Cours de math´ematiques

Cours de math´ematiques

Thomas Rey

Classe de Terminale ES

23 avril 2013

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Table des mati`eres

1 Suites num´eriques 9

1.1 Suite de nombres r´eels . . . 9

1.1.1 D´efinition . . . 9

1.1.2 Mode de g´en´eration . . . 9

1.2 Suites arithm´etiques . . . 10

1.2.1 D´efinition . . . 10

1.2.2 Calcul du terme g´en´eral . . . 10

1.2.3 Calcul de la somme des premiers termes . . . 11

1.3 Suites g´eom´etriques. . . 11

1.3.1 D´efinition . . . 11

1.3.2 Calcul du terme g´en´eral . . . 12

1.3.3 Calcul de la somme des premiers termes . . . 12

1.3.4 Limite d’une suite g´eom´etrique . . . 12

1.4 Un exemple de suite arithm´etico-g´eom´etrique . . . 14

2 Continuit´e, d´erivation, convexit´e 17 2.1 Fonction num´erique . . . 17

2.1.1 G´en´eralit´es . . . 17

2.1.2 D´erivation . . . 18

2.1.3 Applications de la d´erivation . . . 19

2.2 Continuit´e . . . 19

2.2.1 Approche graphique de la continuit´e . . . 19

2.2.2 Notion intuitive de la continuit´e . . . 19

2.2.3 Fonctions continues . . . 20

2.2.4 Propri´et´e des valeurs interm´ediaires . . . 20

2.3 Convexit´e . . . 21

2.3.1 Introduction graphique et d´efinitions . . . 21

2.3.2 Propri´et´es . . . 22

2.3.3 Point d’inflexion . . . 22

3 Probabilit´es conditionnelles 25 3.1 Probabilit´es conditionnelles . . . 25

3.1.1 Exemple . . . 25

3.1.2 G´en´eralisation. . . 25

3.1.3 Arbres pond´er´es . . . 26

3.2 Formule des probabilit´es totales. . . 26

3.3 Un probl`emetype bac . . . 27

4 Fonctions exponentielles 29

4.1 Fonctionsx7→q^x . . . 29

4.1.1 Introduction : suites g´eom´etriques . . . 29

4.1.2 D´efinition . . . 30

4.1.3 Relation fonctionnelle . . . 30

4.1.4 Variations . . . 31

4.2 La fonction exponentielle . . . 31

4.2.1 D´efinition . . . 31

4.2.2 Premi`eres propri´et´es . . . 31

4.2.3 Propri´et´es alg´ebriques . . . 32

4.2.4 Courbe repr´esentative . . . 32

4.3 ´Etude d’une fonction compos´ee e^u . . . 32

4.3.1 D´eriv´ee. Variations . . . 32

4.3.2 Exemple d’´etude . . . 33

5 Logarithme n´ep´erien 35 5.1 La fonction logarithme n´ep´erien . . . 36

5.1.1 D´efinition . . . 36

5.1.2 ´Etude de la fonction logarithme n´ep´erien . . . 36

5.1.3 Propri´et´es . . . 37

5.2 Application aux r´esolutions d’´equations . . . 38

5.2.1 Avec l’exponentielle . . . 38

5.2.2 Avec les suites g´eom´etriques . . . 39

5.3 ´Etude compar´ee de repr´esentations graphiques . . . 39

6 Calcul int´egral 41 7 Lois de probabilit´e continues 43 7.1 Lois de probabilit´es continues . . . 43

7.1.1 Un exemple . . . 43

7.1.2 Densit´e de probabilit´e . . . 44

7.1.3 La loi uniforme . . . 44

7.2 La loi normale centr´ee r´eduite (ou de Laplace-Gauss) . . . 45

7.2.1 D´efinition . . . 45

7.2.2 Propri´et´es . . . 46

7.2.3 A la calculatrice` . . . 47

7.3 La loi normale de param`etresµetσ² . . . 48

7.3.1 D´efinition . . . 48

7.3.2 Propri´et´es . . . 49

7.3.3 A la calculatrice` . . . 49

8 Fluctuations. Statistiques 51 8.1 Introduction . . . 51

8.1.1 Param`etre de position : la moyenne . . . 51

8.1.2 Param`etres de dispersion : variance et ´ecart-type. . . 51

8.2 S´erie statistique `a deux variables . . . 52

8.2.1 Nuage de points . . . 52

8.2.2 Ajustement lin´eaire . . . 53

8.2.3 Ajustement non lin´eaire . . . 55

TABLE DES MATI `ERES 7

8.3 Ad´equation `a une loi ´equir´epartie . . . 56

Chapitre 1

Suites num´eriques

1.1 Suite de nombres r´eels

1.1.1 D´efinition

D´efinition 1.1

On appelle suite de terme g´en´eralunet on note (un)n≥0ou plus simplementula listeordonn´ee des nombresu0,u1,u2,u3, . . .. Les nombresui sont appel´es lestermesde la suite.

