Analyse , S´ eance 1
Analyse des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles
P. Laurent Math´ematiques 2
13 janvier 2006
Plan
1 Organisation Mat´eriel Objectifs
2 Introduction aux EDP Probl`emes mod`eles Principes physiques
Propri´et´es g´en´erales des EDP
3 Analyse de quelques probl`emes
Analyse des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles
1 Organisation Mat´eriel Objectifs
2 Introduction aux EDP Probl`emes mod`eles Principes physiques
Propri´et´es g´en´erales des EDP
3 Analyse de quelques probl`emes
Organisation du cours
Contrˆoles
Un contrˆole facultatif (“B.E.”), `a la fin du cours.
Untravail obligatoire (“T.O.”), mini-projet sur Femlab
−2 sur la note finale si pas rendu.
Description du “T.O.” et inscription ∼15 octobre.
Documents
“Analyse des EDP” : distribu´e fin octobre ;
“Approximation des EDP” : distribu´e ;
“Recueil d’exercices” : distribu´e.
Organisation du cours
Contrˆoles
Un contrˆole facultatif (“B.E.”), `a la fin du cours.
Untravail obligatoire (“T.O.”), mini-projet sur Femlab
−2 sur la note finale si pas rendu.
Description du “T.O.” et inscription ∼15 octobre.
Documents
“Analyse des EDP” : distribu´e fin octobre ;
“Approximation des EDP” : distribu´e ;
“Recueil d’exercices” : distribu´e.
Organisation du cours
Contrˆoles
Un contrˆole facultatif (“B.E.”), `a la fin du cours.
Untravail obligatoire (“T.O.”), mini-projet sur Femlab
−2 sur la note finale si pas rendu.
Description du “T.O.” et inscription ∼15 octobre.
Documents
“Analyse des EDP” : distribu´e fin octobre ;
“Approximation des EDP” : distribu´e ;
“Recueil d’exercices” : distribu´e.
Organisation du cours
Contrˆoles
Un contrˆole facultatif (“B.E.”), `a la fin du cours.
Untravail obligatoire (“T.O.”), mini-projet sur Femlab
−2 sur la note finale si pas rendu.
Description du “T.O.” et inscription ∼15 octobre.
Documents
“Analyse des EDP” : distribu´e fin octobre;
“Approximation des EDP” : distribu´e ;
“Recueil d’exercices” : distribu´e.
Organisation du cours
Contrˆoles
Un contrˆole facultatif (“B.E.”), `a la fin du cours.
Untravail obligatoire (“T.O.”), mini-projet sur Femlab
−2 sur la note finale si pas rendu.
Description du “T.O.” et inscription ∼15 octobre.
Documents
“Analyse des EDP” : distribu´e fin octobre ;
“Approximation des EDP” : distribu´e;
“Recueil d’exercices” : distribu´e.
Organisation du cours
Contrˆoles
Un contrˆole facultatif (“B.E.”), `a la fin du cours.
Untravail obligatoire (“T.O.”), mini-projet sur Femlab
−2 sur la note finale si pas rendu.
Description du “T.O.” et inscription ∼15 octobre.
Documents
“Analyse des EDP” : distribu´e fin octobre ;
“Approximation des EDP” : distribu´e ;
“Recueil d’exercices” :distribu´e.
Objectifs du cours
Le cours pr´esente les bases math´ematiques de l’analyse et de l’approximation des ´equations aux d´eriv´ees partielles.
C’est une introduction `a la simulation `a l’aide de logiciels : insistance sur l’approximation des EDP.
Le probl`eme ce n’est pas l’utilisation des logiciels, c’est la mod´elisation.
L’objectif du cours :
comprendre les mod`eles de ph´enom`enes r´egis par des EDP.
Rappel devise
Il est (peut ˆetre) trop tard pour apprendre des maths, Il n’est pas trop tard pour apprendre `a s’en servir.
Objectifs du cours
Le cours pr´esente les bases math´ematiques de l’analyse et de l’approximation des ´equations aux d´eriv´ees partielles.
C’est une introduction `a la simulation `a l’aide de logiciels : insistance sur l’approximation des EDP.
Le probl`eme ce n’est pas l’utilisation des logiciels, c’est la mod´elisation.
L’objectif du cours :
comprendre les mod`eles de ph´enom`enes r´egis par des EDP.
Rappel devise
Il est (peut ˆetre) trop tard pour apprendre des maths, Il n’est pas trop tard pour apprendre `a s’en servir.
Objectifs du cours
Le cours pr´esente les bases math´ematiques de l’analyse et de l’approximation des ´equations aux d´eriv´ees partielles.
