Universit´e Paris 13, Institut Galil´ee Fili`ere Ing´enieur MACS, 2`eme ann´ee Ann´ee universitaire 2013-2014
Examen de rattrapage de Distributions
Le 5 septembre 2014
Dur´ee de l’´epreuve : 2 heures.
Les documents, calculatrices et moyens de communication sont interdits.
Exercice 1. (Comp´etences de bases).
1. Soient k ∈ N et d ≥ 1. Soit Ω un ouvert de Rd. Donner la d´efinition d’une distribution d’ordre au plusk sur Ω.
2. Existe-t-il une fonctiong int´egrable surRtelle que : ∀n∈N, ∀x∈R,ne−n|x|≤g(x) ? 3. D´efinir la distribution de Dirac en 0,δ0∈ D0(R).
4. Soit H la distribution de Heaviside, distribution associ´ee `a la fonction caract´eristique de ]0,+∞[. Calculer sa d´eriv´ee H0 dansD0(R).
5. Pour toutn≥1, on consid`ere la distributionTn associ´ee `a la fonction localement int´egrable de Rdans C, en :x7→einx. Montrer que la suite (Tn)n≥1 converge dansD0(R) et calculer sa limite dansD0(R).
Exercice 2. (Comp´etences attendues). Soientϕ∈C0∞(R) etε >0.
1. Justifier que l’on peut ´ecrire, pour tout x∈R, ϕ(x) =ϕ(0) +xψ(x) o`uψ est de classeC∞ surR.
2. Pour α∈]−2,−1[, montrer que : Z ∞
ε
xαϕ(x) dx=Aϕεα+1+Rε
o`uAϕ∈Rne d´epend pas deεet o`u Rεtend vers une limite finie lorsqueεtend vers 0+. 3. On pose, pour toute ϕ∈C0∞(R) : <pf(xα), ϕ >= limε→0+Rε. Montrer que pf(xα) est une
distribution d’ordre au plus 1.
Exercice 3. (Comp´etences attendues).
Soitn∈N. On pose :
Fn : R → C t 7→ 2π1 Pn
k=−neikt .
La fonctionFn est localement int´egrable. On note Tn la distribution associ´ee `aFn. 1. Montrer que, pour toutt∈R\2πZ,
Fn(t) = 1 2π
sin((2n+1)t2 ) sin2t .
2. Soit M ∈ N. Soit ϕ ∈ C0∞(R) dont le support est inclus dans [−(2M + 1)π,(2M + 1)π].
Montrer que :
∀n∈N, < Tn, ϕ >= 1 2π
Z π
−π
sin((2n+1)t2 ) sint2 φ(t) dt, o`u, pour toutt∈R, φ(t) =PM
k=−Mϕ(t+ 2kπ).
3. Justifier que l’on peut ´ecrire, pour toutt∈R,φ(t) =φ(0) +tψ(t) o`uψest de classe C∞ sur R.
4. En d´eduire que la suite (Tn)n∈Nconverge dansD0(R) vers la distributionP
k∈Zδ2kπ.
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