Universit´e Lyon 1 MEEF M 1 Serge Parmentier septembre 2020
Alg`ebre lin´eaire (mise `a niveau) 1. Notions et notations ensemblistes
Ensemble E: toute collection d’objets appel´es ´el´ements de E.
L’ensemble vide not´e ∅ ou { } est l’ensemble sans ´el´ements.
Appartenance: x ∈ E signifie x est ´el´ement de E.
Les principaux ensembles de nombres: les entiers naturels N = {0, 1, 2, ...}, les entiers relatifs Z = {... − 2, −1, 0, 1, 2, ....}, les nombres rationnels Q = {ab, a ∈ Z, b ∈ N \ {0}}, les nombres r´eels R et complexes C.
Inclusion: si E et F sont des ensembles, E ⊂ F signifie tout ´el´ement de E est ´el´ement de F . On dit que E est une partie de F . L’ensemble des parties de F est not´e P (F ). E ⊂6=F signifie E ⊂ F et il existe un ´el´ement de F qui n’est pas ´el´ement de E.
Si E ⊂ F , on appelle compl´ementaire de E dans F l’ensemble F \ E = {x ∈ F, x 6∈ E}.
Exemple: 2N et 2N + 1 sont compl´ementaires dans N.
Egalit´e: E = F signifie E ⊂ F et F ⊂ E.
(remarque: = vient de Quoi de plus ´egaux que deux traits de mˆeme longueur.) On a N ⊂6= Z ⊂6=Q ⊂6=R ⊂6=C car −1 ∈ Z \ N, 12 ∈ Q \ Z, √
2 ∈ R \ Q et √
−1 ∈ C \ R.
La r´eunion E ∪ F est d´efinie par x ∈ E ∪ F ssi x ∈ E ou x ∈ F i.e. au moins l’une des deux assertions x ∈ E, x ∈ F est vraie.
Exemples: je suis un gar¸con ou une fille est vraie. De mˆeme √
2 est un rationnel ou un nombre complexe est vraie. (Ce n’est pas un rationnel mais tout r´eel est un complexe qui s’ignore.) L’intersection E ∩ F est d´efinie par x ∈ E ∩ F ssi x ∈ E et x ∈ F .
Le produit cart´esien E × F d´esigne l’ensemble des couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F.
Pour n ∈ N \ {0} et E1, . . . , En n ensembles
E1× E2× · · · × En= {(x1, . . . , xn), pour tout j, xj ∈ Ej}.
Si E1= . . . = En= E on ´ecrit En= E × · · · × E.
Attention l’ordre importe: dans Q2, (2, 12) 6= (12, 2).
Quantificateurs usuels: l’´ecriture ∀x ∈ E, P (x) signifie: quel que soit x ´el´ement de E l’assertion P (x) est vraie.
∃x ∈ E, P (x) signifie: il existe un ´el´ement x de E pour lequel P (x) est vraie.
Relations et applications.
Soient E et F deux ensembles.
On appelle relation de E vers F toute partie R de E × F .
On appelle application de E vers F toute relation R pour laquelle, tout ´el´ement a ∈ E est la premi`ere composante d’un unique couple (a, b) ∈ R.
Soit R une application; si (a, b) ∈ R on note b = f (a) et on ´ecrit f : E → F : a 7→ b = f (a), b est appel´e l’ image de a par f et a l’ ant´ec´edent de b par f.
On dit qu’une application f : E → F est
surjective si tout b ∈ F admet au moins un ant´ec´edent a par f.
injective si tout b ∈ F admet au plus un ant´ec´edent a par f . bijective si tout b ∈ F admet exactement un ant´ec´edent par f .
Si f : E → F est une application bijective, on d´efinit l’application r´eciproque f−1 : F → E par inversion des fl`eches, i.e.
f−1(b) = l’unique ant´ec´edent a ∈ E de b ∈ F par f.
La composition des applications f : E → F et g : F → G est l’application g ◦ f : E → G : a 7→ g(f (a)).
Pour f : E → F bijective, on a ∀a ∈ E, f−1◦ f (a) = a.
2. Anneaux et corps.
Ce qui suit sera repris par la suite dans le cours d’alg`ebre g´en´erale.
