Les conseils du jury

(1)

c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/28

Centrale Maths 1 PC 2009 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Juliette Leloup (ENS Ulm) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Le sujet porte sur l’étude des séries factorielles P

n>0

anun(x) où un(x) = n!

x(x+ 1). . .(x+n)

• Dans la première partie on étudie, pour un entier naturel p, le cas particulier de la série

P

n>1

1

n(n+ 1). . .(n+p) en majorant le reste par une intégrale.

• La deuxième partie, nécessitant beaucoup de calculs, porte sur un développe- ment surR^∗₊de la fonctionx7→1/x³, qui permet ensuite un calcul plus rapide de la somme de la série

ζ(3) =

+∞

P

n=1

1 n³

Ces deux parties sont relativement faciles et leur résolution semble attendue pour un bon résultat au concours.

Les trois autres parties sont globalement indépendantes des deux premières.

Elles concernent l’étude de propriétés du développement en série factorielle de certaines fonctions et de leur représentation intégrale.

• La troisième partie permet de montrer que les séries factorielles sont des fonctions de classeC¹sur] 0 ;⁺∞[lorsque la série P

n>0

anun(x)converge absolument surR^∗₊.

• La quatrième donne une représentation intégrale des séries factorielles.

• La cinquième permet de calculer les coefficients du développement en série factorielle de la dérivée d’une série factorielle.

Ces trois parties portent essentiellement sur les séries de fonctions ; leur résolution nécessite les théorèmes de continuité et dérivabilité des séries de fonctions et le théo- rème de convergence dominée ; c’est une bonne occasion de s’entraîner à manipuler ces outils classiques. Ainsi, ce sujet ne présente aucune difficulté majeure, il constitue un bon exercice de rigueur et de précision.

Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.

(2)

Indications

Partie I.

I.A.2 Écrire la fraction rationnelle 1

X(X + 1) comme une différence de deux fractions rationnelles pour calculer la somme de la série proposée.

Partie II.

II.A.1 Raisonner par analyse-synthèse pour établir et construire les trois suites (ap), (bp) et (cp). Étudier les relations vérifiées par les différents éléments de la suite.

II.A.4 Utiliser la formule obtenue à la question II.A.3.

II.B.1 Utiliser la majoration obtenue à la question I.B.

II.B.2 Penser à majorerc4parc4n, pour obtenir une formule plus simple à majorer.

Pour la suite de la question, utiliser la formule de la question II.A.1 au rang p= 4. Dans le calcul de la somme ainsi obtenue, reconnaître les sommesσ(p) de la première partie.

Partie III.

III.A.1 Faire un développement limité à l’ordre2en 1

n du terme général de la suite.

III.A.2 Écrire de deux façons différentes la somme partielle de la série du III.A.1.

III.B Utiliser l’équivalent de la suite(un(x)/vn(x))_n∈Nobtenu à la question III.A.2.

III.C.1 Appliquer le théorème de continuité des séries de fonctions.

III.C.2 Utiliser un théorème d’interversion limite et somme.

III.D Utiliser la question III.B et la condition de convergence des séries de Riemann.

III.E.1 Penser à la comparaison série-intégrale pour majorer la somme Pⁿ

k=1

1 x+k. III.E.2 Appliquer le théorème de dérivation des séries de fonctions en travaillant sur

un segment deR^∗₊.

Partie IV.

IV.A.1 Reconnaître des multiples des polynômes d’interpolation de Lagrange pour lesn+ 1réels 0,−1, . . . ,−n.

IV.A.2 Écrire le polynôme constantR =n!dans la base(Pk)06k6n.

IV.C Appliquer les résultats obtenus aux questions IV.A et IV.B en remarquant queyⁿ= (y−1 + 1)ⁿ.

IV.D.1 Utiliser la caractérisation du rayon de convergence par la formule R = Sup{ρ>0, ∃M>0 ∀n∈N |an|ρⁿ6M}

IV.D.2 Appliquer le théorème d’intégration terme à terme d’une série de fonctions.

(3)

Partie V.

