Chapitre 8 : Primitive et intégration Page 1
Chapitre 8 : Primitive et intégration
Objectifs :
*Connaitre la définition d’une primitive et ses propriétés
*Savoir déterminer une primitive par lecture inverse du tableau des dérivées
* Connaitre le lien entre une fonction f et la fonction
*Connaitre la définition d’une intégrale d’une fonction continue.
* Connaitre et savoir utiliser les propriétés d’une intégrale
*Connaitre et savoir utiliser la définition de la valeur moyenne d’une fonction I Intégrale d’une fonction continue
1) Définition et propriétés
Définition : f est une fonction continue sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I, une fonction F dérivable sur I telle que
Remarque : Dans ces conditions, on a l'équivalence : "F a pour dérivée f " et "f a pour primitive F ".
Théorème : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b].
La fonction F définie sur [a ; b] par est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est la fonction f.
Propriété : f est une fonction continue sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I alors pour tout réel C, la fonction est une primitive de f sur I.
Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
2) Primitives des fonctions usuelles
Fonction Une primitive Intervalle
, R
R
R
u est une fonction dérivable sur un intervalle I
Fonction Une primitive
Chapitre 8 : Primitive et intégration Page 2 3) Linéarité des primitives
Propriété : f et g sont deux fonctions continues sur [a ; b]. Si F est une primitive de f et G est une primitive de g sur [a ; b] alors :
est une primitive de et est une primitive de avec k réel.
4) Intégrale
Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I et F une primitive de f sur [a ; b]. On appelle intégrale de f sur [a ; b] la différence noté .
Remarque : Dans le cas d’une fonction négative, l'intégrale de la fonction f sur [a ; b] est égale à l'opposé de l'aire comprise entre l'axe des abscisse et la courbe représentative de f sur [a ; b]. Dans le cas d’une fonction positive, l'intégrale de la fonction f sur [a ; b] est égale à aire comprise entre l'axe des abscisse et la courbe représentative de f sur [a ; b].
Exemple : Calculer :
Propriétés : Soit f une fonction continue sur un intervalle I ; a et b deux réels de I.
a) .
b) .
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette
9,10,12,13,14,15,19p123+22,23,24,27,28,29p125+60,61,62,63,64,67,68,70p133+
98,108,110p138+120,121p141
Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette
8,11,16,17,18,20p123+21,25,26,30p125+45à48p132+59p133+65,66,69p134+98à107,109p139+
111,112,113p135+114à119p140 II Propriété de l’intégrale
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I ; a, b et c trois réels de I.
1) Linéarité Propriétés :
a)Pour k réel, . 2) Relation de Chasles
Propriété : .
Chapitre 8 : Primitive et intégration Page 3 3) Inégalités
Propriétés : Soient .
a) Si, pour tout x de [a ; b], , alors
b) Si, pour tout x de [a ; b], , alors Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette
33p127+73,76,77,80,81,82p135+129p142
Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette 31,32p127+72,74,75,78,79p135+122à128p141
II Applications du calcul intégral 1) Aires
Exemple : Calculer l'aire colorée délimitée par les courbes de deux fonctions continues et positives
2) Valeur moyenne d’une fonction
Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] avec . On appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le nombre réel .
Exemple : Calculons la valeur moyenne de la fonction f définie par sur l'intervalle
[2 ; 5].
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette
35,36,37p129+41,42p130+83,84,86p135+89,91,94,95p136+134p143+139,141,142,144,145p147 Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette
34,38,39p129+40,43p130+49p132+85,87p135+88,90,92,93,96,97p136+p137+130à133p143+
137,138,140,143,146à152p147+5p151
