Universit´e Bordeaux I - IUFM d’Aquitaine Ch. Menini
Pr´eparation au Capes de math´ematiques 2007 Oral 2
Th` eme : Suites
Etude du comportement de suites d´efinies par une relation de r´ecurrence du typeun+1=f(un).
1. L’exercice propos´e au candidat :
On sait tous qu’il y a des ann´ees `a coccinelles et d’autres sans !
On se propose d’´etudier l’´evolution d’une population de coccinelles `a l’aide d’un mod`ele utilisant la fonction num´erique f d´efinie parf(x) =kx(1−x),k´etant un param`etre qui d´epend de l’environnement (k∈R∗+).
Dans le mod`ele choisi, on admet que le nombre de coccinelles reste inf´erieur `a un million. L’effectif des coccinelles, exprim´e en millions d’individus, est approch´e pour l’ann´een par un nombre r´eelun, avecun compris entre 0 et 1.
Par exemple, si pour l’ann´ee z´ero il y a 300000 coccinelles, on prendra u0= 0,3.
On admet que l’´evolution d’une ann´ee sur l’autre ob´eit `a la relation un+1 = f(un), f ´etant la fonction d´efinie ci-dessus.
Le but de l’exercice est d’´etudier le comportement de la suite (un) pour diff´erentes valeurs de la population initiale u0 et du param`etrek.
1) D´emontrer que si la suite (un) converge, alors sa limite l v´erifie la relationf(l) =l.
2) Supposonsu0= 0,4 etk= 1.
a) Etudier le sens de variation de la suite (un).
b) Montrer par r´ecurrence que, pour tout entiern, 0≤un ≤1.
c) La suite (un) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
d) Que peut-on dire de l’´evolution `a long terme de la population de coccinelles avec ces hypoth`eses ? 3) Supposons maintenantu0= 0,3 etk= 1,8.
a) Etudier les variations def sur [0,1] et montrer quef(12)∈[0,12].
b) En utilisant ´eventuellement un raisonnement par r´ecurrence, - montrer que, pour tout entier natureln, 0≤un ≤12; - ´etablir que, pour tout entier natureln,un+1≥un.
c) La suite (un) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
d) Que peut-on dire de l’´evolution `a long terme de la population de coccinelles avec ces hypoth`eses ?
4) A l’aide d’une repr´esentation graphique formuler une conjecture de l’´evolution de la population dans le cas o`u u0= 0,8 etk= 3,2.
2. Le travail demand´e au candidat :
En aucun cas, le candidat ne doit r´ediger sur sa fiche sa solution de l’exercice.
Celle-ci pourra n´eanmoins lui ˆetre demand´ee partiellement ou en totalit´e lors de l’entretien avec le jury.
Pendant sa pr´eparation, le candidat traitera les questions suivantes :
Q.1. D´egager les m´ethodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.
Q.2. Quelles modifications doit-on apporter `a l’´enonc´e de la question 3) si l’on prendu0= 0,45 `a la place deu0= 0,3 ? Q.3. R´epondre `a la question 4) en utilisant la calculatrice.
Q.4. Proposer un questionnement permettant de d´emontrer le r´esultat conjectur´e dans la question 4).
Sur sa fiche, le candidat r´edigera et pr´esentera :
- sa r´eponse `a la question Q.4.
- un ou plusieurs ´enonc´es d’exercices se rapportant au th`eme :“Etude du comportement de suites d´efinies par une relation de r´ecurrence du typeun+1=f(un)”.
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