Terminale S Correction Devoir maison n˚11 2016 - 2017

Terminale S Correction Devoir maison n˚11 2016 - 2017

EXERCICE 1 :

b b

B

1 3

b

S

1 3

b

A

1 3

b

C

1 3

b

D

1 3

b

S

1 3

b

A

1 3

b

C

1 3

b

S

1 3

b

A

1 4

b

B

1 4

b

C

1 4

b

D

1 4

1. La fourmi se trouve en A. On note A 2 , B 2 , C 2 et D 2 les événements conr- respondans au fait d’être aux points considérés en deux pas.

• A 2 = {B ∩ A, D ∩ A, S ∩ A}. Il y a indépendance d’un pas à l’autre car, la fourmi se dirige au hasard et la loi appliquée est l’équiprobabilité.

Ainsi :

P(A 2 ) = P (B ∩ A) + P(D ∩ A) + P (S ∩ A) = 1 3 × 1

3 + 1 3 × 1

3 + 1 3 × 1

4 = 11 36 .

• On montre de même que : P (B 2 ) = 1

12 ; P (C 2 ) = 11

36 et P(D 2 ) = 1 12 2. S n l’événement : « la fourmi est au sommet S après n pas », et p n la pro-

babilité de cet événement. p 1 = 1 3 .

S _n +1 = S _n +1 ∩ S _n , en effet elle ne peut être en S au bout de n + 1 pas si elle y est au bout de n.

p n+1 = P _S

n

(S n+1 )P (S n ) = P A ∪ B ∪ C ∪ D (S n+1 ) × (1 − P (S n )) = 1

3 (1 − p n ) 3. On considère la suite (p _n ) _n> 0 définie par :

p 1 = 1

3 et p n+1 = 1

3 (1 − p n ) (a) On note, pour tout n > 0, R(n) : p _n = 1

4

1 −

− 1 3

n .

• Initialisation : p 1 = 1 3 et 1

4 1 −

− 1 3

1 !

= 1

3 donc R(1) est vraie.

• Hérédité : Soit n > 0. On suppose dque R(n) est vraie, prouvons que R(n + 1) l’est aussi :

R(n) vraie ⇔ p n = 1 4

1 −

− 1 3

n

⇔ 1 − p _n = 1 − 1 4

1 −

− 1 3

n

⇔ 1

3 (1 − p n ) = 1 3 + 1

4 − 1 3 −

1 3

n+1 !

⇔ p n+1 = 1 3 − 1

12 − 1 4

1 3

n+1

⇔ p n+1 = 1 4 1 −

− 1 3

n +1 !

⇒ R(n + 1) vraie

• D’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout entier n > 0, p n = 1

4

1 −

− 1 3

n .

(b) −1 < − 1

3 < 1 donc lim

n →+∞

− 1 3

n

= 0, et par opérations sur les limites, p _n −→

n →+∞

1 4 .

• • •

EXERCICE 2 On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f (x) = ln(x) + xe

x ² sur ]0; +∞[.

Lycée Bertran de Born - Périgueux 1 sur 3

Terminale S Correction Devoir maison n˚11 2016 - 2017

A. Étude d’une fonction auxiliaire :

On considère la fonction g définie sur ]0; +∞[ par

g(x) = −2 ln(x) − xe + 1 1. Calculs de limites :

• lim

x →0 ln(x) = −∞, puis par opérations sur les limites, on trouve

x lim →0 g(x) = +∞

• lim

x →+∞ ln(x) = +∞, puis par opérations sur les limites, on obtient

x →+∞ lim g(x) = −∞

2. g = −2 ln +u où u : x 7→ −xe + 1. ln est dérivable sur I =]0; +∞[, et par conséquent, g est dérivable sur ]0; +∞[ comme somme de fonctions dérivables sur I.

g ^′ = −2(ln ^′ ) + u ^′ ; donc, pour tout x > 0, g ^′ x) = − 2

x − e = −ex − 2

x .

Comme x > 0, g ^′ (x) a le même signe que la fonction affine −ex − 2 et −ex − 2 = 0 ⇔ x = − ² _e et

− ² _e ∈ / I . On obtient donc le tableau de variations suivant : x

Signe de g ^′ (x) Variations de g

0 +∞

−

+∞

+∞

−∞

−∞

0,5

+ α

0 1

−

g est strictement décroissante sur I.

3. g(0, 5) > 0 et g(1) < 0, g est continue et strictement décroissante sur I contenant [0, 5; 1] donc d’après le théorème de la bijection, il existe un unique α appartenant à [0, 5; 1] tel que g(α) = 0.

(Pour 0 < x < 0, 5, g(x) > 0 et pour x > 1, g(x) < 0. Ainsi g ne s’annule en qu’une fois en α sur ]0; +∞[.)

Un encadrement de α à 0,1 près est : 0, 6 < α < 0, 7 (en utilisant la table de valeurs de g à la calculatrice)

4. D’après ce qui précéde :

x Signe de g(x)

0 α +∞

+ 0 −

B. Étude de la fonction f : 1. ∀x > 0, f(x) = 1

x × ln(x) x + e

x . Puis on utilise les limites de référence : lim

x →+∞

1

x = lim

x →+∞

e x =

x →+∞ lim ln(x)

x = 0 d’où la limite nulle de f (x) en +∞ .

x lim →0 x> 0

ln(x) + ex = −∞ donc, lim

x →0 x> 0

f (x) = −∞ . 2. f = u

v avec u : x 7→ ln(x) + ex et v : x 7→ x ² . u et v sont dérivables sur ]0; +∞[ et v ne s’annule pas sur ]0; +∞[ : f est donc dérivable sur ]0; +∞[. u ^′ : x 7→ 1

x + e.

∀x > 0, f ^′ (x) = x ² ( ¹ _x + e) − 2x(ln(x) + ex)

x ⁴ = 1 + ex − 2 ln(x) − 2ex

x ³ ) = g(x)

x ³ . 3. g(α) = 0 ⇔ −2 ln(α) − αe + 1 = 0 ⇔ ln(α) = 1 − αe

2 . Or f (α) = ln(α) + αe

α ² =

1 − αe 2 + αe

α ² =

1 + αe 2α ² .

Lycée Bertran de Born - Périgueux 2 sur 3

Terminale S Correction Devoir maison n˚11 2016 - 2017

4. Comme x ³ > 0 sur ]0; +∞[, f ^′ (x) a le même signe que g(x) (vu à la question A.4). Le tableau de variations de f est donc

x Signe de f ^′ (x) Variations de f

0 α +∞

+ 0 −

−∞

−∞

f (α) f (α)

−∞

−∞

et la courbe C f est :

1 2 3

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

2 O

C f

• • •

Lycée Bertran de Born - Périgueux 3 sur 3