L3 M´etiers de l’enseignement – Math´ematiques
Nicolas Prudhon
Avant-propos
Voici le cours et les exercices, examens inclus, de l’enseignement de math´
ematiques des licences
L3, M´
etiers de l’enseignement, UFR SciFa. Le cours et les exercices ont une dur´
ee totale de
48h. Il a ´
et´
e compil´
e `
a partir de documents pr´
e-existants, notamment les feuilles de TD et les
examens. La partie sur le cours est `
a peine ´
ebauch´
ee, et s’´
eloigne parfois consid´
erablement du
cours tel qu’il a ´
et´
e donn´
e. Il est cependant dans le mˆ
eme esprit que le cours : faire et faire
d´
ecouvrir des math´
ematiques int´
eressantes, belles, et utiles, tout en ne d´
eveloppant que le
minimum d’outils conceptuels, et en montrant `
a travers les aspects historiques de probl`
emes
c´
el`
ebres comment la fa¸
con que l’on a de faire et d’´
ecrire des math´
ematiques ´
evolue au fil des
si`
ecles, tˆ
atonnement `
a l’image de celle des ´
el`
eves que vous rencontrerez au cours de votre
carri`
ere d’institurice ou d’instituteur. Ce document peut ˆ
etre et sera modifi´
e et, je l’esp`
ere,
am´
elior´
e au fil du temps, lui aussi.
1La quatri`
eme fois que j’ai donn´
e ce cours (en 2010-2011), et, alors elle s’ach`
evait d´
ej`
a,
j’ai trouv´
e `
a la bilioth`
eque du Saulcy (Cote [510 PER]), un ouvrage de Daniel Perrin,
”math´
ematiques d’´
ecole, nombres mesures et geometrie” aux ´
editions Cassini, ´
ecrit par
l’au-teur pour un cours suivant le mˆ
eme objectif que ceui-ci, et selon un plan, dans sa structure et
pour de nombreux d´
eveloppements, identique `
a ce texte. Le (futur) enseignant s’y reportera,
ce livre ´
etant de toute ´
evidence d’une grande sagesse math´
ematique et didactique. En
parti-culier, comme le titre l’indique, le lien entre les nombres et la g´
eom´
etrie, est fait au moyen de
la notion de grandeur (longueurs, aires, angles, volumes) en la distinguant d´
efinitivement de
celle de mesure de grandeur. Cet aspect, fondamental, est presque absent de l’enseignement
que je donne, n’apparaˆıt pas dans le texte ici (c’est `
a rem´
edier), et n’est apparu lors des
s´
eances, que pour la distinction entre la notion d’angle et de sa mesure, entre celle d’aire et
de surface, celle de volume et de sa mesure, mais n’est pas developp´
e `
a part enti`
ere. Dans
le livre de D. Perrin, on trouvera une discussion passionnante de la notion de grandeur ; de
plus la grandeur ’aire’ est en particulier approfondie de mani`
ere `
a inviter l’instituteur `
a une
reflexion rigoureuse sur l’enseignement pratique de cette notion.
Table des mati`
eres
1
Cours
4
1.1
Nombres
. . . .
4
1.2
Arithm´
etique
. . . .
11
1.3
G´
eom´
etrie plane
. . . .
14
1.4
G´
eom´
etrie dans l’espace
. . . .
24
2
Exercices
31
2.1
Nombres
. . . .
31
2.2
Arithm´
etique
. . . .
32
2.3
G´
eom´
etrie plane
. . . .
34
2.4
G´
eom´
etrie dans l’espace
. . . .
36
3
Examens
39
3.1
D´
ecembre 2007
. . . .
39
3.2
Janvier 2008
. . . .
40
3.3
Octobre 2008
. . . .
43
3.4
Janvier 2009
. . . .
45
3.5
Novembre 2009
. . . .
47
3.6
Janvier 2010
. . . .
48
3.7
Novembre 2010
. . . .
49
3.8
Janvier 2011
. . . .
50
3.9
Novembre 2011
. . . .
52
3.10 Janvier 2012
. . . .
52
1
Cours
1.1
Nombres
1.1.1
Qu’est-ce qu’un nombre ?
Les ensembles classiques de nombres sont les suivants :
N
ensemble des entiers naturels. 0, 1, 2, 3,. . .
D
ensembles des nombres d´
ecimaux. Ces nombres sont ceux qui n’ont qu’un nombre fini
de chiffres apr`
es la virgule. Par exemple, 0.1, 14.18 ou 777.7 sont des nombres d´
ecimaux.
Z
ensembles des entiers relatifs (ou entiers rationnels). Ces nombres sont entiers, mais
peuvent ˆ
etre n´
egatifs. Par exemple, 0, 1, 2 mais aussi −1, −2 ou −36 sont des entiers
relatifs.
Z[
101] : ensembles des d´
ecimaux relatifs. Ces nombres sont aux nombres d´
ecimaux ce-que les les
nombres entiers relatifs sont aux entiers naturels.
Q
ensembles des nombres rationnels. Ce sont les classes d’´
ecritures
pq, avec p, q ∈ Z, q 6= 0.
Si pq
0= p
0q, les ´
ecritures
pqet
pq00d´
esignent le mˆ
eme nombre rationnel. Pour cette raison,
on pense en g´
en´
eral `
a un nombre rationnel
pqcomme au r´
esultat de la division de p par
q (sachant que celle-ci ne se termine pas n´
ecessairement).
R
ensemble des nombres r´
eels. On peut se repr´
esenter mentalement cet ensemble de deux
mani`
ere :
Repr´
esentation alg´
ebrique. Un nombre r´
eel est un nombre `
a virgule, avec ´
eventuellement
une infinit´
e de chiffres apr`
es la virgule, cette suite de chiffres n’ob´
e¨ıssant pas n´
eces-sairement `
a une r`
egle simple.
Repr´
esentation g´
eom´
etrique. Les nombres r´
eels sont les points d’une droite, sur laquelle
sont fix´
ees une origine et une unit´
e.
Nous avons les relations suivantes :
N ⊂ D ⊂ Z[
1
10
] ⊂ Q ⊂ R
N ⊂ Z ⊂ Z[
1
10
]
Z ∩ D = N
Tous les ensembles de nombres peuvent ˆ
etre construits par un raisonnement logique en
par-tant de celui des entiers naturels. Il nous faut donc essayer de dire ce-qu’est un nombre
naturel. Commen¸cons par rappeler que les termes conter et compter s’´
ecrivaient de la mˆ
eme
fa¸con. Ainsi nous devons penser que tout d´
enombrement raconte une histoire, une histoire
de nombres. Le nombre de ces histoires est lui-mˆ
eme une histoire de nombres, que raconte
l’arithm´
etique.
D´
efinition 1 Deux collections ont le mˆ
eme nombres d’´
el´
ements si l’on peut former des
couples `
a partir des ces deux collections, de sorte que les deux membres d’un couple ne
pro-viennent pas de la mˆ
eme collection, et que tous les objets de chacune de collections soient
dans un tel couple. Un nombre est une collection abstraite, ordonn´
ee, dite de r´
ef´
erence, qui
repr´
esente toutes les collections ayant le mˆ
eme nombre d’´
el´
ements qu’elle.
1. Toute collection poss`
ede le mˆ
eme nombre d’´
el´
ements qu’elle-mˆ
eme.
2. Si les collections C et D ont le mˆ
eme nombre d’´
el´
ements, ainsi que les collections D et
E, alors les collections C et E ont le mˆeme nombre d’´el´ements.
1.1.2
Comment ´
ecrit-on les nombres ?
Apr`
es s’ˆ
etre fait une id´
ee de ce-que sont les nombres, nous nous int´
er´
essons maintenant `
a la
question de savoir comment les nommer et les ´
ecrire individuellement. Comme pour les mots
du langage courant, on utilise en g´
en´
eral un alphabet, c’est-`
a-dire un ensemble de symboles,
que l’on appelle alors des chiffres. Il convient alors de distinguer deux types d’´
ecriture des
nombres : celles qui tiennent compte de la position des chiffres les uns par rapport aux autres
(´
ecritures de position), et celle qui n’en tiennent pas compte (plus anciennes). Parmi les
´
ecritures de position, les plus commodes sont celles pour lesquelles chaque nombre ne peut
s’´
ecrire (et il le peut) que d’une seul mani`
ere. C’est le cas des ´
ecritures de position reposant
sur une base de num´
eration.
D´
efinition 2 ´
Ecriture en base k.
Soit k un nombre. Alors pour tout nombre n, il existe une suite unique de nombres a
0, . . . , a
pcompris entre 0 et k − 1, telle que
n = a
0+ a
1× k + a
2× k
2+ · · · + a
p× k
p.
