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2) Pour tout n ∈ N posons s

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Academic year: 2022

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(1)

5.16 1) k ! = 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · k = 2 · 3 · 4 · . . . · k < 2 · 2 · 2 · . . . · 2

| {z }

k−1termes

= 2

k−1

2) Pour tout n ∈ N posons s

n

=

n

X

k=1

1 k ! . s

n

=

n

X

k=1

1 k ! <

n

X

k=1

1

2

k−1

= 1

2

1−1

· 1 − (

12

)

n

1 −

1

2

= 1

1 · 1 − (

12

)

n

1 2

= 2 1 − (

12

)

n

= 2 − (

12

)

n−1

< 2

La suite ( s

n

)

n∈N

est ainsi croissante et majorée par 2.

En d’autres termes, la série X

+∞

k=1

1

k ! = lim

n→+∞

n

X

k=1

1

k ! = lim

n→+∞

s

n

converge et sa somme est majorée par 2.

Analyse : séries Corrigé 5.16

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