Interro de TD - 29 avril 2013
Dur´ ee : 20 minutes
Nom : Pr´ enom : n˚´ etudiant :
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Exercice 1 (5 points). Soientf :R3→Rune fonction et #”
V :R3→R3un champ vectoriel suffisamment r´eguliers (on ne se pr´eoccupera pas ici des probl`emes de r´egularit´e). Parmi les op´erateurs aux d´eriv´ees partielles list´es ci-dessous, quels sont ceux que l’on peut appliquer `a la fonctionf? Et au champV#”? R´epondre en cochant oui ou non dans chacune des cases du tableau. (0,5 points par case)
f :R3→Rfonction #”
V :R3→R3 champ vectoriel gradient∇#”ougrad# ”
oui non oui non
divergence#”
∇·oudiv
oui non oui non
rotationnel∇×#” ou ∇∧#” ourot# ”
oui non oui non
laplacien
∆
oui non oui non
laplacien vectoriel∆#”
oui non oui non
Exercice 2(15 points). 1. Rappeler l’expression du rotationnel d’un champ vectorielV#”:R3→R3en fonction des d´eriv´ees partielles de ses composantes, not´eesVx, Vy et Vz. (2 points)
2. Soit #”
V :R3→R3le champ vectoriel d´efini par #”
V : (x, y, z)7→(y, x,0). Calculer rot(# ” #”
V). (3 points)
3. Justifier queV#”est un champ de gradient. (1 point)
4. Soit f0 : R3 → Rune fonction, suppos´ee suffisamment r´eguli`ere, telle quegrad(f# ” 0) = V#”. Donner l’expression des d´eriv´ees partielles def0en tout point (x, y, z) deR3. (1 point)
5. En d´eduire quef0 ne d´epend pas de la variablez. (1 point)
6. Montrer qu’il existe une fonction g:R→R (que l’on supposera suffisamment r´eguli`ere) telle que :
∀(x, y, z)∈R3, f0(x, y, z) =xy+g(y). (3 points)
Indication : primitiver l’une des ´equations de la question 4.
7. Montrer que la fonction gest constante. (2 points) Indication : d´eriver l’expression de la question 6
8. D´eduire des questions pr´ec´edentes que les fonctions f : R3 → R telles que grad(f# ” ) = #”
V sont les fonctions de la formef : (x, y, z)7→xy+CavecC∈Ret seulement celles-ci. (2 points)
