Montrer que supE1∪E2 = max{supE1,supE2}

Université Lille 1

2011-2012 – Licence de Mathématiques – Semestre 3 Compléments de calcul intégral – M 33

Feuille d’exercices 1 : révision

Exercice 1

Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne in- férieure, le plus grand élément (maximum), le plus petit élément (minimum) des ensembles suivants :

[0,1]∩Q, ]0,1[∩Q, {(−1)ⁿ+ 1

n, n∈N^∗}, {x∈R|x² ≤5}, {x∈[0,1]| ∀n∈N,10ⁿx−E(10ⁿx)> 1

10}. Ici, E(x)désigne la partie entière de x.

Exercice 2

Soient E₁, E₂ des parties non-vides majorées de R. Montrer que supE₁∪E₂ = max{supE₁,supE₂}.

Exercice 3

Soient f, g : [a, b]→R(−∞< a≤b <+∞)deux fonctions majorées. Est-il vrai que sup

x∈[a,b]

(f(x) +g(x)) = sup

x∈[a,b]

f(x) + sup

x∈[a,b]

g(x).

Exercice 4

Soientf : [a, b]→R(−∞< a≤b <+∞)une fonction bornée. On désignera parA,B,C des subdivisions de [a, b]. Montrer que

∀A, S₋(f,A)≤S₊(f,A), et, plus généralement, que

∀A,B, S₋(f,A)≤S₊(f,B),

Exercice 5

On considère sur [0,1] la fonction f définie par f(x) = 0 si x est un nombre rationnel, etf(x) = 1 sinon. Montrer que cette fonction n’est pas Riemann-intégrable.

1

2

Exercice 6

Calculer, pour x≥0, ∫ x

0

exp(t)dt, comme limite de sommes de Riemann.