Il suffit donc de choisir un symbole (i.e. un chiffre) pour chaque nombre de 0 jusqu’`
a k−1, pour
repr´
esenter chaque nombre entier : en notant a
0, a
1. . . le chiffre correspondant au nombre
a
0, a
1, . . . le nombre n s’´
ecrira
a
p. . . a
0, ou encore [a
p. . . a
0]
k.
Par exemple, le nombre k s’´
ecrira toujours 10 en base k. Ici 0 et 1 sont les chiffres qui
repr´
esentent les nombres habituellement not´
es 0 et 1, respectivement.
Exemple 3 L’´
ecriture des nombres la plus utilis´
ee de nos jours est l’´
ecriture en base 10 (dix),
dite ´
ecriture d´
ecimale. Les chiffres correspondant aux dix premiers nombres sont biensˆ
ur 0, 1,
2,. . . , 9. Dans ce cas, il n’est pas utile de souligner, ni d’´
ecrire “ dix ” en indice. Par exemple,
si a, b, c, d sont des chiffres (parmi les pr´
ec´
edents), l’´
ecriture abcd d´
esigne le nombre
a × 10
3|
{z
}
+
b × 10
3|
{z
}
+
c × 10
3|
{z
}
+
d × 10
3|
{z
}
a milliers
+
b centaines
+
c dizaines
+
d unit´
es
Autrement dit, le chiffre a repr´
esente le nombre de milliers,. . . , et le chiffre d repr´
esente le
nombre d’unit´
es.
Exemples d’utilisation.
Bases binaires. La base 2, ainsi que ces d´
eriv´
ees comme la base 16 = 2
4(hexad´
ecimal)
ou mˆ
eme 32 = 2
5, 64 = 2
6, 128 = 2
7, 256 = 2
8, . . . sont utilis´
ees en informatique.
L’int´
erˆ
et de telles bases en ´
eletronique est que les deux chiffres utilis´
es correspondent
aux positions Marche/Arrˆ
et d’un int´
errupteur, et que les tables d’additions et de
mul-tiplications correspondent aux op´
erations logiques OU et ET.
Bases 12 et 60 (sexag´
esimal). La douzaine est une quantit´
e encore utilis´
e pour
comp-ter les œufs. Une bonne raison de l’utiliser est que 12 = 3 × 4, ce qui permet de ranger
des denr´
ees dans des cartons de proportion commode, ce qui n’est pas le cas en base
10 = 2×5. La base sexag´
esimal (60 = 12×5) est la base employ´
ee par mesurer les dur´
ees.
La raison qui rend pratique cette base est que l’on peut diviser 60 par 1, 2, 3, 4, 5, 6 en
nombres entiers. Ainsi, la demi-heure, le tiers d’heure, le quart-d’heure, le cinqui`
eme
d’heure et le sixi`
eme d’heure, mais aussi les dixi`
eme, douzi`
eme, quinzi`
eme, vingti`
eme
et trenti`
eme d’heure, contiennent tous un nombre exacte de minutes. De mˆ
eme, une
minute est ais´
ement divisible en secondes. Pour mesurer les angles en degr´
e, on utilise
un d´
eriv´
e de la base sexag´
esimal, la base 360.
La base 12 est ´
egalement pratique pour compter sur les doigts d’une main : on se sert du
pouce pour d´
esigner une des 12 phallanges des 4 autres doigts, en partant par exemple
de l’index, et en allant de haut en bas. Pour obtenir une m´
ethode pour compter en base
60 on utilise alors l’autre main, le pouce d´
esignant alors un des autres doigts de cette
main correspondant `
a un multiple de 12. Avec un peu d’entraˆınement, il faut moins
d’une seconde (3 combinaisons de doigts utilisant les deux mains) pour d´
esigner un
nombre inf´
erieur `
a 60 × 60 × 60 = 216 000 !
Aspects historiques.
Chiffres romains. L’´
ecriture romaine des nombres est encore utilis´
ee pour ´
ecrire les
ann´
ees du calendrier sur certains bˆ
atiments. Il s’agit d’une ´
ecriture de position un peu
particuli`
ere. Par exemple, MCMLXXVII d´
esigne l’ann´
ee 1977. Cette ´
ecriture posent des
probl`
emes qui sont r´
esolus par l’utilisation des chiffres arabes.
2Il y a essentielement
deux probl`
emes pos´
es par cette ´
ecriture. Tout d’abord, il faudrait un alphabet infini
pour pouvoir ´
ecrire tous les nombres, car chaque symbole ne peut ˆ
etre r´
ep´
et´
e que 3 fois
de suite. Le second point d´
elicat est que certains nombres peuvent s’´
ecrire de plusieurs
fa¸con diff´
erentes. Par exemple, les ´
ecritures IC et XCIX d´
esignent toutes deux le nombre
99.
De nombreuses civilisations, comme la civilisation ´
egyptienne, ont utilis´
e des syst`
emes
de num´
eration semblables, et le syst`
eme romain en est une subsistance archa¨ıque.
Calculi. En latin calculi (au sing. calculus, d’`
ou calcul) signifie cailloux. Les premi`
eres
fa¸con de compter consistaient `
a entasser des cailloux, ou des pi`
eces de terre cuite, ou
encore `
a dessiner des entailles sur des bˆ
atons, en nombre ´
egal `
a la quantit´
e `
a d´
enombrer.
Cette m´
ethode, peu efficace, est assez proche de la d´
efinition de nombre que nous avons
vu ci-avant. On peut par exemple imaginer un berger qui, le matin met un caillou dans
un sac (ou dessine une encoche sur un bˆ
aton, voire trace un trait sur une ardoise), `
a
chaque brebis qui sort de l’´
etable. Le soir venu, lorsque le troupeau rentre `
a la bergerie,
il lui suffit de retirer les cailloux du sac un `
a un (ou compl´
eter en une croix chacun des
traits de l’ardoise) pour s’assurer qu’aucune brebis ne s’est ´
egar´
ee durant le jour.
Les calculi ´
etaient alors ´
eventuellement regroup´
es en petits paquets, qui eux-mˆ
emes
´
etaient regroup´
es en paquets,. . . , pr´
esageant ainsi de l’apparition des syst`
emes de
nu-m´
eration par position. On utilise encore ce principe pour compter les voies lors d’une
petite ´
election (par exemple dans un conseil), ou les points d’un match amical de basket
par exemple. Cela est en effet plus simple d’ajouter un trait que d’effacer le score `
a
chaque nouvelle voix ou nouveau panier.
2. En fait, il s’agit de chiffres indiens ; c’est l’invention de l’alg`ebre que l’on doit aux math´ematiciens arabes du moyen-ˆage.
Les symboles ci-contre repr´
esentent par exemple le nombre 23.
Nous savons maintenant ´
ecrire les nombres entiers. Pour les nombres r´
eels, on ´
ecrit apr`
es la
virgule de gauche `
a droite le nombre de dixi`
eme, celui des centi`
emes, celui des milli`
emes,. . . La
signification de la virgule est assez difficile `
a comprendre pour les jeunes enfants. En effet,
ceux-ci croient souvent que 3.14 est plus grand que 3.2 car 14 est plus grand que 2. Il y a encore
quelques dizaines d’ann´
ees, certaines personnes r´
efutaient l’existence mˆ
eme des nombres r´
eels,
en disant qu’il ´
etait absurde d’avoir une infinit´
e de chiffres apr`
es la virgule, cette suite de
chiffres n’ob´
eissant de plus pas forc´
ement `
a une r`
egle pr´
ecise. Pour sortir de cette m´
eprise, il
est donc bien n´
ecessaire de distinguer le nombre lui-mˆ
eme (qui ne d´
epend pas de nous), et
notre fa¸
con de l’´
ecrire, le plus souvent en base 10. Cette ´
ecriture est utile `
a la connaissance
des nombres, et le fait qu’elle soit insuffisante pour tout savoir ne saurait remettre en cause
leur existence.
1.1.3
Op´
erations sur les nombres
Les op´
erations classiques sur les nombres sont l’addition et la multiplication. La
sous-traction et la division (par un nombre diff´
erent de 0) en sont des cas sp´
eciaux. Des nombres
que l’on ajoute s’appellent les termes de la somme (addition) ; tandis que les nombres que
l’on multiplie s’appellent les facteur du produit (multiplication). Pour la division, on parle
´
egalement de dividende (celui que l’on, divise), de diviseur (celui qui divise), de quotient (le
r´
esultat) et de reste (pour une division sans virgule non exacte).
Dividende
10
5
Diviseur
Reste
0
2
Quotient
Pour effectuer une multiplication, il y a plusieurs m´
ethodes.
M´
ethode par Duplication. C’est la plus ancienne. Elle consiste `
a proc´
eder par duplication,
c’est-`
a-dire en proc´
edant uniquement `
a l’aide de multiplication par 2 et par addition.
