Construire des noyaux de la fonctorialit´e ? D´efinition g´en´erale, cas de l’identit´e de GL

Construire des noyaux de la fonctorialit´ e ? D´ efinition g´ en´ erale,

cas de l’identit´ e de GL

et construction g´ en´ erale conjecturale de leurs coefficients de Fourier

Laurent LAFFORGUE

Institut des Hautes ´ Etudes Scientifiques 35, route de Chartres

91440 – Bures-sur-Yvette (France) Septembre 2009

IHES/M/09/43

Construire des noyaux de la fonctorialit´e ? D´efinition g´en´erale,

cas de l’identit´e de GL ₂

et construction g´en´erale conjecturale de leurs coefficients de Fourier

par Laurent Lafforgue

Introduction

Ce texte fait suite `a l’article [Lafforgue, 2008] qui construisait des noyaux de la fonctorialit´e dans le cas de l’induction automorphe sans ramification de GL<sub>1</sub> `a GL₂ via une extension quadratique d’un corps de fonctions.

Cette fois, nous consid´erons le transfert automorphe g´en´eral d’un groupe r´eductif G vers un groupe lin´eaire GLr, induit par un homomorphismeρqui va duL-groupe de Gvers le dual GLr(C) de GLr.

Comme dans l’article pr´ec´edent, nous nous cantonnons au cas des corps de fonctions ; le cas des corps de nombres demanderait un travail suppl´ementaire aux places infinies.

Dans cet article, nous proposons d’abord une notion g´en´erale de “noyaux de la fonctorialit´e”. En notant Al’anneau des ad`eles du corps de fonctionsF sur lequel on travaille, ce sont des fonctions surG(A)×G(A)× GLr(A) qui sont invariantes `a gauche par le sous-groupe discretG(F)×G(F)×GLr(F) et qui v´erifient en toute place sans ramification une certaine condition de compatibilit´e avec les homomorphismes entre alg`ebres de Hecke sph´eriques locales induits parρ.

Nous proposons ´egalement une construction g´en´erale conjecturale de tels “noyaux de la fonctorialit´e”, ou plutˆot de leurs coefficients de Fourier d´efinis par int´egration sur le radical unipotentNr du sous-groupe de BorelB_rde GL_rconstitu´e des matrices triangulaires sup´erieures. Comme dans l’article pr´ec´edent consacr´e `a l’induction automorphe de GL<sub>1</sub>`a GL₂, nous nous cantonnons au cas du transfert sans ramification en aucune place. Tous les coefficients de Fourier des noyaux recherch´es sont d’abord construits localement, place par place ; leurs expressions globales sont obtenues en faisant le produit sur toutes les places des fonctions d´efinies localement et en sommant les fonctions produits ainsi obtenues sur des groupes discrets de points rationnels.

Les “fonctions noyaux” que nous proposons v´erifient par construction mˆeme la condition locale de com- patibilit´e avec les homomorphismes entre alg`ebres de Hecke sph´eriques induits parρ, ainsi que la condition globale d’invariance `a gauche parG(F)×G(F). Toute la difficult´e du probl`eme du transfert automorphe de Langlands se trouve concentr´ee dans la propri´et´e d’invariance `a gauche par GLr(F) qu’il s’agit de v´erifier.

C’est une situation semblable `a celle rencontr´ee dans les classiques “th´eor`emes r´eciproques” de Hecke, Weil, Piatetski-Shapiro et autres. Cela n’a rien d’´etonnant puisque la construction que nous proposons en termes de coefficients de Fourier est calqu´ee sur celle employ´ee dans la preuve de ces “th´eor`emes r´eciproques”,

`

a commencer par le recours aux fonctions de Whittaker. La diff´erence avec cette approche classique r´eside en ceci que nous ne proposons pas une construction pour chaque repr´esentation automorphe consid´er´ee isol´ement mais une construction “en famille” qui prend en compte simultan´ement toutes les formes automorphes ; dans cette approche, on n’a plus besoin de d´ecomposer spectralement l’espace des formes automorphes et on ne recourt jamais `a la notion de repr´esentation automorphe.

On peut dire aussi qu’il s’agit de d´emontrer que certaines fonctions surG(A)×G(A)×GLr(A) construites explicitement sont automorphes. Comme toutes ces fonctions se d´eduisent de l’une d’elle par simple convo- lution par des ´el´ements de l’alg`ebre de Hecke, on est mˆeme r´eduit `a prouver qu’une fonction bien pr´ecise, donn´ee par une formule explicite, est automorphe.

Nous le v´erifions dans le cas (non trivial) o`u G= GL2 et ρest la repr´esentation standard de GL2(C).

Comme dans le cas de l’induction automorphe de GL1`a GL2, le r´esultat cherch´e est cons´equence de la formule de Poisson, et l’essentiel du travail se fait localement, place par place : il consiste `a v´erifier que certaines fonctions sont transform´ees de Fourier les unes des autres et `a calculer leurs limites aux bords. Cette fois, la formule de Poisson qui s’applique est celle relative au sous-groupe discret M2(F) du groupe ad´elique M2(A) des matrices carr´ees de rang 2 `a coefficients dansA, et les termes de bord qui donnent naissance aux coefficients de Fourier compl´ementaires proviennent des matrices deM2 qui ne sont pas inversibles.

Voici le contenu des diff´erents chapitres :

Le chapitre I est exclusivement constitu´e de rappels sur les groupes r´eductifs, consid´er´es d’abord sur un corps s´eparablement clos puis sur un corps arbitraire. Le quatri`eme et dernier paragraphe rappelle la construc- tion, un peu moins universellement connue, des “compl´etions” des groupes r´eductifs due `a De Concini, Procesi

et Vinberg. Cette construction servira au chapitre VII pour d´efinir les coefficients de Fourier compl´ementaires que nous proposons pour les “noyaux du transfert” cherch´es.

La plus grande partie du chapitre II est ´egalement constitu´ee de rappels : groupe dual de Langlands etL- groupes, double formulation des isomorphismes de Satake, homomorphismes de transfert et homomorphismes induits entre alg`ebres de Hecke sph´eriques, conjecture de fonctorialit´e de Langlands. Le seul ´el´ement nouveau de ce chapitre est la d´efinition g´en´erale de la notion de “noyau du transfert”. Une fois cette d´efinition donn´ee, on explique rapidement pourquoi l’existence d’une famille “compl`ete” de tels noyaux entraˆıne la conjecture de transfert automorphe de Langlands.

