaest constante sur^R+₀et que pour tout élément,x, de cet intervalle : lnax−lna−lnx=fa(x)=fa(1)=0. En particulier pour,x=b, il vient : lnab=lna+lnb.ä

Ce théorème signifie que ln est une fonction logarithme, on l’appellera logarithme népérien ou naturel et sa base sera notée, e. On a donc : lne=1 ; c’est-à-dire :

Z_e

1

dt t =1.

Remarque La fonction ln a donc toutes les propriétés communes des logarithmes, en particulier pour tous nombres strictement positifsx et x^′, tout exposant,b, et toute base, a : ln1

x = −lnx;

I.2. Les fonctions ln et exp 9

lnx^′

x =lnx^′−lnx; lnx^b=blnx; log_ax= lnx lna.

I.2.3 Introduction de la fonction exp

Chapitre II Intégration

II.1 Primitives d’une fonction

II.1.1 Introduction

Les intervalles considérés dans cette partie ne sont jamais réduits à un réel.

DÉFINITIONII.1.1

Soitf une fonction et I un intervalle sur lequel f est définie.

Les primitives de f sur I (s’il en existe) sont les fonctions F définies et dérivables sur I vérifiant pour toutx∈I :

F^′(x)=f(x).

Exemples

1. Considérons la fonctionf :x7→x². Les fonctionsx7→ x³

3 etx7→ x³

3 +7sont deux primitives de f sur^R.

2. La fonction ln est une primitive sur ]0,+∞[de la fonctionx7→ 1 x. Nous admettons le théorème suivant.

THÉORÈMEII.1.1

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

On sait que la dérivée d’une fonction constante définie sur un intervalle est la fonction nulle défi- nie sur cet intervalle. On sait également que si une fonction définie sur un intervalle a une dérivée nulle alors cette fonction est constante. On en déduit le lemme suivant.

LEMMEII.1.2 Soit I un intervalle.

Les primitives sur I de la fonction nulle sont les fonctions constantes définies sur I.

THÉORÈMEII.1.3

Soitf une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.

Les primitives def sur I sont les fonctionsx7→F(x)+k oùkest une constante réelle.

Démonstration Soitk∈^Ret G la fonction définie par : G(x)=F(x)+k. G est la somme de deux fonction dérivables sur I, elle donc dérivable sur I et pour toutx∈I, on a : G^′(x)=F^′(x)+0=f(x) ; donc G est une primitive def sur I.

Réciproquement, soir G une primitive def sur I, démontrons qu’elle ne diffèrent de F que d’une constante.

Pour toutx∈I, on a : (G−F)^′(x)=G^′(x)−F^′(x)=f(x)−f(x)=0 ; donc G−F est une primitive sur I de la fonction nulle, on en déduit que G−F est une fonction constantex7→kdéfinie sur I ; d’où : G=F+k.ä

ExempleLes primitives sur^Rdex7→x²sont les fonctions de la formex7→ x³

3 +k(aveck∈^R).

11

RemarqueOn déduit du théorèmeII.1.3que deux primitives d’une fonction sur un intervalle dif- fèrent d’une constante.

THÉORÈMEII.1.4

Soitf un fonction continue sur un intervalle I,a∈I etb∈^R. Il existe une unique primitive de f sur I prenant la valeurbena.

Démonstration

Existence Soit G une primitive def sur I et F la fonction définie par : F(x)=G(x)−G(a)+b.

F est une primitive def sur I et F(a)=G(a)−G(a)+b=b.

Unicité Soit H une primitive def sur I prenant la valeurbena, démontrons que H=F.

Les fonctions F et H ont le même ensemble de définition : I. De plus ce sont deux primitives sur I def, elle ne diffèrent donc que d’une constante,k. On a :k=H(a)−F(a)=b−b=0 ; donc : H=F.

ä

ExempleL’unique primitive dex7→ 1

x sur ]0,+∞[prenant la valeur 7 en 10 est la fonction x7→

ln(x)−ln(10)+7.