Dans l’antiquit´
e, la duplication ´
etait consid´
er´
ee comme une op´
eration `
a part enti`
ere.
Il est d’ailleurs int´
eressant qu’elle est fortement li´
e `
a l’´
ecriture du second facteur du
produit en base 2, et d’une certaine mani`
ere, on peut dire que nos ordinateurs actuels
utilisent encore cette m´
ethode.
M´
ethode des jalousies. Voici un exemple : 456 × 789 = 359784
4
5
6
×
7
8
9
2 83 54 2 3 24 04 8 3 64 55 4 1 1 1 1 3 5 9 7 8 4La multiplication par jalousies est une technique de multiplication qui se pratiquait au
Moyen ˆ
Age en Chine, en Inde, chez les Arabes aussi bien qu’en Occident, et se pratique
encore aujourd’hui en Turquie. Le nom de ”multiplication par jalousies” provient du
fait que la structure des diagonales ´
evoque le dispositif de lamelles ´
equipant certaines
fenˆ
etres orientales et appel´
e ”jalousies”.
Proposition 4 Les propri´
et´
es classiques des op´
erations sont les suivantes :
- l’addition et la multiplication sont associatives et commutatives
(a + b) + c = a + (b + c) ,
(a × b) × c = a × (b × c) ;
- l’addition est distributive par rapport `
a la multiplication
(a + b) × c = a × c + b × c .
Dans cette derni`
ere ´
equation, il est convenu comme de coutume que la multiplication est
prioritaire sur l’addition.
1.1.4
Ordre
De mˆ
eme que les nombres entiers, les nombres r´
eels sont ordonn´
es par la relation a ≤ b.
Th´
eor`
eme 5 Soient a et b deux nombres. Alors ou bien a ≤ b ou b ≤ a.
Ce thˆ’eor`
eme peut paraˆıtre ´
evident, mais toutes les notions d’ordre ne sont pas aussi verticales
que celle-ci. Par exemple, si on appelle Palette un ensemble fini de couleurs, on peut d´
efinir
une notion d’ordre en disant qu’une Palette P
1est plus petite qu’une Palette P
2si toutes les
couleurs de P
1sont aussi des couleurs de P
2. Alors, si l’on a deux palettes quelconques, il
n’est pas sˆ
ur ces palettes soient comparables. Tout ce que l’on peut dire, c’est qu’il existe une
troisi`
eme palette, qui est `
a la fois plus grande que les deux premie`
eres. Cette notion d’ordre
s’appelle alors un treillis. La voie hi´
erachique au sein d’un groupe est en g´
en´
eral un treillis,
par exemple. Un autre exemple sera celui de la notion de divisibilit´
e, ´
etudi´
ee au chapitre sur
l’arithm´
etique.
Ce th´
eor`
eme a des cons´
equences importantes.
Applications
Segments. Entre deux nombres distincts, il y en a toujours un troisi`
eme.
En effet, si a et b, sont deux nombres distincts avec a < b, le nombre
a+b2est compris
strictement entre les nombres a et b. L’ensemble des nombres compris entre a et b est
alors infini, comme on le voit en it´
erant ce proc´
ed´
e. Cet ensemble s’appelle un intervalle
(avec un qualificatif ouvert ou ferm´
e selon que l’on inclus a et/ou b), ou encore segment,
et se note [a, b] (dans le cas ferm´
e, les crochets ´
etant tourn´
es dans l’autre sens en cas
d’exclusion de a et/ou b).
D´
eveloppement d´
ecimal. Grˆ
ace `
a ce th´
eor`
eme, le d´
eveloppement d´
ecimal d’un nombre
r´
eel peut ˆ
etre d´
efini sans ambiquit´
e. Par exemple,
3.74999 . . . = 3.75 ,
car il n’y a aucun nombre entre les deux nombres ci-dessus. Ils sont donc ´
egaux, d’apr`
es
l’application pr´
ec´
edente. Il est alors convenu que l’´
ecriture d´
ecimal d’un nombre ne peut
se terminer par une infinit´
e de chiffre 9. De cette fa¸
con l’´
ecriture d´
ecimale d’un nombre
r´
eel est unique.
Th´
eor`
eme 6 ´
Enon¸
cons ce th´
eor`
eme sous forme d’un exemple.
S’il y a plus de chausettes que de tiroirs,
Ce th´
eor`
eme a biensuˆ
ur une formulation plus abstraite, et porte le nom de “principe des
tiroirs”.
Applications
Descente infinie. Le principe des tiroirs a pour cons´
equence que toute suite d´
ecroissante
de nombres entiers naturels est stationnaire `
a partir d’un certain rang. Autrement dit,
une telle suite ne peut pas ˆ
etre strictement d´
ecroissante. `
A titre d’exemple, montrons
pourquoi ceci implique l’irrationnalit´
e de
√
2. Si (
pq)
2= 2, alors p est forc´
ement pair,
donc p
2est un multiple de 4. Mais ceci implique que q est pair. Donc on peut simplifier
la fraction p/q par 2. Nous obtenons alors une fraction
pq00, avec p
0< p par exemple, et
v´
erifiant toujours (
pq00)
2= 2. Nous pouvons r´
ep´
eter ce raisonnement sur cette nouvelle
fraction, et ainsi de suite, pour obtenir une suite strictement d´
ecroissante de num´
erateurs
strictement positifs. Or ceci est impossible. Nous en d´
eduisons que
√
2 est irrationnel.
D´
ecimales d’un nombre rationnel. Nous d´
eduisons aussi du principe des tiroirs que
le d´
eveloppement d´
ecimal de tout nombre rationnel est ultimement p´
eriodique
Dans la division de deux nombres entiers naturels , p par q, faite la main, supposons
que l’on soit arriv´
e au point o l’on commence `
a abaisser des 0. `
A partir de ce moment-l`
a,
observons la suite des restes que l’on obtient : si cette suite est finie, cela signifie que
le nombre se termine par une infinit´
e de 0, ce qui est bien p´
erodique ; si cette suite est
infinie, notons qu’elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs car chaque reste est < q.
Donc apr`
es au plus q + 1 ´
etapes, nous avons au moins 2 restes identitiques, d’apr`
es
le principe des tiroirs. Il en d´
ecoule que la suite de restes situ´
es entre ces deux-ci va
se r´
ep´
eter sans arrˆ
et, et les chiffres correspondants dans le quotient vont ´
egalement se
r´
ep´
eter dans le mˆ
eme ordre.
1.1.5
Quel est le nombre de nombres ?
Ensembles d´
enombrables...
Un ensemble (de nombres) est dit d´
enombrable si l’on peut dresser une liste ´
eventuellement
infinie, des nombres de cet ensemble. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels est d´
e-nombrable. Mais Z est aussi d´ee-nombrable. Par exemple, la suite : 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .
contiendra tous les entiers relatifs exactement une fois. Plus surprenant est le fait que
l’en-semble des nombres rationnels est d´
enombrable. En effet il suffit de voir que l’ensemble des
couples (p, q) ∈ N × N est d´enombrable. La liste est la suivante :
(0, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 2), (1, 1), (2, 0), (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0), . . .
...et non d´
enombrables.
Par contre, l’ensemble des nombres r´
eels est non d´
enombrable. Autrement dit, le ”nombre”
de nombres r´
eels est vraiment plus grand que celui des nombres entiers. C’est un infini plus
grand que l’infini des nombres entiers. Ceci sera montr´
e dans les exercices.
Ceci appelle bien d’autres questions : quel est le nombre d’infinis ? Y a-t-il un ou des infinis
entre celui des naturels ou celui des r´
eels ? Autant de questions vertigineuses, qui montrent
que mˆ
eme si l’on a ici essay´
e de se faire une id´
ee pr´
ecise de ce qu’est un nombre, la notion de
nombre est loin d’avoir ´
et´
e ´
epuis´
ee.
Annexe : M´
ethode de la fausse supposition
La m´
ethode dite de la fausse supposition est destin´
ee `
a la r´
esolution des probl`
emes lin´
eaires
`
a deux inconnues lorsque l’on ne connaˆıt pas de m´
ethode alg´
ebrique (syst`
emes d’´
equations).
Il ne n´
ec´
essite donc pas de connaissance en alg`
ebre telle que la manipulation d’une ´
equation,
mais seulement un peu de raisonnement et de bon sens. Cette m´
ethode ´
etait enseign´
e `
a
l’´
epoque du certificat d’´
etude, aux ´
el`
eves qui n’entraient pas en classe de 6i`
eme et se
desti-naient `
a un apprentissage professionnel. C’´
etait aussi l’´
epoque des probl`
emes de trains qui
se croisent, de baignoire qui se remplissaient en se vidant,. . .autant de probl`
emes sans trop
d’int´
erˆ
et qui pouvaient ˆ
etre r´
esolu par cette m´
ethode.