Comme nous nous proposons d’essayer de construire des “noyaux du transfert” par leurs coefficients de Fourier, nous avons besoin de r´esultats g´en´eraux sur les coefficients de Fourier, calcul´es le long de Nr, des fonctions sur GLr(A) invariantes `a gauche par certains sous-groupes discrets contenant Nr(F). C’est l’objet du chapitre III. Son premier paragraphe d´efinit les coefficients de Fourier calcul´es contre des caract`eres ψr

deNr(F)\Nr(A) associ´es aux diff´erentes partitionsrde l’entierr. Le paragraphe 2 d´emontre un th´eor`eme d’isomorphisme entre l’espace des fonctions sur GLr(A) invariantes `a gauche par le sous-groupe “mirabolique”

Qr(F) et un certain espace de coefficients de Fourier index´es par les partitions rde l’entierr. Ce th´eor`eme g´en´eralise le “th´eor`eme d’inversion” de Shalika qui traitait le cas o`u le coefficient de Fourier “r´egulier” associ´e

`

a la partition triviale der, not´ee (r), figure seul : tous les autres ´etaient suppos´es nuls.

Enfin, les deux derniers paragraphes de ce chapitre traitent des fonctions locales qui composent n´ecessaire- ment les coefficients de Fourier envisag´es : ce sont les fonctions de Whittaker, dont les principales propri´et´es sont rappel´ees, et les “fonctions de Whittaker interm´ediaires” qui s’en d´eduisent apr`es le choix d’une partition non trivialerde l’entierr.

Le chapitre IV propose une construction pour les coefficients de Fourier `a la fois les plus importants et les plus faciles des “noyaux du transfert” cherch´es : les coefficients de Fourier “r´eguliers” associ´es `a la partition triviale (r) de l’entierr.

Afin de les d´efinir, on doit d’abord exhiber en chaque place un homomorphisme entre tores maximaux du dual ˆGdeGet de GLr(C) qui rel`eve l’homomorphisme entre alg`ebres de Hecke sph´eriques locales induit parρ. C’est imm´ediat si le groupe de Galois ΓF deF agit trivialement mais demande un petit travail dans le cas contraire. Ceci fait l’objet du paragraphe 1.

Le paragraphe 2 construit des “noyaux locaux du transfert non ramifi´e”, par simple int´egration sur le tore maximal de ˆGvu comme une sorte de graphe du transfert local grˆace `a l’homomorphisme entre tores introduit au paragraphe 1. On int`egre les produits des fonctions de Whittaker sur GLr et des fonctions sph´eriques propres de mˆeme valeur propre surGobtenues en d´ecomposant spectralement l’espace des fonc- tions sph´eriques globales.

Le paragraphe 3 construit des coefficients de Fourier r´eguliers des “noyaux globaux du transfert” cherch´es en formant le produit sur toutes les places des “noyaux locaux du transfert” construits au paragraphe 2.

Puisque le transfert dans GLrd’une repr´esentation automorphe deGn’est pas n´ecessairement cuspidal, les “noyaux du transfert” que nous cherchons `a construire ont n´ecessairement des coefficients de Fourier non r´eguliers, c’est-`a-dire associ´es aux partitions non triviales de l’entierr.

Ces coefficients de Fourier compl´ementaires sont d´etermin´es en grande partie par les coefficients de Fourier r´eguliers d´ej`a construits, mais ils sont n´ecessairement plus subtils.

Afin d’obtenir des indications sur leur forme, il est tout indiqu´e de traiter d’abord le cas o`uG= GL2 et ρ= Id, en plus du cas d´ej`a ´etudi´e de l’induction automorphe de GL1`a GL2.

Ce cas fait l’objet du chapitre V.

On commence aux paragraphes 1 et 2 par des rappels sur la transformation de Fourier surM₂(A) et la formule de Poisson pourM₂(F).

Les paragraphes 3 et 4 rassemblent des r´esultats pr´eparatoires pour le th´eor`eme d’´echange par trans- formation de Fourier locale qui occupe le paragraphe 5. Ce th´eor`eme repose sur le th´eor`eme d’´equation fonctionnelle locale pour les fonctionsLlocales de paires sur GL2×GL1, sur le th´eor`eme d’´equation fonc- tionnelle locale pour les fonctionsLlocales simples sur GL2 et sur le fait remarquable que les fonctionsL locales de paires de GL2×GL1et les fonctionsLlocales simples de GL2s’identifient.

Le paragraphe 6 calcule localement les termes de bord c’est-`a-dire les valeurs limites en les matrices de rang 1 et en la matrice 0. Le fait que l’espace des matrices de rang 1 n’est pas une orbite sous l’action d’un seul GL2mais du produit GL2×GL2 est responsable de l’apparition d’un nouveau facteur GL2. C’est pourquoi nous cherchons des “noyaux du transfert” d´efinis surG(A)×G(A)×GLr(A) et non pas surG(A)×GLr(A) comme on aurait d’abord pu penser.

Le paragraphe 7 construit des “noyaux globaux du transfert” sur GL2(A)×GL2(A)×GL2(A). Leur propri´et´e d’invariance `a gauche par GL2(F)×GL2(F)×GL2(F) d´ecoule de la formule de Poisson pour M2(F) plong´e dansM2(A), une fois ´etablis les r´esultats locaux des paragraphes 5 et 6.

Le chapitre VI est un simple addendum au chapitre V. Il consiste `a exhiber des “noyaux du transfert”

dans des situations o`u ils se d´eduisent de ceux construits au chapitre V : le transfert automorphe de PGL2

vers GL2 via la repr´esentation standard de SL2(C) et, plus g´en´eralement, le transfert automorphe d’un groupe r´eductif Gde rang semi-simple ´egal `a 1 vers GL2via une repr´esentation de degr´e 2 du groupe dual G.ˆ

Les formules explicites pour les “noyaux du transfert” de tels groupes r´eductifs Gvers GL2 fournissent d’autres indications susceptibles d’aider `a ´enoncer une conjecture g´en´erale pour la construction des coeffi- cients de Fourier compl´ementaires des “noyaux du transfert” vers un groupe lin´eaire de rangr.

Le chapitre VII a pr´ecis´ement pour objet de proposer une telle conjecture. Par souci de prudence, il la formule seulement sous l’hypoth`ese que l’homomorphisme de transfertρest “minimal” en un sens d´efini au paragraphe 1.

Les homomorphismes de transfert “minimaux” sont, si l’on veut, ceux qui sont les plus ´eloign´es des transferts “repr´esentation par repr´esentation”, autrement dit ceux qui correspondent le mieux `a l’id´ee de

“transfert en famille”. Ils sont cependant assez riches puisque tout homomorphisme de transfert s’´ecrit comme le quotient de deux repr´esentations dont chacune est un compos´e d’homomorphismes de transfert minimaux.

Apr`es avoir d´efini les homomorphismes de transfert “minimaux”, le paragraphe 1 ´etudie leur forme dans le cas o`u le groupe de Galois ΓF deF n’agit pas.

Comme les coefficients de Fourier r´eguliers, nous voulons construire les coefficients de Fourier compl´emen- taires des “noyaux du transfert” d’abord localement par int´egration sur un tore de certaines fonctions.

Les fonctions `a int´egrer sont toutes trouv´ees : ce sont les produits de fonctions de Whittaker interm´ediaires sur GLr et de fonctions sph´eriques propres de mˆeme valeur propre surGou sur un sous-groupe parabolique P deG.

