Repère cartésien

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SORBONNE UNIVERSITÉ FOS Sciences - Semestre 1

DU RESPE Année 2018-2019

Repère cartésien

1 Vocabulaire

• Le plancartésien (O, ~x, ~y) est constitué de deux axes : 1) L’axe des abscisses(Ox)~

2) L’axe des ordonnées(Oy)~

Il y a un moyen mnémotechnique pour différencier les deux !

• On peut représenter un point du plan M par ses coordonnées :M = (x_M, y_M).

•On peut représenter une fonction par une courbe du plan. On s’intésse auxfonctions affines, c’est-à-dire aux fonctions de la forme :

f(x) =ax+b, a, b∈R

• Une fonction affine est représentée dans le plan par une droite : (D) : y=ax+b

. aest appelé lecoefficient directeur de la droite.

. best appelé l’ordonnée à l’origine.

[QA] : Pourquoi ces noms pour a et b ? Expliquez avec vos mots.

• Le coefficient directeur a est calculé en prenant deux points sur la droiteD : A= (x_A, y_A) etB = (x_B, y_B) de la manière suivante :

a= y_A−y_B x_A−x_B autrement dit, pourx6=y :

a= f(x)−f(y) x−y

• Une fonction affine est : . croissantesia >0 . constantesi a= 0 . décroissantesi a <0.

[QB] : A votre avis, pourquoi ?

• On peut représenter une fonction f par son tableau de signe. On y note son signe et ses zéros (les valeurs de x pour lesquellesf(x) = 0).

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exemple Soit la fonction donnée par :

f : [−4,6] → R x 7→ 2x−3 Son tableau signe est :

x −4 3

2 6

f(x) − 0 +

[QB] :

1) Donner les équations des droitesD₁,D₂,D₃ etD₄. Identifieraetb.

2) Donner les tableaux de variation des fonctions f₁, f₂, f₃ et f₄ associées. Dire si elles sont croissantes, décroissantes ou constantes.

3) On note Mij le point d’intersection entre la droite D_i et la droite D_j. Les placer sur la figure et donner les coordonnées des points d’intersections.

4)Chaque droiteD_i partage le plan en 2 demi-plans. Hachurer le demi-plan supérieur délimité parD₄.

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2 Exercice

Descartes, équations de droites, et pommes Reinette

Figure1 – "Il pense, donc il est" !

René Descartes est un philosophe, mathématicien et physicien français. Il est né en 1596 à La Haye-en-Touraine (désormais "Descartes" !) et est mort à Stockholm en 1650. Il est l’auteur de deux ouvrages très connus en philosophie : "Le Discours de la Méthode" (1637) et "Les Méditations Métaphysiques" (1641). Le "Discours de la Méthode" est lapréfacede trois ouvrages scientifiques écrits par Descartes : "La Dioptrique", "Les Météores" et... "La Géométrie".

Dans "La Géométrie", Descartes introduit les notations utilisées encore aujourd’hui pour la représentation des droites et des courbes. Il note les paramètres d’une équation par les premières lettres de l’alphabet (a,b,c...) et les variables par les dernières lettres de l’alphabet (x,y,z...).

Descartes repère un point du plan par deux nombres (les coordonnées) : x mesure la distance par rapport à un axe (celui des abscisses) et y mesure la distance par rapport à un autre axe (les ordonnées).

Dans tout l’exercice, on arrondira les quantités à l’entier supérieur.

René Descartes et sa femme, Hélène Jans, vivent à Santpoort, aux Pays-Bas. La France leur manque : au marché, ils souhaitent acheter des pommes de Normandie, des pommes Reinette. Le paysan leur propose le tarif suivant :

Pour moins de 5kg de pommes, le kilogramme est facturé 3 deniers. Passé les 9kg, une réduc- tion de 20% est effectuée.

exemple: Pour 5 kg, on paye 5×3 kg, mais pour 15 kg, on va payer 9×3+(15−9)×3×(1−0.2) = 9×3 + (15−9)×3×0.8 = 41.40 deniers.

[Q1] : Donner les expressions du prix en fonctions de la quantitée de pommes achetées.

[Q2] : Représenter la fonction sur l’intervalle [0,20].

[Q3] : Combien de kilos de Reinettes peuvent-ils acheter avec 50 deniers ?

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Descartes apprend qu’il est invité à devenir le tuteur de la reine Catherine de Suède, à Stock- holm.

La distance qui sépare Santpoort de Stockholm est approximativement de 1465 km. La vitesse moyenne pour un carrosse est d’environ 30km.j⁻¹.

On propose à Descartes le prix suivant : pour 7 jours de voyage, il doit payer 5 sous. Bien entendu, il faut aussi payer la nourriture des deux chevaux du carrosse !

La consommation de foin par cheval est d’environ 10kg.j⁻¹. Le prix moyen d’un kilogramme de foin est de 0.5 deniers.

NB au XVII^ème siècle, 12 deniers = 1 sou.

[Q4] :Quelle est la durée, en jours, arrondie à l’entier supérieur, du trajet Santpoort-Stockholm ? [Q5] : Quelle est le coût total du trajet pour Descartes et Hélène ?

[Q6] :Arrivés à Stockholm, ils décident de repartir visiter le pays pendant deux semaines. On considère donc qu’ils débutent un nouveau voyage (t= 0 !). On note x le nombre de kilomètres parcourus.

a) Exprimer en fonction de x le prix du nouveau voyage.

b) Donner les variations de la fonction obtenue.

c) Quelle distance maximale peuvent-ils parcourir avec un budget de 25 sous ? Quelle sera la durée du voyage ?

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