Remarque 1.1

Parfois le premier terme d’une suite peut ˆetreu1et non pasu0. Exemple 1.1

On d´efinit (un) comme la suite des nombres pairs.

Dans ce cas, on a :u0 =0,u1=2,u2 =4, . . .. On peut ´ecrire aussiun =2×n.

1.1.2 Mode de g´en´eration

Une suite (un) est enti`erement d´efinie si on est capable de calculerunpour n’importe quelle valeur den. Il existe deux fac¸ons usuelles pour d´efinir une suite :

Suite d´efinieen fonction den Exemple 1.2

On consid`ere la fonction f : x7−→ f(x)= _x^x2⁺+1³.

Six∈N, f(x) est toujours d´efini. On peut donc consid´erer la suiteude terme g´en´eral : un = f(n)= n+3

n²+1 On a alors :

u0 = 0+3

0²+1 =3, u1= 1+3

1²+1 =2, . . .

Dans cette situation, on est bien en mesure de calculerunpour toutn∈N.

Suite d´efinie par r´ecurrence Exemple 1.3

Je poss`ede 1 000 e sur mon livret d’´epargne. Chaque ann´ee on me reverse dessus 5 % en int´erˆets et je rajoute 100e. J’appelleunla somme dont je dispose sur mon livret apr`esnans.

On a donc :

– pourn∈N,u_n+1 =(1+ ₁₀₀⁵ )×un+100=1,05un+100 ;

– la somme disponible sur le livret aujourd’hui est 1 000e, donc :u0 =1 000

On a :u1 = 1,05×1 000+100= 1 150, puisu2 =1,05×1 150+100 =1 307,50 . . .. De proche en proche, on peut donc calculerunpour n’importe quelle valeur den.

Remarque 1.2

Lorqu’une suite est d´efinie par r´ecurrence, pour calculer un, on est oblig´e d’avoir calcul´e avant tous les termes pr´ec´edents.

1.2 Suites arithm´etiques

1.2.1 D´efinition

D´efinition 1.2

Une suite (un)n≥0 est dite arithm´etique si la diff´erence entre deux termes cons´ecutifs est constante. C’est `a dire qu’il existe un r´eelrtel que pour tout entier natureln,un+1 =un+r.

Le r´eelrest appel´eraisonde la suite (un)n≥0. Exemple 1.4

Siuest la suite arithm´etique de premier termeu0 =5 et de raison 3, on a : u0 =5

u1 =u0+3=5+3=8 u2 =u1+3=8+3=11

1.2.2 Calcul du terme g´en´eral

Th´eor`eme 1.1

– siuest une suite arithm´etique de premier termeu0et de raisonr, alors, pour tout n ∈N, un=u0+n×r.

– si pour toutn∈N,un=a+b×n, alors,uest la suite arithm´etique de premier termeu0 =a et de raisonb.

Exemple 1.5

En reprenant la suite de l’exemple1.4, on a :

Pour toutn∈N, un=5+n×3=5+3n Remarque 1.3

Si le premier terme d’une suite arithm´etique estu1, et sa raison estr, on a : pour toutn∈ N^∗, un =u1+(n−1)r

1.3 Suites g´eom´etriques 11

Propri´et´e 1.1

Plus g´en´eralement, siuest arithm´etique etnetpdeux entiers alors : un=up+(n−p)×r

1.2.3 Calcul de la somme des premiers termes

Propri´et´e 1.2

La sommeSdesnpremiers termes d’une suite arithm´etique est : S= n×(premier terme + dernier terme)

2

Dans le cas o `u le premier terme estu0, on obtient :S= <sup>n×(u0</sup><sub>2</sub><sup>+un−1)</sup>. Dans le cas o `u le premier terme estu1, on obtient :S= ^n×(u₂^1+un). Exemple 1.6

Soitula suite arithm´etique de premier termeu1 =1 et de raisonr=1. On a pour toutn∈N^∗, un=u1+(n−1)×r=nr. On a donc la somme desnpremiers termes qui vaut :

S=1+2+3+· · ·+(n−1)+n= n×(1+n) 2 Application : 1+2+3+· · ·+100= ^100×₂¹⁰¹ =5 050.