Mais les tores sur lesquels int´egrer peuvent ˆetre des sous-tores stricts du tore maximal de G, comme on le voit d´ej`a dans le cas de GL2, de SL2 ou de l’induction automorphe de GL1 `a GL2. On est donc amen´e `a formuler une conjecture sur le type de sous-tores susceptibles d’apparaˆıtre comme domaine d’int´egration. Ils sont associ´es `a des donn´ees combinatoires introduites au paragraphe 2 sous le nom de “paires admissibles”.

Ces paires admissibles permettent de d´efinir non seulement des tores complexes mais aussi des vari´et´es toriques affines complexes et leurs vari´et´es toriques duales surF ou sur les localisations deF. Ceci fait l’objet des paragraphes 2 et 3 puis, pour la construction de vari´et´es toriques affines globales surF, d’une partie du paragraphe 5.

Les vari´et´es toriques locales associ´ees aux “paires admissibles”, combin´ees avec les compl´etions de groupes r´eductifs rappel´ees au paragraphe I.4, permettent de d´efinir les fonctions locales voulues par un proc´ed´e de passage aux r´esidus sur les bords. C’est le contenu du paragraphe 4.

Le paragraphe 5 et dernier forme le produit sur toutes les places des fonctions locales d´efinies au pa- ragraphe 4, explicite leurs propri´et´es de sym´etrie, et effectue une sommation sur des groupes de points rationnels pour obtenir une expression conjecturale des coefficients de Fourier compl´ementaires des “noyaux du transfert” recherch´es.

La conjecture propos´ee est une simple conjecture de travail, susceptible d’ˆetre corrig´ee.

Pour la confirmer ou la modifier, le premier travail qui se pr´esente `a nous est d’essayer de construire des noyaux du transfert identique de GL<sub>r</sub>, c’est-`a-dire de g´en´eraliser en rangr arbitraire le r´esultat ´etabli au chapitre V dans le casr= 2.

L’essentiel du chapitre I (moins le paragraphe 4), du chapitre II et du chapitre IV a fait l’objet d’un cours dispens´e en mai 2009 `a l’Institut Isaac Newton de Cambridge, dans le cadre du programme “Algebraic Lie theory”. Je remercie les organisateurs de ce programme, Meinholf Geck, Alexander Kleshchev et Gerhard R¨ohrle, ainsi que le directeur de l’Institut Newton, Sir David Wallace, pour leur invitation.

L’essentiel du chapitre III avait ´et´e expos´e `a l’IHES dans un s´eminaire oral de juin 2008 et rendu disponible dans un texte post´e sur le site de l’auteur en septembre 2008.

Enfin, l’essentiel des chapitres IV, V et VII a fait l’objet de trois expos´es donn´es `a l’IHES en juin 2009.

Je suis heureux de remercier chaleureusement les auditeurs de ces diff´erents expos´es.

J’exprime encore une fois toute ma reconnaissance envers C´ecile Gourgues qui a assur´e la frappe de tous les manuscrits avec perfection.

Sommaire

Chapitre I : Rappels sur les groupes alg´ebriques r´eductifs 1. Groupes alg´ebriques r´eductifs et donn´ees radicielles 2. Structures rationnelles

3. Sous-groupes paraboliques rationnels

4. Compl´etion d’un groupe r´eductif connexe (d’apr`es De Concini, Procesi et Vinberg) Chapitre II : Transfert automorphe de Langlands et notion de “noyaux du transfert”

1. Choix d’un corps global de base et notations associ´ees 2. Le groupe dual de Langlands

3. Alg`ebres de Hecke sph´eriques et isomorphismes de Satake

4. Reformulation de l’isomorphisme de Satake en les termes du groupe dual de Langlands 5. Repr´esentations automorphes et transfert de Langlands vers un groupe lin´eaire

6. Une notion de “noyaux du transfert”

Chapitre III : D´eveloppement de Fourier sur GLr et fonctions de Whittaker 1. D´efinition des coefficients de Fourier sur GLr

2. La formule d’inversion de Shalika revisit´ee 3. Mod`eles et fonctions de Whittaker 4. Fonctions de Whittaker interm´ediaires

Chapitre IV : Termes principaux pour la construction de noyaux du transfert

1. Rel`evement des homomorphismes de transfert entre alg`ebres de Hecke sph´eriques locales 2. Construction de noyaux locaux du transfert non ramifi´e

3. Construction explicite de termes principaux pour les noyaux globaux du transfert non ramifi´e Chapitre V : Noyaux du transfert automorphe par l’identit´e de GL2(C)

1. Transformation de Fourier sur lesM2(Fx) 2. Formule de Poisson

3. D´ecomposition spectrale des fonctions sph´eriques sur M₂(F_x) 4. Construction de noyaux locaux

5. ´Echange par transformation de Fourier 6. Calcul des termes de bord

7. Construction de noyaux globaux

Chapitre VI : Noyaux du transfert automorphe par la repr´esentation standard de SL₂(C) 1. Fonctions sur les groupes locaux PGL2(Fx), GL2(Fx) et SL2(Fx)

2. Noyaux locaux du transfert et termes de bord

3. Noyaux globaux du transfert non ramifi´e par la repr´esentation standard de SL2(C)

4. G´en´eralisation aux repr´esentations standard de groupes r´eductifs dont le rang semi-simple est ´egal `a 1 Chapitre VII : Termes compl´ementaires pour la construction de noyaux du transfert

1. Homomorphismes de transfert minimaux

2. Paires admissibles et vari´et´es toriques affines complexes associ´ees 3. Vari´et´es toriques affines locales et leurs duales

4. R´esidus aux bords pour les noyaux locaux du transfert

5. Termes compl´ementaires pour la construction de noyaux globaux du transfert automorphe Bibliographie

Chapitre I :

Rappels sur les groupes alg´ebriques r´eductifs

1 Groupes alg´ ebriques r´ eductifs et donn´ ees radicielles

Consid´erons un groupe alg´ebrique r´eductif connexeGsur un corps s´eparablement closks. SiT est un sous-tore deG, on noteX_T le r´eseau des caract`eres

χ:T →Gm

etX_T^∨celui des cocaract`eres

µ:Gm→T . On dispose de la forme bilin´eaire

h•,•i : XT ×X_T^∨ → Z (χ, µ) 7→ hχ, µi

o`uhχ, µid´esigne l’unique entier tel que le caract`ere compos´eχ◦µ:Gm→T →Gmsoit ´egal `a λ7→λ^hχ,µi. Cette forme lin´eaireh•,•irend les deux r´eseauxX_T et X_T^∨ duaux l’un de l’autre.

On note encore ΦT le sous-ensemble fini deXT − {0} constitu´e des “racines” de T dansG, c’est-`a-dire des caract`eres non triviaux deT qui apparaissent dans l’action par conjugaison deT sur Lie (G) consid´er´e comme un espace vectoriel.