N´
eanmoins, cette m´
ethode est particuli`
erment adapt´
ee aux probl`
emes d’alliages de m´
etaux,
et c’est donc aussi l’occasion de r´
e-viser le principe d’ Archim`
ede. Par ailleurs, cette m´
ethode
se g´
en´
eralise `
a 3 inconnues ou plus, et apparaˆıt alors dans le domaine des math´
ematiques
ap-pel´
e optimisation lin´
eaire, et est alors plus connue sous le nom de m´
ethode du simplexe. Elle est
cruciale dans certains probl`
emes strat´
egiques (domaine militaire) ou de logistique (domaine
industriel), et fait aujourd’hui encore l’objet de nombreuses recherche en math´
ematiques. Pour
toutes ces raisons, et peut-ˆ
etre d’aut’res, il me semble que cette m´
ethode reste d’actualit´
e pour
les professeurs des ´
ecoles d’aujourd’hui et de demain.
Plutˆ
ot qu’un long et obscure discours d´
ecrivant la m´
ethode, nous proposons ici deux
exemples, pr´
esent´
es sous la forme d’exercices. Le premier, tr`
es facile, est destin´
e `
a pr´
esenter le
principe de la m´
ethode, tandis que le second, plus difficile, est le probl`
eme d’alliage classique
pos´
e `
a Archim`
ede.
1er Exemple
Le prix d’entr´
ee d’une piscine est de 2
e pour les adultes, et 1e pour les enfants. A la
fin d’une journ´
ee, on constate que 150 personnes ont pay´
e une entr´
ee, pour une recette totale
de 200
e.
1. Quel serait la recette si les 150 personnes ´
etaient des adultes ? (c’est la fausse supposition)
2. Si l’on remplace un adulte par un enfant, de quel montant diminue la recette ?
3. En d´
eduire le nombre d’adultes et d’enfants ayant pay´
e une entr´
ee.
Solution. 50 adultes, et 100 enfants.
2`
eme Exemple
Vitruve rapporte que H´
eron II de Syracuse aurait demand´
e `
a Archim`
ede de v´
erifier si la
couronne qu’il avait command´
ee `
a un artisan ´
etait en or, ou bien si celui-ci y avait mis de
l’argent `
a la place. Sachant que le roi avait donn´
e 347, 4 g d’or `
a l’artisan, Archim`
ede eut
l’id´
ee de plonger la couronne dans un bassin carr´
e, de base 18 cm
2, et constata que le niveau
d’eau s’´
elevait alors de 1.2 cm.
1. Sachant que la masse volumique de l’or est de 19.3 t/m
3, qu’en a d´
eduit Archim`
ede ?
2. Sachant par ailleurs que la masse volumique de l’argent est de 10.5 t/m
3, quel est le poids
d’or qui a ´
et´
e remplac´
e par de l’argent ?
Solution.
Il convient de commencer par quelques consid´
erations de bon sens. On effectue d’abord une
petite conversion pour unifier les unit´
es de masse et de volume. Nous obtenons alors que la
masse volumique de l’or est de 19.3 g/cm
3(et de mˆ
eme celle de l’argent est de 10.5 g/cm
3).
Par ailleurs, si H´
eron fait appel `
a Archim`
ede plutˆ
ot qu’`
a une balance,
3c’est que l’artisan,
qu’il ait faut´
e ou non, a rendu au roi une couronne dont le poids est ´
egal `
a celui d’or qui lui
a ´
et´
e confi´
e. Ainsi la couronne a une masse de 347.4 g.
1. Une masse de 1 g d’or a un volume de
19.31cm
3. Nous en d´
eduisons qu’une couronne en or
pesant 347.4 g a un volume de 347.4/19.3 cm
3, soit 18 cm
3. En plongeant une telle couronne
dans le bassin, le niveau d’eau devrait donc monter de 1 cm. Apr`
es Archim`
ede, nous en
d´
eduisons donc que la couronne n’est pas compos´
e uniquement d’or, mais ´
egalement d’un
compos´
e qui, pour une mˆ
eme masse, occupe un volume plus grand, c’est-`
a-dire un mat´
eriau
plus l´
eger, ici l’argent.
2. Comme le niveau d’eau monte de 1.2 cm, le volume de la couronne est de 18 × 1.2 cm
3, soit
21.6 cm
3. Par rapport `
a une couronne en or (c’est la fausse supposition), le volume a donc
augment´
e de 3.6 cm
3. Or, 1 g d’or a pour volume
19.31cm
3, tandis que 1 g d’argent a pour
volume
10.51cm
3.
Donc, en rempla¸
cant 1 g d’or par 1 g d’argent, le volume augmente de
10.51−
19.31cm
3.
Par proportionnalit´
e, nous en d´
eduisons que la masse d’or remplac´
ee par de l’argent est :
3.6
1 10.5−
1 19.3g = 118.43 g .
Ainsi, la couronne contient 118.43 g d’argent, et 347.4 g − 118.43 g d’or, soit 228.97 g d’or.
Remarque.
1. Biensuˆ
ur, Archim`
ede ne connaissait pas la masse volumique de l’or et de l’argent, ni mˆ
eme
la notion de masse volumique. Pour faire apparaˆıtre la fraude, il a compar´
e les niveaux
d’´
el´
evation d’eau de la couronne et d’une masse d’or ´
egale `
a celle de la couronne. Il n’est
donc besoin d’aucun calcul pour se convaincre de la culpabilit´
e de l’artisan.
2. Ces deux probl`
emes peuvent biensˆ
ur ˆ
etre r´
esolus `
a l’aide d’un syst`
eme d’´
equations. Il
est int´
eressant de noter que, lorsque l’on r´
esout les syst`
emes obtenus par substitution, les
diff´
erentes ´
etapes du calcul correspondent pr´
ecis´
ement aux diff´
erentes ´
etapes du
raisonne-ment effectu´
e lors la m´
ethode de la fausse supposition.
1.2
Arithm´
etique
1.2.1
Divisibilit´
e, PGCD et PPCM
D´
efinition 7 Division euclidienne
C’est la division, avec un reste entier, de deux nombres entiers.
Soient a, b deux nombres entiers, avec b 6= 0. Alors il existe un entier q, le quotient, et un
nombre entier r < b, le reste, tels que
a = bq + r .
D´
efinition 8 Soient a, b deux nombres entiers, avecb 6= 0. Si le reste de la division euclidienne
a : b est nul, alors on dit que :
– b divise a
– b est un diviseur, ou un sous-multiple, de a
– a est un multiple de b
Cette relation s’´
ecrit alors b|a. Cela est ´
equivalent de dire qu’il existe un nombre entier q tel
que a = bq.
La relation de divisibilit´
e a|b est une relation d’ordre : en effet, si a est un multiple de b,
qui lui-mˆ
eme est un multiple de c, alors a est aussi un multiple de c. En outre cette relation
d’ordre est plus fine que la relation habituelle a ≤ b, car si a|b, alors a ≤ b mais la r´
eciproque
est fausse.
Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres diff´
erents de 0. Si a, b sont deux nombres
entiers, alors a × b est un multiple de a ET de b. Donc ´
etant donn´
es deux nombres non nuls,
ils ont au moins un diviseur commun (1) et un multiple commun (ab).
D´
efinition 9 Si a et b 6= 0 sont deux nombres entiers, alors ils n’ont qu’un nombre fini de
diviseurs en commun. Le plus grand d’entre eux est appel´
e ”plus grand commun diviseur de
a et de b” ou pgcd de a et b. Lorsque le pgcd vaut 1, nous disons que a et b sont premiers
entre eux. Si a et b sont deux nombres entiers, alors leurs multiples communs sont tous plus
grands que le maximum entre a et b. Parmi eux, il en est un qui est plus petit que tous les
autres, c’est le plus petit commun multiple de a et de b, ou pgcd de a et b.
Calcul pratique du PGCD : algorithme d’Euclide
Calculons, par exemple, le pgcd de 1071 et de 1029 `
a l’aide de l’algorithme d’Euclide :
1071
=
1029 × 1 + 42
1029
=
42 × 24 + 21
42
=
21 × 2 + 0
(1)
Il faut prendre le dernier reste avant le z´
ero, donc pgcd(1071, 1029) = 21.
Application : lemme de B´
ezout.
Soient a et b deux entiers non nuls. Alors il existe des nombres entiers x et y tels que
ax + by = pgcd(a, b)
. Deux tels nombres peuvent ˆ
etre trouv´
es grˆ
ace `
a l’algorithme d’Euclide (´
etendu).
