Les fonctions numériques cours tronc commun

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www.etude-generale.com TCSI–2nde Matiére : Mathématiques

Professeur : Yahya MATIOUI

Les fonctions numériques

Généralités :

Dé…nition générale d’une fonction

Dé…nition 1 Une fonction est une relation qui permet d’associer à un élément x, au plus un autre élément appelé image: On note cette fonction par : f; g; h; :::

On représente la fonction f par :

f E ! F

x 7 ! f(x)

* L’image d’un élément x par f sera notée f(x):

* L’ensemble E appelé ensemble de départ.

* L’ensemble F appelé ensemble d’arrivé.

Remarque 2 Il faut faire la di¤érence entre la fonction f qui représente une relation et f(x) qui représente l’image de x par f qui est un élément.

Exemple 3 Soit f la fonction numérique de la variable réelle x dé…nie par : f [ 1;4[ ! R

x 7 ! x²+ 2x 3

On a :f(1) = 1² + 2 1 3 = 0: C’est-à-dire 0 est l’image de1 par la fonction f:

L’ensemble de dé…nition d’une fonction

Dé…nition 4 Soit f la fonction numérique de la variable réelle x:

L’ensemble de dé…nition de la fonction f est l’ensemble des nombres réelsx qui possèdent une image par cette fonction. L’ensemble de dé…nition de la fonctionf est noté: D_f tel que :

D_f =fx2R= f(x)2Rg

Exemple 5 Déterminer l’ensemble de dé…nition des fonctions numériques suivantes f; h; g et M telles que :

f(x) = 2x

x 1 ; h(x) =p

x 1 ; g(x) = x²+ 4

x² 1 et M(x) = x³+ 5x 1

(2)

Pour la fonction f :

Df = fx2R= x 16= 0g

= fx2R= x6= 1g

= ] 1;1[[]1;+1[ Pour la fonction h:

D_h = fx2R= x 1 0g

= fx2R= x 1g

= [1;+1[ Pour la fonction g :

D_g = x2R= x² 16= 0 On résout l’équation: x² 1 = 0:

x² 1 = 0 () (x 1)(x+ 1) = 0 () x= 1 ou x= 1 Donc

D_g = fx2R= x6= 1 et x6= 1g

= ] 1; 1[[] 1;1[[]1;+1[ Pour la fonction M :

M est une fonction polynomiale. Donc : D_M =R:

Égalité de deux fonctions

Dé…nition 6 Soient f et g deux fonctions numériques dé…nies respectivement sur D_f et D_g: Les deux fonctions f et g sont égales si, et seulement si :

Ces deux fonctions ont même ensemble de dé…nition. C’est-à-dire: D_f =D_g: Pour tout réelx de l’ensemble de dé…nition D_f; on a : f(x) =g(x):

Remarque 7 En particulier deux fonctions sont égales si, et seulement si, leurs représen- tations graphiques relativement à un repère donné sont confondues.

Exemple 8 On considère les deux fonctions numériquesf etg dé…nies par :f(x) =jx+ 2j et g(x) =p

x²+ 4x+ 4

Est-ce-que les fonctions f et g sont égales ?

Graphe d’une fonction

Dé…nition 9 Soit f la fonction numérique dé…nie sur D_f: (D_f R)

La représentation graphique ou courbe de la fonctionf dans un repère orthonormé(O;!i ;!j ) est l’ensemble des points M(x; f(x))noté (C_f) tel que x2D_f: Autrement dit :

(C_f) = fM(x; f(x))= x2D_fg

(3)

Fonction paire - Fonction impaire

Fonction paire.

Dé…nition 10 Soit f la fonction numérique de la variable réelle x dé…nie sur D_f. La fonction f est dite paire si, et seulement si :

Pour tout x2D_f ,on a : x2D_f: Pour tout x2D_f; on a : f( x) =f(x):

Interprétation géométrique de la fonction paire.

Propriété 11 Soit f une fonction numérique de la variable réelle x et (C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé(O;!i ;!j ). La fonctionf est paire si, et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Remarque 12 Pour étudier une fonction paire f; il su¢ t de l’étudier sur : E = D_f \ [0;+1[:

Exemple 13 Soitf la fonction numérique de la variable réellexdé…nie par:f(x) =x²+jxj: et (C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ).

1. Montrer que la fonctionf est paire, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

f la fonction numérique dé…nie par : f(x) =x²+jxj: Donc :D_f =R: Pour tout x2Df; on a : x2Df: (1):

Soit x2D_f: Calculons f( x) .

f( x) = ( x)²+j xj=x²+jxj=f(x): (2) Donc, d’après (1) et (2), on déduit que la fonction f est paire.