On note enfinST le quotient du normalisateurNGT du tore T dansGpar le centralisateurZGT deT dansG, qui est un groupe r´eductif connexe. C’est un groupe fini, appel´e le groupe de Weyl deT dansG. Il agit sur les r´eseauxXT et X_T^∨ en respectant la forme bilin´eaireh•,•iainsi que l’ensemble ΦT des racines de T dansG.

Un sous-groupe de Borel B de Gest un sous-groupe parabolique minimal. Il contient des tores T qui sont maximaux dansG. Une paire de Borel deGest une paire (T, B) constitu´ee d’un sous-tore maximalT deGet d’un sous-groupe de BorelB deGcontenantT.

Si (T, B) est une paire de Borel de G, on note Φ_B le sous-ensemble de Φ_T constitu´e des caract`eres non triviaux qui apparaissent dans l’action par conjugaison deT sur le sous-espace Lie (B) de Lie (G).

On montre que l’ensemble ΦT est la r´eunion disjointe de ΦB et−ΦB.

On note ∆B le sous-ensemble de ΦB constitu´e des ´el´ements qui ne peuvent s’´ecrire comme la somme de deux ´el´ements de ΦB; tout ´el´ement de ΦB s’´ecrit de mani`ere unique comme une somme d’´el´ements de ∆B.

Les ´el´ements de ΦB sont appel´es “racines positives” et ceux de ∆B “racines simples”.

Soitα:T →G^mune racine, ´el´ement de ΦT, du tore maximalT. SoitTαla composante neutre du noyau deα, qui est un sous-tore deT de codimension 1. Le centralisateurGα deTα dans G est un sous-groupe r´eductif connexe de Gqui admetT comme sous-tore maximal.

Le groupe fini NG_αT /ZG_αT agit non trivialement sur T /Tα ∼= Gm donc il compte exactement deux

´el´ements. On noteσαl’image dansST =NGT /ZGT de son unique ´el´ement non trivial.

Le groupe d´eriv´eG^der_α deGα(c’est-`a-dire la composante neutre de l’intersection des noyaux de tous les caract`eres deGα) est un groupe semi-simple de rang 1, donc isomorphe `a SL2 ou PGL2. Il existe un unique homomorphisme

∨α:G^m→G^der_α tel que







Imα^∨⊂T , T =T_α·(Im^∨α), hα,^∨αi= 2.

Lemme I.1.–SiT est un sous-tore maximal deGcomme ci-dessus, on a pour toute racineα∈ΦT

σα(χ) =χ− hχ,^∨αi ·α , ∀χ∈XT, σ_α(µ) =µ− hα, µi ·α ,^∨ ∀µ∈X_T^∨.

Si T est un sous-tore maximal [resp. Si (T, B) est une paire de Borel de G], l’ensemble des ´el´ements

∨α∈X_T^∨associ´es aux racinesα∈Φ_T [resp. Φ^∨_B, resp. ∆^∨_B] est appel´e l’ensemble des coracines [resp. coracines positives, resp. coracines simples].

Le groupe de WeylST, que l’on peut voir comme un groupe fini d’automorphismes de XT ou X_T^∨, est engendr´e par les r´eflexionsσ_α,α∈Φ_T (ou mˆeme :α∈∆_B).

Etant donn´´ ees deux paires de Borel (T₁, B₁) et (T₂, B₂) deG, il existe un ´el´ementg∈G(k_s) tel que T₂=g T₁g⁻¹, B₂=g B₁g⁻¹.

Les isomorphismes ou bijections induits

XT₁

−→∼ XT₂, X_T^∨₁ −→^∼ X_T^∨₂, ΦT₁

−→∼ ΦT₂, Φ_B1 −→^∼ Φ_B2,

∆_B1 −→^∼ ∆_B2, S_T1−→^∼ S_T2

respectent toutes les structures et ne d´ependent pas de l’´el´ementgchoisi. Cela permet de noter (X_G,Φ_G, X_G^∨,Φ^∨_G), SG et (Φ⁺_G,∆G,Φ^+∨_G ,∆^∨_G) au lieu de (XT,ΦT, X_T^∨,Φ^∨_T),ST et (ΦB,∆B,Φ^∨_B,∆^∨_B).

D´efinition I.2.–

(i)On appelle “donn´ee radicielle” tout quadruplet(X,Φ, X^∨,Φ^∨) constitu´e de – un r´eseauX (isomorphe `a une puissance finie deZ),

– son r´eseau dualX^∨,

– deux sous-ensembles finisΦet Φ^∨ deX et X^∨ reli´es par une bijection Φ−→^∼ Φ^∨,

α7→α ,^∨ tel que tout ´el´ement α∈Φsatisfait les deux axiomes suivants :

• hα,αi^∨ = 2,

• les involutions deX etX^∨ d´efinies par

χ7→σα(χ) =χ− hχ,αi ·^∨ α , µ7→σα(µ) =µ− hα, µi ·α ,^∨ stabilisent les ensembles finisΦ etΦ^∨.

(ii)Une donn´ee radicielle(X,Φ, X^∨,Φ^∨) est dite “r´eduite” si, pour tout ´el´ementα∈Φ, les seuls multiples deα[resp. α] contenus dans^∨ Φ[resp.Φ^∨] sont±α[resp.±α].^∨

Cette d´efinition ´etant pos´ee, on a : Th´eor`eme I.3.–

(i)Pour tout groupe alg´ebrique r´eductif connexeGsur un corps s´eparablement closks, le quadruplet associ´e (XG,ΦG, X_G^∨,Φ^∨_G)est une donn´ee radicielle r´eduite.

(ii)R´eciproquement, pour toute donn´ee radicielle r´eduite (X,Φ, X^∨,Φ^∨) et pour tout corps s´eparablement clos k_s, il existe un groupe alg´ebrique r´eductif connexe G sur k_s, unique `a isomorphisme pr`es, tel que (X_G,Φ_G, X_G^∨,Φ^∨_G)soit isomorphe `a(X,Φ, X^∨,Φ^∨).

(iii) Pour tout groupe r´eductif connexe G sur un corps s´eparablement clos ks, on a un homomorphisme canonique entre groupes d’automorphismes :

Aut (G)→Aut (X_G,∆_G, X_G^∨,Φ^∨_G) Il s’inscrit dans une suite exacte

1→Int (G)→Aut (G)→Aut (XG,ΦG, X_G^∨,Φ^∨_G)→1

o`u Int (G)d´esigne le sous-groupe des automorphismes int´erieurs deG.

Si G est un groupe r´eductif connexe sur un corps s´eparablement clos ks, T un tore maximal de G et α∈ΦT = ΦG une racine, le sous-espace Lie (G)α de Lie (G) sur lequel le tore T agit par le caract`ereαest n´ecessairement de dimension 1.

D´efinition I.4. –On appelle “´epinglage” d’un groupe r´eductif connexe Gsur un corps s´eparablement clos ks tout triplet (T, B,(uα)_α∈∆G)constitu´e d’une paire de Borel (T, B) et d’une famille de vecteurs non nuls

uα∈Lie (G)α⊂Lie (B),α∈∆G= ∆B.

