E554 - Faire le buzz [*** à la main]
Des étudiants en nombre k > 2 sont simultanément informés par courrier nominatif de leur classement à une compétition de mathématiques. Ils décident de s'appeler au téléphone pour que tous soient informés de leurs classements respectifs.Quand deux d'entre eux sont en ligne, chacun communique à son homologue son propre classement ainsi que les classements des autres étudiants dont il vient de prendre connaissance lors des précédents appels.
Chaque conversation dure exactement 5 minutes. On désigne par f(k) le temps minimal f(k) à l'issue duquel ils sont tous complètement informés. En supposant que les étudiants ont défini préalablement la manière optimale d'organiser leurs appels,déterminer respectivement f(14), f(15), f(16), f(17) et f(18).
Pour les plus courageux: donner la formule générale exprimant f(k) en fonction de k.Pour quelles valeurs de k a-t-on f(k) > f(k+1)?
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Dans le cas où suite à un classement , deux étudiants ou plus peuvent être affectés du même rang.
La seule chose à connaître est le classement. Les étudiants doivent alors s'informer et transmettre leur toute dernière information
à savoir le dernier classement qu'ils ont sous les yeux.
On suppose que tous habitent dans la même rue. Chaque coup de téléphone dure 5 min . Alors p = 5 = une période.
A) Le nombre d'étudiants est une puissance de 2 ex: k = 4 , k = 8 , k = 16 ...
En prenant k = 16 , 8 étudiants côté impair dans la rue et 8 étudiants côté pair de l'autre côté de la rue.
Durant la première période , les impairs partagent leur info avec leur voisin pair ( 8 appels simultanés) .
A ce moment là les 2 côtés de la rue possèdent chacun toutes les infos.
Durant la seconde période 1 & 3 , 5 & 7 , 9 & 11 , 13 & 15 partagent leurs infos.
On procède de la même façon côté pair ( 8 appels simultanés)
Durant la troisième période 1 & 5 , 3 & 7 , 9 & 13 , 11 & 15 partagent leurs infos . idem du côté pair . ( 8 appels simultanés)
A ce moment là , de caque côté de la rue , 2 groupes de 8 personnes possèdent des infos différentes.
1 , 3 , 5 , 7 & 2 , 4 , 6 , 8 possèdent le classement de 1,2,3...7 , 8
9 , 11 , 13 ,15 & 10 , 12 , 14 ,16 possède le classement de 9 , 10 , 11.... 15 , 16
quatrième et dernière période : les échanges se font entre : 1 & 9 , 3 & 11 , 5 & 13 , 7 & 15 , 2 &
10 , 4 & 12 , 6 & 14 , 8 & 16
et chacun possède le classement complet.
Alors F(16) = 4p = 20 min
En règle générale avec k = 2^n --> F(k) = n.p = 5n F(32) = 25 ; F(64) = 30 ; F(4) = 10 ; F (8) = 15
B) Le nombre d'étudiants est impair .
ex : k = 13 :on place d'un côté de la rue la plus grande puissance de 2 ( ici 8 nombres impairs) . il reste donc 5 pairs de l'autre
côté de la rue.
1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 11 - 13 - 15 2 - 4 - 6 - 8 - 10
Première période : 2 , 4 ,6 , 8 , 10 informent leur voisin respectif 1 , 3 , 5 , 7 , 9 et c'est uniquement le côté impair qui collecte les infos.
5 appels simultanés car 11 , 13 & 15 savent qu'ils doivent attendre 5 min
seconde période : partage d'infos entre 1 & 3 , 5 & 7 , 9 & 11 et 13 & 15 --> 4 appels simultanés .
troisième période : partage d'infos entre 1 & 5 , 3 & 7 , 9 & 13 et 11 & 15 . --> 4 appels simultanés.
quatrième période : partage d'infos entre 1 & 9 , 3 & 11 , 5 & 13 puis 7 & 15 --> 4 appels simultanés. Les impairs sont en possession de la
totalité du classement .
cinquième période : les impairs ayant un voisin pair n'ont plus qu'à renseigner ces derniers ( 5 appels simultanés dans ce cas).
Alors F(13) = F(15) = 5p = 25 min.
ex k = 17 --> 16 N° impairs et 1 N° pair ---> F(17) = F(19) =....= F(31) = 6p = 30 min
C) Le nombre d'étudiant est pair , mais différent de 2^n :
Tout numéro pair échange avec son voisin impair lors de la première période. Et pour N périodes , chaque étudiant passent N coups de fil.
ex: voir diagramme ci-dessous . N = 3 avec k=6 et N = 4 avec k=10 .
d'une période à une autre les informations obtenues sont doublées sauf lors du dernier appel.
Le temps nécessaire serait la même que pour la prochaine puissance de 2 F(6) = F(8) = 3 et F(10) = F(16) = 4
La formule générale pour k pair différent de 2^n :
F(k) = 5min x { 1 + E[ Ln k / Ln 2 ] } où E désigne la partie entière du rapport des 2 logarithmes népériens .
On s'aperçoit que F(k) > F(k+1) pour k = 2^n - 1 . c'est le cas pour F(3) > F(4) , F(7) > F(8) , F(15) > F(16)..
La formule générale pour k = 2^n serait : F(2^n) = np avec p = 5 min
Pour tout k impair:
F(k) = 5min x { 2 + E[ Ln k / Ln 2 ] } où E désigne la partie entière du rapport des 2 logarithmes népériens. ici p = 5
ainsi F(83) = 5 min x ( 2 + 6 ) = 40 min.
Une remarque :
Dans le cas où il est décidé qu'il n'y aura pas d'ex aequo , alors pour les valeurs de k de la forme :
k = 2^n +1 ex: 5 , 9 , 17 , 33 .. etc , un seul étudiant est du côté pair de la rue . Il n'appellera personne et attendra qu'on lui fournisse
le résultat final . En effet , tous les autres en déduiront son classement et le N°1 l'informera du classement final .
Dans ce cas F(17) = 5p = 25
