Examen de Distributions

Universit´e Paris 13, Institut Galil´ee Fili`ere Ing´enieur MACS, 2<sup>`eme</sup> ann´ee Ann´ee universitaire 2014-2015

Examen de Distributions

Le 7 mai 2015

Dur´ee de l’´epreuve : 3 heures.

Le sujet comporte deux pages.

Les documents, calculatrices et moyens de communication sont interdits, `a l’exception d’une feuille au format A4 manuscrite.

Exercice 1. (Comp´etences de bases).

1. D´efinir la distribution de Dirac en 0,δ₀∈ D⁰(R).

2. Soit H la distribution de Heaviside, distribution associ´ee `a la fonction caract´eristique de ]0,+∞[. Calculer sa d´eriv´ee H⁰ dansD⁰(R).

3. Soitφ∈C₀^∞(R). Posons, pourn∈N,

∀x∈R, ϕn(x) =φ

x+ 1 n+ 1

−φ(x).

Montrer que la suite (ϕ_n)_n≥0 converge vers la fonction nulle dansC₀^∞(R).

4. Soit g ∈ L¹(R). Pour tout n ∈ N, on consid`ere la distribution Tn ∈ D<sup>0</sup>(R) associ´ee `a la fonction x 7→ ng(nx). Montrer que la suite (Tn)_n∈N converge dans D⁰(R) et calculer sa limite.

5. Soit vp _x¹

la distribution “valeur principale de _x¹” d´efinie par

∀ϕ∈C₀^∞(R),

vp 1

x

, ϕ

= lim

ε→0

Z

|x|>ε

ϕ(x) x dx.

Montrer quexvp _x¹

= 1 dansD⁰(R).

Exercice 2. (Comp´etences attendues).

1. R´esoudre surRl’´equation diff´erentielle : u⁰⁰−u= 0.

2. SoitT ∈ D⁰(R) la distribution associ´ee `a la fonction localement int´egrablet7→e^−|t|. Calculer, dansD⁰(R),T⁰⁰−T.

3. En d´eduire l’ensemble des solutions dansD⁰(R) de l’´equation diff´erentielle : u⁰⁰−u=δ₀.

Exercice 3. (Comp´etences attendues). SoitT l’application lin´eaire deC₀^∞(R²) dansCd´efinie par :

∀ϕ∈C₀^∞(R²), < T, ϕ >=

Z

R

ϕ(x,−x) dx.

1. Montrer queT ∈ D⁰(R²). Quel est son ordre ?

2. Montrer que le support deT est inclus dansD={(x, y)∈R²| y=−x}.

3. Montrer que suppT =D.

4. En d´eduire qu’il n’existe pas de fonction continue sur R² telle que T soit la distribution associ´ee `a cette fonction.

5. Calculer, au sens des distributions,∂xT−∂yT.

1

Exercice 4. (Comp´etences avanc´ees)On consid`ere l’ensemble : D₊⁰ ={T ∈ D⁰(R), suppT ⊂[0,+∞[}.

1. Justifier que siT etS sont deux ´el´ements deD⁰₊, alorsT ? S∈ D⁰₊. Il n’est pas demand´e de v´erifier queT ? S est bien d´efinie et est dansD⁰(R), cela est un r´esultat du cours.

2. Soit K ∈L^∞_loc(R+), l’ensemble des fonctions born´ees presque partout sur tout compact de R+. Pourn∈N, on noteKn=K ?· · ·? K, o`u le produit de convolution contientnfacteurs tous ´egaux `a K. Par convention on suppose que K0 = δ0, la distribution de Dirac en 0.

Montrer que pour touta >0, toutx∈[0, a] et toutn∈N^∗,

|K(x)| ≤M(a)ⁿ xⁿ⁻¹

(n−1)! o`uM(a) = sup

x∈[0,a]

|K(x)|.

Indication : on pourra raisonner par r´ecurrence surn≥1.

3. Montrer que la s´erie P(−1)ⁿK_n converge dans D⁰₊. Il n’est pas demand´e de d´eterminer sa somme.

4. Justifier que la fonction x 7→ P+∞

n=0(−1)ⁿK_n(x) est born´ee sur tout intervalle [0, a] avec a >0.

5. Montrer que :

(δ0+K)?

+∞

X

n=0

(−1)ⁿKn

!

=δ0.

6. Soitf etg deux fonctions dansL¹_loc(R+) telles que

∀x≥0, f(x) + Z x

0

e^λ(x−y)f(y)dy=g(x) pourλ∈C. (1)

Montrer que (1) est ´equivalente `a l’´equation d’inconnuef dansD⁰₊, (δ₀+He^λ·)? f =g

o`uH est la distribution de Heaviside associ´ee `a la fonction caract´eristique de [0,+∞[.

7. En d´eduire que (1) admet toujours une solutionf dansL¹_loc(R⁺).

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