Avec cette d´efinition, on a :

Proposition I.5.– SoitGun groupe r´eductif connexe sur un corps s´eparablement clos ks. Alors :

(i) Deux ´epinglages deGsont transform´es l’un dans l’autre par un unique automorphisme int´erieur deG.

(ii) Tout ´epinglage d´efinit un scindage de la suite exacte :

1→Int (G)→Aut (G)→Aut (XG,ΦG, X_G^∨,Φ^∨_G)→1

2 Structures rationnelles

Consid´erons maintenant un corps arbitraireket une clˆoture s´eparableksdek. Le groupe de Galois Γk

dekest d´efini comme le groupe des automorphismes de k_ssurk.

Un groupe alg´ebrique connexe G sur k est dit r´eductif si G_ks = G×_Spec(k)Spec (k_s) est un groupe alg´ebrique r´eductif (connexe) surk_s.

Deux groupes r´eductifs connexesGetG⁰ surk sont appel´es des “k-formes” l’un de l’autre s’il existe un isomorphismec:Gk_s

−→∼ G⁰_k

s. Dans ce cas, l’application

Γ_k → Aut (G_ks) γ 7→ c⁻¹◦γ(c) =cγ

est continue et elle satisfait la condition

c_γγ0 =c_γ◦γ(c_γ0), ∀γ, γ⁰∈Γ_k.

R´eciproquement, siGest un groupe r´eductif connexe surk, toute application continue Γ_k→Aut (G_ks), γ7→c_γ

qui satisfait la relation ci-dessus d´efinit une “k-forme” de G. Cette k-forme est k-isomorphe `a G si et seulement si il existe un automorphismec∈Aut (Gk_s) tel que

cγ=c⁻¹◦γ(c), ∀γ∈Γk.

Deux groupes r´eductifs connexesGetG⁰surksont appel´es des “k-formes int´erieures” l’un de l’autre s’il existe un isomorphismec:Gk_s →G⁰_k

s tel que

c⁻¹◦γ(c) =cγ ∈Int (Gk_s), ∀γ∈Γk.

Pour tout groupe r´eductif connexeGsurk, on notera simplement (X_G,Φ_G, X_G^∨,Φ^∨_G),S_Get (Φ⁺_G,∆_G,Φ^+∨_G ,

∆^∨_G) la donn´ee radicielle, le groupe de Weyl et les ensembles de racines et coracines positives ou simples qui sont associ´es `a Gk_s.

Si (T, B) est une paire de Borel deG_ks etγ est un ´el´ement de Γ_k, la transform´ee (γ(T), γ(B)) de (T, B) parγ est une autre paire de Borel et on a un isomorphisme induit parγ

(X_T,∆_B, X_T^∨,∆^∨_B)−→^∼ (X_γ(T),∆_γ(B), X_γ(T^∨ ₎,∆^∨_γ(B)).

Cet isomorphisme induit parγpeut ˆetre vu comme un automorphisme de (X_G,∆_G, X_G^∨,∆^∨_G) ; comme tel, il ne d´epend pas du choix de la paire de Borel (T, B). On a donc une application canonique

Γk→Aut (XG,∆G, X_G^∨,∆^∨_G).

C’est un homomorphisme de groupes. Son noyau est un sous-groupe ouvert (d’indice fini), ce qui signifie qu’il est continu.

Ainsi, le r´eseauX_G et son dualX_G^∨sont canoniquement munis d’une action continue du groupe de Galois Γk qui pr´eserve les ensembles finis ∆G,∆^∨_G,ΦG,Φ^∨_G,Φ⁺_G,Φ^+∨_G et induit une action sur le groupe de WeylSG.

D´efinition I.6.–

(i)Un groupe r´eductif connexe G sur k est dit “quasi-d´eploy´e” s’il poss`ede un ´epinglage(T, B,(uα)_α∈∆G) d´efini sur k.

(ii)Il est dit “d´eploy´e” si, de plus, le tore T d’un tel ´epinglage est d´eploy´e, c’est-`a-dire isomorphe surk `a

une puissance deG^m.

On d´eduit du th´eor`eme I.3 et de la proposition I.5 : Corollaire I.7.–

(i)Deux groupes r´eductifs connexesGetG⁰sur ksont des “k-formes” l’un de l’autre si et seulement si leurs donn´ees radicielles(XG,ΦG, X_G^∨,Φ^∨_G)et(XG⁰,ΦG⁰, X_G^∨0,Φ^∨_G0) sont isomorphes.

De plus, ce sont des “k-formes int´erieures” l’un de l’autre si et seulement si leurs donn´ees radicielles munies des actions naturelles du groupe de GaloisΓk sont isomorphes.

(ii)Toute donn´ee radicielle(X,Φ, X^∨,Φ^∨)munie d’une action continue deΓ_k pr´eservant une base(∆,∆^∨) d´efinit un groupe r´eductif connexe quasi-d´eploy´e sur k. Celui-ci est unique `a unique k-isomorphisme pr`es pr´eservant les ´epinglages.

(iii)Tout groupe r´eductif connexe sur k poss`ede une forme int´erieure quasi-d´eploy´ee. Celle-ci est unique `a uniquek-isomorphisme pr`es pr´eservant les ´epinglages.

(iv)Un groupe r´eductif connexeG, suppos´e quasi-d´eploy´e sur k, est d´eploy´e surksi et seulement si l’action

induite deΓ_k sur (X_G,∆_G, X_G^∨,∆^∨_G)est triviale.

3 Sous-groupes paraboliques rationnels

Dans ce paragraphe, on consid`ere un groupe r´eductif connexeGsur un corpskarbitraire.

On montre que les sous-tores deGqui sont d´efinis surk, d´eploy´es surket maximaux pour ces propri´et´es sont conjugu´es les uns des autres par des ´el´ements de G(k).

SoitTk l’un de ces sous-tores d´eploy´es maximaux.

On noteXT_kle r´eseau des caract`eresTk →GmdeTketX_T^∨

kle r´eseau dual de ses cocaract`eresGm→XT<sub>k</sub>. On note Φ<sub>Tk</sub> l’ensemble fini des racines de T<sub>k</sub> dans G : c’est le sous-ensemble de X<sub>Tk</sub> compos´e des caract`eres non triviaux deT_k qui apparaissent dans l’action par conjugaison deT_k sur Lie (G).

Soient Z_G(T_k) et N_G(T_k) le centralisateur et le normalisateur de T_k dansG. Ce sont des sous-groupes alg´ebriques deGrationnels surk. Le premier,Z_G(T_k), est r´eductif et connexe. Le quotientS_Tk=N_G(T_k)/

Z_G(T_k) est un groupe fini dont les ´el´ements peuvent ˆetre repr´esent´es par des ´el´ements deN_G(T_k) rationnels surk. Ce groupe fini op`ere naturellement sur les r´eseauxX_TketX_T^∨

k; il pr´eserve la forme bilin´eaire naturelle qui les relie ainsi que l’ensemble Φ_Tk des racines.

