Produit scalaire

III.2.2.a Angle entre deux vecteurs

Le produit scalaire dans l’espace est une extension à l’espace de la notion de produit scalaire dans le plan vue dans la classe précédente. Orienter « le plan » c’est choisir un sens de parcours comme sens positif. En pratique on choisit de canoniquement le sens trigonométrique et on déduit le concept d’angle orienté et de bases directes et indirectes. Dans l’espace le sens trigonométrique dans un plan n’est plus intrinsèque à ce plan, mais dépend également de la position de l’observa-teur par rapport à ce plan. Dans ce chapitre les angles de vecl’observa-teurs sont des angles géométriques.

III.2.2.b Norme d’un vecteur

Soit~u



 a b c



un vecteur et M le point tel que−−→OM =~u. Le projeté orthogonal de M sur le planxOyest le point H(a,b,0). Le projeté orthogonal de M sur l’axe Ozest le point K(0,0,c).

FIGUREIII.4 – Norme d’un vecteur.

Dans le planxOymuni du repère orthonormé (O;~ı,~), le point H a pour coordonnées (a,b), donc : OH=p

a²+b².

Les vecteurs−−→OK et−−→HM ont le même triplet de coordonnées,



 0 0 c



, ils sont donc égaux. Le quadri-latère OHMK est donc un parallélogramme (éventuellement aplati).

De plus, le point H est le projeté orthogonal de M sur le planxOy, le vecteur−−→HM est donc ortho-gonal à tous les vecteurs de l’espacexOy, et en particulier au vecteur−−→OH . On en déduit que le quadrilatère OHMK est un rectangle. En appliquant le théorème de Pythagore, il vient :

OM²=OH²+HM²=a²+b²+c². D’où l’on tire :°°~u°°=OM=p

a²+b²+c². On en déduit le théorème suivant.

THÉORÈMEIII.2.3

Dans l’espace,

E

, muni d’un repère orthonormé.

(1) Pour tout vecteur,~u



 x y z



, on a : °°~u°°= q

x²+y²+z². (2) Pour tous points A¡

x_A,y_A,z_A¢ et B¡

x_B,y_B,z_B¢ , on a : AB=

q

(xB−x_A)²+¡

y_B−y_A¢2

+(zB−z_A)². Exemples

1. Considérons le vecteur~u



 4 7

−4



. On a :°°~u°°= p

4²+7²+(−4)²= p

16+49+16=p 81=9.

Mais on peut aussi utiliser la calculatrice.

norm[4 ,7 ,−4] 9

2. Considérons les points A(1;2;3) et B(2;3;1) introduits dans la calculatrice lors des exemples d’applications du théorèmeIII.2.1.

norm(b−a) 3

III.2.2.c Définition du produit scalaire de deux vecteurs de l’espace

On a vu dans les classes précédentes que pour tous vecteurs~uet~vdu plan, on a :

~u

·

^~v=1 2

¡~u²+~v²−(~u−~v)²¢ . On décide donc de la définition suivante.

III.2. Outils du calcul analytique 53 DÉFINITIONIII.2.1

Le produit scalaire est l’application qui à tout couple de vecteurs, (~u,~v), de

E

associe le nombre réel, noté~u

·

^~v, défini par :

~

u

·

^~v=1 2

¡~u²+~v²−(~u−~v)²¢ .

Remarque Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre et non un vecteur, le produit sca-laire n’est donc pas une opération.

III.2.2.d Expression du produit scalaire dans un repère orthonormé

Soit~u



 x y z



et~v



 x^′ y^′ z^′



deux vecteurs. On aimerait avoir une expression de,~u

·

^~v, en fonction des co-ordonnées de~uet~v.

u:=[x,y,z] [x y z]

v:=£

x^′,y^′,z^′¤ £

x^′ y^′ z^′¤ (norm(u))²+(norm(v))²−(norm(u−v))²

2 x·x^′+y·y^′+z·z^′

On en déduit le théorème suivant.

THÉORÈMEIII.2.4

Dans l’espace,

E

, muni d’un repère orthonormé, pour tous vecteurs~u



 x y z



et~v



 x^′ y^′ z^′



:

~u

·

^~v=x·x^′+y·y^′+z·z^′. On peut calculer un produit scalaire à la calculatrice.

dotP(u,v) x·x^′+y·y^′+z·z^′

Remarque Les coordonnées des vecteurs~uet~v dépendent du repère, mais le résultat du produit scalaire, lui, est indépendant du repère orthonormé choisi.

III.2.2.e Propriétés algébriques du produit scalaire

Le théorème suivant se démontre de la même façon que dans le plan.

THÉORÈMEIII.2.5

Pour tous vecteurs~u,~v,w~ de l’espace et tout nombre réelλ, on a : (1) ~u

·

^(~v+w)~ =~u

·

^~v+~u

·

^w~;

(2) ~u

·

^(λ~v)=λ(~u

·

^{~v) ;}

(3) ~u

·

^~v =~v

·

^~u; on dit que le produit scalaire est symétrique ;

(4) ~u²=0 ⇐⇒ ~u=~0 ; on dit que le produit scalaire est défini ; (5) ~u²Ê0 ; on dit que le produit scalaire est positif.

Remarque On dit que le produit scalaire est une bilinéaire symétrique définie positive sur

l’en-semble des vecteurs de l’espace.

Le théorème suivant se déduit immédiatement du théorèmeIII.2.5. Il étend à l’espace une pro-priété bien connue dans le plan.

THÉORÈMEIII.2.6

Pour tous vecteurs~u,~v de l’espace : (1) (~u+~v)²=~u²+2~u

·

^~v+~v²; (2) (~u−~v)²=~u²−2~u

·

^~v+~v²; (3) (~u+~v)(~u−~v)=~u²−~v²;

DémonstrationCes trois propriétés se démontrent de la même façon, par application du théorème III.2.5 démontrons la première :

(~u+~v)²=(~u+~v)

·

^(~u+~v)=~u

·

^~u+~u

·

^~v+~v

·

^~u+~v

·

^~v=~u²+2~u

·

^~v+~v²ä

COROLLAIREIII.2.7

Pour tous vecteurs~u,~v de l’espace : (1) ~u

·

^~v=1

2

¡~u²+~v²−(~u−~v)²¢

; (2) ~u

·

^~v=1

2

¡(~u+~v)²−~u²−~v²¢

;

DémonstrationCes propriétés sont équivalentes aux propriétés(1)et(2)du théorème III.2.7.ä

III.2.2.f Propriétés géométriques du produit scalaire

Produit scalaire et projection orthogonale

b

A

b

B

bC

b D

b

C^′

b

D^′ THÉORÈMEIII.2.8

Soit A, B deux points d’une droite et C^′, D^′les projetés orthogonaux respectifs de deux points C et D sur cette droite. On a :

−−→AB

·

^−−→CD =−−→AB

·

^{−−−→C′D′.}

DémonstrationLes vecteurs−−→

CC^′ et−−−→

D^′D sont orthogonaux à−−→AB , donc en utilisant la relation de Chasles, il vient :

−−→AB

·

^−−→CD =−−→AB

·

^{³−−→CC′} +−−−→

C^′D^′ +−−−→

D^′D´

=−−→_|AB

·

^{−−→CC′}

{z }

=0

+−−→AB

·

^{−−−→C′D′} +−−→AB_|

·

^{−−−→D′D}

{z }

=0

.ä

Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée

Soit~uun vecteur dont on cherche les coordonnées, (x;y;z) dans une base orthonormée³

~ı,~,~k´ . On a :~u

·

^~i=³

x~ı+y~+z~k´

·

^~ı=x~ı²=x,~u

·

^~=³

x~ı+y~+z~k´

·

^~=y~²=yet

~ u

·

^~k=³

x~ı+y~+z~k´

·

^~k=z~k²=z.

Nous en déduisons le théorème suivant.

III.2. Outils du calcul analytique 55 THÉORÈMEIII.2.9

Les coordonnées d’un vecteur~urelativement a une base orthonormée³

~ı,~,~k´

de l’espace sont :

³

~u

·

^~ı;~u

·

^~;~u

·

^~k´.

Cosinus de l’angle géométrique de deux vecteurs Comme dans le plan, on a le théorème suivant.