L’id´ee est la suivante:
On commence par l’ensemble des nombres naturels N
(Attention: un entier existe dans le monde usuel: par exemple, 7 repr´esente sept traits |||||||; mais l’ensemble N est un concept de l’esprit du math´ematicien. Tout entier naturel est bien concret.
Mais l’existence d’un ensemble infini contenant tous les entiers naturels est un axiome (i.e. on accepte une fois pour toutes qu’un tel ensemble existe). Aucun espoir de rencontrer N au parc de la Tˆete d’Or.)
Ensuite on le compl`ete avec les nombres n´egatifs: Z = N ∪ −N.
On a les deux lois + et × du quotidien dont les propri´et´es sont r´esum´ees par la phrase (Z, +, ×) est un anneau commutatif `a unit´e.
Voici la d´efinition formelle Anneau
Soit un ensemble A muni de deux lois de composition interne: + : A × A → A et × : A × A → A.
D´efinition: (A, +, ×) est appel´e un anneau `a unit´e si 1/ (A, +) est un groupe commutatif, ce qui signifie:
+ est associative: ∀a, b, c ∈ A, (a + b) + c = a + (b + c) + est commutative: ∀a, b ∈ A, a + b = b + a
+ est `a neutre: il existe un ´el´ement 0A∈ A t.q. ∀a ∈ A, 0A+ a = a.
Ce neutre est unique.
+ est `a r´eciproques ou oppos´es: pour tout a ∈ A il existe b ∈ A t.q. a + b = 0A. Pour tout a ∈ A, cet ´el´ement b ∈ A est unique et est not´e −a.
2/ × est associative: ∀a, b, c ∈ A, (a × b) × c = a × (b × c)
× est `a unit´e: il existe un ´el´ement 1A∈ A t.q. ∀a ∈ A, 1A× a = a × 1A= a.
3/ × est distributive par rapport `a + : ∀a, b, c ∈ A, a×(b+c) = a×b+a×c et (b+c)×a = b×a+c×a.
L’anneau (A, +, ×) est dit commutatif si ∀a, b ∈ A, a × b = b × a.
L’exemple par excellence est l’anneau commutatif (Z, +, ×). Attention N n’est pas un anneau car
−1 6∈ N.
Remarque: cette d´efinition d’ anneau peut paraitre compliqu´ee. Toutefois, dans un anneau A, `a l’exception d’un ´eventuel d´efaut de commutativit´e (a × b 6= b × a), toutes les manipulations du calcul usuel (sur les entiers) sont licites!
El´ements inversibles
On dit qu’un ´el´ement a ∈ A est inversible pour × s’il existe b ∈ A tel que b × a = a × b = 1A. S’il existe, ce b est unique et est not´e a−1.
L’ensemble des inversibles de A est (le plus souvent) not´e A×. Exemple: Z× = {1, −1}.
Corps
D´efinition: Un anneau (A, +, ×) dans lequel tout ´el´ement a 6= 0Aest inversible est appel´e un corps.
Un corps est (le plus souvent) not´e K.
Attention (Z, +, ×) n’est pas un corps (si n 6= ±1,n1 6∈ Z).
L’exemple par excellence est (Q, +, ×): ba+ cd = ad+bcbd , ab ×dc = acbd et l’inverse (ab)−1= ba.
Remarque sur Q: on introduit habituellement le corps des fractions en parlant justement de fractions comme parts d’un gateau par exemple. Et c’est tr`es bien car il s’agit de rapports, de proportions. Toutefois en math´ematiques on peut aussi penser `a Q comme un ensemble d’´ecritures:
a
b avec a, b ∈ Z, avec la convention que ab = ab00 signifie ab0 = ba0. On v´erifie que les lois + et × plus haut ne d´ependent pas du repr´esentant (abou ab00) choisi. Cela devient un jeu d’´ecritures repr´esentant parfaitement le calcul des fractions.
Les autres exemples fondamentaux sont R et C.
Attention:
1) Il existe des corps de cardinal fini. Par exemple, F2 = {0, 1} avec les lois 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0 et 0 × 1 = 0 = 1 × 0, 0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1 est un corps.
2) Il existe des corps non commutatifs. Un exemple du concours est le corps de quaternions de Hamilton (cf infra).
Pour la suite de ces notes, K d’esigne un corps commutatif.