1.3 Suites g´eom´etriques

1.3.1 D´efinition

D´efinition 1.3

Une suite (un)n≥0est diteg´eom´etriquesi chaque terme est obtenu en multipliant le pr´ec´edent par un mˆeme nombreq. C’est `a dire qu’il existe un r´eelqtel que pour toutn∈N,un+1 =q×un. Le r´eelqest appel´eraisonde la suite (un)n≥0.

Remarque 1.4

Si on consid`ere que la suiteun’est pas la suite nulle¹,uest g´eom´etrique si pour toutn∈N, on a : ^u_uⁿ⁺¹

n =q.

Exemple 1.7

Siuest la suite g´eom´etrique de premier termeu₀ =5, et de raisonq=2, on a :

u0 =5,u1=q×u0=2×5=10,u2 =q×u1 =2×10=20,u3 =q×u2 =2×20=40, . . . Propri´et´e 1.3(Variations)

Siuest une suite g´eom´etrique de raisonq ∈]0;+∞[ avecu0 >0, on a trois cas possibles : – si 0<q<1 alors la suiteuest d´ecroissante ;

– siq=1 alors la suiteuest constante (tous les termes valentu0) ; – siq>1 alors la suiteuest croissante.

1. La suite nulle est la suite dont tous les termes sont ´egaux `a z´ero.

Remarque 1.5

Dans les mˆemes conditions que dans la propri´et´e1.3mais avecu0 <0 les variations sont de sens contraires (croissante si 0<q<1 et d´ecroissante siq>1).

1.3.2 Calcul du terme g´en´eral

Th´eor`eme 1.2

– siuest une suite g´eom´etrique de premier termeu0 et de raisonq, alors, pour toutn ∈N, un=u0×qⁿ;

– si pour toutn∈N,un=a×bⁿ, alors,uest la suite g´eom´etrique de premier termeu0 =aet de raisonb.

Exemple 1.8

En reprenant la suite g´eom´etrique de l’exemple1.7, on a : pour toutn∈N,un=u0×qⁿ=5×2ⁿ Remarque 1.6

Si le premier terme estu1, on a : pour toutn ∈ N^∗,un = u1×qⁿ⁻¹. Et mˆeme de mani`ere plus g´en´erale, pournetpentiers on a :

un=up×q^n−p

1.3.3 Calcul de la somme des premiers termes

Propri´et´e 1.4

Soituune suite g´eom´etrique de premier termeu0et de raisonq, avecqdiff´erent de 1 et de 0.

u0+u1+. . . .un=u0· 1−qⁿ⁺¹

1−q = u₀−u₀×qⁿ⁺¹ 1−q On peut aussi ´ecrire :

S= premier terme−q×dernier terme

1−q = 1^erterme−1^erterme×qnbre de termes

1−q Exemple 1.9

CalculerS=3+9+27+81+· · ·+2187 :

Sest la somme des 7 premiers termes d’une suite g´eom´etriqueude premier termeu0 =3 et de raisonq=3. Donc :

S=3×1−3⁷

1−3 =3×1093=3279

1.3.4 Limite d’une suite g´eom´etrique

Dans un probl`eme, lorsqu’on obtient une suite, c’est souvent pour ´etudier l’´evolution d’un ph´enom`ene au cours du temps (somme disponible pour un placement, nombre de bact´eries dans un ´echantillon, population d’une ville, . . .). Nous avons vu que pour une suite g´eom´etrique de raisonq ∈R^∗₊avecq ,1 les variations sont constantes. Il est donc int´eressant de savoir si les termes de la suite vont se rapprocher d’une certaine valeur, ou bien devenir aussi grand que souhait´e.

1.3 Suites g´eom´etriques 13

Propri´et´e 1.5

Soituune suite g´eom´etrique de premier termeu0 =1 et de raisonq>1. Alors les termes de la suite peuvent devenir aussi grand que souhait´e `a partir d’un certain rang. C’est-`a-dire que pour toute valeur M aussi grande soit-elle, il existe un rang (qu’on appelera seuil) `a partir duquel tous lesunsont plus grands queM.