La courbe(C_f) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

(4)

Fonction impaire

Dé…nition 14 Soit f la fonction numérique de la variable réelle x dé…nie sur D_f. La fonction f est dite impaire si, et seulement si :

Pour tout x2Df, on a : x2Df:

Pour tout x2D_f; on a : f( x) = f(x):

Interprétation géométrique de la fonction impaire

Propriété 15 Soit f une fonction numérique de la variable réelle x et (C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ). La fonction f est impaire si, et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemple 16 Soit f la fonction numérique de la variable réelle x dé…nie par : f(x) = ^x²_x⁺¹: et (C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ).

1. Montrer que la fonction f est impaire, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

L’ensemble de dé…nition de la fonction f est : D_f =R : Pour tout x de Df; on a : x2Df: (1):

Soit x2D_f: Calculons f( x) :

f( x) = ( x)²+ 1

x = x²+ 1

x = f(x): (2) D’après (1) et (2); on déduit quef est une fonction impaire.

La courbe(C_f) est symétrique par rapport à l’origine du repère.

(5)

Les variations d’une fonction numérique

Dé…nition 17 Soit f une fonction numérique dé…nie sur l’intervalle I:

f est croissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ 2 I, pour tout x₂ 2 I; x₁ x₂ alors f(x₁) f(x₂):

f est strictement croissante sur l’intervalleI si pour toutx₁ 2I, pour toutx₂ 2I; x₁ x₂ alors f(x₁) f(x₂)

f est décroissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ 2 I, pour tout x₂ 2 I; x₁ x₂ alors f(x₁) f(x₂):

f est strictement décroissante sur l’intervalle I si pour tout x₁ 2 I, pour tout x₂ 2 I;

x₁ x₂ alors f(x₁) f(x₂):

f est constante sur l’intervalle I s’il existe un réel k tel que pour tout x2I; f(x) = k:

(6)

La fonctionf est dite monotone surI si et seulement si elle est croissante ou décroissante sur I:

La fonction f est dite strictement monotone sur I si et seulement si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur I:

Exemple 18 Soit f la fonction numérique dé…nie sur Rn f 1g par : f(x) = _x+1¹ : Étudier la monotonie de la fonction f sur les intervalles ] 1;+1[ et ] 1; 1[:

Étude des variations

L’étude des variations d’une fonction f consiste à déterminer les intervalles de D_f sur lesquels cette fonction est croissante ou décroissante. Le résultat de cette étude permet de construire un tableau de variations.

Pour construire le tableau des variations de la fonction f sur D_f on détermine les inter- vallesI contenus dans D_f sur lesquels f est monotone, c’est-à-dire soit croissante, soit décroissante. On note les résultats obtenus dans un tableau où des ‡èches indiquent la croissance ou la décroissance de f:

Exemple 19 Soit f la fonction numérique dé…nie sur R qui véri…e : f est croissante sur les intervalles] 1; 1[ et [2;+1[:

f est décroissante sur l’intervalle[ 1;2] et f( 1) = 2 et f(2) = 1:

Donner le tableau de variations de la fonction f

Taux de variations d’une fonction

Propriété 20 Soitf une fonction numérique dé…nie sur l’intervalleI:pour tousxetydeux éléments distincts de I: Le taux de variation de la fonction f entre x et y est : ^f^(x)_{x y}^f(y):

Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ^f(x)_{x y}^f^(y) 0 alors f est croissante sur I:

Si pour tousxetydeux éléments deI on a: ^f(x)_{x y}^f^(y) 0alorsf est strictement croissante sur I:

Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ^f^(x)_{x y}^f^(y) 0 alors f est décroissante sur I:

Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ^f(x)_{x y}^f^(y) 0 alors f est strictement décroissante sur I:

(7)

Si pour tous x et y deux éléments de I on a : ^f(x)_{x y}^f^(y) = 0 alors f est constante sur I:

Exemple 21 Soit f la fonction numérique dé…nie sur R par : f(x) =x+ 1

x

1. Soient x et y deux éléments distincts de R : Montrer que : ^f(x)_{x y}^f^(y) = ^xy_xy¹: 2. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur [1;+1[:

Extremum d’une fonction

Dé…nition 22 Soit f une fonction numérique dé…nie sur un intervalle I et a un élément de I:

1. On dit que f(a) est une valeur maximale de la fonction f sur l’intervalle I si, et seulement si f(x) f(a) pour tout x2I:

2. On dit que f(b) est une valeur minimale de la fonction f sur l’intervalle I si, et seulement si f(x) f(b) pour tout x2I:

Remarque 23 Un extremum est un maximum ou un minimum.

