Partie A : Le Cours (Calculatrices interdites) (20 minutes) (3 points)

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CPGE TSI 1

Samedi 14 septembre 2013 Durée 2 heures.

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES (1)

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements constituent un objectif majeur pour les épreuves écrites de mathématiques et

entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

NB1 : le barème est indicatif et susceptible de légères modifications

NB2 : une erreur dans un texte de devoir est toujours possible ; si vous pensez détecter une erreur, signalez le sur votre copie et continuez votre rédaction

Partie A : Le Cours (Calculatrices interdites) (20 minutes) (3 points)

Rappeler les formules donnant cos⁡(𝑎 + 𝑏) et sin⁡(𝑎 + 𝑏) en fonction des 𝑐𝑜𝑠 et 𝑠𝑖𝑛 des réels 𝑎 et 𝑏

Rappeler les formules de dérivées de : cos 𝑢 ; ln 𝑢 𝑒𝑡 𝑢^𝑛

Rappeler les formules donnant les valeurs moyenne et efficace d’une fonction sur un intervalle [𝑎, 𝑏]

Donner la représentation graphique de la fonction définie par 𝑢 𝑡 = 𝑈₀ 𝑒⁻^𝑡^𝜏 Rappeler la forme des solutions de l’équation différentielle : 𝑦^′ + 𝑎𝑦 = 𝑏

Rappeler la forme des solutions de l’équation différentielle : 𝑎𝑦" + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0 selon les valeurs de ∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐

Soit le complexe écrit sous forme algébrique 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ; donner les formules permettant de calculer le module et un argument de 𝑧

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Partie B : Calculatrices autorisées (17 points)

Exercice 1 : Un peu de technique (7 points) NB :les questions sont indépendantes

1. A l’aide des formules rappelées en partie A, donner une expression simplifiée de : cos 𝑥 + 𝜋 𝑒𝑡 sin⁡(𝑥 +𝜋

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2. On rappelle les formules : cos 2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠²𝑎 − 𝑠𝑖𝑛²𝑎 = 2𝑐𝑜𝑠²𝑎 − 1 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛²𝑎 Exprimer cos⁡(4𝑎) en fonction de cos⁡(𝑎) et sin⁡(𝑎)

3. On pose 𝑢 𝑡 = 𝑈₀ 𝑒⁻^𝑡^𝜏 ; calculer la valeur efficace de 𝑢 sur l’intervalle [0 , 𝜏 ] 4. Résoudre les « problèmes de Cauchy » suivants :

2𝑦^′ + 4𝑦 = 5

𝑦 0 = 2 ; 𝑦" + 7𝑦′ + 10𝑦 = 0 𝑦 0 = 1 𝑒𝑡 𝑦^′ 0 = 2 Exercice 2 : une équation différentielle en Sciences (4 points) L’équation qui régit le démarrage d’un moteur électrique est :

𝑛 𝑡 + 𝜏 ^𝑑𝑛

𝑑𝑡 = 𝐶 𝑢 𝑡 avec

𝜏 = 0.04 𝑠 𝐶 = 4,2 𝑡𝑟/𝑠/𝑉

𝑢 𝑡 = 24 𝑉

𝑛 𝑡 : 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑢𝑟𝑠/𝑠 On sait le moteur est à l’arrêt à l’instant 𝑡 = 0

Déterminer l’expression de 𝑛(𝑡) et donner en une représentation graphique Quelle est la vitesse atteinte par ce moteur au bout d’un temps infini ?

Au bout de combien de temps la vitesse de rotation atteint-elle 95% de cette valeur (régime permanent) ?

Exercice 3 : Les nombres complexes (6 points)

1. On pose : 𝑧₁ = 2 − 𝑖 2 et 𝑧2 = 2 + 2 3 𝑖

Déterminer module et argument des complexes : 𝑧₁ ; 𝑧₂ ; 𝑧₁𝑧₂ ; ^𝑧¹

𝑧2 𝑒𝑡 (𝑧₁)⁴ Les écrire sous forme exponentielle

2. Dans le plan complexe, on donne les points 𝐴 , 𝐵 et 𝐶 d’affixe respective 𝑧_𝐴 = 1 + 𝑖 , 𝑧_𝐵 = 3 + 4𝑖 𝑒𝑡 𝑧_𝐶 = 4 − 𝑖

Calculer le complexe 𝑍 = ^𝑧^𝐶^−𝑧^𝐴

𝑧𝐵−𝑧𝐴 puis le module et un argument de 𝑍 Déduire la nature du triangle 𝐴𝐵𝐶

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3. On se propose de déterminer l’ensemble 𝐸 des points 𝑀 d’affixe 𝑧, du plan complexe, tels que

𝑍 =

^𝑧−1

𝑧+1 soit un réel (𝑧 ≠ −1) Pour cela , on pose 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 avec 𝑥 et 𝑦 des réels ;

Justifier que la forme algébrique du complexe 𝑍 est :

𝑍 =

^{𝑥²+𝑦²−1}

𝑥+1 ²+𝑦²

+ 𝑖

^2𝑦

𝑥+1 ²+𝑦²

Déduire la forme algébrique de 𝑧 de sorte que 𝑍 soit réel.

Déduire l’ensemble 𝐸

4. Exercice hors barème (2 points)

a) Retrouver le résultat précédent en utilisant la proposition : 𝑍 ∈ ℝ ⟺ 𝑍 = 𝑍 ainsi que les propriétés du « conjugué »

b) Retrouver ce même résultat par une troisième méthode utilisant la proposition : 𝑍 ∈ ℝ ⟺ 𝑎𝑟𝑔 𝑍 = 0 + 𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ)