2°) On définit un repère cartésien (0,x,y) sur le schéma d’où :

(1)

MC1 – Mécanique en référentiel galiléen A – Travaux dirigés

MC11 - Palet sur un plan incliné

1°) On étudie le mouvement du palet assimilé à un point M de masse m dans le référentiel terrestre galiléen.

Le palet est entraîné par son poids vertical et dirigé vers le bas 𝑷𝑷��⃗ = 𝒎𝒎𝒈𝒈��⃗. Il subit également la réaction du plan incliné 𝑅𝑅�⃗. Le mouvement est plan.

2°) On définit un repère cartésien (0,x,y) sur le schéma d’où :

𝑚𝑚𝑎𝑎⃗ = 0�⃗ = 𝑃𝑃�⃗+𝑅𝑅�⃗ ⇒_𝑅𝑅_𝑥𝑥 ₌_𝑇𝑇 ₌−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚α_{𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑅𝑅}_𝑦𝑦 ₌ _𝑁𝑁 ₌ _{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}α

La composante Rx est négative, ce qui est cohérent avec le fait que la force de frottement solide empêche le palet de glisser vers le bas. La composante Ry est positive et donc dirigé du plan vers le palet.

3°) En l'absence de glissement, �T��⃗� <𝑓𝑓�N��⃗� d^′où:

�𝑇𝑇

𝑁𝑁�<𝑓𝑓 ⇔_tanα_<𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 α_< _𝛼𝛼_𝑚𝑚 ₌𝐴𝐴𝐴𝐴𝑚𝑚𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚(𝑓𝑓)

4°) Lorsque l'angle α est supérieur à 𝛼𝛼_𝑚𝑚, le palet glisse et on utilise la loi de Coulomb relative au glissement : �T��⃗�= 𝑓𝑓�N��⃗�.

Sous l'action du poids, la palet glisse vers le bas et donc vers les x croissants. La force de frottement solide est opposée au mouvement :

𝑚𝑚𝑎𝑎⃗ =𝑃𝑃�⃗+𝑅𝑅�⃗ ⇒_{𝑚𝑚𝑥𝑥̈} ₌ _{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}α ₋|𝑇𝑇| 𝑒𝑒𝑒𝑒 0 = 𝑁𝑁 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚α Donc : 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ =𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚α ₋_|𝑇𝑇_{| =} _{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}α − 𝑓𝑓𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚α

= 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚α _{− 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚𝛼𝛼}_𝑚𝑚_._{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}α ₌_{𝑚𝑚𝑥𝑥̈} = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚α_�1₋^{𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚𝛼𝛼}^𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚α ^� ^{> 0}

Ce qui prouve que le mouvement est rectiligne et uniformément accéléré. On vérifie également que l'on obtient bien 𝑥𝑥̈ > 0 puisque l'accélération doit manifestement être dirigée vers les x croissants.

(2)

MC12 - Point mobile à l’intérieur d’un cône

(3)

(4)

MC13 - Pendule sur plan incliné

(5)

MC14 - Voyage interplanétaire de la terre a mars

(6)

B – Exercices supplémentaires MC15 - Mouvement le long d’une came

a) Soit : 𝑣𝑣⃗ = 𝐴𝐴̇ 𝑢𝑢��⃗_𝑟𝑟 + 𝐴𝐴𝜃𝜃̇𝑢𝑢��⃗θ = 𝑚𝑚𝜃𝜃̇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜃𝜃𝑢𝑢��⃗_𝑟𝑟 + (𝑏𝑏 − 𝑚𝑚.𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜃𝜃)𝜃𝜃̇𝑢𝑢��⃗ θ

⇔_𝑣𝑣⃗ ₌ _𝑚𝑚ω_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜃𝜃𝑢𝑢}_{��⃗}_𝑟𝑟 + (𝑏𝑏 − 𝑚𝑚.𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜃𝜃)ω_𝑢𝑢_{��⃗}_θ Et 𝑎𝑎⃗ =�𝐴𝐴̈ − 𝐴𝐴θ̇²� 𝑢𝑢��⃗_𝑟𝑟 +�𝐴𝐴𝜃𝜃̈+ 2𝐴𝐴̇ θ̇�𝑢𝑢��⃗_𝜃𝜃 =

= (𝑚𝑚ω²𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜃𝜃 −(𝑏𝑏 − 𝑚𝑚.𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜃𝜃)ω_²)𝑢𝑢_{��⃗}_𝑟𝑟_{+ (0 + 2𝑚𝑚}ω_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜃𝜃}_.ω₎_𝑢𝑢_{��⃗}_θ

⇒_𝑎𝑎⃗ ₌ω_{²[(2𝑚𝑚.}𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜃𝜃 − 𝑏𝑏)𝑢𝑢��⃗_𝑟𝑟+ (2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜃𝜃)𝑢𝑢��⃗] θ

b) En π/2 : 𝑣𝑣⃗ =𝑚𝑚ω𝑢𝑢��⃗_𝑟𝑟 +𝑏𝑏ω𝑢𝑢��⃗θ et 𝑎𝑎⃗ = ω_{²[−𝑏𝑏 𝑢𝑢}_{��⃗}_𝑟𝑟 _{+ (2𝑚𝑚)𝑢𝑢}��⃗] _θ

Donc 𝑣𝑣 = ω�𝑚𝑚² +𝑏𝑏² = 0,070𝑚𝑚/𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑎𝑎 = ω²�b² + 4c² = 0,28m/s²

MC16 - Trajectoire cycloïdale

1°) Soit :

- Sans glissement on a :

I étant le point de contact à l’instant entre la roue et l’axe Ox, la largeur de l’arc IM est égale à OI

D’où : 𝑥𝑥_𝐼𝐼 = 𝑅𝑅𝜃𝜃⇔_{𝑣𝑣𝑒𝑒} ₌_𝑅𝑅ω_𝑒𝑒 2°)

a) On a : 𝑂𝑂𝑂𝑂��⃗ = 𝑂𝑂𝑂𝑂��⃗+𝑂𝑂𝐼𝐼��⃗ +𝐼𝐼𝑂𝑂��⃗ = (𝑥𝑥_𝐼𝐼 − 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜃𝜃)𝑢𝑢��⃗_𝑥𝑥 + (𝑅𝑅 − 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜃𝜃)𝑢𝑢��⃗_𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑂𝑂𝑂𝑂��⃗ =𝑅𝑅�ω𝑒𝑒 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(ω_𝑒𝑒)_�𝑢𝑢_{��⃗}_𝑥𝑥₊_𝑅𝑅�1_{− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(}ω_𝑒𝑒)_�𝑢𝑢_{��⃗}_𝑦𝑦 b) D’où : 𝑣𝑣⃗ = 𝑅𝑅�ω−ω𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(ω𝑒𝑒)�𝑢𝑢��⃗𝑥𝑥 +𝑅𝑅�0 +ω𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(ω𝑒𝑒)�𝑢𝑢��⃗𝑦𝑦

𝑣𝑣⃗ = 𝑅𝑅ω_�1_{− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}₍ω_𝑒𝑒₎_�𝑢𝑢_{��⃗}_𝑥𝑥 ₊_𝑅𝑅ω_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}₍ω_𝑒𝑒₎_𝑢𝑢_{��⃗}_𝑦𝑦

c) D’où : 𝑎𝑎⃗ =𝑅𝑅ω²�𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(ω𝑒𝑒)�𝑢𝑢��⃗𝑥𝑥 +𝑅𝑅ω²𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(ω𝑒𝑒)𝑢𝑢��⃗_𝑦𝑦 = −ω_{²𝐼𝐼𝑂𝑂}��⃗

3°) Si z=0 on a 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜃𝜃 = 1 d’où : 𝑎𝑎⃗ = +𝑅𝑅ω²𝑢𝑢��⃗𝑦𝑦

(7)

MC17 - Mouvement d’un point matériel sur une parabole

(8)

MC18 - Enroulement d’un fil sur un cylindre

1°) On a 𝑙𝑙 =𝑙𝑙₀− 𝑂𝑂𝑂𝑂�₀ = 𝑙𝑙₀− 𝑅𝑅θ

2°) Soit : 𝑂𝑂𝑂𝑂��⃗ = 𝑂𝑂𝑂𝑂��⃗+𝑂𝑂𝑂𝑂��⃗ =𝑅𝑅𝑢𝑢��⃗_𝑟𝑟 +𝑙𝑙𝑢𝑢��⃗θ =𝑅𝑅𝑢𝑢��⃗_𝑟𝑟 + (𝑙𝑙₀− 𝑅𝑅θ_)𝑢𝑢_{��⃗}_θ 3°) Donc 𝑣𝑣⃗ = 0𝑢𝑢��⃗_𝑟𝑟+𝑅𝑅^{𝑑𝑑𝑢𝑢}_{𝑑𝑑𝑑𝑑}^{��⃗}^𝑟𝑟+�0− 𝑅𝑅θ_{̇�𝑢𝑢}_{��⃗}_θ_{+ (𝑙𝑙}₀_{− 𝑅𝑅}θ₎^{𝑑𝑑𝑢𝑢}^{��⃗}^θ

⇔_𝑣𝑣⃗ ₌ _{𝑅𝑅𝜃𝜃̇𝑢𝑢}_{��⃗}_θ ₊�−𝑅𝑅𝜃𝜃̇ �𝑢𝑢��⃗θ + (𝑙𝑙₀− 𝑅𝑅θ_{)�−𝜃𝜃̇�𝑢𝑢}_{��⃗}_𝑟𝑟 ₌𝑑𝑑𝑑𝑑_−(𝑙𝑙₀_{− 𝑅𝑅}θ_{)�𝜃𝜃̇�𝑢𝑢}_{��⃗}_𝑟𝑟 4°) On a 𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣𝑢𝑢��⃗ _𝑟𝑟 ⇒_𝑎𝑎⃗ ₌ ^{𝑑𝑑𝑑𝑑}

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢��⃗_𝑟𝑟 +𝑣𝑣^{𝑑𝑑𝑢𝑢}_{𝑑𝑑𝑑𝑑}^{��⃗}^𝑟𝑟 =^{𝑑𝑑𝑑𝑑}_{𝑑𝑑𝑑𝑑}𝑢𝑢��⃗_𝑟𝑟 +𝑣𝑣𝜃𝜃̇𝑢𝑢��⃗θ = 𝑇𝑇�⃗+𝑅𝑅�⃗ +𝑃𝑃�⃗.

Le PFD sur 𝑢𝑢��⃗ donne _𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑎𝑎_𝑟𝑟 =𝑚𝑚^{𝑑𝑑𝑑𝑑}_{𝑑𝑑𝑑𝑑} = 0 donc v=cste

5°) Donc : 𝑣𝑣⃗ =−(𝑙𝑙₀ − 𝑅𝑅θ₎_{�𝜃𝜃̇�𝑢𝑢}_{��⃗}_𝑟𝑟 ⇒_𝑣𝑣 _{= (𝑙𝑙}₀ _{− 𝑅𝑅}θ₎_{�𝜃𝜃̇�} _{> 0 =}_𝑣𝑣₀

6°) On a : (𝑙𝑙₀− 𝑅𝑅θ₎_{�𝜃𝜃̇�} ₌_𝑣𝑣₀⇔_(𝑙𝑙₀_{− 𝑅𝑅}θ_{)𝑑𝑑𝜃𝜃} ₌_𝑣𝑣₀_{𝑑𝑑𝑒𝑒}⇔_𝑙𝑙₀θ_{− 𝑅𝑅}θ² ₌_𝑣𝑣₀_𝑒𝑒₊_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒} ₌ 𝑣𝑣₀𝑒𝑒

⇔θ²₋₂^𝑙𝑙⁰

𝑅𝑅 θ₊^2𝑣𝑣⁰^𝑒𝑒

𝑅𝑅 = 0 ⇒θ ₌ ^𝑙𝑙⁰

𝑅𝑅 ±��𝑙𝑙𝑅𝑅⁰�²−2𝑣𝑣₀𝑒𝑒 𝑅𝑅 > 0 Comme θ croît : θ ₌ ^𝑙𝑙⁰

𝑅𝑅 − ��^𝑙𝑙_𝑅𝑅⁰�²−^2𝑑𝑑_𝑅𝑅⁰^𝑑𝑑 = ^𝑙𝑙_𝑅𝑅⁰�1− �1−^{2𝑅𝑅𝑑𝑑}_𝑙𝑙 ⁰^𝑑𝑑

02 � .

7°) Le fil est entièrement enroulé lorsque l=0 ⇔ 𝑙𝑙₀− 𝑅𝑅θ _{= 0}⇔θ ₌^𝑙𝑙⁰

𝑅𝑅 = 143°

Donc : �1−^{2𝑅𝑅𝑑𝑑}_𝑙𝑙 ⁰^𝑑𝑑

02 = 0 ⇔_𝑙𝑙₀² _{= 2𝑅𝑅𝑣𝑣}₀_𝑒𝑒⇔_𝑒𝑒 ₌ ^𝑙𝑙⁰²

2𝑅𝑅𝑑𝑑₀ = 6,25𝑚𝑚

(9)

MC19 - Pendule en rotation

a) La trajectoire étant un cercle (de rayon r = l sin α), des coordonnées cylindriques semblent adaptées. La position du pendule sur le cercle est repérée par l'angle θ.

b) Les actions mécaniques sur la bille sont son poids mg et la tension T du fil, Soit 𝑚𝑚𝑎𝑎⃗ = 𝑚𝑚𝑚𝑚⃗+ 𝑇𝑇�⃗.

En projection sur l’axe radial : 𝑚𝑚�𝐴𝐴̈—𝐴𝐴𝜃𝜃²̇ � =−𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚αω² ₌ _{−𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}α Sur l’axe Oz : 0 = −𝑚𝑚𝑚𝑚+𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚α

c) En éliminant T, on aboutit à :

−𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚αω² ₌ _{−𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}α⇔_{𝑚𝑚𝑙𝑙}ω² ₌ _{𝑇𝑇 =}_{𝑚𝑚𝑚𝑚} ¹ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚α

⇔ω² ₌ _𝑚𝑚 ¹

𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚α ^{≥ 𝜔𝜔}⁰² ⁼ ^𝑚𝑚_𝑙𝑙

d) Si ω devient très important, cos α tend vers 0, soit α tend vers π/2. La ficelle devient effectivement quasi horizontale.

e) On a : ω = 3 2π = 19 rad.s^-1, d'où α=82°

(10)

MC110 - Expérience de Millikan

1°) 𝑆𝑆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒 ∶ 𝑚𝑚^{𝑑𝑑𝑑𝑑�⃗}_{𝑑𝑑𝑑𝑑} = 𝑚𝑚𝑚𝑚⃗ − 𝑂𝑂𝑚𝑚⃗ −λ_𝑣𝑣⃗

⇔ ^{𝑑𝑑𝑣𝑣⃗}

𝑑𝑑𝑒𝑒 =�1−𝑂𝑂

𝑚𝑚� 𝑚𝑚⃗ −λ_𝑣𝑣⃗⇔_𝑣𝑣⃗_{𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚} ₌_�1₋^𝑂𝑂 𝑚𝑚� 𝑚𝑚τ

⇔𝑣𝑣_{𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚} =�1−𝑂𝑂 𝑚𝑚� 𝑚𝑚𝑚𝑚

λ = (𝑚𝑚 − 𝑂𝑂)𝑚𝑚

λ ⁼⁴₃π_𝑅𝑅³₍ρ₋ρ_′) ^𝑚𝑚 6𝜋𝜋η_𝑅𝑅

⇔𝑣𝑣_{𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚} = 2𝑚𝑚

9η ^𝑅𝑅²⁽ρ₋ρ_′) 2°) Calcul du coefficient de viscosité

On suppose la vitesse limite atteinte rapidement d’où : 𝑣𝑣_{𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚} = ℎ

∆𝑒𝑒 = 3,8. 10⁻⁴𝑚𝑚/𝑚𝑚 ⇒_𝑅𝑅 ₌ _� ⁹η_𝑣𝑣_{𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚}

2𝑚𝑚(ρ₋ρ_{′) = 1,8}µ_𝑚𝑚 3°) 𝑆𝑆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒 ∶ 𝑚𝑚^{𝑑𝑑𝑑𝑑�⃗}_{𝑑𝑑𝑑𝑑} =𝑚𝑚𝑚𝑚⃗ − 𝑂𝑂𝑚𝑚⃗ −λ_𝑣𝑣⃗₊^{𝑞𝑞𝑞𝑞}

𝑙𝑙 (−𝑢𝑢��⃗_𝑧𝑧) (opposé au poids)

⇒_𝑣𝑣_{𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚2} = (𝑚𝑚 − 𝑂𝑂)𝑚𝑚

λ⁻^{𝑞𝑞𝑞𝑞}_𝑙𝑙λ ⁼₉^2𝑚𝑚η ^𝑅𝑅²⁽ρ₋ρ^′₎₋^{𝑞𝑞𝑞𝑞} 𝑙𝑙λ 4°) On a 𝑣𝑣_{𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚2} = 0 ⇒_𝑞𝑞 ₌ ^{2𝑔𝑔𝑙𝑙6𝜋𝜋}^η^𝑅𝑅

9η 𝑞𝑞 𝑅𝑅²(ρ₋ρ^′_{) =} ⁴^π^{𝑔𝑔𝑙𝑙}

3𝑞𝑞 𝑅𝑅³(ρ₋ρ^′_{) = 5,510}⁻¹⁹_𝐼𝐼 _{= 3𝑒𝑒} 5°) Trouvez une valeur de la charge élémentaire

MC111 - Résistance de l’air - Cas quadratique

1°) Soit : 𝑚𝑚^{𝑑𝑑𝑑𝑑�⃗}_{𝑑𝑑𝑑𝑑} =𝑚𝑚𝑚𝑚⃗+^{𝑘𝑘𝑚𝑚𝑑𝑑}_𝑔𝑔 ²𝑚𝑚⃗ ⇔ ^{𝑑𝑑𝑑𝑑�⃗}

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚⃗+^{𝑘𝑘𝑑𝑑}_𝑔𝑔²𝑚𝑚⃗ ⇒^{𝑑𝑑𝑑𝑑}

𝑑𝑑𝑑𝑑 +𝑘𝑘𝑣𝑣² = −𝑚𝑚

⇔_{𝑑𝑑𝑣𝑣} = (−𝑚𝑚 − 𝑘𝑘𝑣𝑣²)𝑑𝑑𝑒𝑒 ⇔ ^{𝑑𝑑𝑣𝑣}

𝑚𝑚+𝑘𝑘𝑣𝑣² =−𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑂𝑂𝐴𝐴 𝑚𝑚 =𝑘𝑘λ²⇒ ^{𝑑𝑑𝑣𝑣}

λ²₊_𝑣𝑣² ⁼ ^{−𝑘𝑘𝑑𝑑𝑒𝑒}

⇒ ¹λ𝐴𝐴𝐴𝐴𝑚𝑚𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚 �𝑣𝑣

λ^�⁺^{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒} ⁼ ^{−𝑘𝑘𝑒𝑒}⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑚𝑚𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚 �𝑣𝑣

λ^� ⁼ ^{−𝑘𝑘𝑒𝑒}λ₊φ

⇒_𝑣𝑣 ₌λ𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚(−𝑘𝑘𝑒𝑒λ₊φ) 𝑎𝑎𝑣𝑣𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑣𝑣0 = λ_{𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚(}φ) 2°) On a 𝑧𝑧 =∫ 𝑣𝑣𝑑𝑑𝑒𝑒 = ∫λ𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚(−𝑘𝑘𝑒𝑒λ₊φ_{)𝑑𝑑𝑒𝑒} ₌ ¹

𝑘𝑘𝐿𝐿𝑚𝑚|𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(−𝑘𝑘𝑒𝑒λ₊φ_{)| +}_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒} Or 𝑧𝑧(0) = 0 ⇒ ¹

𝑘𝑘𝐿𝐿𝑚𝑚|𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(φ_{)| +}_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒} _{= 0}⇒_𝑧𝑧 ₌ ¹

𝑘𝑘𝐿𝐿𝑚𝑚 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(−𝑘𝑘𝑑𝑑λ+φ) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(φ) � 3°) Lorsque v=0 on a : −𝑘𝑘𝑒𝑒λ₊φ _{= 0}⇒_𝑧𝑧 ₌ ¹

𝑘𝑘𝐿𝐿𝑚𝑚 �_{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(}¹_φ₎�= ¹_𝑘𝑘𝐿𝐿𝑚𝑚 ��1 +𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚²φ_� D’où : 𝑧𝑧𝑀𝑀 = ¹_𝑘𝑘𝐿𝐿𝑚𝑚 ��1 +𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚²φ_�₌ ¹

𝑘𝑘𝐿𝐿𝑚𝑚 ��1 +�^𝑑𝑑_λ⁰�²� = 346𝑚𝑚 Et sans frottement : 𝑧𝑧_𝑀𝑀 =_2𝑔𝑔^𝑑𝑑⁰² = 744𝑚𝑚.