Exemple 24 On considère la fonction f dé…nie par :

Déterminer la valeur maximale et minimale de f sur [ 3;4]:

L’étude de la fonction x 7 ! ax

²

avec a 6 = 0:

Soit a un réel non nul. On considère f la fonction numérique dé…nie sur R par: f(x) = ax²

et (C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ):

(8)

La parité de la fonction f:

On a : D_f =R.

Pour tout x2R, on a : x2R: Soit x2R: Calculons f( x) :

f( x) =a( x)² =ax² =f(x)

Donc, la fonctionf est paire. Ceci signi…e que la courbe(C_f)est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Les variations de la fonction f:

Propriété 25 Si a 0, alors la fonction f est strictement croissante sur [0;+1[ et strictement décroissante sur ] 1;0]:

Si a 0, alors la fonction f est strictement décroissante sur [0;+1[ et strictement croissante sur ] 1;0]:

Démonstration 26 Soient x et y deux réels de R tels que : x6=y:

f(x) f(y)

x y = ax² ay²

x y = a(x y) (x+y)

x y =a(x+y) 1er cas. Si a 0:

Soient x et y deux éléments distincts de [0;+1[, c’est-à-dire: x 0 et y 0; donc : x+y 0 et comme x6=y, alors on obtient x+y 0:

Donc : ^f(x)_{x y}^f(y) 0: C’est-à-dire, f est strictement croissante sur [0;+1[: Soient x et y deux éléments distincts de ] 1;0], c’est-à-dire: x 0 et y 0; donc

: x+y 0 et comme x6=y, alors on obtient x+y 0:

Donc : ^f(x)_{x y}^f(y) 0: C’est-à-dire, f est strictement décroissante sur ] 1;0]: 2ème cas. Si a 0: La fonction f est strictement décroissante sur [0;+1[ et strictement

croissante sur ] 1;0]: (La démonstration est similaire à celle du premier cas).

Conclusion 27 1ér cas Si a 0:

(9)

2éme cas Si a 0

La représentation graphique de la fonction f

Dé…nition 28 La courbe représentative de la fonction f est appelée parabole de sommet l’origine O et un axe de symétrie qui est l’axe des ordonnées.

Exemple 29 On considère f la fonction numérique dé…nie par : f(x) = 1

2x²

1. Déterminer le tableau de variations de la fonction f:

2. Tracer la courbe représentative de fonction f dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ):

L’étude de la fonction x 7 !

_x^a

avec a 6 = 0:

Soit a un réel non nul. On considère f la fonction numérique dé…nie sur R par: f(x) = a

x

La parité de la fonction f:

On a : D_f =R .

Pour tout x2R , on a : x2R : Soit x2R : Calculons f( x) :

f( x) = a

x = (a

x) = f(x)

Donc, la fonction f est impaire. C’est-à-dire(C_f)est symétrique par rapport à l’origine du repère.

(10)

Les variations de la fonction f:

Propriété 30 Sia 0, alors la fonction f est strictement décroissante sur les intervalles ]0;+1[ et ] 1;0[:

Si a 0, alors la fonction f est strictement croissante sur les intervalles ]0;+1[ et ] 1;0[:

Démonstration 31 Soient x et y deux réels de R tels que : x6=y:

f(x) f(y)

x y =

a x

a y

x y = a(y x)

xy(x y) = a xy 1er cas. Si a 0:

Soient x et y deux éléments distincts de ]0;+1[, c’est-à-dire: x 0 et y 0; donc : xy 0 et comme a 0, alors on obtient : ^f^(x)_{x y}^f(y) 0:

Ceci signi…e que,f est strictement décroissante sur ]0;+1[:

Soient x et y deux éléments distincts de ] 1;0[, c’est-à-dire: x 0 et y 0; donc : xy 0 et comme a 0, alors on obtient : ^f^(x)_{x y}^f(y) 0:

Ceci signi…e que,f est strictement décroissante sur ] 1;0[:

2ème cas. Si a 0: La fonction f est strictement croissante sur les intervalles ]0;+1[ et ] 1;0[: (La démonstration est similaire à celle du premier cas).