Lemme I.8.–Munissons l’espace vectoriel r´eelX_Tk⊗_ZRd’un produit scalaire euclidien(•,•)invariant par l’action du groupe finiS_Tk.

Alors, pour toute racineα∈ΦT_k ⊂XT_k, l’imageα^∨de_(α,α)² ·αpar l’isomorphismeXT_k⊗_ZR−→^∼ X_T^∨

k⊗_ZR induit par(•,•)appartient au r´eseauX_T^∨

k. De plus, cette imageα^∨ ne d´epend pas du produit scalaire euclidien

invariant(•,•)choisi.

On note Φ^∨_T

k⊂X_T^∨

k l’ensemble fini desα, appel´^∨ ees “coracines”, associ´ees aux racinesα∈ΦT_k. Lemme I.9.–Dans la situation et avec les notations ci-dessus, le quadruplet(XT_k,ΦT_k, X_T^∨

k,Φ^∨_T

k)est une

“donn´ee radicielle” (pas n´ecessairement r´eduite) au sens de la d´efinitionI.2.

Le groupe fini ST_k =NG(Tk)/ZG(Tk)s’identifie `a son groupe de Weyl.

Soit Lie (G)₀ le sous-espace vectoriel de Lie (G) constitu´e des vecteurs fix´es par l’action deT_k. Et, pour toute racine α∈ ΦT_k, soit Lie (G)α le sous-espace des vecteurs sur lesquels le tore d´eploy´e Tk agit par le caract`ereα.

On a la d´ecomposition en somme directe canoniquement associ´ee au toreT_k Lie (G) = Lie (G)0⊕ M

α∈Φ_Tk

Lie (G)α.

Dans le cas g´en´eral o`u le groupe r´eductifG n’est pas n´ecessairement d´eploy´e, les sous-espaces Lie (G)<sub>α</sub> peuvent avoir une dimension plus grande que 1. Mais il existe toujours, pour toute racineα∈Φ<sub>Tk</sub>, un unique sous-groupe alg´ebriqueU<sub>α</sub> de G, rationnel sur k, unipotent, normalis´e par T<sub>k</sub> et dont l’alg`ebre de Lie est Lie (G)_α.

Int´eressons-nous maintenant aux sous-groupes paraboliques deGqui sont rationnels surk.

Consid´erons d’abord les sous-groupes paraboliques rationnels sur k et minimaux pour cette propri´et´e.

On montre qu’ils sont conjugu´es les uns des autres par des ´el´ements deG(k). On peut en choisir un,Pk, qui contienne le tore d´eploy´e maximalTk. Alors on a la d´ecomposition

Pk =ZG(Tk)·Ru(Pk)

o`uZ_G(T_k) est un sous-groupe de Levi deP_k etR_u(P_k) d´esigne le radical unipotent deP_k.

Les racinesα∈ ΦT_k telles queUα est contenu dans Ru(Pk) sont appel´ees les racines positives de ΦT_k. On note ΦP_k leur ensemble et Φ^∨_P

k le sous-ensemble correspondant de Φ^∨_T

k. Puis on note ∆P_k et ∆^∨_P

k les sous-ensembles associ´es de racines simples et de coracines simples : ce sont les ´el´ements de ΦP_k et Φ^∨_Pk qui ne peuvent s’´ecrire comme des sommes non triviales d’´el´ements de ΦP_k et Φ^∨_Pk.

Le groupe de Weyl ST_k agit simplement transitivement sur l’ensemble des sous-groupes paraboliques rationnels surket minimaux qui contiennentTk.

Pour tout sous-ensemble θ de ∆P_k, notons Pθ le sous-groupe alg´ebrique de Gengendr´e par ZG(Tk) et par lesUα, o`uαd´ecrit le sous-ensemble de ΦT_k compos´e des racines qui s’´ecrivent comme des combinaisons lin´eaires

α= X

β∈∆_Pk

mβ·β o`umβ ∈Z,∀β∈∆P_k, etmβ≥0,∀β /∈θ.

Ainsi, on a

Pθ=G si θ= ∆P_k, Pθ=Pk si θ=∅,

Pθ⊆Pθ⁰ si θ⊆θ⁰⊆∆P_k.

Tout sous-groupe parabolique de Gqui est rationnel sur k et contient Pk est de la forme Pθ. Une fois le choix dePk arrˆet´e, les Pθ sont appel´es les sous-groupes paraboliques standard deG.

Lemme I.10.–Dans la situation et avec les notations ci-dessus, tout sous-groupe parabolique deGrationnel surk est conjugu´e, par des ´el´ements deG(k), `a un unique sous-groupe parabolique standardPθ.

Pour toute partie θ de ∆_Pk, la composante neutre T_θ de l’intersection T

α∈θ

Ker (α : T_k → Gm) est un sous-tore deTk et donc un sous-tore deGrationnel surket d´eploy´e. On a la d´ecomposition en sous-groupe de Levi et radical unipotent

Pθ=ZG(Tθ)·Ru(Pθ).

Le centralisateurZG(Tθ) =Mθ deTθ dans Gest appel´e le sous-groupe de Levi standard dePθ. Le radical unipotentRu(Pθ) de Pθ est engendr´e par lesUα, o`u αd´ecrit le sous-ensemble de ΦP_k compos´e des racines positives qui s’´ecrivent comme des combinaisons lin´eaires

α= X

β∈∆_Pk

mβ·β telles que

∀β∈∆P_k, mβ∈N, et

∃β0∈/θ , mβ₀ ≥1.

Dans le groupe r´eductif connexeM_θ=Z_G(T_θ), le toreT_k est un sous-tore d´eploy´e surket maximal pour cette propri´et´e.

Le groupe de Weyl S_θ de T_k dans M_θ s’identifie au sous-groupe de S_Tk engendr´e par les r´eflexions associ´ees aux racinesα∈θ.

On dispose encore de la d´ecomposition de Bruhat : Proposition I.11.–

(i) Si Pk d´esigne comme ci-dessus un sous-groupe parabolique de G, rationnel sur k, minimal pour cette propri´et´e, et contenant le tore rationnel d´eploy´e maximal Tk, l’application naturelle

ST_k→Pk(k)\G(k)/Pk(k) est une bijection.

(ii)Plus g´en´eralement, siθ etθ⁰ sont deux parties de ∆P_k, l’application naturelle S_θ\STk/S_θ⁰ →P_θ(k)\G(k)/Pθ⁰(k)

est une bijection.

Terminons ce paragraphe en examinant le cas particulier o`u le groupe r´eductifGest quasi-d´eploy´e c’est-

`

a-dire poss`ede un ´epinglage (T, B,(u_α)_α∈∆B) d´efini surk.

On a alors pu prendre pourT_k le plus grand tore d´eploy´e contenu dans le tore rationnelT. Le centralisateurZ_G(T_k) deT_k dansGest ´egal `a T.

