Universit´e Paris 13, Institut Galil´ee Fili`ere Ing´enieur MACS
Ann´ee universitaire 2019-2020
MACS1 - MPI - Devoir sur table d’Alg` ebre lin´ eaire
Le 4 septembre 2019
Dur´ee de l’´epreuve : 1h30.
Le sujet comporte deux pages.
Les documents, calculatrices et moyens de communication sont interdits.
Exercice 1. Soit la matrice
A=
0 1 0
0 −1 0
−1 −1 −1
.
1. Trouver les valeurs propres et une base de vecteurs propres pour A.
2. DiagonaliserA. En d´eduireAn pourn∈N.
Exercice 2. Pour toutm∈R, on d´efinit la matriceAmpar
Am=
1 m m+ 2
1 1 m
2 m+ 1 1
.
1. D´eterminer le rang deAmselon les valeurs de m.
2. Pour quelles valeurs de mla matriceAmest-elle inversible ? 3. CalculerA−10 .
4. Avec un minimum de calculs, d´eterminer la solution du syst`eme :
x+ 2z = 2 x+y = 3 2x+y+z = 1
.
Exercice 3. Soitn≥1 un entier. On consid`ere l’application
u : Cn[X] → Cn[X] P 7→ P−P0 .
1. Montrer que l’applicationuest lin´eaire.
2. Montrer que l’applicationuest injective.
3. En d´eduire queuest bijective.
1
Exercice 4. Soit la matriceM ∈ M3(R) d´efinie par
M =
0 1 0
−3 2 −2
1 −1 1
.
1. ´Ecrire M sous la formeM =I3+N o`uN ∈ M3(R).
2. CalculerN2,N3 puisNn pour toutn≥4.
3. En d´eduire l’expression deMn, pour toutn∈N∗.
4. On consid`ere les suites r´eelles (xn)n∈N, (yn)n∈Net (zn)n∈Nd´efinies par :
x0
y0 z0
=
1 0 0
et ∀n∈N,
xn+1 = yn
yn+1 = −3xn+ 2yn−2zn
zn+1 = xn−yn+zn
En utilisant les questions pr´ec´edentes, donner les expressions dexn,yn et zn en fonction de l’entier n.
Exercice 5. On consid`ere la matriceAd´efinie par
A=
6 −2 2
−2 5 0
2 0 7
.
1. Justifier sans aucun calcul que la matriceAest diagonalisable.
2. Soit X = x
y z
∈ R3. Montrer que tXAX ≥ 0 et tXAX = 0 si et seulement si X est le vecteur nul.
3. Calculer les valeurs propres de A. En d´eduire queAest d´efinie positive.
4. DiagonaliserAdans une base orthonorm´ee de R3.
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