Voici un exemple :
r = = = u×a + v×b 120 = 1 × 120 - 0× 23 = = 120 23 = 0 × 120 + 1× 23 = = 23 5 = 1 × 120 - 5 × 23 = = 1 × 120 - 5 × 23 3 = 1 × 23 - 4 × 5 = 1×23 - 4 × (1×120 - 5×23) = -4 × 120 + 21 × 23 2 = 1 × 5 - 1 × 3 = (1×120 - 5×23) - 1 × (-4×120 + 21×23) = 5 × 120 - 26 × 23 1 = 1 × 3 - 1 × 2 = (-4×120 + 21×23) - 1 × (5×120 - 26×23) = -9 × 120 + 47 × 23Proposition 10 Soient a et b deux nombres entiers. Appelons c le pgcd de a et b. Alors Un nombre entier d est un diviseur de a et b si et seulement si d|c.
En effet, si d|a alors d|ax. De mˆeme d|by. Donc d|ax+by = c. On peut ´egalement le voir sur l’algorithme d’Euclide.
1.2.2
Congruences
D´efinition 12 Soit n un nombre entier diff´erent de 0. Lorsque deux nombres entiers a et b ont le mˆeme reste lorsque l’on divise ces nombres par n, on dit que a est congru `a b modulo n, et on ´ecrit
a ≡ b (mod n) .
Th´eor`eme 13 (Addition et multiplication des restes.)
Soient n un entier non nul, et a, b, c, et d des nombres entiers tels que a ≡ b(mod n) et c ≡ d(mod n). Alors
a + c ≡ b + d(mod n) et ac ≡ bd(mod n) . Application aux r`egles de divisibilit´e
Divisibilit´e par 2 Un nombre est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unit´es est divisible par 2.
En effet, si u est le nombre d’unit´es de a, alors a−u est un multiple de 10 et est donc un multiple de 2. Donc a ≡ u (mod 2).
Divisibilit´e par 3 Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
En effet, soit a = a0+ a×10 + a2× 102+ · · · + ak× 10k un nombre. On sait que 10 ≡ 1 (mod 3),
et donc 10n ≡ 1n ≡ 1 (mod 3). Par la r`egle d’addition des restes, nous en d´eduisons que a ≡
a0+ a1+ · · · + ak(mod 3).
Divisibilit´e par 4 Un nombre est divisible par 4 si et seulement si le nombre form´e par les deux derniers chiffres est divisible par 4.
Divisibilit´e par 5 Un nombre est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unit´es est divisible par 5.
Divisibilit´e par 6 Un nombre est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et par 3. Divisibilit´e par 8 Un nombre est divisible par 8 si et seulement si le nombre form´e par les trois
derniers chiffres est divisible par 8.
Divisibilit´e par 9 Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Pour le voir on fait un raisonnement analogue au cas de la division par 3.
Divisibilit´e par 10 Un nombre est divisible par 10 si et seulement si son chiffre des unit´es est 0. Divisibilit´e par 11 Un nombre est divisible par 11 si et seulement si la somme altern´ee de ses
chiffres est divisible par 11.
En effet, comme 10 ≡ −1 (mod 11), on a 10k≡ (−1)k(mod 11) pour tout entier naturel k. Soit
maintenant n = ar· · · a1a0= a0+ a1× 10 + · · · + ar× 10run entier. Alors d’apr`es ce qui pr´ec`ede,
on en conclut n ≡ a0− a1+ a2− · · · + (−1)rar(mod 11).
Divisibilit´e par 12 Un nombre est divisible par 12 si et seulement si il est divisible par 4 et par 3.
Divisibilit´e par 7 Il existe plusieurs crit`eres.
1. `A utiliser pour les petits nombres (au plus 3 chiffres).
Un nombre n = k × 10 + u est divisible par 7 si et seulement si k − 2u est divisible par 7. En effet, on peut ´ecrire 1 = −2 × 10 + 3 × 7 (B´ezout). Donc
−2 × n ≡ k(−2 × 10) − 2d ≡ k − 2d (mod 7) .
Or, comme 2 et 7 sont premiers entre eux, le nombre n est divisible par 7, si et seulement si le nombre −2n est divisible par 7.
2. `A utiliser pour les grands nombres.
Soit n un nombre. On d´ecompose n en nombres de 3 chiffres en partant de la droite. Puis, on intercale des signes + et −, en partant de la droite, en commen¸cant par le signe −. Enfin, on effectue l’op´eration obtenue, pour obtenir un r´esultat m (qui poss`ede beaucoup
moins de chiffres que n). Alors :
Le nombre n est divisible par 7 si et seulement si m es divisible par 7.
1.2.3
Nombres premiers
D´efinition 14 Un nombre p > 1 est premier s’il ne poss`ede pas de diviseur autre que 1 et lui-mˆeme.
Th´eor`eme 15 (th´eor`eme fondamental de l’arthm´etique)
” Tout entier peut s’´ecrire, de fa¸con unique, comme un produit de nombre premier.” Plus pr´ecis´ement, soit n > 1. Alors il existe des nombres premiers p1< · · · < pk et des nombres
entiers naturels strictement positifs n1, . . . , nk tels que
n = pn1
1 × · · · × p nk
k .
De plus, cette d´ecomposition est unique.
L’existence se montre par r´ecurence. Pour l’unicit´e, on utilise le lemme de B´ezout, ou bien on peut aussi utiliser une m´ethode de descente infinie.
Exemple 16
1. Dresser la liste des nombres premiers inf´erieurs `a 100.
2. Le nombre 3977 = 41 × 97 n’est pas premier 163057 = 412× 97.
Il existe une infinit´e de nombre premiers, comme l’avaient d´ej`a remarqu´e les math´ematiciens grecs antiques. En effet, supposons en raisonnant par l’absurde qu’il n’existe qu’un nombre fini, disons k, de nombres premiers. Appelons ces nombres p1, . . . , pk. Alors le nombre p1× · · · × pk+ 1 n’est divisible
par aucun des nombres premiers. D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, il n’est divisible par aucun entier autre que 1 et lui-mˆeme. Donc il est premier, et il y a donc au moins k + 1 nombre premier, ce qui est en contradiction avec l’hypoth`ese.
Application `a la simplification des fractions Par exemple, 504 540 = 23· 32· 7 22· 33· 5 = 2 · 7 3 · 5 = 14 15. Application au calcul du pgcd et du ppcm
Pour obtenir le pgcd de deux nombres, on effectue le produit des nombres premiers qui apparaissent dans ces nombres, ´elev´es chacun `a la puissance minimale `a laquelle il apparaˆıt.
Pour obtenir le ppcm de deux nombres, on effectue le produit des nombres premiers qui apparaissent dans ces nombres, ´elev´es chacun `a la puissance maximale `a laquelle il apparaˆıt.
1.3
G´
eom´
etrie plane
Introduction : qu’est-ce-que la g´
eom´
etrie ?
Dans le programme de Erlangen, F. Klein donne une vision de la g´eom´etrie pour laquelle l’´etude dTheseAbstract.pdfes figures g´eom´etriques est indissociables de celle des transformations qui laissent invariantes de telles figures.
1.3.1
Figures classiques
Triangles
Dans un triangle, la somme des angles vaut toujours 180°. L’aire du triangle est donn´ee par A = Base × Hauteur
D´efinition 17 Un triangle ABC est dit isoc`ele en A lorsque ses cˆot´es AB et AC ont mˆeme longueur.
Proposition 18 Un triangle ABC est isoc`ele en A si et seulement si l’une des conditions suivantes est r´ealis´ee.
(i) Les angles ˆB et ˆC ont mˆeme mesure.
(ii) La hauteur issue de A, la m´ediane issue de A et la m´ediatrice du segment [BC] sont confondues.
D´efinition 19 Un triangle est dit ´equilat´eral lorsque ses 3 cˆot´es ont mˆeme longueur.
Proposition 20 Un triangle ABC est ´equila´eral si et seulement si l’une des conditions suivantes est r´ealis´ee.
(i) Il est isoc`ele en chacun de ses sommets. (ii) Les angles ˆA, ˆB et ˆC ont mˆeme mesure.
(iii) La hauteur issue de A (resp. B, C), la m´ediane issue de A (resp. B,C) et la m´ediatrice du segment [BC] (resp. [AC], [AB]) sont confondues.
D´efinition 21 Un triangle ABC est dit rectangle en A lorsque la mesure de l’angle ˆA vaut 90°. Le cˆot´e [BC] est alors appel´e hypoth´enuse.
Proposition 22 Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si l’une des conditions suivantes est r´ealis´ee.
(i) La somme des mesures des angles ˆB et ˆC vaut 90°.
(ii) La m´ediane issue de A a pour longueur la moiti´e de celle du cˆot´e oppos´e.
Quadrilat`
eres
Un quadrilat`ere est convexe lorsque l’on eut l’entourer avec une ficelle, et que celle-ci vient se poser sur tous les cˆot´es du quadrilat`ere. La mˆeme d´efinition est d’ailleurs possible pour tous les polygones. Dans un quadrilat`ere convexe, la sommme des angles vaut toujours 360°.