Une fois choisie une clˆoture s´eparable ks dek, le r´eseau X_T^∨

k s’identifie au sous-r´eseau deX_T^∨ compos´e des cocaract`eres de T fix´es par le groupe de Galois Γk = Autk(ks) de k. Son r´eseau dual XT_k est le plus grand sous-quotient deXT sur lequel Γk agit trivialement.

CommeZG(Tk) = T, les images dans XT_k des racines α∈ΦT sont toutes non triviales. Leur ensemble est ΦT_k. Deux ´el´ements de ΦT ont la mˆeme image dans ΦT_k si et seulement s’ils sont transform´es l’un dans l’autre par l’action d’´el´ements de Γk. Autrement dit, ΦT_k s’identifie au quotient de ΦT par l’action de Γk.

Le groupe de Weylk-rationnel ST_k s’identifie au sous-groupe du groupe de Weyl absolu ST constitu´e des ´el´ements fix´es par l’action de Γk.

Le sous-groupe de BorelB, vu comme sous-groupe deGrationnel surk, est ´evidemment minimal parmi les sous-groupes paraboliques deGrationnels surk. On a donc pu prendreP_k=B_k =B.

L’ensemble Φ_Bk des racines k-rationnelles positives s’identifie au quotient par Γ_k de l’ensemble Φ_B des racines positives, et l’ensemble ∆_Bk des racines k-rationnelles simples s’identifie au quotient par Γ_k de l’ensemble ∆_B des racines simples.

Se donner un sous-groupe parabolique rationnel standardPθ deG´equivant `a se donner une partieθde

∆B stable par l’action de Γk.

4 Compl´ etion d’un groupe r´ eductif connexe (d’apr` es De Concini, Procesi et Vinberg)

Consid´erons dans un premier temps un groupe r´eductif connexe Gsur un corps s´eparablement clos ks, dont le groupe d´eriv´eG^der soit simplement connexe.

Soit (T, B) une paire de Borel deG.

Il lui est associ´e un ensemble ∆_B ={α1, . . . , α<sub>`</sub>} ⊂X<sub>T</sub> de racines simples. L’ensemble{−α1, . . . ,−α`} des racines oppos´ees d´efinit un autre sous-groupe de Borel, B^op, appel´e l’oppos´e de B. Les sous-groupes paraboliques de G qui contiennent B sont appel´es les sous-groupes paraboliques standard. Ils sont natu- rellement index´es par les parties θ de ∆_B et not´es P_θ. Tout sous-groupe parabolique standard P_θ admet un unique sous-groupe de Levi qui contienneT; c’estMθ =ZG(Tθ) o`u Tθ d´esigne le sous-tore deT d´efini comme la composante neutre de T

α∈θ

Ker (α:T →Gm). Le compos´eP_θ^op=Mθ·B^opest appel´e le sous-groupe parabolique oppos´e dePθ. On noteNθetN_θ^oples radicaux unipotents dePθetP_θ^op. On a les d´ecompositions canoniques

Pθ=NθoMθ, P_θ^op=N_θ^opoMθ.

Enfin, on sait que tout sous-groupe parabolique de G est conjugu´e `a un unique sous-groupe parabolique standard.

Choisissons une baseω₁⁰, . . . , ω<sub>`</sub><sup>0</sup>0 du r´eseau des caract`eres χ:T →Gm

tels que

hχ,αi^∨ = 0, ∀α∈∆_B={α1, . . . , α_`}.

Chaqueω⁰_i0 :T →Gm, 1≤i⁰≤`<sup>0</sup>, se prolonge de mani`ere unique en un caract`ere ω_i⁰0 :G→Gm.

On appelle “poids dominant” tout caract`ere

χ:T →Gm

tel que

hχ,αi ≥^∨ 0, ∀α∈∆B={α1, . . . , α`}.

L’ensemble des poids dominants est stable par translation par les ´el´ements du r´eseauZω₁⁰ +· · ·+Zω_{`</sub><sup>0</sup>0. Son quotient par ce r´eseau est un cˆone satur´e et non d´eg´en´er´e deXT/(Zω<sub>1</sub><sup>0</sup> +· · ·+Zω<sup>0</sup><sub>`}0) qui est engendr´e par les`´el´ements ¯ω<sub>1</sub>, . . . ,ω¯<sub>`</sub> de la base duale deα^∨₁, . . . ,α^∨_{`</sub>. Notons ω<sub>1</sub>, . . . , ω<sub>`} une famille de caract`eres

T →G^m

qui rel`event ces`´el´ements ¯ω1, . . . ,ω¯` du quotientXT/(Zω<sub>1</sub><sup>0</sup> +· · ·+Zω<sup>0</sup><sub>`</sub>0).

Ainsi, les poids dominants sont les caract`eres χ : T → Gm qui s’´ecrivent, de mani`ere n´ecessairement unique, sous la forme

χ= X

1≤i⁰≤`⁰

n⁰_i0·ω_i⁰0+ X

1≤i≤`

n_i·ω_i avecn⁰_i0 ∈Z,∀i⁰, etni ∈N, ∀i.

Pour tout indicei, 1≤i≤`, notons (ρ_ωi, V_ωi) la repr´esentation irr´eductible deGde poids dominantω_i.

Et, pour tout indice i⁰, 1 ≤i⁰ ≤`⁰, notons par commodit´e Vω⁰

i0 un espace vectoriel de dimension 1 sur lequelGagit par le caract`ereω⁰_i0 :G→Gm.

Notons (T×G)/Z_G le quotient deT×Gpar le centreZ_G deGplong´e par λ7→(λ⁻¹, λ).

On dispose de l’immersion ferm´ee (T×G)/ZG,→ Y

1≤i≤`

Aut (Vω_i)× Y

1≤i⁰≤`⁰

Aut (V_ω⁰

i0)× Y

1≤i≤`

Gm, (λ, g)7→ (ω_i(λ)·ρ_ωi(g))_{1≤i≤`</sub>, (ω<sub>i</sub><sup>0</sup>0(λ g))<sub>1≤i</sub><sup>0</sup><sub>≤`}⁰, (α⁻¹_i (λ))_1≤i≤`

.

Or, pour tout indicei∈ {1, . . . , `}, le facteur Aut (Vω<sub>i</sub>) s’identifie `a un ouvert de End (Vω_i) et le facteurGm

image deα⁻¹_i s’identifie `a un ouvert d’une droite affine A¹. On a :

Th´eor`eme I.12.–SoitΩ_G l’adh´erence sch´ematique de (T×G)/ZG

dans le produit

Y

1≤i≤`

(End (Vω_i)− {0})× Y

1≤i⁰≤`⁰

Aut (V_ω⁰

i0)× Y

1≤i≤`

A¹. Alors :

(i)L’action `a droite deT×G×Gsur (T×G)/ZG d´efinie par

(λ₀, g₀)·(λ, g₁, g₂) = (λ₀λ, g⁻¹₁ g₀g₂) se prolonge en une action deT×G×Gsur ΩG tout entier.