II.1.2 Détermination pratique

En pratique pour déterminer une primitive d’une fonction sur un intervalle, on utilise les ta- bleaux suivants qui sont essentiellement déduits des tableaux du paragraphe??.

fonction primitive Intervalle

x7→k (k∈^R) x7→k x ^R

x7→x x7→ x²

2 ^R

x7→xⁿ avecn∈^Z\ {−1} x7→ xⁿ⁺¹ n+1

]− ∞,0[ ou ]0,+∞[sin< −1

R si n>0 x7→ p

x x7→2

3x³² ]0;+∞[

x7→sinx x7→ −cosx ^R

x7→cosx x7→sinx ^R

x7→1+tan²xoux7→ 1

cos²x x7→tanx i

−π

2+kπ,π 2+kπh

(aveck∈^Z)

x7→e^x x7→e^{x R}

x7→ 1

x x7→ln|x| ]− ∞,0[ ou ]0,+∞[ TABLEII.1 – Primitives des fonctions élémentaires

II.1. Primitives d’une fonction 13

fonction primitive remarque

u+v U+V

ku kU

u^′×uⁿ avecn∈^Z\ {−1} uⁿ⁺¹

n+1 sin< −1 alorsu,_{0 sur I} u^′

pu 2p

u u>0 sur I

u^′

u ln|u| u,_{0 sur I}

u^′e^u e^u

x7→u(ax+b) x7→ 1

aU(ax+b) v^′×(u^′◦v) u◦v

TABLEII.2 – Primitives et opérations sur les fonctions

Exercice II.1.1. Déterminer une primitive sur^R⋆dex7→2x³+3x²+ 5 x³.

SolutionLa fonctionx7→2x³+3x²a pour primitive sur^Rla fonctionx7→ 1

2x⁴+x³et la fonction x7→x⁻³a pour primitive sur^R⋆la fonctionx7→ −2x⁻².

Une primitive sur^R⋆dex7→2x³+3x²+ 5

x³est doncx7→1

2x⁴+x³− 5 2x².

Exercice II.1.2. Déterminer une primitive sur^Rdex7→cos(2πx)+5e^3x.

SolutionUne primitive de cos est sin,x7→cos(2πx)est de la formex7→cos(ax+b)aveca=2π et b =0; doncx 7→ 1

2πsin(2πx)est une primitive sur ^Rde x7→ cos(2πx). De même, x7→ 1 3e^3x une primitive sur^Rdex7→e^3x; donc une des primitives sur^Rde x7→cos(2πx)+5 e^3x estx7→

1

2πsin(2πx)+5 3e^3x.

Exercice II.1.3. Déterminer une primitive sur^Rdef :x7→¡

3x²−2x+3¢¡

x³−2x²+3x+1¢10.

SolutionConsidérons la fonctionu:x7→x³−2x²+3x+1. On a : f =u^′u¹⁰donc la fonction u¹¹ est une primitive sur^Rde f. 11

Une des primitives sur^Rdex7→¡

3x²−4x+3¢¡

x³−2x²+3x+1¢10estx7→ 1 11

¡x³−2x²+3x+1¢11.

Exercice II.1.4. Déterminer une primitive sur^Rdef :x7→ x x²+1.

SolutionConsidérons la fonctionu:x7→x²+1. On a : f =1 2

u^′

u donc la fonction 1

2ln|u|, c’est-à- dire 1

2lnu(car la fonctionuest positive sur^R), est une primitive sur^Rde f. Une des primitives sur^Rdex7→ x

x²+1 estx7→1

2ln(x²+1).

II.1.3 Exercices

II.1.a.Déterminer une primitive sur^Rde x7→3x⁵−πx⁵+p

2x³−2x²+3x−ln2.

II.1.b.Déterminer une primitive sur^Rde x7→xe^−x2.

II.1.c.Déterminer une primitive sur

¸

−2 3,+∞

·

de x7→ 5

3x+2.

II.1.d.Déterminer une primitive sur

¸

−∞,−2 3

·

de x7→ 5

3x+2.

II.1.e.Déterminer une primitive sur^Rde x7→100 cos(2x+3).

II.1.f.Déterminer une primitive sur^Rde x7→50 sin(3x+2).

II.1.g.Déterminer une primitive sur^Rde x7→5x²+3x−1+5

x−13 x²+ 7

x⁴.

II.1.h.Déterminer une primitive sur^Rde x7→5x⁷−2x⁴+8x³−5x²+6x−1

x⁴ .

