MPSIA 2012/2013
Programme de colles de math´ematiques, semaine 21 (du lundi 1 au vendredi 5 avril)
lyc´ee Chaptal
Toute l’alg` ebre lin´ eaire hors d´ eterminants Le groupe sym´ etrique
D´ eterminants
Applications multilin´eaires altern´ees. D´efinition, propri´et´es, expression dans une base. Cons´equence : dimension de l’espace des formes n-lin´eaires altern´ees sur un espace de dimensionn.
D´eterminant d’une famille de vecteurs. Caract´erisation des bases, changement de bases. Orientation de l’espace.
D´eterminant d’un endomorphisme.
D´eterminant d’une matrice carr´ee. Expression polynomiale en les coefficients, tranposition. Lien avec les endomorphimes et les famille de vecteurs.
Calculs des d´eterminants : op´erations ´el´ementaires, d´eterminant de matrice triangulaire, triangulaire par blocs. Cofacteurs et d´eveloppements suivant une ligne ou une colonne. Expression r´ecursive du d´eterminant. Exemples de calculs.
Applications : formuletCom(A)×A= det(A).In, formules de Cramer, exemples de diagonalisation.
Questions de cours
Q.1 D´emontrer la formule de d´eveloppement suivant une ligne ou une colonne du d´eterminant d’une matrice carr´ee.
Q.2 D´emontrer la formuletCom(A)×A= det(A).In. Q.3 Donner et d´emontrer les formules de Cramer.
Q.4 Pourn>2, calculerDn=
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5 3 0 . . . . . . 0
2 5 3 . .. ...
0 2 5 . .. . .. ... ..
. . .. . .. . .. . .. 0 ..
. . .. 2 5 3
0 . . . . . . 0 2 5
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˛
Q.5 Sia6=b, on d´efinitM = 0 B B B B B
@
1 b . . . b
a . .. . .. ... ..
. . .. . .. b
a . . . a 1
1 C C C C C A
etU= 0 B
@
1 · · · 1
.. .
.. .
1 · · · 1
1 C
A. A l’aide de` f(x) = det(M+xU), calculer det(M).
Q.6 Calculer le d´eterminant de Vandermonden×n.
Q.7 [facultative]SoitA∈M n(Z). D´emontrer queA∈GLN(Z) si et seulement si det(A) =±1.
A venir : int´` egration sur un segment.
