5.16 1) k ! = 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · k = 2 · 3 · 4 · . . . · k < 2 · 2 · 2 · . . . · 2
| {z }
k−1termes
= 2
k−12) Pour tout n ∈ N posons s
n=
n
X
k=1
1 k ! . s
n=
n
X
k=1
1 k ! <
n
X
k=1
1
2
k−1= 1
2
1−1· 1 − (
12)
n1 −
12
= 1
1 · 1 − (
12)
n1 2
= 2 1 − (
12)
n= 2 − (
12)
n−1< 2
La suite ( s
n)
n∈Nest ainsi croissante et majorée par 2.
En d’autres termes, la série X
+∞k=1
1
k ! = lim
n→+∞
n
X
k=1
1
k ! = lim
n→+∞