II.1.i.Déterminer une primitive suri

−π 2,π

2 hde tan.

II.1.j.Déterminer une primitive sur^Rde x7→sinx· cosx.

II.1.k.Déterminer une primitive suri

−π 2,π

2 hde x7→tanx+tan³x.

II.2 Premiers calculs

II.2.1 Introduction

Dans tous ce chapitre le plan est muni d’un repère orthogonal (O;~ı,~).

L’unité d’aire est l’aire du rectangle d’inéquations :

½0ÉxÉ1

0ÉyÉ1. ~ı

~

O

FIGUREII.1 – On se propose d’aborder une théorie qui nous permette

de calculer pour une fonction positive, f, définie sur un intervalle [a,b] l’aire délimitée par la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.

Cette aire sera notée : Z_b

a

f(x) dx.

Z_b

a

f(x) dx se lit « intégrale de a à b de f de x dé x » ou

« somme de a à b de f de x dé x ».

Nous verrons que, Z_b

a

f(x) dx, a un sens même si a>b ou si la fonctionf n’est pas positive sur entreaetb.

~ı

~

O

Z_b

a

f(x) dx

a b

FIGUREII.2 –

À travers l’histoire les calculs d’aires ont longtemps occupés les hommes de sciences. LEIB-

NIZ¹et NEWTONont construits, de façons indépendantes et presque simultanées, une théorie de détermination d’aires et de volumes par le calcul intégral.

La construction rigoureuse du calcul intégral dans le cas des fonctions continues fut établie dans la première moitié duXIX^esiècle par CAUCHY².

Au milieu duXIX^esiècle RIEMANN³ généralisa cette théorie à une classe plus grande de fonc- tions. L’idée de cette théorie consiste à découper la région dont on cherche l’aire en rectangles verticaux et l’aire de la région est alors la limite des sommes des aires des rectangles quand leurs bases tend vers 0. La théorie de l’intégrale actuellement utilisée par les mathématiciens est la théo- rie présentée par LEBESGUE⁴dans la thèse qu’il soutint en. L’exposé de cette théorie requiert généralement un niveau licence. En simplifiant, on peut dire que Lebesgue découpa la région dont on cherche l’aire en tranches horizontales et non verticales, comme l’avait fait Riemann. Là en- core, la théorie de Lebesgue étend celle de Riemann à une classe plus grande de fonctions et la

1. L^EIBNIZGottfried Wilhelm savant Allemand-. 2. CAUCHYLouis Augustin mathématicien Français-. 3. RIEMANNBernhard mathématicien Allemand-. 4. LEBESGUEHenri Léon mathématicien Français-.

II.2. Premiers calculs 15

FIGUREII.3 – Integrale de Riemann.

communauté mathématique considère cette théorie comme satisfaisante.

II.2.2 Intégrale d’une fonction constante

L’intégrale deaàbde la fonctionx7→c, oùa,b,csont des réels tels que :aÉbetcÊ0 ; est l’aire de la région d’inéquations :

½aÉxÉb 0ÉyÉc . Ce nombre est noté :

Z_b

a

c dx. ~ı

~

O a b

c

On a donc : Z_b

a

cdx=c(b−a) (II.1)

Nous étendons la formule (II.1) aux cas oùcest négatif oub<a.

Exemples

1. Calculer les intégrales suivantes, puis les illustrer graphiquement.

Z₇

2 3 dx;

Z₂

7 3 dx;

Z₇

−1−2 dx;

Z₋₁

7 −2 dx.

2. Calculer les intégrales suivantes :

Z₅

2 λdx ;

Z₅

2 dx et

Z_t

1 3 dx.

Remarque La variable d’intégration est muette.

Exemple Calculer : Z₇

2 3 dt.

II.2.3 Intégrale d’une fonction en escalier

Soit [a;b] un intervalle non réduit à un point. Une subdivision,σ, de [a;b] est une suite finie et strictement croissantex₀=a,x₁,··· ,x_n−1,x_n=b. Le pas de cette subdivision est le plus grand des nombresx_i−x_i−1pouri∈ ‚1 ;nƒ

Exemple

• 1; 1,5 ; 2.

• 1; 1,3 ; 1,6 ; 2.