(11)

MC112 - Mouvement d’une perle sur une hélice

1°) Soit 𝐸𝐸_𝑘𝑘 = ¹₂𝑚𝑚𝑣𝑣² = ¹₂𝑚𝑚 ��^{𝑑𝑑𝑥𝑥}_{𝑑𝑑𝑑𝑑}�² +�^{𝑑𝑑𝑦𝑦}_{𝑑𝑑𝑑𝑑}�²+�^{𝑑𝑑𝑧𝑧}_{𝑑𝑑𝑑𝑑}�²�

=1

2𝑚𝑚 ��−𝑅𝑅𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ_.θ_̇�²₊_{�𝑅𝑅𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ_.θ_̇�²₊_𝑝𝑝²θ̇²�

=1

2𝑚𝑚(𝑅𝑅² +𝑝𝑝²)θ̇²

2°) On a donc : 𝐸𝐸_𝑝𝑝 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧+𝐼𝐼 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑝𝑝θ₊_𝐼𝐼Calculer son énergie potentielle.

3°) Soit : ^{𝑑𝑑𝐸𝐸}_{𝑑𝑑𝑑𝑑}^𝑚𝑚 = 0 ⇔_{(𝑅𝑅² +}_𝑝𝑝²)θ̈θ̇ + gpθ̇ = 0 ⇔θ̈ +_(𝑅𝑅₂^gp_+𝑝𝑝₂₎ = 0 Donc :

θ = −1 2

gp

(𝑅𝑅²+𝑝𝑝²)𝑒𝑒²+𝜃𝜃₀̇ 𝑒𝑒+𝜃𝜃₀⇒θ =−1 2

gp

(𝑅𝑅²+𝑝𝑝²)𝑒𝑒²+𝜃𝜃₀

MC113 - Mouvement au voisinage d’une position d’équilibre stable

1°) Soit l’énergie potentielle : 𝐸𝐸_𝑝𝑝 =1

2𝑘𝑘(𝑙𝑙₀+𝑥𝑥 − 𝑙𝑙₀)²+1

2𝑘𝑘(𝑙𝑙₀ − 𝑥𝑥 − 𝑙𝑙₀)²− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧+𝐼𝐼 = 𝑘𝑘𝑥𝑥² − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧+𝐼𝐼 Donc :

𝐸𝐸𝑝𝑝 = 𝑘𝑘(𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ₎²_{− 𝑚𝑚𝑚𝑚}₍_{𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ_{) +}_𝐼𝐼 Utilisons les formules d’approximation :

𝐸𝐸_𝑝𝑝 =𝑘𝑘(𝑙𝑙θ₎² _{− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙}₊^{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙}θ²

2 +𝐼𝐼 = θ²_��^{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙}

2 �+𝑘𝑘𝑙𝑙²�+𝐼𝐼 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙 Soit Ep=0 pour θ=0 d’où :

𝐸𝐸_𝑝𝑝 =θ²_��^{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙}

2 �+𝑘𝑘𝑙𝑙²� 2°) Soit :

𝑑𝑑𝐸𝐸_𝑚𝑚

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 ⇒ 2∗¹₂𝑚𝑚𝑙𝑙²θ̈θ̇ + 2∗θθ̇ ��^{𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙}₂ �+𝑘𝑘𝑙𝑙²�= 0

⇒θ̈ +θ_∗ ²

𝑚𝑚𝑙𝑙²��𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙

2 �+𝑘𝑘𝑙𝑙²� = 0

⇒θ̈ +θ_{∗ ��}^𝑚𝑚

l�+2𝑘𝑘

𝑚𝑚� = 0

⇒θ̈ +θ_∗₍ω₁²₊ω₂²_{) = 0 où} _∶ ω₁² ₌^𝑚𝑚

l et ω₂² ₌^2𝑘𝑘 𝑚𝑚

(12)

MC114 - Mouvement d'une bille reliée à un ressort sur un cercle

On étudie la bille dans le référentiel terrestre galiléen. Elle est soumise à son poids, à la force de rappel élastique du ressort et à la réaction du cerceau qui est normale du fait de l'absence de frottement.

1°) Le triangle OMB est isocèle en O donc les angles des sommets B et M sont égaux. Par ailleurs, la somme des angles d'un triangle vaut π. En explicitant ces deux conditions, on obtient : α ₌ ^π⁻^θ

2°) Pour calculer la distance MB, on détermine son carré : 2

𝑂𝑂𝐵𝐵² = �𝑂𝑂𝑂𝑂��⃗ +𝑂𝑂𝐵𝐵��⃗ �² =𝑅𝑅² +𝑅𝑅²−2𝑅𝑅²𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ

= 2𝑅𝑅²(1− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ) = 4𝑅𝑅²𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚²�θ 2� Donc : 𝑂𝑂𝐵𝐵 = 2𝑅𝑅 �𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 �^θ₂��

3°) Les forces qui s'appliquent sur le système sont conservatives (poids, force de rappel élastique) ou à puissance nulle (réaction du cerceau). On est donc dans un cas de conservation de l'énergie mécanique.