D´efinition 23 Un parall´elogramme est un quadrilat`ere dont les diagonales se coupent en leur milieu.
Proposition 24 Le quadrila`ere ABCD est un parall´logramme si et seulement si l’une des conditions suivantes est r´ealis´ee.
(i) Ses cˆot´es oppos´es sont parall`eles
(ii) Ses cˆot´es oppos´es ont mˆemes longueurs.
(iii) Les cˆot´es AB et CD (resp. BC et DA) sont parallels et ont la mˆeme longueur. L’aire d’un parall`elogramme est donn´ee par
A = Cˆot´e × Hauteur , o`u la hauteur est celle perpendiculaire au cˆot´e choisi.
D´efinition 25 Un parall´elogramme ABCD est un rectangle lorsque ses diagonales ont la mˆeme lon-gueur.
Proposition 26 Le quadrila`ere ABCD est un rectangle si et seulement si l’une des conditions sui-vantes est r´ealis´ee.
(i) Le quadrilat`ere ABCD est un parall´elogramme et il poss`ede un angle droit (ii) Il poss`ede 4 angles droits
D´efinition 27 Un parall´elogramme ABCD est un losanges lorsque ses diagonales sont perpendicu-laires.
Proposition 28 Le quadrila`ere ABCD est un losange si et seulement si l’une des conditions sui-vantes est r´ealis´ee.
(i) Le quadrilat`ere ABCD est un parall´elogramme et ses 2 cˆot´es cons´ecutifs ont la mˆeme longueur. (ii) Il poss`ede 4 cˆot´es de mˆemes longueurs.
D´efinition 29 Un quadrila`ere ABCD est un carr´e lorsqu’il est `a la fois rectangle et losange, c’est-` a-dire lorsque ses diagonales sont perpendiculaires et ont la mˆeme longueurs.
En particulier, un carr´e poss`de 4 angles droits, et ses 4 cˆot´es ont la mˆeme longueur. Pour montrer qu’un quadrilat`ere est un carr´e, il suffit par exemple de montrer qu’il poss`ede 3 angles droits et deux cˆot´es cons´ecutifs de mˆeme longueur.
D´efinition 30 Un quadril`ere est un trap`eze lorsqu’il poss`ede deux cˆot´es de la mˆeme longueur. L’aire du trap`eze convexe est donn´ee par :
A = (Petite base + Grande base) × hauteur
2 .
Polygones r´
eguliers convexes
Les polygones r´eguliers convexes sont les polygones convexes, dont les cˆot´es ont tous la mˆeme longueur, et dont les angles internes ont tous la mˆeme mesure. De mani`ere g´en´erale, la somme des angles d’un polygone convexe `a n cˆot´es vaut (n − 2) × 180°. Biensˆur le polygone r´egulier convexe `a 3 cˆot´es est le triangle ´equilat´eral, et le le polygone r´egulier convexe `a 4 cˆot´es est le carr´e. Comme ils sont constructibles `a la r`egle et au compas, on peut se demander ce qu’il en est des autres polygones r´eguliers convexes. Tous les ´el´eves se sont un jour amus´es `a tracer une rosace avec un compas, ce qui revient au mˆeme que de construire l’hexagone r´egulier.
Les math´ematiciens grecs, depuis au moins Py-thagore, savaient ´egalement construire un pentagone r´egulier. Apr`es avoir construit un triangle d’or OA0C en se r´ef´erant `a la figure 1, on proc`ede comme in-diqu´e ci-contre. La question de la construction des autres polygones r´eguliers est longtemps rest´ee sans r´eponse. Nous avons le surprenant th´eor`eme suivant, qui fait une fois de plus apparaˆıtre un lien subtil entre arithm´etique et g´eom´etrie.
Th´eor`eme 31 (Th´eor`eme de Gauss-Wantzel) Un po-lygone `a n cˆot´es est constructible si et seulement si n est le produit d’une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers4 tous diff´erents.
1.3.2
Constructions `
a la r`
egle et au compas
Dans ce paragraphe, il est entendu que “r`egle” signifie “r`egle non gradu´ee”. Un construction `a la r`egle et au compas se fait en prenant pour centre des cercles des points d´ej`a en ´evidence sur la figure, et leur rayon les longueurs entre deux tels points, et des droites passant par deux points ´egalement en ´evidence. Les intersections de ces droites et cercles avec ceux d´ej`a pr´esents met en ´evidence de nouveaux
4. Un nombre de Fermat est un nombre de la forme 22r+ 1. Pour r = 0, 1, 2, 3, 4 on obtient respectivement les nombres premiers 3, 5, 17, 257, 65537. Il a ´et´e d´emontr´e que pour r = 5 jusqu’`a r = 32, les nombres de Fermat ne sont pas premiers. A partir de r = 33, personne ne sait s’il existe des nombres de Fermat premiers.
Plan de construction :
- tracer l’arc de cercle de centre A
de rayon AC = AB tel que
BAC = 90
ˆ
° ;
- le point I est le milieu du segment [AC]
- le point D est tel que IB = ID ;
- le point F est tel que BF = AD
Figure 1 – Construction du triangle d’or
points qui peuvent `a leur tour ˆetre utilis´es pour de nouveaux trac´es. Un question historiquement importante est de savoir quels points l’on peut obtenir en partant de deux points distincts. Les 3 grands probl`emes de la g´eom´etrie antique (quadrature du cercle, trisection de l’angle, et duplication du cube) se ram`enent tous `a des cas particuliers de cette question. Le premier math´ematicien `a sugg´erer, sans le d´emontrer que pour la duplication du cube, la construction `a la r`egle est au compas seuls est impossible est Ren´e Descartes. Peu `a peu les math´ematiciens deviennent convaincus de l’impossibilit´e de ces constructions, tandis que ces probl`emes deviennent assez populaires, amenant de nombreux n´eophytes `
a chercher en vain de telles constructions. En 1775, l’Acad´emie des Sciences annonce qu’elle a d´ecid´e “de ne plus examiner aucune solution des probl`emes de la duplication du cube, de la trisection de l’angle, ou de la quadrature du cercle, ni aucune machine annonc´ee comme un mouvement perp´etuel. [...] Une exp´erience de plus de soixante-dix ans a montr´e `a l’Acad´emie qu’aucun de ceux qui lui envoyaient des solutions de ces probl`emes n’en connaissaient ni la nature ni les difficult´es, qu’aucune des m´ethodes qu’ils employaient n’auraient pu les conduire `a la solution, quand mˆeme elle serait possible. Cette longue exp´erience a suffi pour convaincre l’Acad´emie du peu d’utilit´e qui r´esulterait pour les Sciences, de l’examen de toutes ces pr´etendues solutions. D’autres consid´erations ont encore d´etermin´e l’Acad´emie. Il existe un bruit populaire que les Gouvernements ont promis des r´ecompenses consid´erables `a celui qui parviendrait `a r´esoudre le Probl`eme de la quadrature du cercle, que ce Probl`eme est l’objet des recherches des G´eom`etres les plus c´el`ebres ; sur la foi de ces bruits, une foule d’hommes beaucoup plus grande qu’on ne le croit renonce `a des occupations utiles pour se livrer `a la recherche de ce Probl`eme, souvent sans l’entendre, et toujours sans avoir les connaissances n´ecessaires pour en tenter la solution avec succ`es : rien n’´etait plus propre `a les d´esabuser que la d´eclaration que l’Acad´emie a jug´e de devoir faire. Plusieurs avaient le malheur de croire avoir r´eussi, ils se refusaient aux raisons avec lesquelles les g´eom`etres attaquaient leurs solutions, souvent ils ne pouvaient les entendre et ils finissaient par les accuser d’envie ou de mauvaise foi. Quelquefois leur opiniˆatret´e a d´eg´en´er´e en une v´eritable folie. Tout attachement opiniˆatre `a une opinion d´emontr´ee fausse, s’il s’y joint une occupation perp´etuelle du mˆeme objet, une impatience violente de la contradiction, est sans doute une v´eritable folie ; mais on ne la regarde point comme telle, si l’opinion qui forme cette folie ne choque pas les id´ees connues des hommes, si elle n’influe pas sur la conduite de la vie, si elle ne trouble pas l’ordre de la Soci´et´e. La folie des quadrateurs n’auraient donc pour eux aucun autre inconv´enient que la perte d’un temps souvent utile `a leur famille ; mais malheureusement la folie se borne rarement `a un seul objet, et l’habitude de d´eraisonner se contracte et s’´etend comme celle de raisonner juste ; c’est ce qui est arriv´e plus d’une fois aux quadrateurs. D’ailleurs ne pouvant se dissimuler combien il serait singulier qu’ils fussent parvenus sans ´etude `a des v´erit´es, que les hommes les plus c´el`ebres ont inutilement cherch´ees, ils se persuadent presque tous que c’est par une protection particuli`ere de la Providence qu’ils y sont parvenus, et il n’y a qu’un pas de cette id´ee `a croire que toutes les combinaisons bizarres d’id´ees qui se pr´esentent `a eux, sont autant d’inspirations. L’humanit´e exigeait donc que l’Acad´emie, persuad´ee de l’inutilit´e absolue de l’examen qu’elle aurait pu faire des solutions de la quadrature du cercle, cherchˆat `a d´etruire, par une d´eclaration publique, des opinions populaires qui ont ´et´e funestes `a plusieurs familles.” La situation est alors assez paradoxale puisque l’impossibilit´e de ces constructions n’est alors toujours pas d´emontr´ee, mais seulement tr`es fortement pr´essentie par la communaut´e des math´ematiciens.