D´efinition 1.4

Dans le cas de la propri´et´e1.6on dit que la limite de la suiteuest+∞. On ´ecrit :

nlim→+∞un= +∞ Exemple 1.10

On dispose d’un capital de 1 000 e qu’on place sur un livret au taux de 3% d’int´erˆets compos´es par an. On appelleula suite dont le terme g´en´eralunest ´egal au capital disponible (en ke) sur le livret apr`esnann´ees de placement.

On a u0 = 1 et u g´eom´etrique de raison q = 1+ ₁₀₀³ = 1,03. Donc limn→+∞un = +∞. Cela signifie qu’en attendant suffisamment longtemps, la somme disponible sur le livret peut ˆetre aussi grande que l’on veut !

Cherchons par exemple `a partir de quand cette somme sera sup´erieure `a 2 000e, c’est-`a-dire qu’on cherche le plus petit entiern tel que un > 2. Pour cela on peut utiliser la calculatrice (ou un tableur) et on obtientn=24.

Autre exemple : en 102 ans la somme disponible d´epasserait 20 000 e, en 180 ans elle d´epasserait 200 000e, enfin, en 258 ans, elle d´epasserait 2 000 000e.

Propri´et´e 1.6

Soituune suite g´eom´etrique de premier termeu0 =1 et de raison 0<q<1. Alors les termes de la suite peuvent devenir aussi proche de z´ero que souhait´e `a partir d’un certain rang.

C’est-`a-dire que pour toute valeur aussi petite soit-elle, il existe un rang (qu’on appelera seuil) `a partir duquel tous lesunsont plus petits que.

D´efinition 1.5

Dans le cas de la propri´et´e1.6on dit que la limite de la suiteuest 0. On ´ecrit :

nlim→+∞un=0 Exemple 1.11

On dispose de 1 000een billets qu’on garde pr´ecieusement dans un coffre cach´e sous notre lit. `A cause de l’inflation, chaque ann´ee, cette somme d’argent perd 2% de son pouvoir d’achatd’indice 1 en 2012.

Si on appelleula suite num´erique dont le terme unest ´egal `a l’indice de pouvoir d’achat de ces 1 000e, alors on au1=1 etug´eom´etrique de raisonq =1− ²

100 =0,98. La limite de cette suite vaut 0 (car 0<q<1) donc le pouvoir d’achat de ces 1 000epourra ˆetre aussi petit que voulu (`a partir d’un certain rang).

Par exemple `a l’aide de la calculatrice ou d’un tableur, on trouve que le pouvoir d’achat aura baiss´e de moiti´e (i.eun < 0,5) `a partir den = 35 (soit en 2047). De mˆeme il n’aura plus que 10% de sa valeur initiale lorsqueun<0,1, c’est-`a-dire pourn>114.

Exemple 1.12

Pour d´eterminer le seuil `a partir duquel une suite g´eom´etrique prend des valeurs au des- sus (ou en dessous si 0 < q < 1) d’une certaine valeur V, on peut suivre le d´eroulement

d’un algorithme. L’algorithme1donne le seuil de d´epassement d’une valeurMd’une suite g´eom´etrique de premier termeu0et de raisonq >1.

Donn´ees: le premier termeu;

la raisonq >1;

la valeur `a d´epasserM;

l’indiceI=0;

d´ebut

tant queu<Mfaire Calculeru←u∗q;

CalculerI←I+1;

fin fin

Sorties: Le seuil estI;

Algorithm 1:recherche de seuil

1.4 Un exemple de suite arithm´etico-g´eom´etrique

Le premier janvier 2012, Jay Padchance poss`ede 8 000 e qu’il place `a la bourse. Chaque ann´ee, ses actions perdent 25 % de leur valeur mais il touche chaque ann´ee aussi 4 000ede la part de la CABM (Caisse d’Assurance des Boursicoteurs Malchanceux).

On noteunla somme (en milliers d’euros) que M. Padchance poss`ede `a la bourse le premier janvier de l’ann´ee 2012+n.

1. Expliquer pourquoiupeut ˆetre d´efinie par r´ecurrence surNpar

( u0=8

u_n+1 = ³₄un+4 2. Calculeru1,u2etu3.