3. Espace vectoriel sur un corps (commutatif ) K
D´efinition: Un espace vectoriel sur le corps K est un ensemble non vide E muni d’une loi d’addition + : E2→ E : (u, v) 7→ u + v
et d’une loi externe
K × E → E : (λ, u) 7→ λu qui satisfont aux propri´et´es suivantes:
1/ (E, +) est un groupe commutatif de neutre 0E.
2/ les lois +K et ×K sur K sont compatibles avec les lois de E:
quels que soient λ, µ ∈ K et u, v ∈ E, λ(u + v) = λu + λv
(λ +Kµ)u = λu + µu
(λ ×Kµ)u = λ(µ u) 1Ku = u.
Les ´el´ements de E sont (souvent) appel´es des vecteurs et les ´el´ements de K sont appel´es des scalaires. On dit souvent ‘E est un K− espace’, pour signifier ‘E est un espace vectoriel sur le corps K.’
Cette notion est fondamentale et les exemples abondent.
1. L’exemple par excellence
Pour n ∈ N \ {0}, E = Kn muni de l’addition
(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1+ y1, . . . , xn+ yn) et de la multiplication par le scalaire λ ∈ K
λ(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn)
est un K− espace. Le neutre pour + est (0, . . . , 0) et l’oppos´e du n− uplet (x1, . . . , xn) ∈ Kn est (−x1, . . . , −xn).
Cas particuliers:
Pour n = 1, K est un K− espace. (C’est une autre mani`ere de voir les propri´et´es de corps.) Pour n = 2 et K = R, c’est le plan du lyc´ee et l’addition est la r`egle du parall´elogramme.
Pour n = 3 et K = R, c’est le mod`ele local de l’espace physique. (Attention ce n’est pas le mod`ele global: le cosmos n’est pas cet espace.)
2. Corps emboit´es
Soient K et L deux corps tels que K ⊂ L (penser `a R ⊂ C), alors L est un K− espace, pour la loi d’addition +L et la multiplication K × L → L : (λ, u) 7→ λ ·Lu
3. Les applications polynˆomiales.
Une application non nulle
P : R → R
est dite polynomiale s’il existe un entier naturel n ∈ N et des r´eels a0, . . . , an ∈ R, an6= 0 tels que pour tout x ∈ R
P (x) = a0+ a1x + · · · + anxn. L’entier naturel n est appel´e le degr´e de P et not´e deg(P ).
On ´ecrit souvent P (x) =P
i∈Naixi, sachant que aj = 0 pour tout j ≥ deg(P ) + 1.
L’application nulle x 7→ 0 est une application polynˆomiale, dite polynˆome nul.
L’ensemble R[x] des applications polynomiales est un R - espace pour l’addition (P + Q)(x) =X
i∈N
aixi+X
i∈N
bixi=X
i∈N
(ai+ bi)xi
et la multiplication par le scalaire λ ∈ K
(λP )(x) = λ(X
i∈N
aixi) =X
i∈N
λaixi.
Le neutre est le polynˆome nul et l’oppos´e de P est le polynˆome −P (x) =P
i∈N(−ai)xi.
4. Les suites de r´eels
Soit RN l’ensemble des suites (xn)n∈N de nombres r´eels. RN est un R− espace pour les lois (xn)n∈N + (yn)n∈N = (xn+ yn)n∈N, λ(xn)n∈N = (λxn)n∈N.
Le neutre pour + est la suite constante nulle et l’oppos´e de la suite (xn)n∈N est la suite (−xn)n∈N. 5. Les matrices
Soit K un corps commutatif et n, m ∈ N \ {0}.
D´efinition et notations: on appelle matrice m par n `a coefficients dans K tout tableau
A =
a11 · · · a1n
a21 · · · a2n
... ... ... am1 · · · amn
constitu´e de m lignes (ou rang´ees) et de n colonnes d’´el´ements aij ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Lorsque le nombre de lignes de A est ´egal au nombre de ses colonnes, i.e. lorsque n = m, on dit que A est une matrice carr´ee de taille n.
L’ensemble des matrices m par n `a coefficients dans K est not´e Mm,n(K); lorsque m = n, cet ensemble est not´e Mn(K) (au lieu de Mn,n(K)).
La i−`eme ligne de A est
Li= ( ai1 ai2 · · · ain) et la j−`eme colonne de A est
Cj =
a1j
a2j
... amj
On ´ecrit A = (aij) ∈ Mm,n(K) et on dit que aij est le coefficient ou la composante ij de A.