Conclusion 32 1er cas. Si a 0:

2ème cas. Si a 0

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La représentation graphique de la fonction f

Dé…nition 33 La courbe représentative de la fonction f est appelée hyperbole de centre O l’origine du repère et les droites x= 0 et y= 0 sont les deux asymptotes de la courbe:

Exemple 34 On considère f la fonction dé…nie sur R par: f(x) = 2

x

1. Déterminer le tableau de variations de la fonction f:

2. Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé(O;!i ;!j ):

L’étude et la représentation graphique de la fonction x 7 ! ax

²

+ bx + c; (a 6 = 0)

Soient a; b etcdes réels tels que a6= 0: On considère la fonction f dé…nie sur R par: f(x) = ax²+bx+c

Dé…nition 35 Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction f dé…nie sur R par : f(x) = ax²+bx+c avec a; b et c des réels et a 6= 0:

Forme canonique

Propriété 36 Toute fonction polynôme f de degré 2 dé…nie sur R par f(x) =ax²+bx+c avec a6= 0, peut s’écrire sous la forme :

f(x) = a(x )²+ avec = b

2a et =f( )

Variations

Propriété 37 (Admis)

Soit f une fonction polynôme de degré2dé…nie surR parf(x) =ax²+bx+cavec a6= 0:

Les variations de f sont données par les tableaux suivants : 1er cas. . Si a 0:

(12)

2ème cas. Si a 0:

Remarque 38 La forme canonique d’une fonction polynôme du second degré, permet de déduire ses variations à partir des variations de la fonction carrée.

La représentation graphique de la fonction f:

La courbe représentative de la fonctionf est appelée parabole de sommetS( ; )et a pour axe de symétrie la droite d’équationx= _2a^b:

Exemple 39 On considère la fonction f dé…nie par : f(x) = 1

2x² 3x+11 2 1. Déterminer le tableau de variations de la fonction f:

L’étude et la représentation graphique de la fonction x 7 !

^ax+b_cx+d

avec a; b; c et d des réels et c 6 = 0:

On considère la fonction dé…nie par :

f(x) = ax+b cx+d

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Dé…nition 40 On appelle fonction homographique toute fonction f qui peut s’écrire sous la forme f(x) = ^ax+b_cx+d où a; b et c6= 0 et d sont des réels tels que ad bc6= 0:

L’ensemble de dé…nition de la fonction.

D_f = fx2R= cx+d6= 0g

= fx2R= cx6= dg

= x2R= x6= d c

= 1; d

c [ d

c ;+1 Les variations de la fonction f:

–1er cas. Si : = a b

c d =ad bc 0:

–2ème cas. Si: = a b

c d =ad bc 0:

La représentation graphique de la fonction f:

La courbe représentative de la fonction f est appelée hyperbole et le point S( _c^d;^a_c), son centre de symétrie;et les droites d’équations : x = _c^d et y = ^a_c sont ses deux

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asymptotes:

Exemple 41 On considère la fonction f dé…nie par : f(x) = 3x 1

2x+ 1 1. Déterminer D_f:

2. Donner le tableau de variations de la fonction f:

Fonction a¢ ne

Dé…nition 42 La fonction a¢ ne est la fonction dé…nie sur R par : f(x) = ax+b avec a2R et b2R:

Étude des variations de f : Soient x et y deux réels tels que: x6=y:

f(x) f(y)

x y = ax+b (ay+b)

x y = ax ay

x y = a(x y) x y =a Sia= 0 alors f est constante surR:

Sia 0 alors f est strictement croissante sur R: Sia 0 alors f est strictement décroissante sur R: Tableaux de variations : 1er cas. Sia 0:

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2ème cas. Si a 0:

Courbes représentatives : La courbe représentative d’une fonction a¢ ne est une droite.

Fonction racine carrée

Dé…nition 43 La fonction racine carrée est la fonction dé…nie sur[0;+1[par:f(x) =p x:

Étude des variations : Soient x et y deux réels de [0;+1[ tels que :x6=y:

f(x) f(y)

x y =

px py

x y = x y

(x y) p

x+py = 1

px+py 0:

La fonctionf est strictement croissante sur[0;+1[: Tableau de variations :

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Courbe représentative :

Fonction cube

Dé…nition 44 La fonction cube est la fonction qui à tout réelxassocie le réelx³:La fonction cube est donc la fonction f dé…nie surR par: f(x) =x³:

Étude des variations : Soient x et y deux réels tels que: x6=y:

f(x) f(y)

x y = x³ y³

x y = (x y) (x²+xy+y²)

x y =x²+xy+y²

On peut considérer le trinôme du second degré en x:Calculons le discriminant :

=y² 4 1 y² = 3y² 0

On en déduit que le signe du trinôme est toujours le signe de 1 (coef f icient de x²); donc : ^f^(x)_{x y}^f(y) 0:

La fonctionf est strictement croissante surR: Tableau de variations :

(17)

Courbe représentative :

FIN

Pr : Yahya MATIOUI

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