3. La suiteuest-elle arithm´etique ? G´eom´etrique ? Justifier.

4. Soitvla suite d´efinie pourn∈Nparvn =un−16.

a. Calculerv0.

b. Montrer quevest une suite g´eom´etrique de raison ³₄. c. En d´eduire l’expression devnen fonction den.

d. Donner alors l’expression deunen fonction den.

Corrig´e 1.

2. u1 =10,u2 = ²³₂ =11,5 etu3 = ¹⁰¹₈ =12,625.

3. On au1−u0 =2 etu2−u1= ³₂ ,2 doncun’est pas arithm´etique.

De mˆeme, ^u_u¹₀ = ⁵₄ et ^u_u²₁ = ²³₂₀ , ⁵₄ doncun’est pas g´eom´etrique.

4. a. v0 =u0−16=−8.

1.4 Un exemple de suite arithm´etico-g´eom´etrique 15

b. Pour toutn∈Non a :

vn+1 = un+1−16

= 3 4un+4

−16

= 3

4un−12 or 12= 3 4 ×16

= 3

4(un−16)

= 3 4vn

Doncvest une suite g´eom´etrique de raisonq= ³₄ et de premier termev0 =−8.

c. On a donc pour toutn:vn =v0×qⁿ=−8×

3 4

n

.

d. On sait quevn =un−16 pour toutndoncun=16+vn =16−8×

3 4

n

.

Chapitre 2

Continuit´e, d´erivation, convexit´e

Les fonctions num´eriques sont omnipr´esentes en math´ematiques, en physique, en biolo- gie, en ´economie, . . .. D`es qu’une quantit´e d´epend d’une autre on peut parler de fonction num´erique.

Dans ce chapitre nous allons ´etudier deux nouvelles notions : la continuit´e qui permet de caract´eriser les fonctions qui ne pr´esentent pas desauts brutauxet laconvexit´equi permet de caract´eriser les fonctions qui croissent et dont l’augmentation croit aussi. La notion de continuit´e se retrouve dans les probl`emes li´es aux bar`emes d’imposition, de notations, . . ..

La convexit´e est utile pour ´etudier les probl`emes de variation de co ˆuts, d’optique, . . .

2.1 Fonction num´erique

2.1.1 G´en´eralit´es

D´efinition 2.1

Unefonction num´erique f permet d’associer `a un nombrexun autre nombre qu’on note f(x).

Ce nombre f(x) est appel´e image dexpar la fonction f. L’ensemble desxpour lesquels f(x) existe est appel´e l’ensemble de d´efinition de f. On le note g´en´eralementDf.

La repr´esentation graphique d’une fonction num´erique f dans un rep`ere est constitu´ee de l’ensemble de pointsM(x;y) tels que x ∈ Df

et y= f(x).

Ci-contre, on a : M(x;y)∈Cf ⇐⇒ y= f(x)

I J Cf

x

f(x)

M

On dit qu’une fonction f est strictement croissante surIlorsque pour toutaet toutbdeI, si a< balors f(a) < f(b). C’est-`a-dire que lorsqu’on augmente la valeur dex, la valeur de f(x) augmente aussi.

On dit qu’une fonction f est strictement d´ecroissante surI lorsque pour toutaet tout bde I, si a< balors f(a)> f(b). C’est-`a-dire que lorsqu’on augmente la valeur dex, la valeur de

f(x) diminue aussi.

2.1.2 D´erivation

En classe de premi`ere vous avez appris `a d´eterminer l’´equation de latangente `a une courbe repr´esentative de fonction en un point d’abscissea. L’id´ee g´en´erale est la suivante :

on consid`ere une fonction f d´efinie sur un intervalleI, un r´eela ∈I et on noteCf la courbe repr´esentative de f dans un rep`ere. On note ´egalement Ale point de Cf d’abscissea. Pour tout r´eelx ∈ I, x , ale pointM(x; f(x)) appartient `aCf et il est distinct deA. On peut donc tracer la droite (AM) et lorsqu’on donne `a xdes valeursde plus en plus prochesdea la droite (AM) se rapproche de plus en plus d’une position limite qui est la tangente `a la courbeCf au pointA. On illustre ceci par la figure ci-dessous (pour voirMse rapprocher de A, se souvenir de la figure dynamique GeoGebra projet´ee en classe . . .) :