Deux matrices A = (aij), B = (bij) ∈ Mm,n(K) sont ´egales ssi pour tout couple (i, j), aij = bij. Exemples
1. M1(K) = K.
2. La matrice nulle O ∈ Mm,n(K) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls: O = (oij) avec pour tout (i, j), oij = 0.
3. On dit qu’une matrice carr´ee A = (aij) ∈ Mn(K) est diagonale si aij = 0 pour tout (i, j) tel que i 6= j.
Par exemple, 1 0
0 √
2
∈ M2(R) est diagonale et 1 1
0 √
2
ne l’est pas.
4. La matrice unit´e 1n∈ Mn(K) est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux valent 1:
11= 1, 12= 1 0 0 1
, 13=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
, ...
Pour (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 on d´efinit le symbole de Kronecker δij par δij = 0 si i 6= j et δij = 1 si i = j.
On a 1n = (δij) ∈ Mn(K).
5. Une matrice A = (aij) est dite triangulaire sup´erieure (resp. inf´erieure) si aij = 0 pour tout i > j (resp. si aij = 0 pour tout i < j). Par exemple,
1 1 0 0 2 2 0 0 2
est triangulaire sup´erieure.
Somme de matrices et multiplication par un scalaire On introduit deux lois naturelles:
La somme
Mm,n(K) × Mm,n(K) → Mm,n(K)
(A = (aij), B = (bij)) 7→ A + B = (aij+ bij) et la multiplication par un scalaire
K × Mm,n(K) → Mm,n(K) (λ, A = (aij)) 7→ λA = (λaij)
Proposition: Muni de ces deux lois, l’ensemble Mm,n(K) est un espace vectoriel sur K de neutre la matrice nulle O.
preuve: il s’agit d’observer que les lois ´etant d´efinies composantes par composantes, les propri´et´es de K sont conserv´ees, i.e. que l’on a bien pour tout A, B, C ∈ Mm,n(K) et λ, µ ∈ K,
(A + B) + C = A + (B + C), A + O = O + A, −A + A = O, A + B = B + A, o`u −A = (−aij),
λ(A + B) = λA + λB, (λ + µ)A = λA + µA, (λµ)A = λ(µA), 1nA = A.
4. L’anneau Mn(K) Multiplication matricielle
Soient m, n, p ∈ N \ {0}. On d´efinit le produit des matrices A = (aij) ∈ Mm,n(K) et B = (bij) ∈ Mn,p(K) en posant
A B := (
n
X
k=1
aikbkj) ∈ Mm,p(K), i.e. le produit AB est la matrice m par p dont la composante ij vaut
n
X
k=1
aikbkj = ai1b1j+ ai2b2j+ . . . + ainbnj.
Exemples:
1) Prenons A = ( a b ) ∈ M1,2(K) et B = c d
∈ M2,1(K). On a
AB = ( a b ) c d
= ac + bd ∈ M1(K) = K
BA = c d
( a b ) = ca cb da db
∈ M2(K).
2) A = 1 1 0 1
, B = 1 0 1 1
∈ M2(Q).
On a
AB = 1 1 0 1
1 0 1 1
= 2 1 1 1
BA = 1 0 1 1
1 1 0 1
= 1 1 1 2
Observer que AB 6= BA, i.e. pour n ≥ 2, la multiplication de matrices carr´ees de taille n n’est pas commutative.
3) Soit 1n ∈ Mn(K) la matrice unit´e. Pour tout A ∈ Mn(K) on a A1n = 1nA = A.
Associativit´e et distributivit´e
Pour tout A, A0∈ Mm,n(K), B, B0∈ Mn,p(K), C ∈ Mp,q(K) et λ, λ0 ∈ K on a
(AB)C = A(BC), (λA + λ0A0)B = λ(AB) + λ0(A0B), A(λB + λ0B0) = λ(AB) + λ0(AB0).
preuve: on a AB = (Pn
k=1aikbkj) et BC = (Pp
l=1bilclj). D’o`u (AB)C = (
p
X
l=1
(
n
X
k=1
aikbkl)clj) = (
n
X
k=1
aik(
p
X
l=1
bklclj)) = A(BC).