V.A.1 Appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme. Pour la vérification des hypothèses, utiliser les résultats obtenus à la question V.A.1.

V.A.2 Montrer tout d’abord que la fonctionψaest un produit de fonctions dévelop- pables en série entière.

V.B Intervertir les deux signesPdans la majoration de

N

P

n=1

|bn| (n+ 1)^x. V.C Penser à la comparaison série-intégrale.

V.D Décomposer le calcul de l’intégrale sur [ 1 ;p+ 1 ]et sur [p+ 1 ;⁺∞[et majorer la fonctiont7→ 1

(t+p+ 1)^x.

V.G Réécrire le début du développement obtenu à la question II.A.1 comme le début d’un développement en série factorielle.

Les conseils du jury

Le rapport du jury se satisfait de la longueur et de la difficulté du sujet proposé. « Ceux qui connaissaient bien leur cours ont été récompensés car certaines questions étaient des applications directes » tout comme ceux qui ont abordé les questions plus techniques ou plus calculatoires. « Les candidats ne doivent pas négliger » ces questions car elles « permettent de juger leur capacités à appliquer concrètement des techniques qu’ils ont vues. »

Plusieurs lacunes importantes sont souvent relevées dans le rapport du jury. La notion de convergence normale est souvent confondue avec celle de convergence absolue. La règle de D’Alembert est utilisée à tort (il ne s’agit que d’une condition suffisante de convergence), souvent avec « obsession » et « acharnement ». Les questions nécessitant l’utilisation d’un gros théo- rème sont « rarement traitées correctement » : le jury conseille aux candidats de ne « pas hésiter à citer intégralement un théorème qu’ils veulent appliquer, surtout s’ils ne réussissent pas à prouver que toutes les hypothèses sont vérifiées. »

(4)

I. Préliminaires

I.A.1 L’entier naturel non nul pest fixé. Doncp>1. On a alors, pourn∈N^∗, 06u(n, p) = 1

n(n+ 1). . .(n+p) 6 1

n(n+ 1) 6 1 n² La série P

n>1

1

n² est convergente. Donc, d’après le théorème de comparaison pour les séries positives,

Si p>1, la série P

n>1

u(n, p)est convergente.

I.A.2 On cherche ici à calculer la sommeσ(1)de la série convergente P

n>1

u(n,1) = P

n>1

1 n(n+ 1) La fraction rationnelle 1

X(X + 1) s’écrit comme différence de deux fractions simples.

1

X(X + 1) = 1 X− 1

X + 1 Or,σ(1) = lim

n→+∞ n

P

k=1

1

k(k+ 1). Et sin∈N^∗,

n

P

k=1

1 k(k+ 1) =

n

P

k=1

1 k − 1

k+ 1

=

n

P

k=1

1 k−

n+1

P

k=2

1

k = 1− 1 n+ 1

On en déduit σ(1) = 1

I.A.3 Soient p>2 etn∈N^∗,

u(n, p−1)−u(n+ 1, p−1) = 1

n(n+ 1)· · ·(n+p−1)− 1

(n+ 1)· · ·(n+p)

= p

n(n+ 1)· · ·(n+p)

d’où ∀p>2 ∀n∈N^∗ u(n, p−1)−u(n+ 1, p−1) =p u(n, p) I.A.4 La série P

n>1

u(n, p) est convergente de sommeσ(p)pour tout entier p> 1, ce qui permet d’obtenir σ(p) comme limite de la suite des sommes partielles.

Pourp>2, on applique l’égalité obtenue à la question I.A.3 pour calculer les sommes partielles. SoitN>1, il vient

N

P

n=1

[u(n, p−1)−u(n+ 1, p−1)] =p

N

P

n=1

u(n, p) De plus,

N

P

n=1

[u(n, p−1)−u(n+ 1, p−1)] =

N

P

n=1

u(n, p−1)−

N+1

P

n=1

u(n, p−1) +u(1, p−1)

Finalement,

N

P

n=1

u(n, p−1)−

N+1

P

n=1

u(n, p−1) +u(1, p−1) =p

N

P

n=1

u(n, p)