C’est une introduction `a la simulation `a l’aide de logiciels : insistance sur l’approximation des EDP.
Le probl`eme ce n’est pas l’utilisation des logiciels, c’est la mod´elisation.
L’objectif du cours :
comprendre les mod`eles de ph´enom`enes r´egis par des EDP.
Rappel devise
Il est (peut ˆetre) trop tard pour apprendre des maths, Il n’est pas trop tard pour apprendre `a s’en servir.
Objectifs du cours
Le cours pr´esente les bases math´ematiques de l’analyse et de l’approximation des ´equations aux d´eriv´ees partielles.
C’est une introduction `a la simulation `a l’aide de logiciels : insistance sur l’approximation des EDP.
Le probl`eme ce n’est pas l’utilisation des logiciels, c’est la mod´elisation.
L’objectif du cours :
comprendre les mod`eles de ph´enom`enes r´egis par des EDP.
Rappel devise
Il est (peut ˆetre) trop tard pour apprendre des maths, Il n’est pas trop tard pour apprendre `a s’en servir.
Objectifs du cours
Le cours pr´esente les bases math´ematiques de l’analyse et de l’approximation des ´equations aux d´eriv´ees partielles.
C’est une introduction `a la simulation `a l’aide de logiciels : insistance sur l’approximation des EDP.
Le probl`eme ce n’est pas l’utilisation des logiciels, c’est la mod´elisation.
L’objectif du cours :
comprendre les mod`eles de ph´enom`enes r´egis par des EDP.
Rappel devise
Il est (peut ˆetre) trop tard pour apprendre des maths, Il n’est pas trop tard pour apprendre `a s’en servir.
Analyse des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles
1 Organisation Mat´eriel Objectifs
2 Introduction aux EDP Probl`emes mod`eles Principes physiques
Propri´et´es g´en´erales des EDP
3 Analyse de quelques probl`emes
Probl` eme de statique
On cherche une fonctionu ∈C2(Ω) solution duprobl`eme aux limitessuivant :
Equation de Poisson
−k∆u(x) =f(x) si x ∈Ω
u(x) =g si x ∈Γ (1)
Probl` eme de statique
On cherche une fonctionu ∈C2(Ω) solution duprobl`eme aux limitessuivant :
Cas particulier : ´equation de Laplace
−k∆u(x) = 0 si x∈Ω
u(x) =g si x∈Γ (2)
Une solution est unefonction harmonique
Probl` eme de statique
On cherche une fonctionu ∈C2(Ω) solution duprobl`eme aux limitessuivant :
Cas particulier : limites homog`enes
u(x) = 0 si x ∈Γ
−k∆u(x) =f si x ∈Ω (3)
Probl` eme de statique
On cherche une fonctionu ∈C2(Ω) solution duprobl`eme aux limitessuivant :
Variante : syst`eme du premier ordre
∂u
∂x = ∂u
∂y
∂u
∂y =−∂u
∂x
(4)
Equation de la diffusion
On cherche une fonctionu(x,t) du point d’abscissex, au tempst, u∈C2([0,1]×[0,T]) solution du probl`eme
∂u
∂t =c∂2u
∂x2 x ∈[0,1]
u(x,0) =u0(x) u(0) =u(1) = 0
(5)
Ce probl`eme mod´elise les ph´enom`enes de diffusion unidimensionnel
Equation de transport ou d’advection
On cherche une fonctionu(x,t) du point d’abscissex, au tempst, u∈C1([0,1]×[0,T]) solution du probl`eme
∂u
∂t +a∂u
∂x = 0 u(x,0) =u0(x) u(0,t) =g(t)
(6)
aest un r´eel positif,u0 et g sont des fonctionC1 quelconques, mais compatible `a l’origine :u0(0) =g(0).
Equation des ondes
On cherche une fonctionu(x,t) du point d’abscissex, au tempst, u∈C2([0,1]×[0,T]) solution du probl`eme
Edp du second ordre
∂2u
∂t2 =c2∂2u
∂x2 u(x,0) =u0(x)
∂u
∂t(x,0) = 0 u(0,t) =u(1,t) = 0
(7)
Equation des ondes
On cherche une fonctionu(x,t) du point d’abscissex, au tempst, u∈C2([0,1]×[0,T]) solution du probl`eme
Syst`eme du premier ordre
∂u
∂t =c∂v
∂x
∂v
∂t =c∂u
∂x
(8)
o`u u0(x)∈C2([0,L]) est la position initiale.
Analyse des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles
1 Organisation Mat´eriel Objectifs
2 Introduction aux EDP Probl`emes mod`eles Principes physiques
Propri´et´es g´en´erales des EDP
3 Analyse de quelques probl`emes
