III.3 Géométrie analytique
III.3.3 Plans particuliers
t=161
27 andk=136 28 h1 :=a+u.161
27
·133 27 ,35
9 ,161 27
¸
h2 :=b+v.136 27
·46 9 ,110
27 ,136 27
¸
III.3.3 Plans particuliers
III.3.3.a Plan médiateur d’un segment
Le plan médiateur d’un segment est à l’espace ce que la droite médiatrice d’un segment est au plan.
THÉORÈMEIII.3.5
Soit A et B deux points distincts de l’espace.
L’ensemble des points équidistants de A et de B est le plan perpendiculaire à la droite (AB) issu du milieu, I, du segment [AB].
DémonstrationSoit P le plan perpendiculaire à la droite (AB) issu du milieu, I, du segment [AB]. P est donc l’ensemble des points M de l’espace vérifiant :−−→IM ⊥−−→AB . Désignons par E l’ensemble des points équidistants de A et de B. Il suffit de démontrer que les ensemble E et P sont confondus. Pour démontrer l’égalité de ces deux ensembles, nous allons établir leur double inclusion. Les distances sont positives, on en déduit que deux distances sont égales si, et seulement si, elles ont le même carré. Pour tout point, M, de l’espace, on a donc :
M∈E ⇐⇒ AM=BM ⇐⇒ AM2=BM2 ⇐⇒ −−→BM2−−−→AM2=0 ⇐⇒ ³−−→BM−−−→AM´
·
³−−→BM+−−→AM´=0 M∈E ⇐⇒ −−→AB
·
³−→BI+−−→IM+−→AI+−−→IM´=0 ⇐⇒ −−→AB
·
2−−→IM =0 ⇐⇒ −−→IM⊥−−→AB ⇐⇒ M∈P äDÉFINITIONIII.3.1
Soit A et B deux points distincts de l’espace.
L’ensemble des points équidistants de A et de B est appeléle plan médiateur du segment[AB].
Exercice III.3.5. Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur, P, du segment [AB] où A et B sont les points de coordonnées respectives, (1;2;3) et (3;4;−5).
Solution On peut répondre en utilisant la définition ou le théorème.
Solution détaillée Pour tout point M(x;y;z)de l’espace, on a : M∈P⇐⇒AM=BM
⇐⇒AM2=BM2
⇐⇒(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=(x−3)2+(y−4)2+(z+5)2
⇐⇒x2−2x+1+y2−4y+4+z2−6z+9=x2−6x+9+y2−8y+16+z2+10z+25
⇐⇒4x+4y−16z=36
⇐⇒x+y−4z=9
P≡x+y−4z=9. Solution rapide
III.3. Géométrie analytique 63
Pest le plan de vecteur normal,−−→AB, issu du milieu, I, du segment [AB]. On a :−−→AB
2 2
−8
et I(2;3;−1).
Donc :
P≡x+y−4z=9 .
III.3.3.b Plans bissecteurs de deux plans sécants
Les plans bissecteurs de deux plans sécants sont à l’espace ce que les droites bissectrices de deux droites sécantes sont au plan.
THÉORÈMEIII.3.6
Soit P et P′deux plans sécants de l’espace.
L’ensemble des points équidistants de P et de P′est l’union de deux plans perpendiculaires.
DémonstrationSoit A un de la droite d’intersection de P et de P′et~n,n~′deux vecteurs normaux unitaires respectifs.
Désignons par E l’ensemble des points équidistants de P et de P′. Pour tout points M de l’espace : M∈E⇐⇒d(M,P)=d¡
M,P′¢
⇐⇒d2(M,P)=d2¡ M,P′¢
⇐⇒³−−→AM
·
~n´2=³−−→AM·
n~′´2⇐⇒³−−→AM·
~n´2−³−−→AM·
n~′´2=0M∈E⇐⇒³−−→AM
·
~n−−−→AM·
n~′´³−−→AM·
~n+−−→AM·
~n′´=0⇐⇒³−−→AM·
³~n−n~′´´³−−→AM·
³~n+n~′´´=0
M∈E⇐⇒−−→AM ⊥~n−n~′ ou −−→AM ⊥~n+~n′
Introduisons les plansΠetΠ′issus de A et de vecteurs normaux respectifs,~n−n~′, et,⊥~n+~n′. On a alors :
M∈E ⇐⇒ M∈Π ou M∈Π′ ⇐⇒ M∈Π∪Π′.