~i

~j f(x)

f(a)

a x

C_f

Ta

O

M

A

Le coefficient directeur de la droite (AM) est ^f(x)_x⁻−a^f(a) (voir cours de seconde). Le coefficient directeurmde la tangenteTa est donc la valeur de ce quotient lorsquexprend des valeurs

de plus en plus prochesdea. Ce coefficient directeur (s’il existe) est appel´enombre d´eriv´e de la fonction f ena; on ´ecrit :

f⁰(a)=m=lim

x→a

f(x)− f(a)

x−a si cette limite existe

Pour calculer les nombres d´eriv´es, vous avez ´egalement appris en premi`ere des formules r´esum´ees dans le tableau ci-dessous.

Dans la suite,kest un r´eel quelconque fix´e etnest un entier naturel non nul.

Fonction f D´eriv´ee f⁰ Ensemble de

d´erivabilit´e de f

x7→ k x7→ 0 R

x7→x x7→ 1 R

x7→x² x7→2x R

x7→xⁿ x7→nxⁿ⁻¹ R

x7→

√

x x7→ 1

2

√

x R^∗₊

x7→ 1

x x7→ − 1

x² R^∗

2.2 Continuit´e 19

Enfin, vous avez, toujours en premi`ere, appris quelques formules permettant de d´eriver des fonctions plus ´elabor´ees : siuet vsont des fonctions d´efinies et d´erivables sur un intervalle I, alors :

(u+v)⁰ =u⁰+v⁰ (λu)⁰ =λ×u⁰ o `uλ∈R (u×v)⁰ =u⁰v+uv⁰

u v

⁰

= u⁰v−uv⁰ v²

1 u

⁰

=−u⁰ u²

2.1.3 Applications de la d´erivation

Th´eor`eme 2.1(Rappel de premi`ere)

Soit f une fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalleI:

– si pour toutx∈I, on a f⁰(x)>0 alors f est strictement croissante surI; – si pour toutx∈I, on a f⁰(x)<0 alors f est strictement d´ecroissante surI; – si pour toutx∈I, on a f⁰(x)=0 alors f est constante surI;

Exemple 2.1

Soit f la fonction d´efinie surRpar f(x)=2x³+3x²+4.

1. ´Etudier les variations de f surR. Calculer f(−2) et en d´eduire le signe de f surR.

2. En utilisant les r´esultats de la question pr´ec´edente, ´etudier les variations de la fonction gd´efinie surR^∗− parg(x)=x²+3x− ⁴

x.

2.2 Continuit´e

2.2.1 Approche graphique de la continuit´e

En observant les trois courbes ci-dessous, on remarque que les deux premi`eres peuvent ˆetre trac´ees sans lever le crayon alors que la troisi`eme admet un saut `a l’abscisse 2. Les deux premi`eres repr´esentent des fonctions ditescontinuessur l’intervalle [−2; 4] alors que la troisi`eme repr´esente une fonction qui admet une discontinuit´e enx=2.

~i

~j

~i

~j

~i

~j

2.2.2 Notion intuitive de la continuit´e

Une fonction est continue sur un intervalleIsi elle est d´efinie sur cet intervalle et si sa courbe repr´esentative se traced’un trait continu, sans lever le crayon.

Pour touta∈I, six∈ Ise rapproche dea, alors f(x) peut se rapprocher de f(a) autant qu’on le souhaite. On ´ecrit :

f est continue enasi lim

x→a f(x)= f(a)

2.2.3 Fonctions continues

On admet le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 2.2

Une fonction obtenue par op´erations sur les fonctions usuelles est continue sur chaque intervalle o `u elle est d´efinie.

Ainsi, les fonctions polyn ˆomes, rationnelles et d´efinies par des racines carr´ees sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de d´efinition.

2.2.4 Propri´et´e des valeurs interm´ediaires

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b]. La courbe repr´esentative de f passe par A(a; f(a)) et B(b; f(b)), et elle se tracesans lever le crayon. Ainsi tout nombrem compris entre f(a) et f(b) est l’ordonn´ee d’un point de la courbe : il existe donc α∈[a;b] tel que

f(α)=m.