Observer que le produit de deux matrices carr´ees A, B ∈ Mn(K) est toujours d´efini et est une matrice carr´ee AB ∈ Mn(K).
On a donc deux lois de composition interne sur Mn(K):
- l’addition matricielle + : Mn(K)2→ Mn(K) : ((aij), (bij)) 7→ (aij+ bij) - le produit matriciel · : Mn(K)2→ Mn(K) : ((aij), (bij)) 7→ (Pn
k=1aikbkj)
Proposition: Mn(K) muni des lois + et · est un anneau unitaire, d’unit´e la matrice identit´e 1n. Pour n ≥ 2 cet anneau n’est pas commutatif.
Matrice inversible
C’est un cas particulier des inversibles d’un anneau: une matrice carr´ee A ∈ Mn(K) est dite inversible s’il existe B ∈ Mn(K) telle que AB = BA = 1n.
Lorsque A est inversible, l’unique B pour laquelle AB = BA = 1n est not´ee A−1 et est appel´ee la matrice inverse de A.
L’ensemble des matrices inversibles de Mn(K) est toujours not´e Gln(K).
Exemples et contre-exemples
1. La matrice unit´e 1nest inversible, d’inverse 1n; la matrice nulle O ∈ Mn(K) n’est pas inversible car pour toute matrice B ∈ Mn(K) on a OB = O 6= 1n
2. A = 1 1 0 1
∈ M2(R) est inversible: si B = a b c d
est telle que AB = BA = 12, on a
AB = a + c b + d
c d
= 1 0 0 1
, i.e.
a + c = 1, b + d = 0, c = 0, d = 1 i.e.
B = 1 −1
0 1
pour laquelle on a aussi BA = 12. Conclusion A−1= 1 −1
0 1
. 3. A = 0 1
0 1
∈ M2(K) n’est pas inversible: si B = a b c d
est telle que AB = BA = 12, on a
AB = c d c d
= 1 0 0 1
ce qui conduit `a d = 0 = 1!
4. Une matrice A = a11 a12
a21 a22
∈ M2(K) est inversible ssi δ = a11a22− a21a126= 0 auquel cas
A−1= 1 δ
a22 −a12
−a21 a11
. Ici δ est le d´eterminant de la matrice A.
5. (Cf infra) A ∈ Mn(K) est inversible ssi son d´eterminant det(A) est non nul.
Pour des rappels sur le calcul du d´eterminant et de l’inverse d’une matrice, voir cours 2.
5. Sous-espaces d’un K− espace E.
D´efinition
1/ Une partie non vide F ⊂ E est appel´ee un sous-espace vectoriel de E si
∀u, v ∈ F, ∀λ ∈ K, u + v ∈ F et λu ∈ F.
2/ Une partie non vide P ⊂ E est appel´ee un sous-espace affine de E s’il existe un point z ∈ E et un sous-espace vectoriel −→
P ⊂ E tels que P = z +−→ P . −→
P est appel´e la direction de P.
Intersection de sous-espaces
1/ L’intersection FT G des sous-espaces vectoriels F et G de E est un sous-espace vectoriel de E.
2/ Si elle est non vide, l’intersection PT Q des sous-espacs affines P et Q de E est un sous-espace affine de E; de plus, quel que soit z ∈ PT Q,
P\
Q = z +−→ P \−→
Q .
Exemples
1.
i/ Soit n 6= 0, (a1, . . . , an) 6= (0, . . . , 0) ∈ Rn. L’ensemble H des solutions (x1, . . . , xn) de l’´equation a1x1+ . . . + anxn = 0
est un sous-espace vectoriel de Rn appel´e hyperplan vectoriel (droite vectorielle pour n = 2 et plan vectoriel pour n = 3).
ii/ plus g´en´eralement pour d ∈ R. L’ensemble P des solutions (x1, . . . , xn) de l’´equation a1x1+ . . . + anxn= d
est un sous-espace affine de Rn de direction−→ P = H.
2. L’ exemple 1. et la propri´et´e d’intersection des sous-espaces donnent la situation g´en´erale:
Soient m ≤ n des nombres naturels non nuls et deux familles de r´eels aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n et d1, . . . , dm∈ R. L’ensemble P des solutions (x1, . . . , xn) ∈ Rn du syst`eme de m ´equations `a n inconnues
a11x1+ . . . + a1nxn = d1
... ... ...
am1x1+ . . . + amnxn = dm
est soit vide, soit un sous-espace affine de Rn de direction l’ensemble des solutions du syst`eme homog`ene obtenu en rempla¸cant les di par 0.