On détermine l'énergie potentielle dont dérive le poids : 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑦𝑦 = −𝑚𝑚𝑚𝑚𝑅𝑅𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ

Puis l’énergie potentielle élastique : 𝐸𝐸_{𝑝𝑝𝑝𝑝} =1

2𝑘𝑘𝑂𝑂𝐵𝐵² = 2𝑘𝑘𝑅𝑅²𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚²�θ 2� Donc :

𝐸𝐸_𝑝𝑝 =−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑅𝑅𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ+ 2𝑘𝑘𝑅𝑅²𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚²�θ 2�

Pour la représenter, on remarque que θ ne peut varier qu'entre 0 et π et on fixe Eo=mgR comme échelle d'énergie. On trace l'énergie potentielle sans dimension pour deux valeurs de p :

𝐸𝐸_𝑝𝑝

𝐸𝐸₀ = −𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ₊_{𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚²}_�θ

2� 𝑚𝑚ù 𝑝𝑝 = 2𝑘𝑘𝑅𝑅 𝑚𝑚𝑚𝑚

(13)

L'énergie potentielle présente un minimum en θe entre 0 et π. La position de coordonnée θe, est donc une position d'équilibre stable que l'on peut déterminer en recherchant le point d'annulation de la dérivée :

𝑑𝑑𝐸𝐸_𝑝𝑝

𝑑𝑑θ ^{= 0}⇔ _{− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ_𝑝𝑝 + 𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 �θ_𝑝𝑝

2� 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 �θ_𝑝𝑝

2� = 0

⇔ _{− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ_𝑝𝑝 ₊^𝑝𝑝

2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(θ_𝑝𝑝_{) = 0}

⇔_{𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚(}θ_𝑝𝑝_{) =}²

𝑝𝑝 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑅𝑅

La position d'équilibre est, comme on pouvait s'y attendre comprise entre 0 et ₂^π. Elle tend vers 0 lorsque la raideur du ressort est si grande que le poids de M ne peut pas l'étirer et vers ₂^π lorsqu'elle est si faible que le poids de M l'étire facilement.

4°) Si l'on écarte la bille de sa position d'équilibre stable et qu'on la lâche sans vitesse initiale, la bille va osciller dans le puits de potentiel. Si on l'en écarte faiblement, on s'attend à observer des oscillations harmoniques, tout se passant comme si la bille oscillait dans le potentiel harmonique tangent dessiné en pointillé sur la figure ci-dessus.

5°) L'énergie cinétique du système vaut 𝐸𝐸_𝑐𝑐 =¹₂𝑚𝑚𝑅𝑅²𝜃𝜃̇² puis l'énergie mécanique :

Le mouvement étant conservatif, l'énergie mécanique est conservée et sa dérivée s'annule :

⇒θ̈ − 𝑚𝑚𝑅𝑅�𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ−4𝑘𝑘𝑅𝑅

𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ� = 0

⇒θ_{̈ − 𝑚𝑚}

𝑅𝑅�𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ₋^𝑝𝑝

2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ_� _{= 0}

6°) On écarte M de sa position d'équilibre et on pose θ=θe+ε puis :

On injecte alors ces relations dans l'équation du mouvement et on trouve :

⇒θ_{̈ − 𝑚𝑚}

𝑅𝑅�𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ_𝑝𝑝 ₋ε_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ_𝑝𝑝 ₋^𝑝𝑝

2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ_𝑝𝑝 ₋^𝑝𝑝

2ε_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ_𝑝𝑝_� _{= 0}

⇒θ̈ +𝑚𝑚

𝑅𝑅�−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ_𝑝𝑝 ₊^𝑝𝑝

2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ_𝑝𝑝 ₊ε_{�𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ_𝑝𝑝 ₊^𝑝𝑝

2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ_𝑝𝑝_�� _{= 0}

(14)

Or : −𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ_𝑝𝑝 ₊^𝑝𝑝

2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(θ_𝑝𝑝_{) = 0} Donc :

ε_̈ ₊^{𝑚𝑚 �𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ_𝑝𝑝 ₊^𝑝𝑝₂_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ_𝑝𝑝_�

𝑅𝑅 ε _{= 0}

ε_̈ ₊ω₀²ε _{= 0 𝑚𝑚ù}ω₀² ₌^{𝑚𝑚 �𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ_𝑝𝑝 ₊^𝑝𝑝₂_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ_𝑝𝑝_�

Comme prévu, le mouvement au voisinage d'une position d'équilibre stable est celui 𝑅𝑅 d'un oscillateur harmonique.

MC115 - Pendule simple entrainé

1°) 𝐸𝐸_𝑝𝑝 = 𝐸𝐸_{𝑝𝑝𝑝𝑝} +𝐸𝐸_{𝑝𝑝𝑝𝑝} =−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚α_{𝑚𝑚𝑚𝑚} 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒 𝐸𝐸_𝑝𝑝 = 0 𝑚𝑚𝑢𝑢𝐴𝐴 𝑙𝑙^′𝑎𝑎𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑂𝑂𝑥𝑥.