Donc : E=Π∪Π′.
Il ne reste plus qu’à vérifier que les plansΠetΠ′sont perpendiculaires, pour cela il suffit de vérifier que leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
³
~n−n~′´
·
³~n+~n′´=~n2−~n′2=1−1=0.
Donc :³
~n−n~′´
⊥³
~n+n~′´ .ä
Exercice III.3.6. On considère les plans : P≡2x−2y+z=5et P′≡3x+6y+2z= −1.
1. Justifier que les plans P et P′sont sécants.
2. Déterminer les plans bissecteurs de des plans P et P′.
Solution 1. Les plans P et P′sont sécants si, et seulement si, leur vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Les plans P et P′ont respectivement pour vecteurs normaux :~n
2
−2 1
etn~′
3 6 2
. Le
vecteur,~n∧n~′a pour abscisse :
¯¯
¯¯−2 6 1 2
¯¯
¯¯= −10. Donc :~n∧n~′,~0.
Les plans P et P′sont sécants.
2. SoitΠetΠ′les plans bissecteurs des plans P et P′. Pour tout point M(x;y;z)de l’espace, on a : M∈Π∪Π′⇐⇒d(M;P)=d¡
M ;P′¢
⇐⇒
¯¯2x−2y+z−5¯¯ p22+(−2)2+12=
¯¯3x+6y+2z+1¯¯ p32+62+22
⇐⇒
¡2x−2y+z−5¢2
32 =
¡3x+6y+2z+1¢2
72
⇐⇒¡
14x−14y+7z−35¢2
=¡
9x+18y+6z+3¢2
⇐⇒¡
14x−14y+7z−35¢2
−¡
9x+18y+6z+3¢2
=0
⇐⇒¡
5x−32y+z−38¢¡
23x+4y+13z−32¢
=0
⇐⇒5x−32y+z−38=0 ou 23x+4y+13z−32=0.
Les plans bissecteurs des plans P et P′sont :
Π≡5x−32y+z−38=0 et Π′≡23x+4y+13z−32=0. On peut aussi traiter la question en utilisant la calculatrice.
Les points A(2;0;1) et A′(−1 ;0 ;1)sont respectivement des points de P et P′. Pour tout point M(x;y;z) de l’espace, on a :
M∈Π∪Π′⇐⇒d(M;P)=d¡ M ;P′¢
⇐⇒d(M;P)2=d¡
M ;P′¢2
⇐⇒
³−−→AM
·
~n´2°°~n°°2 =
³−−−→
A′M
·
n~′´2°°~n′°°2
⇐⇒°°~n°°2³−−−→
A′M
·
~n′´2−°°~n′°°2³−−→AM·
~n´2=0.m:=[x,y,z] [x,y,z]
a1 :=[2,0,1] [2,0,1]
a2 :=[−1,0,1] [−1,0,1]
n1 :=[2,−2,1] [2,−2,1]
n2 :=[3,6,2] [3,6,2]
factor¡
norm(n1)2.dotP(m−a2,n2)2−norm(n2)2.dotP(m−a1,n1)2¢
−(5x−32y+z−38)(23x+4y+13z−32) Les plans bissecteurs des plans P et P′sont :
Π≡5x−32y+z−38=0 et Π′≡23x+4y+13z−32=0.