Cet exemple est fondamental en g´eom´etrie ´el´ementaire (cf le cours de Vincent Borrelli).
Il est important de savoir manipuler ces sous-espaces concr`etement:
On se donne le cube unit´e C dont un sommet est (0, 0, 0) et 3 ar`etes sont port´ees par (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
a/ Equations cart´esiennes des plans: (cf figure au tableau en cours)
Observation: l’´equation d’un plan affine dans les coordonn´ees x, y, z est unique `a un multiple non nul pr`es.
b/ Equations cart´esiennes des droites: (cf figure au tableau en cours)
Observation: une mˆeme droite admet une infinit´e de repr´esentations cart´esiennes car elle est intersection d’une infinit´e de paires de plans.
c/ Le t´etra`edre comme intersection de demi-espaces ferm´es:
Soit P ⊂ R3 le plan {(x, y, z), ax + by + cz = d}.
On appelle demi-espaces ferm´es les parties P+: ax + by + cz ≥ d et P− : ax + by + cz ≤ d. On a R3= P+
[P−, P+
\P−= P.
Soit T le t´etra`edre plein port´e par (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (c’est le plus petit convexe de R3 contenant ces points).
Si P est le plan affine {(x, y, z), x + y + z = 1}, T est l’intersection de premier octant ferm´e avec le demi-plan ferm´e P− = {(x, y, z), x + y + z ≤ 1}.
4. Dans l’ensemble RN des suites de nombres r´eels, la partie constitu´ee des suites convergentes est un sous-espace vectoriel.
En effet: si limn→∞xn = l et limn→∞yn = l0, alors limn→∞(xn+ yn) = l + l0 et pour tout r´eel λ, limn→∞λxn = λl.
5. Soient a, b ∈ R. Dans l’ensemble des suites de nombres r´eels, la partie constitu´ee des suites (un)n∈N satisfaisant `a l’´equation de r´ecurrence un+2 = aun+1+ bun, n ∈ N est un sous-espace vectoriel.
En effet, si les suites (un) et (vn) sont solutions, alors (un+ vn) et (λun), λ ∈ R, le sont aussi.
Somme de sous-espaces vectoriels
En g´en´eral, la r´eunion de deux sous-espaces n’est pas un sous-espace!
Voici l’exemple cl´e: dans le plan les droites Dy := {(0, y), y ∈ R} et Dx := {(x, 0), x ∈ R}
sont des sous-espaces mais la r´eunion ne l’est pas: par exemple (1, 0) ∈ Dx, (0, 1) ∈ Dy mais (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) 6∈ Dx=0∪ Dy=0.
Le fait que la propri´et´e de sous-espace ne soit pas stable par r´eunion nous am`ene `a la construction de la somme de sous-espaces vectoriels. Cette somme est le plus petit sous-espace vectoriel de E ( pour l’inclusion) contenant leur r´eunion.
Voici deux exemples:
Dans R3 le plus petit sous-espace contenant les droites Dx et Dy est le plan d’´equation z = 0.
Dans R2 le plus petit sous-espace contenant les axes de coordonn´ees est le plan R2 lui-mˆeme.
Proposition: Soit E un K− espace et F, G, H ⊂ E trois sous-espaces.
1/ L’ensemble
F + G := {u + v, u ∈ F, v ∈ G}
est un sous-espace de E. F + G est appel´e la somme de F et G.
2/ Si le sous-espace H de E est tel que F ∪ G ⊂ H, alors F + G ⊂ H.
On dit que F et G sont en somme directe dans E si F ∩ G = {~0}. Dans ce cas F + G est not´e F ⊕ G.
Exemple: Dans R3, le plan P d’´equation z = 0 et toute droite D de la forme t(x0, y0, z0), t ∈ R avec z06= 0, sont en somme directe. De plus R3= P ⊕ D.
6. Combinaisons lin´eaires, familles g´en´eratrices, familles libres, bases.
Soit E un espace vectoriel sur K, J un ensemble d’indices (par exemple une partie de N) et (vj)j∈J
une famille d’´el´ements de E.