2°) 𝐸𝐸_𝑐𝑐 =¹₂𝑚𝑚𝑣𝑣²(𝐴𝐴) +¹₂𝑚𝑚𝑣𝑣²(𝐵𝐵) = ¹₂𝑚𝑚𝑥𝑥̇²+¹₂𝑚𝑚(𝑥𝑥̇𝑢𝑢��⃗_𝑥𝑥+𝑙𝑙α_{̇ 𝑢𝑢}_{��⃗)}_θ ²

= 𝑚𝑚𝑥𝑥̇² +1

2𝑚𝑚𝑙𝑙²α_̇ _{² +}_{𝑚𝑚𝑙𝑙𝑥𝑥̇}α_{̇ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}α 3°)Donc : 𝐸𝐸_𝑚𝑚 =−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚α₊_{𝑚𝑚𝑥𝑥̇² +}¹

2𝑚𝑚𝑙𝑙²α_̇ _{² +}_{𝑚𝑚𝑙𝑙𝑥𝑥̇}α_{̇ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}α

(15)

MC116 - Résonance cyclotronique

1°) Soit : 𝑚𝑚𝑎𝑎⃗ = 𝑞𝑞�𝑣𝑣⃗ ∧ 𝐵𝐵�⃗�

En projection sur les trois axes cartésiens, on obtient :

La résolution selon l'axe Oz est la plus simple :

- soit 𝑧𝑧̇ = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒 =γ_𝑎𝑎ω₀⇒_𝑧𝑧 ₌γ_𝑎𝑎ω₀_{𝑒𝑒 ,}la trajectoire n’est donc plane.

L'intégration des projections sur 𝑢𝑢��⃗_𝑥𝑥 et 𝑢𝑢��⃗_𝑦𝑦 donne :

𝑚𝑚𝑥𝑥̇ = 𝑞𝑞𝐵𝐵₀𝑦𝑦+𝐼𝐼₁ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑦𝑦̇ = −𝑞𝑞𝐵𝐵₀𝑥𝑥+𝐼𝐼₂ Les conditions initiales 𝑥𝑥̇(0) = 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦̇(0) = −𝑎𝑎ω₀ donnent :

𝑚𝑚𝑥𝑥̇ = 𝑞𝑞𝐵𝐵₀𝑦𝑦 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑦𝑦̇ = −𝑞𝑞𝐵𝐵₀𝑥𝑥 − 𝑚𝑚𝑎𝑎ω₀

On peut alors replacer ces expressions dans les membres de droite des équations fournies par le principe fondamental de la dynamique, soit :

𝑥𝑥̈ = 𝑞𝑞𝐵𝐵₀

𝑚𝑚 𝑦𝑦̇ = −𝑞𝑞²𝐵𝐵₀²

𝑚𝑚² 𝑥𝑥 −𝑞𝑞𝐵𝐵₀ 𝑚𝑚 𝑎𝑎ω₀ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦̈ =−𝑞𝑞𝐵𝐵₀

𝑚𝑚 𝑥𝑥̇ = −𝑞𝑞²𝐵𝐵₀² 𝑚𝑚² 𝑦𝑦 Donc : 𝑦𝑦̈+ω₀²y = 0 où ω₀ ₌^{𝑞𝑞𝑝𝑝}⁰

𝑚𝑚 ⇒ 𝑦𝑦(𝑒𝑒) = 𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (ω₀𝑒𝑒) + 𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (ω₀_𝑒𝑒) où A et B sont des constantes.

- y(0) = 0 fournit A = 0.

- 𝑦𝑦̇(0) = −𝑎𝑎ω₀ ⇒_𝐵𝐵 ₌ _−𝑎𝑎. Donc :

𝑦𝑦(𝑒𝑒) = −𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (ω₀_𝑒𝑒) Or :

𝑥𝑥̇ =𝑞𝑞𝐵𝐵₀

𝑚𝑚 𝑦𝑦= −𝑞𝑞𝐵𝐵₀

𝑚𝑚 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (ω₀_𝑒𝑒) Donc :

𝑥𝑥 = 𝑞𝑞𝐵𝐵₀

𝑚𝑚ω₀𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (ω₀_{𝑒𝑒) +}_𝐼𝐼 ₌𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (ω₀_{𝑒𝑒) +}_𝐼𝐼 Or : 𝑥𝑥(0) = 𝑎𝑎

Donc :

𝑥𝑥(𝑒𝑒) = 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (ω₀_𝑒𝑒₎

(16)

2°) On rajoute 𝑞𝑞𝐸𝐸�⃗ sur la première coordonnée d’où : 𝑥𝑥̈+ω₀²x = qE₀

m cos(ω_{𝑒𝑒) =} εaω₀²_cos(ω_{𝑒𝑒) où}ω₀ ₌^{𝑞𝑞𝐵𝐵}⁰ Donc : ^qE_m⁰ = εaω₀²⇔ε = _ma^qE_ω⁰ 𝑚𝑚

02

3°) Donc : 𝑥𝑥(𝑒𝑒) = 𝐴𝐴cos(ω₀_{𝑒𝑒) +}_𝐵𝐵_sin(ω₀_{𝑒𝑒) +}λcos(ω_𝑒𝑒₎ Où : −λω² ₊ω₀²λ₌ εaω₀² ⇔λ =_ω^ε^a^ω⁰²

02−ω²

De plus : 𝑥𝑥(0) = 𝑎𝑎 = 𝐴𝐴+λ⇔_𝐴𝐴 ₌ _{𝑎𝑎 −}λ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥̇(0) = 𝐵𝐵ω₀ _{= 0} Donc :

𝑥𝑥

𝑎𝑎 = �1−λ

𝑎𝑎�cos(ω₀_{𝑒𝑒) +}^λ

a cos(ω_𝑒𝑒)⇔ ^𝑥𝑥

𝑎𝑎 = (1−µ_{) cos(}ω₀_{𝑒𝑒) +}µcos(ω_𝑒𝑒) Or :