~i

~j

a b

f(a) f(b)

x1 x2 x3

m

Figure 1

~i

~j

a b

f(a) f(b)

x1

m

Figure 2

~i

~j

a b

f(a) f(b)

x1

m

Figure 3 Th´eor`eme 2.3(des valeurs interm´ediaires)

Si f est une fonction continue sur un intervalle [a; b], si m est le minimum de f sur [a; b]

et M son maximum, alors, pour tout k ∈ [n; M] l’´equation f(x) = k admet (au moins) une solution dans [a; b].

Th´eor`eme 2.4(de la valeur interm´ediaire)

Si f est continue et strictement monotone sur [a; b], alors pour tout kcompris entre f(a) et f(b), l’´equation f(x)=kadmet une et une seule solution dans l’intervalle [a; b].

Remarque 2.1

Par convention, dans un tableau de variation, les fl`eches obliques traduisent : – la continuit´e de la fonction sur l’intervalle consid´er´e ;

– la stricte monotonie de la fonction sur cet intervalle.

Exemple 2.2

Soit f la fonction d´efinie sur [0 ; 9] par f(x)= √

x+x+2. D´emontrer que l’´equation f(x)=4 admet une unique solution dans [0 ; 9].

La fonction f est strictement croissante sur [0 ; 9] car la fonction racine carr´ee l’est et la fonctionx7→x+2 aussi. Par ailleurs, f est une fonction continue sur [0 ; 9]. De plus f(0)=2 et f(9)=14.

2.3 Convexit´e 21

Ainsi, 4∈[f(0) ; f(9)], donc d’apr`es le th´eor`eme de la valeur interm´ediaire, l’´equation f(x)=4 admet une et une seule solution dans l’intervalle [0 ; 9].

Exemple 2.3

Soit f une fonction d´efinie sur [0 ; 7] dont on donne le tableau de variation :

x 0 2 4 7

f(x) 4

&0

&−2%3 D´eterminer le nombre de solutions de l’´equation f(x)= √

2.

R´esolution :

– D’apr`es le tableau de variation de f, sur l’intervalle [0 ; 4] la fonction f est continue et strictement d´ecroissante. De plus

√

2∈[f(4) ; f(0)] donc d’apr`es le th´eor`eme de la valeur interm´ediaire, l’´equation f(x)= √

2 admet une unique solution dans [0 ; 4].

– D’apr`es le tableau de variation de f, sur l’intervalle [4 ; 7] la fonction f est continue et strictement croissante. De plus

√

2∈[f(4) ; f(7)] donc d’apr`es le th´eor`eme de la valeur interm´ediaire, l’´equation f(x)= √

2 admet une unique solution dans [4 ; 7].

Finalement l’´equation f(x) = √

2 admet deux solutions dans [0 ; 7]. On pourrait mˆeme montrer que la solution la plus petite est dans [0 ; 2], et l’autre dans [4 ; 7].

2.3 Convexit´e

2.3.1 Introduction graphique et d´efinitions

Lorsqu’une fonction est croissante sa courbe repr´esentativemonte. Cependant elle peut

monterde plusieurs fac¸ons diff´erentes :

~i

~j

~i

~j

~i

~j

Sur la premi`ere figure la courbe est au dessus de chacune de ses tangente, sur la deuxi`eme figure, la courbe est en dessous de chacune des tangentes et enfin sur la troisi`eme elle est d’abord en dessous puis au dessus. La notion deconvexit´eva nous permettre de caract´eriser de telles fonctions.

D´efinition 2.2

Soit f une fonction num´erique d´efinie et d´erivable sur un intervalle I et C sa courbe repr´esentative dans un rep`ere du plan. On dit que :

– la fonction f estconvexesurIsiC est au dessus de chacune de ses tangentes ;

– la fonction f estconcavesurIsiC est en dessous de chacune de ses tangentes.

Exemple 2.4

La fonction carr´e est convexe surR. La fonction racine carr´ee est concave surR₊.

2.3.2 Propri´et´es

Dans cette partie, nous allons essayer de caract´eriser les fonctions convexes et concaves de fac¸on pluscalculatoirecar la d´efinition2.2n’est pas vraiment exploitable concr`etement.