En 1837, Pierre-Laurent Wantzel montre enfin que la duplication du cube est impossible. Pour les deux autres probl`emes, il faut attendre 1882 pour que Lindemann d´emontre leur impossibilit´e, plus d’un si`ecle apr`es la d´ecision de l’acad´emie. Et pourtant mˆeme aujourd’hui, certains essaient encore et toujours.
Voici cependant une liste de constructions possibles `a la r`egle et aux compas, et utiles pour apprendre `
a raisonner juste et s’appliquer `a effectuer des construtions propres et pr´ecises, bref, apprendre la g´eom´etrie.
• Parall`ele et perpendiculaire `a une droite passant par un point.
Par tout point passe une droite et une seule, parall`ele `a une droite donn´ee. Cet ´enonc´e ´etait consid´er´e comme un axiome par les math´ematiciens de l’antiquit´e. L’autre axiome fondateur de la ´eom´etrie, qui le pr´ed`ede stipule que par deux points donn´es, passe une et une seule droite. On montre alors que, par tout point passe une droite et une seule, perpendiculaire `a une droite donn´ee. La figure2illustre comment tracer la perpendiculaire `a une droite, passant par un point n’appartenant pas `a cette droite. L’´etudiant traitera en exercice le cas o`u le point est situ´e sur la droite.
•
A
(d)
C
M
N
C
1C
2A
0Plan de construction :
- tracer le cercle C de centre A
de rayon assez grand ;
- le cercle C coupe la droite (d) en M et N ;
- tracer les cercles de mˆ
eme rayon
C
1de centre M et C
2de centre N ;
- les cercles C
1et C
2se coupent en A
0;
et un autre point ;
- la droite (AA
0) est perpendiculaire
`
a la droite (d).
Figure 2 – Perpendiculaire `
a une droite passant par un point
• M´ediatrice d’un segment de droite.
La m´ediatrice d’un segment de droite est le lieu des points `a ´egales distances des extr´emit´es du segment. Elle est une droite, perpendiculaire au segment, et passant par son milieu.
•
•
A
B
M
N
C
C
0Plan de construction :
- tracer le cercle C de centre A
de rayon assez grand ;
- tracer le cercle C
0de centre B
de mˆ
eme rayon que C
- les cercles C et C
0se coupent en M et N
- la droite (M N ) est la m´
ediatrice du segment [AB]
Figure 3 – M´
ediatrice d’un segment
• Bissectrices de deux droites non parall`eles.
On appelle bissectrice de deux droites non parall`eles le lieu des points `a ´egales distances des deux droites. La bissectrice est alors la r´eunion de deux droites, perpendiculaires entre elles, passant par le point d’intersection des deux droites initiales. Souvent, on parle ´egalement de
bissectrice pour un secteur angulaire (r´eunion de deux demi-droites ayant la mˆeme extr´emit´e). Cette bissectrice est alors une demi-droite.
O
x
x
0M
N
O
0Plan de construction :
- tracer le cercle C de centre O
- le cercle C coupe la demi-droite [Ox) en M ;
- le cercle C coupe la droite [Oy) en N ;
- tracer les cercles de mˆ
eme rayon
C
1de centre M et C
2de centre N ;
- les cercles C
1et C
2se coupent en O
0;
et un autre point ;
- la demi-droite [OO
0) est la bissectrice
du secteur angulaire (xOx
0).
Figure 4 – Bissectrice d’un secteur angulaire
Le probl`eme de la trisection de l’angle est de construire par une m´ethode analogue `a celle de la bissection, la trisectrice d’un secteur angulaire, c’est-`a-dire, de partager un secteur angulaire en trois secteurs, dont les angles sont de mesures ´egales au tiers de celle de l’angle initial. Ces trois secteurs existent, mais il n’est pas possible de les construire ainsi `a la r`egle non gradu´ee et au compas.
1.3.3
Transformations
Habituellement, la notion de forme la plus simple, mais qui est aussi la plus restrictive, est d´efinie en disant que deux figures repr´esentent la mˆeme forme ou encore qu’elles sont semblables, si l’on peut passer de l’une `a l’autre en effectuant un ou plusieurs des transformations d´ecrites ci-apr`es. Cette notion de forme est en effet assez restrictive car, par exemple pour faire reconnaˆıtre `a un automate parmi des formes lesquelles sont des visages, il est n´ecessaire d’utiliser d’autres transformations, plus souples, plus complexes aussi, et ne pr´eservant plus toujours l’alignement. La notion de forme n’est donc pas intrinseque, mais d´epend du groupe de transformations que l’on consid`ere. Etudier et classer ces groupes, sont les questions fondamentales de la g´eom´etrie, aux quels tous les probl`emes de formes, et plus encore de figures, se ram`enent. Ceci peut paraˆıtre assez paradoxal : en effet, puisque l’on ne peut pas voir les transformations elles-mˆeme, qui sont les objets primordiaux de la g´eom´etrie, on peut dire que la g´eom´etrie n’est pas une science visible. Il est peut-ˆetre alors pr´ef´erable de dire que l’on entend5 une figure, plutˆot que de dire qu’on la regarde. Et pour entendre, il faut savoir ´ecouter... Les transformations ´etudi´ees dans ce prargraphe pr´eservent toutes l’alignement, le parall´elisme et les mesures d’angles. Par contre, elles ne conservent pas toutes les longueurs, et l’orientation des angles. Le lecteur s’exercera en d´eterminant pour quelles transformations cela est ou non le cas. Les transformations peuvent toutes ˆetre d´efinies sans faire r´ef´erence `a une figure. Cependant, proc´eder ainsi nous conduirait dans des d´eveloppements assez abstraits que nous souhaitons ´eviter ici. Nous adopterons donc la d´emarche inverse, consistant `a d´efinir les transformations par leur action sur les figures, tout en gardant pr´esent `a l’esprit que ce point de vue “`a la Euclide” est celui de l’apprentissage de la g´eom´etrie, mais pas toujours celui de la logique.
• Les translations.
Rappelons que les couples de points (P, Q) et (R, S) repr´esentent le mˆeme vecteur −P Q =−→ −→RS lorsque le quadrilat`ere P QSR est un parall´elogramme. Si A est un point, et −→v =−P Q est un−→ vecteur repr´esent´e par un couple de point (P, Q), le translat´e A0 = t−→v(A) du point A par la translation de vecteur −→v est l’unique point tel que −−→AA0 =−P Q. Ce point est unique d’apr`−→ es le postulat des parall`eles : en effet, il est l’intersection des droites suivantes : la parall`ele `a (P Q) passant par A, et la parall`ele `a (P A) passant par Q. Remarquons encore que le point A0 ainsi construit ne d´epend pas du repr´esentant du vecteur −→v choisi, ce que nous admettons.
Figure 5 – Translation
• Agrandissements et homoth´eties.
Agrandir une figure d’un facteur x, c’est la reproduire sur une autre feuille, en multipliant toutes les longueurs par le nombre x. L’homoth´etie de centre O et de rapport x, d´efinit `a partir du point A un nouveau point A0 tel que −−→OA0 = x−→OA. Toutes les longueurs sont alors multipli´ees par x. Les aires sont elles multipli´ees par x2. Le point O a pour image lui-mˆeme : il est fixe.
Prise `a part, l’image d’une figure par une homoth´etie est un agrandissement de l’image initiale. On dira qu’un agrandissement une homoth´etie, dont on a oubli´e le centre.
• Les rotations.
Un rotation de centre O et d’angle orient´e α, d´efinit `a partir de tout point A, un nouveau point A0 tel que \AOA0= α. L
es longueurs, les angles et leur orientation sont pr´eserv´es par les rotations. Le centre de la rotation est fixe.
Figure 6 – Rotation
• Sym´etries orthogonales
Tout se passe comme avec un mirroir !