On appelle combinaison lin´eaire de (vj)j∈J toute somme finie
λi1vi1+ . . . + λipvip, p ∈ N \ {0}, i1, . . . , ip∈ J, λi1, . . . , λip ∈ K.
Bis repetita: une combinaison est toujours une somme finie mˆeme lorsque (vj)j∈J est infinie.
Exemples
1. Une combinaison lin´eaire de la famille (v1= (1, 0, 0), v2= (1, 1, 1)) de R3est une expression de la forme
λ(1, 0, 0) + µ(1, 1, 1) = (λ + µ, µ, µ), λ, µ ∈ R.
2. Dans l’espace E = C[z] des applications polynˆomiales P : C → C, toute application P ∈ E est combinaison lin´eaire de la famille infinie d’applications (vj : z 7→ zj)j∈N: en effet, P (z) = P
0≤j≤deg(P )ajzj.
Proposition: sous-espace engendr´e par une famille
1) L’ensemble V ect(vj)j∈J des combinaisons lin´eaires de (vj)j∈J est un sous-espace vectoriel de E.
2) Si F ⊂ E est un sous-espace de E tel que pour tout j ∈ J, vj ∈ F , alors V ect(vj)j∈J ⊂ F.
Pour l’inclusion ensembliste, V ect((vj)j∈J) est donc le plus petit sous-espace de E contenant vj, j ∈ J . Il est appel´e le sous-espace engendr´e par (vj)j∈J.
Famille g´en´eratrice: la famille (vj)j∈J est dite g´en´eratrice de E si V ec(vj)j∈J = E
i.e. si tout ´el´ement de E s’´ecrit d’au moins une mani`ere comme combinaison lin´eaire de (vj)j∈J. Espace de dimension finie:
L’ espace vectoriel E est dit de dimension finie sur K s’il admet une famille g´en´eratrice finie.
Exemples:
1. ((1K, 0K, . . . , 0K), . . . , (0K, . . . , 0K, 1K)) est une famille g´en´eratrice de Kn de cardinal n pour tout corps K.
2. (1, 1, . . . , 1), (1, 1, . . . , 1, 0), (1, 1, . . . , 0, 1), . . . , (0, 1, . . . , 1)) est une famille g´en´eratrice de Kn. 3. Contre exemple: si R[x] ´etait de dimension finie, le degr´e de tout polynˆome serait inf´erieur ou
´
egal au maximum des degr´es des polynˆomes de la famille g´en´eratrice finie.
4. Contre-exemple: la famille de suites (1, 0, . . .), (0, 1, . . .), · · · n’est pas g´en´eratrice de l’espace des suites de r´eels, car par exemple la suite constante (1, 1, . . .) n’est pas combinaison lin´eaire de cette famille.
Famille libre: une famille (vj)j∈J est dite libre si pour toute partie finie I ⊂ J et toute famille (λi)i∈I d’´el´ements de K l’´egalit´e
X
i∈I
λivi= 0 entraine λi= 0 pour tout i ∈ I.
On v´erifie que (vj)j∈J est libre ssi tout vecteur v ∈ E s’´ecrit d’au plus une mani`ere comme combinaison lin´eaire de (vj)j∈J.
2) Famille li´ee: (vj)j∈J est dite li´ee si elle n’est pas libre, i.e. s’il existe I ⊂ J fini et une famille (λi)i∈I non nulle telle que P
i∈Iλivi= 0.
Exemples:
1. Toute famille de cardinal 1 non nulle (v 6= 0) d’un K- espace E est libre.
2. ((1K, 0, . . . , 0), (0, 1K, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1K)) de cardinal n est libre dans Kn.
3. La famille infinie de suites ((1, 0, . . .), (0, 1, . . .), . . .) est libre dans l’espace des suites de r´eels.
Base : (vj)j∈J est une base de E si elle est g´en´eratrice et libre.
On v´erifie que (vj)j∈J est une base ssi tout v ∈ E s’´ecrit d’une et une seule mani`ere comme combinaison lin´eaire des vj.
Exemples:
1. (1K) est une base du corps K vu comme espace vectoriel sur lui-mˆeme.
2. Pour n ∈ N \ {0}, la famille
((1K, 0, . . . , 0), (0, 1K, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1K)) de cardinal n est la base canonique de Kn.