• 1; 1,3 ; 1,5 ; 1,6 ; 2.

sont des subdivisions de [1;2] de pas respectifs : 0,5 ; 0,4 et 0,4.

Tout élément de la première subdivision est élément de la troisième, on dit que la troisième est plus fine que la première.

Plus généralemant siσetσ^′sont deux subdivisions d’un intervalle [a;b] la subdivision que l’on noteraσ∪σ^′, constituée des éléments des deux subdivisions, est une subdivision plus fine queσ etσ^′.

DÉFINITIONII.2.1

Une fonction en escalier sur [a;b],f, est une fonction à laquelle on peut associer une subdivision σde [a;b] telle quef soit une fonction constante sur chaque intervalleouvert]xi−1,xi[.

Remarques

1. Siσ^′est une subdivision de [a;b]plus fine queσ, alorsσ^′peut également être associer à f. 2. En pratique, on introduit les nombresc₁,···,ci,···,cntels que sur chaque intervalle ]xi−1,xi[ la fonction f est constante et vaut :c_i.

Soit f une fonction, positive et en escalier sur [a;b],σest une subdivision de [a;b] associée àf etc₁,···,c_n les nombres tels que pour touti ∈ ‚0 ;n−1ƒ: f =c_i sur [x_i−1;x_i]. L’intégrale de f dea àb sera l’aire de la région

R

délimitée par les droites d’équations : x=a; x=b; l’axe des abscisses et la représentation graphique de f ; c’est-à-dire la région constituée des points dont les coordonnées vérifient le système :

½aÉxÉb 0ÉyÉf(x)

R

est constituée denrectangles. Pouri variant de 1 àn, lei-ème rectangle a pour basex_i−x_i−1 et pour hauteurci il a donc pour aire : (xi−xi−1)ci. On en déduit que :

C

_f

a=x₀ x₁ b=xn

FIGUREII.4 – Intégrale d’une fonction en escalier positive.

Z_b

a

f(x) dx=aire¡

R

^¢₌^Xn

i=1

(xi−x_i−1)ci.

Nous admettons que cette aire est indépendante de la subdivision choisie. Ce qui justifie les défi- nitions suivantes. Si on avait pris une subdivision plus fine (yj)jÉm en notantd_j la valeur de f sur ]y_j1,x_j[, on obtenait :

aire¡

A

^¢₌^Xm

j=1

d_j(xj−x_j−1).

Plus généralement on a la définition suivante.

II.2. Premiers calculs 17 DÉFINITIONSII.2.2

Soitf une fonction en escalier sur [a;b] (f n’est plus nécessairement positive sur [a;b]).

(1) L’intégralede f entreaetbest le nombre noté : Z_b

a

f(x)dx; défini par : Z_b

a

f(x)dx= Xn i=1

(xi−x_i−1)ci

où (xi) est une subdivision de [a;b] associée à f.

(2) Z_a

b

f(x)dx= − Z_b

a

f(x)dx

Remarque Les valeurs desf(x_i)sont sans importance dans le calcul de cette intégrale.

Soitαetβdeux nombres, nous désignerons par max(α;β) le plus grand des deux et par min(α;β) le plus petit. Nous étendons ces définitions au cas des fonctions.

Considérons par exemple sur l’intervalle [−1 ;3] les fonctions f :x7→ 1

2x²etg :x7→ −x+4. Sur

1 2 3 4

−1

1 2

−1

C

_f

C

_g

FIGUREII.5 – min et max de deux fonctions.

[−1 ;2] : g Ê f ; alors que sur [−1 ;2] : f Êg; nous en déduisons que max(f,g) et min(f,g) sont définies par :

max(f,g)(x)=

(g(x) six∈[−1 ;2]

f(x) six∈]2 ;3] min(f,g)(x)=

(f(x) six∈[−1 ;2]

g(x) six∈]2 ;3]

Nous admettons le théorème suivant.

THÉORÈMEII.2.1

Soit f etg deux fonctions en escalier sur un intervalle [a;b] respectivement associées à des sub- divisionsσ_f etσ_g.

Les fonctionsf +g,λf (avecλ∈^R), f×g, max(f,g) et min(f,g) sont des fonctions en escalier sur [a;b] associées à la subdivisionσ_f ∪σ_g