1.3.4
Cercles et angles
∆
Figure 7 – Sym´
etrie d’axe ∆
Soient un cercle de centre O, A et B deux points de ce cercle tels que \AOB ≤ 180°. Soit M un point du grand arc de cercle
_
AB. Alors
\ AM B = 1
2AOB .\ Lorsque M est un point du petit arc
_ AB, alors \ AM B = 1 2 360° − \AOB.
En r´esum´e, l’angle \AM B vaut la moiti´e de l’angle en O qui lui est oppos´e. En particulier, l’angle en M ne d´epend pas du point M mobile lorsque celui-ci d´ecrit un des arcs de cercle.
R´eciproquement, quatre points A, B, C et D v´erifiant \ACB = \ADB sont cocycliques, et les points C et D sont sur le mˆeme arc
_
AB.
Une autre fa¸con d’´enoncer ce th´eor`eme est de dire que dans un triangle ABC, dont le centre du cercle circonscrit est O, l’angle \BOC est le double de l’angle en A.
Un cas particulier est celui o`u \AOB = 180°, c’est-`a-dire le segment [AB] est un diam`etre du cercle. L’angle en M est alors un angle droit. Et r´eciproquement, un triangle dont le centre du cercle circonsrit est le milieu d’un des cˆot´es est rectangle, et le cˆot´e en question est l’hypoth´enuse et le diam`etre du cercle circonscrit.
1.3.5
Droites remarquables dans le triangle
• M´edianes A B C I J K G Les m´edianes d’un triangle sont les droites passant par un
sommet et le milieu du cˆot´e oppos´e Les m´edianes sont concou-rantes, en un point G appel´e centre de gravit´e du triangle. Ce point est toujours int´erieur au triangle. Le triangle form´e des pieds des m´edianes est appel´e triangle m´edian. L’homoth´etie de centre G et de rapport −2 transforme le triangle m´edian en le triangle initial.
A B R C S T H
Les hauteurs d’un triangle sont les droites passant par un sommet et perpendiculaires au cˆot´e oppos´e Les hauteurs sont concourantes, en un point H appel´e orthocentre. Ce point est int´erieur au triangle si et seulement si tous ses angles internes ont une mesure inf´erieur `a 90°. Dans un triangle rectangle en A, l’orthocentre est le point A. Si l’angle en A est sup´erieur `a 90°, alors l’orthocentre H est situ´e dans le secteur angulaire AT S. De plus le point Aˆ est l’othocentre du triangle BCH dont les angles sont inf´erieurs `a 90°. Les pieds des hauteurs forment un triangle appel´e tiangle orthique.
• M´ediatrices A B C I J K O Les m´ediatrices sont concourantes, en un point O,
centre d’un cercle passant par les 3 sommets du tri-angle, appel´e cercle circonscrit au triangle. En effet, puisque l’intersection O des m´ediatrices des segments [AB] et [BC] v´erifie OA = OB et OB = OC, on a bien OA = OC, ce qui signifie que le point O est bien sur la m´ediatrice du segment [AC], et le cercle de centre O passant par A et B passe aussi par C.
• Bissectrices
A
B C
Ω
Les (demi-)bissectrices des angles internes `a un triangle sont concourantes en un point O0, centre du cercle ins-crit au triangle. Ce cercle est tangent int´erieu-rement aux cˆot´es du triangle. Il existe 3 autres cercles tangents aux cˆot´es du triangle, mais `a l’ext´erieur du triangle. A titre d’exercice, on pourra essayer de les construire `a la r`egle et au compas, ce qui est possible en utilisant deux bis-sectrices des angles externes au triangle et une bissectrice interne. Les 3 bissectrices externes ne sont pas concourantes, mais forment un triangle dont les sommets sont les 3 centres de ces 3 autres cercles.
Voici encore un fait int´eressant qui sera d´emontr´e dans les exercices : les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices du triangle orthique. Ceci se d´emontre `a l’aide du th´eor`eme de l’angle inscrit.
• Droite et cercle d’Euler
Le centre de gravit´e, l’orthocentre et le centre du cercle circonstrit `a un triangle sont align´es. La droite passant par ces 3 points est appel´ee droite d’Euler. Cela r´esulte de la proposition suivante, elle-mˆeme cons´equence du fait que le centre de gravit´e est situ´e au tiers des m´edianes. Proposition. Soit ABC un triangle, G son centre de gravit´e, L’homoth´etie de centre le centre de gravit´e G de rapport −2 transforment les m´ediatrices en hauteurs. En particulier, le centre du cercle circonscrit au triangle, est transform´e en un point qui appartient qux trois hauteurs, et celles-ci son donc concourrantes.
Une autre propri´et´e est la suivante : les milieux des cˆot´es d’un triangle et les pieds des hauteurs sont cocycliques. Autrement dit, les cercles circonscrits aux triangles m´edians et orthiques sont confondus. Le cercle sur lequel sont situ´e ces points est appel´e cercle d’Euler. Ces 6 points
forment donc un hexagone qui est inscrit dans un cercle. Nous avons alors le
Th´eor`eme. [Th´eor`eme de Pascal] Un hexagone est inscrit dans une conique si et seulement si les intersections des cˆot´es oppos´es sont align´es.
Il est alors amusant de noter que ce th´eor`eme est ´equivalent `a l’´enonc´e de m´ecanique des fluides suivant, plus intuitif : Les fluides incompressibles transmettent int´egralement et dans toutes les directions, les pressions qui leur sont appliqu´ees.
Annexe : Le nombre π en g´
eom´
etrie
Rappelons que le nombre π est, par d´efinition, le p´erim`etre d’un demi-cercle de rayon 1.
Quadrature du cercle Le probl`eme de la quadrature du cercle consiste, en n’utilisant que la r`egle non-gradu´ee et le compas, `a construire, en partant d’un cercle, un carr´e ayant la mˆeme aire que le cercle. Ce probl`eme pos´e d`es l’antiquit´e est int´eressant d’un point de vue historique car il a r´esist´e aux math´ematiciens pendant tr`es longtemps. Dans le papyrus Rhind (∼ 1650 av. J.-C.), le scribe Ahm`es, reproduisant un texte datant d’au moins deux cent ans, proposait d´ej`a une solution approch´ee du probl`eme ; ce qui montre que le probl`eme ´etait d´ej`a pos´e en ∼ 1850 av. J.-C. Finalement, on sait aujourd’hui que cette construction est impossible. La premi`ere ´etape dans l’´etude de ce probl`eme consiste `a remarquer qu’il faut construire une longueur dont le rapport au rayon du cercle vaut√π. La derni`ere pierre de la d´emonstration de cette impossibilit´e a ´et´e pos´ee en 1882 (intrigante sym´etrie des dates) par Ferdinand von Lindemann. Il montre que le nombre π n’est solution d’aucune ´equation alg´ebrique. En utilisant alors les travaux de Wantzel qui avait montr´e que les nombres constructibles sont solutions d’´equations alg´ebriques bien particuli`eres, ceci aboutit `a la conclusion.
Si π n’est donc pas une fraction, nous sommes amen´es `a nous poser la question de savoir comment l’approcher avec le plus de d´ecimales exactes possibles.
Fractions approchant π
Commen¸cons par une petite enigme. Il s’agit de d´eplacer une des allumettes pour que l’´egalit´e suivante devienne vraie :
| | = \/ \/ | | \/ | | | .
La r´eponse est de prendre la derni`ere allumette, et de la poser sur les barres verticales `a gauche. On obtient l’´egalit´e π = 227 = 3.14....
Mais cela est-il vraiment juste ? Non, biensˆur. On a d’ailleurs vu au paragraphe pr´ec´edent que π ne pouvait ˆetre une fraction. Pourtant, cette fraction 227 poss`ede une propri´et´e tr`es int´eressante : si l’on consid`ere parmi toutes les fractions celles qui approchent le mieux π, on voit que pour en obtenir une meilleure que celle-ci, en augmentant progressivement le d´enominateur, il faut prendre la fraction
333
106 = 3.1415.... Pour arriver jusqu’`a ce point, il nous a d´ej`a fallu tˆatonner un bon moment. Vient
ensuite assez rapidement, 355
113 = 3.141592..., puis il faut faire un saut gigantesque avant de trouver
mieux :
103993
33102 = 3.141592653...
Mais au fait, d’o`u vient cette suite de fractions ? Et n’y a-t-il pas un moyen de la trouver plus ra-pidement ? L’id´ee est justement d’essayer d’´ecrire π comme une fraction. Si tel est le cas, alors π et 1 sont en commune mesure, comme disaient les anciens. Dans ce cas, nous pouvons appliquer l’algo-rithme d’Euclide pour trouver cette mesure. Rappelons que les premi`eres d´ecimales de π peuvent ˆetre m´emoris´ees au moyen de la phrase suivante :
Que j’ aime `a faire apprendre un nombre utile aux sages