(ii) Si l’on fait agir T sur Q

1≤i≤`

A¹ par les caract`eres α<sup>−1</sup><sub>i</sub> , 1 ≤ i ≤ `, et G×G par l’action triviale, la projection

Ω_G→AG= Y

1≤i≤`

A¹ est ´equivariante.

(iii)Ce morphisme ´equivariant de structure

ΩG→AG= Y

1≤i≤`

A¹

est lisse.

(iv)Si θest une partie de ∆_B ={α1, . . . , α_`}, la fibre du morphisme de structure ΩG→AG= Y

1≤i≤`

A¹

au-dessus du point base1_θ dont les coordonn´ees d’indicesi,1≤i≤`, valent 1 si αi∈θ ,

0 si αi∈/θ , s’identifie `a

Gθ=Mθ·(Nθ×N_θ^op)\(G×G)

(o`u Mθ est plong´e diagonalement dansG×G).

Consid´erons maintenant un groupe r´eductif connexeGsur un corps karbitraire, dont le groupe d´eriv´e G^der est simplement connexe.

Supposons queGest quasi-d´eploy´e surk.

Par d´efinition, G admet un ´epinglage (T, B,(u_α)_α∈∆G) d´efini sur k. Le tore maximal T n’est pas n´ecessairement d´eploy´e surkmais il le devient sur une clˆoture s´eparablek_sdek.

Le groupe de Galois Γk = Autk(ks) agit sur le r´eseau XT, en respectant l’ensemble fini ∆G = ∆B sur lequel il agit donc par permutation.

L’action de Γkrespecte le sous-r´eseauZω⁰₁+· · ·+Zω⁰<sub>`</sub>0deXT et permute les ´el´ements ¯ω1, . . . ,ω¯`de la base deXT/(Zω⁰₁+· · ·+Zω<sub>`</sub><sup>0</sup>0) duale deα<sup>∨</sup>1, . . . ,α<sup>∨</sup>`. Dans la construction de la vari´et´e ΩG_ksde compl´etion du groupe r´eductifG_ks surk_sinterviennent des ´el´ementsω₁, . . . , ω<sub>`</sub>deX<sub>T</sub> qui rel`event les ´el´ements ¯ω₁, . . . ,ω¯_`. On voit que Γ_k agit naturellement sur le produit Q

1≤i≤`

End (V_ωi)× Q

1≤i⁰≤`⁰

End (V_ω⁰

i0) ainsi que surAG_ks = Q

1≤i≤`A¹, de telle fa¸con que l’immersion

(T_ks×G_ks)/Z_Gks ,→ Y

1≤i≤`

Aut (V_ωi)× Y

1≤i⁰≤`⁰

Aut (V_ω⁰

i0)× Y

1≤i≤`

Gm

est respect´ee par l’action de Γ_k.

Le sch´ema ΩG_ks = ΩG surksse trouve muni d’une action de Γk qui prolonge celles sur Gk_s etTk_s. On peut donc le consid´erer comme un sch´ema sur k, de mˆeme que AG_ks = AG. Le morphisme de structure ΩG →AG et l’action `a droite deT×G×Gsur ΩG sont rationnelles surk.

SoitTk le plus grand sous-tore d´eploy´e contenu dansT. L’ensemble ∆G_k de ses racines simples s’identifie au quotient de ∆G par l’action de Γk.

On noteAG_k le sch´ema Q

α∈∆_Gk

A¹ muni de l’action deTk d´efinie par les caract`eresα⁻¹∈∆G_k. Le plongementT_k,→T induit une immersion ferm´ee ´equivariante AGk,→AG.

On d´eduit du th´eor`eme pr´ec´edent :

Corollaire I.13.–SoitGun groupe r´eductif connexe et quasi-d´eploy´e sur un corpsk, dont le groupe d´eriv´e G^der est simplement connexe.

Alors le sch´ema surk d´efini comme le produit fibr´e

ΩG_k = ΩG×_AGAG_k

v´erifie les propri´et´es suivantes : (i)Il contient comme ouvert dense

(Tk×G)/(Tk∩ZG), et l’action `a droite sur cet ouvert deTk×G×Gd´efinie par

(λ0, g0)·(λ, g1, g2) = (λ0λ, g⁻¹₁ g0g2) se prolonge en une action deTk×G×Gsur ΩG_k tout entier.

(ii)Le morphisme de structure

ΩG_k →AG_k

est ´equivariant et lisse.

(iii)Siθ est une partie de∆G_k= ∆G/Γk, la fibre du morphisme de structure ΩG_k →AG_k= Y

α∈∆_Gk

A¹

au-dessus du point base1θ dont les coordonn´ees d’indices lesα∈∆G_k valent 1 si α∈θ ,

0 si α /∈θ , s’identifie `a

Gθ=Mθ·(Nθ×N_θ^op)\(G×G).

Puis consid´erons un groupe r´eductif connexeGsur un corpskarbitraire, dont le groupe d´eriv´eG^derest simplement connexe mais qui n’est pas n´ecessairement quasi-d´eploy´e.

On sait queGposs`ede une unique forme int´erieureG<sup>0</sup> quasi-d´eploy´ee surk. On dispose donc du sch´ema ΩG<sup>0</sup> sur k muni d’une action `a droite de TG⁰ ×G⁰×G⁰ et d’un morphisme de structure ΩG⁰ → AG⁰ =

Q

α∈∆_G0=∆_G

A¹.

Comme forme int´erieure deG⁰, le groupe r´eductifGsurkest d´efini par une application continue Γk → Int (G⁰_ks)

γ 7→ cγ

telle que, pour tous ´el´ementsγ, γ⁰∈Γk, on ait

cγγ⁰ =cγ◦γ(cγ⁰). Les automorphismes int´erieurs cγ ∈ Int (G⁰_k

s) se prolongent de mani`ere unique en des automorphismes de ΩG⁰

ks qui respectent le morphisme de structure ΩG⁰

ks → AG⁰

ks. Ils d´efinissent une nouvelle structure k- rationnelle sur Ω_G⁰

ks, que l’on note Ω_G. La vari´et´e Ω_G surkest munie d’une action `a droite deT_G⁰×G×G et d’un morphisme de structure ´equivariant et lisse

ΩG →AG =AG⁰

vers la vari´et´e toriqueAG=AG⁰ de toreT_G0/Z_G0.

Soit un tore d´eploy´e maximal T_k du groupe r´eductif connexe G, et soit P_k un sous-groupe parabolique deGd´efini surk, minimal pour ces propri´et´es et qui contientT_k. On dispose de l’ensemble ∆_Pk ⊂X_Tk des racines simples d´etermin´e par le choix deP_k.

La vari´et´e toriqueAG_k= Q

α∈∆_Pk

A¹ de toreTk/(Tk∩ZG) est munie d’une immersion ferm´ee ´equivariante rationnelle surkcanonique

AGk ,→AG=AG⁰. Le produit fibr´e

Ω_Gk = Ω_G×_AGAGk

est muni d’une action `a droite du groupeT_k×G×Get d’un morphisme de structure ´equivariant et lisse ΩG_k →AG_k.