𝑦𝑦̇ = −ω₀_𝑥𝑥⇒ ^𝑦𝑦

𝑎𝑎 =−(1−µ_{) sin(}ω₀_𝑒𝑒)₋^µω₀

ω ^cos(ω𝑒𝑒) 4°) Donc : 𝑥𝑥(𝑒𝑒) = 𝐴𝐴cos(ω₀_{𝑒𝑒) +}_𝐵𝐵_sin(ω₀_{𝑒𝑒) +}λt sin(ω𝑒𝑒)

Or 𝑥𝑥_𝑝𝑝̇ = λsin(ω_{𝑒𝑒) +}λtω_cos(ω_𝑒𝑒)⇒_𝑥𝑥_𝑝𝑝_̈ _{= 2}λω_cos(ω_𝑒𝑒)₋λtω² sin(ω𝑒𝑒) D’où : 2λω_cos(ω_𝑒𝑒)₋ω₀²λ_𝑒𝑒_sin(ω_{𝑒𝑒) +}ω₀²λ_𝑒𝑒_sin(ω_{𝑒𝑒) =} εaω₀²_cos(ω_𝑒𝑒)

⇔λ₌ ^ε^aω₀ De plus : 𝑥𝑥(0) = 𝑎𝑎 = 𝐴𝐴 ⇔ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥̇(0) = 𝐵𝐵ω₀ _{= 0}2

⇒ ^𝑥𝑥

𝑎𝑎 = 𝑎𝑎cos(ω₀_{𝑒𝑒) +}µt sin(ω_𝑒𝑒₎

5°) Il suffit de sélectionner ω=ω0 pour une des particules et utiliser un diaphragme pour réaliser la séparation…

(17)

MC117 - Déflexion électrique

(18)

MC118 - Effet Zeeman

La pulsation ω0 est la pulsation « naturelle » de l'atome, donc des photons que l'atome peut absorber ou émettre. Dans un champ magnétique, cette pulsation se dédouble, avec un écart dépendant du champ magnétique appliqué (au niveau quantique, il y a subdivision des niveaux d'énergie de l'atome). L'étude de spectres d'émission permet ainsi de mesurer des champs magnétiques, par exemple solaire ou galactique.

(19)

MC119 – Sismographe de la Coste

1°) Soit : 𝑑𝑑𝐿𝐿��⃗₀

𝑑𝑑𝑒𝑒 = 𝑂𝑂𝐴𝐴��⃗ ∧ 𝑃𝑃�⃗+𝑂𝑂𝑂𝑂��⃗ ∧ 𝑘𝑘𝑂𝑂𝐵𝐵��⃗ =��⃗ ∧ 𝑃𝑃�⃗𝑂𝑂𝐴𝐴 +𝑂𝑂𝑂𝑂��⃗ ∧ 𝑘𝑘𝑂𝑂𝐵𝐵��⃗

= 𝑙𝑙𝑢𝑢��⃗ ∧ 𝑚𝑚𝑚𝑚(−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚_𝑟𝑟 θ_𝑢𝑢��⃗ − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚_𝑟𝑟 θ_𝑢𝑢_{��⃗) +}_θ _{𝑑𝑑𝑢𝑢}��⃗ ∧ 𝑘𝑘𝑏𝑏_𝑟𝑟 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(α₋θ_)𝑢𝑢_{��⃗}_𝑟𝑟 ₊_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(}α₋θ_)𝑢𝑢��⃗) _θ Donc sur 𝑢𝑢��⃗ ∶_𝑧𝑧

𝑚𝑚𝑙𝑙²^θ^̈ =𝑘𝑘𝑑𝑑𝑏𝑏�𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(α₋θ₎� − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ

⇔θ̈ +𝑚𝑚

𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ₌ ^{𝑘𝑘𝑑𝑑𝑏𝑏}

𝑚𝑚𝑙𝑙²�𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(α₋θ_)�

2°) Au repos : θ̈ = 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 θ _{= 0 𝑑𝑑}^′_𝑚𝑚ù 𝑚𝑚

𝑙𝑙 =𝑘𝑘𝑑𝑑𝑏𝑏

𝑚𝑚𝑙𝑙²𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(α₎⇔_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(}α_{) =} ^{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙} 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑏𝑏 3°) Donc :

θ̈ +𝑚𝑚

𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ₌ ^{𝑘𝑘𝑑𝑑𝑏𝑏}

𝑚𝑚𝑙𝑙²�𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(α₋θ_)� ₌^{𝑘𝑘𝑑𝑑𝑏𝑏}

𝑚𝑚𝑙𝑙²(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚α_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ_{− 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}α_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ)

⇔θ̈ +𝑚𝑚

𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ₌ ^𝑚𝑚

𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚θ₊ ^𝑚𝑚

𝑙𝑙.𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚α^{(−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}α_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ₎

⇔θ^̈ ₌₋ ^𝑚𝑚

𝑙𝑙𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚α^{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}θ⇔θ^̈ ₊ ^𝑚𝑚

𝑙𝑙𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚αθ_{= 0} Donc :

𝑇𝑇₀ = 2π_�^{𝑙𝑙𝑒𝑒𝑎𝑎𝑚𝑚}α

𝑚𝑚 �

12

AN : tan(α)=1998 ⇒ α=89,97°

*

(20)

MC120 - Distance minimale d'approche d'un astéroïde

(21)

MC121 - Trajectoire quasi-circulaire d’un satellite - Freinage par l’atmosphère