III.3.3.c Plan médian de deux plans parallèles
Lorsque deux plans P et P′sont parallèles, on devine qu’entre les deux il existe un troisième plan,Πtel que les plans P et P′soient symétriques l’un de l’autre par rapport àΠ. Le planΠest appeléplan de symétriedes plans P et P′ou parfoisplan médiandes plans P et P′.
THÉORÈMEIII.3.7
Soit P et P′deux plans strictement parallèles.
L’ensemble des points équidistants de P et de P′est un plan parallèle aux plans P et P′.
III.3. Géométrie analytique 65
DémonstrationSoit~n
a b c
un vecteur normal commun aux deux plans. Il existe deux nombres réelsdetd′tels que :
P≡ax+by+cz+d=0 et P′≡ax+by+cz+d′=0.
Dans la dernière égalité, les quantités dans les valeurs absolues sont a priori égales ou opposées, cependant leur différence,d′−d, n’est pas nulle ; on en déduit qu’elles sont opposées.
M∈Π ⇐⇒ (ax+by+cz+d)+(ax+by+cz+d′)=0
Les plans P, P′, etΠsont parallèles car ils ont tous trois le vecteur,~ncomme vecteur normal.ä
Exercice III.3.7. Déterminer le plan de symétrie des plans : P≡2x+4y−6z+3=0et P′≡x+2y−3z+5=0.
Tous les points de Π sont équidistants de P et de P′ donc le plan Πest inclus dans le plan de symétrie des plans P et P′.
Le plan de symétrie des plans P et P′est :Π≡x+2y−3z+13 4 =0.
III.3.4 Exercices
III.3.a. Dans chacun des cas suivants, détermi-ner une équation cartésienne du plan média-teur de [AB].
a. A(4 ;5 ;7) et B(2 ;3 ;9).
b. A(3 ;5 ;7) et B(7 ;−3 ;9).
c. A(1 ;2 ;3) et B(4 ;9 ;8).
III.3.b. Dans chacun des cas suivants, après avoir vérifier que les plans P1et P2sont sécants, déterminer une équation cartésienne du plan bissecteur des plans P1et P2.
a. P1≡2x−2y+z−1=0 et P2≡z=3.
b. P1≡2x−y+2z+3=0 et P2≡x+2y−2z+7=0.
c. P1≡7x−4=0 et P2≡2x+3y+6z−8=0.
d. P1≡3x+4y+5z+6=0 et P2≡5x−5z=0.
e. P1≡2x+3y+6z−11=0 et P2≡x+2y−2z−1=0.
III.3.c. Dans chacun des cas suivants, après avoir étudier la position relative des plans P1 et P2, calculer la distance entre les plans P1 et P2, puis déterminer une équation cartésienne
du plan de symétrie des plans P1et P2. a. P1≡3x+4y+12z+ −2=0
et P2≡x 4+y
3+z+2=0.
b. P1≡2x−y+2z+3=0 et P2≡2x−y+2z+27=0.
c. P1≡3x+4y−5z+12=0 et P2≡x
4+y 3− 5
12z+3=0.
d. P1≡9x−12y+8z+3=0 et P2≡3
4x−y+2
3z−4=0.
III.4 Exercices
III.1. On considère les points A(−2 ;5 ;6), B(−4 ;−3 ;4) C(1 ;−4 ;4) et D(8 ;2 ;1).
1. Démontrer que les points A, B, C et D sont non coplanaires, puis calculer le volume du té-traèdre ABCD.
2. Déterminer une équation cartésienne des plans médiateurs des segments [AB], [CD] et [AC].
3. Démontrer que les trois plans médiateurs considérés en2.se coupent en un point qui sera appelé Ω et dont il conviendra de préciser les coordonnées.
4. Démontrer queΩest un point des plans mé-diateur des segments [AD], [BC] et [BD].
5. Que représente le pointΩ pour le tétraèdre ABCD ?
6. On considère l’ensemble,
E
≡x2+y2+z2−2x−2y−2z−47=0.Après avoir préciser la nature et les éléments ca-ractéristiques de