THÉORÈMEIII.2.10

Soit~uet~vdeux vecteurs non nuls de l’espace etθl’angle géométrique qu’ils forment. On a :

~

u

·

^~v=°°~u°°×°°~v°°×cos(θ)

Remarque On sait que :|cosθ| É1. On en déduit l’inégalité de Cauchy-Schwatz : Pour tous vec-teurs de l’espace~uet~v, |~u

·

^~v| É°°~u°°×°°~v°°.

Cas particuliers

1. Si~uet~v sont colinéaires et de même sens, alors : cos(~u;~v)=1 ; d’où :~u

·

^~v=°°~u°°×°°~u°°. 2. Si~uet~vsont colinéaires et de sens contraires, alors : cos(~u;~v)= −1 ; d’où :~u

·

^~v= −°°~u°°×°°~u°°. 3. si (~u;~v)=π

2 ou (~u;~v)= −π

2, alors : cos(~u;~v)=0 ; d’où :~u

·

^~v=0.

Les deux premiers cas peuvent être regroupés en un seul. Soit M un point d’une droite (AB) orien-tée de A vers B.

b

A

b

B

b

M

−−→AB

·

^−−→AM =AB×AM=AB×AM

b

A

b

B

b

M

−−→AB

·

^−−→AM = −AB×AM=AB×AM Le dernier cas nous amène à formuler, comme dans le plan, la définition suivante.

DÉFINITIONIII.2.2

Deux vecteurs orthogonaux sont deux vecteurs dont le produit scalaire est nul.

Remarques

1. Nous avons donc pour tous vecteurs~uet~v:

~

u⊥~v ⇐⇒ ~u

·

^~v=0.

2. ~0est orthogonal à tout vecteur.

3. Nous avons donc pour tous vecteurs~uet~v:

~

u⊥~v ⇐⇒ ~u

·

^~v=0

⇐⇒ 1 2

³°°~u°°²+°°~v°°²−°°~u−~v°°²´

=0

⇐⇒ °°~u°°²+°°~v°°²=°°~u−~v°°²

~ u

~v ~u−~v

Le théorème de Pythagore et sa réciproque sont ainsi étendus aux vecteurs de l’espace.

Interprétation graphique Soit~uet~v deux vecteurs non nuls de l’espace et A, B, C des points tels que :−−→AC =~uet−−→AC =~v. Introduisons le projeté orthogonal, H, du point C sur la droite (AB).

Reprenons les notations du théorème??et munissons le plan du repère (A;e~₁;e~₂).

Il vient :−−→AB µAB

0

¶

;−−→AC



AC cos³−−→AB −−→AC´ AC sin³−−→AB −−→AC´



et−−→AC

ÃAC cos³−−→AB −−→AC´ 0

! . Les angles³−−→AB −−→AC´

etBAC ont le même cosinus, donc −−→AC a pour coordonnées :¡

AC cosBAC ;0 ¢ . Nous en déduisons que :

−−→AB

·

^−−→AC =AB×AC×cosBAC. S’il n’est pas droit, l’angleBAC est soit aigu soit obtus .

b

A

b

B

b

H

b C

−−→AB

·

^−−→AH =AB×AC×cosBAC=AB×AH=AB×AH

b

A

b

B

b

H

bC

−−→AB

·

^−−→AC =AB×AC×cosBAC= −AB×AH=AB×AH Dans tous les deux cas nous avons :

−−→AB

·

^−−→AC =AB×AC×cosBAC=−−→AB

·

^−−→AH =AB×AH.

Nous en déduisons le théorème suivant.

THÉORÈMEIII.2.11

Soit A, B, C trois points tels que B et C soient distincts de A et H le projeté orthogonal de C sur la doite (AB).

−−→AB

·

^−−→AC =AB×AC×cosBAC=−−→AB

·

^−−→AH =AB×AH.

Remarques

1. BACest aigusi, et seulement si,−−→AB

·

^−−→AC >0.

2. BACest obtus si, et seulement si,−−→AB

·

^−−→AC <0.

III.2.3 Exercices

III.2.a.Dans un repère orthonormé, placer les points A(4 ;−2 ;3), B(−2 ;1 ;−3) et C(2 ;−1 ;1),

puis démontrer qu’ils sont alignés.

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