3. (Xj)0≤j≤n est une base de l’espace K≤n[X] des polynˆomes de degr´e au plus n en une variable X `a coefficients dans K.
4. (Xj)n∈N est une base de K[X].
5. Base de Mm,n(K) comme espace vectoriel sur K:
Pour k ∈ {1, . . . m}, l ∈ {1, . . . n} d´efinissons la matrice Ekl ∈ Mm,n(K) en d´eclarant que Ekl est la matrice dont toutes les composantes sont nulles sauf la composante kl qui vaut 1.
Par exemple dans M2(K), E11 = 1 0
0 0
, E12= 0 1 0 0
, E21= 0 0 1 0
, E22 = 0 0 0 1
.
La famille de matrices (Ekl)k∈{1,...,m}, l∈{1,...,n} constitue une base du K- espace Mm,n(K). On a dimK(Mm,n(K)) = mn.
Par exemple, toute matrice A = (aij) ∈ M2(K) s’´ecrit dans cette base comme suit:
A = a11 a12
a21 a22
= a11
1 0 0 0
+ a12
0 1 0 0
+ a21
0 0 1 0
+ a22
0 0 0 1
.
Coordonn´ees dans une base: si (vi)i∈J est une base de E et v ∈ E s’´ecrit v =P
i∈Jλivi, λi∈ K, i ∈ J avec λi = 0 sauf pour un nombre fini d’indices, alors le scalaire λi est appel´e la i−`eme composante ou coordonn´ee de v dans la base (vi)i∈J.
Exemples:
1. La liste des coordonn´ees de (a, b, c) dans la base ((1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)) de R3 est donn´ee par la solution (λ, λ0, λ00) du syst`eme
(a, b, c) = λ(1, 1, 1) + λ0(0, 1, 1) + λ00(0, 0, 1) i.e. par
a = λ, b = λ + λ0, c = λ + λ0+ λ00 i.e. par
λ = a λ0 = b − a λ00= c − b.
2. Soit a ∈ K. Les composantes du polynˆome P ∈ K[X] de degr´e au plus n dans la base (1, (X − a), (X − a)2, . . . , (X − a)n)
de K≤n[X] sont donn´ees par la formule de Taylor
P = P (a) + P0(a)(X − a) + . . . +P(n)(a)
n! (X − a)n.
Rep`ere affine: En g´eom´etrie ´el´ementaire, on appelle rep`ere de Rn tout couple (O, (v1, . . . , vn))
avec O = (z1, . . . , zn) ∈ Rn origine du rep`ere et (v1 = (a11, . . . , an1), . . . , vn = (a1n, . . . , ann)) une base de Rn. En particulier (O = (0, . . . , 0), (1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1)) est appel´e le rep`ere canonique.
Point de vue visuel:
Dans le plan R2, tracer un triangle non aplati. Choisir l’un des sommets comme origine et les vecteurs reliant ce sommet aux 2 autres sommets comme base.
Dans l’espace R3, tracer un t´etra`edre non aplati et faire comme pour le triangle.
Morale du g´eom`etre: toujours avoir un t´etra`edre `a port´ee de main.
Comment construire une base de R3: le point de vue g´eom´etrique donne la cl´e:
choisir un vecteur non nul u, tracer la droite D : tu, t ∈ R, choisir un vecteur v 6∈ D, consid´erer le plan P := V ect(u, v) et choisir un vecteur w 6∈ P . Alors (u, v, w) est une base de R3.
Voici les ´enonc´es importants (non d´evelopp´es ici (cf cours de L1)):
Soit K un corps commutatif.
1. Tout espace vectoriel E sur K admet une base.
2. Toutes les bases d’un espace vectoriel E sur K ont mˆeme cardinal. Ce cardinal est appel´e la dimension de E sur K et est not´e dimK(E).
La dimension du sous-espace V ect((vj)j∈J) est appel´ee le rang de la famille (vj)j∈J de E.
Pour E de dimension finie, l’algorithme de Gauss permet d’expliciter 1) une base du sous-espace V ect(v1, . . . , vl) et donc le rang de toute famille finie (v1, . . . , vl) et 2) les ´equations cart´esiennes de V ect(v1, v2, . . . , vl) dans toute base de E. (Voir exemples en cours.)