La tangente ´etant une droite s’approchant au mieux de la courbe, si, apr`es le point de tangence, la courbe est au dessus de la tangente, cela signifie que les tangentes suivantes ont des coefficients directeurs de plus en plus ´elev´es. Cette intuition graphique est confirm´ee par le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 2.5(admis)

Soit f une fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalleI. On a :

– la fonction f est convexe surIsi et seulement si f⁰ est croissante surI; – la fonction f est concave surIsi et seulement si f⁰ est d´ecroissante surI; Remarque 2.2

Soit f une fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalle I. Pour ´etudier les variations de la fonction f⁰ on peut essayer de la d´eriver. Si f⁰ est d´erivable on note sa d´eriv´ee f” et on dit que f est deux fois d´erivable et f” est lad´eriv´ee secondede f. Ainsi f⁰est croissante surIsi f” est positive surI.

Th´eor`eme 2.6

Soit f une fonction d´efinie et deux fois d´erivable sur un intervalleI. On a : – si f” est positive surIalors la fonction f est convexe surI;

– si f” est n´egative surIalors la fonction f est concave surI; D´emonstration :Facile avec le th´eor`eme pr´ec´edent.

2.3.3 Point d’inflexion

D´efinition 2.3

Un point d’inflexion d’une courbe est un point o `u la courbe traverse la tangente.

~i

~j

B T_B

C

Ci-dessus,Best un point d’inflexion de la courbeC.

2.3 Convexit´e 23

Propri´et´e 2.1

Soit f une fonction d´efinie sur un intervalleIetCf sa courbe repr´esentative dans un rep`ere du plan. Soita∈IetA(a; f(a))∈ Cf.

Si f” s’annule enaen changeant de signe alorsAest un point d’inflexion pourCf. Remarque 2.3

La propositionf⁰⁰s’annule enaen changeant de signesignifie que le tableau de signes de f” est de l’un des deux types suivants autour de la valeura:

x a

f”(x) − 0 +

x a

f”(x) + 0 − Exemple 2.5

La courbe repr´esentative de la fonction cube (x 7→ x³) admet un point d’inflexion qui est l’origine du rep`ere.

~i

~j

TO

C

Chapitre 3

Probabilit´es conditionnelles

3.1 Probabilit´es conditionnelles

3.1.1 Exemple

Exemple 3.1

On a regroup´e dans le tableau suivant les pourcentages de filles et de garc¸ons suivant la sp´ecialit´e choisie parmi tous les ´el`eves de terminale ES d’un lyc´ee :

Maths SES LV

Filles 12% 13% 27%

Garc¸ons 16% 12% 20%

1. On choisit au hasard un ´el`eve de terminale ES.

On noteFl’´ev´enementc’est une fille, etMl’´ev´enementl’´el`eve a choisi la sp´ecialit´e maths. On a alors :

p(F)=52%,p(M)=28% etp(F∩M)=12%.

2. On rencontre au hasard un ´el`eve de terminale ES et c’est une fille. Quelle est la proba- bilit´e qu’elle soit en sp´ecialit´e maths ?

Cette probabilit´e estp= ¹²₅₂ (il ya 12 sp´e maths parmi les 52 filles).

On a donc :p= ¹²₅₂ = ^0,12_0,52 = ^12%_52%.

On dit quepest uneprobabilit´e conditionnelle. On notepF(M)= ^p(F_p(F)^∩M). On lit : probabilit´e deMsachantF.

3.1.2 G´en´eralisation

D´efinition 3.1

SoitAetBdeux ´ev´enements d’un universΩ.

Sip(B) , 0, on appelleprobabilit´e deAsachantBouprobabilit´e deAsi Bet on note pB(A) le nombre :

pB(A)= p(A∩B) p(B) Remarque 3.1

– On a 0≤p(A∩B)≤p(B) doncpB(A) est bien un r´eel compris de l’intervalle [0 ; 1].

– Sip(B) etp(A) sont non nuls, on a alors :

p(A∩B)=pB(A)×p(B)=pA(B)×p(A)

3.1.3 Arbres pond´er´es

Exemple 3.2

On peut repr´esenter la situation de l’exemple3.1par un arbre pond´er´e :

Ω

G

LV

20 48

SES

12 48 16 M 0,48 48

F

LV

27 52

SES

13 52 12 M

52

0,52

R`egles de l’arbre pond´er´e :

Ω

B

p_B(A) A pB(A) A p(B)

B

p_B(A) A p^B(A) A

p(B)

– la somme des probabilit´es des branches issues d’un mˆeme noeud vaut 1 : pB(A)+pB(A)=1;

– la probabilit´e d’un chemin est le produit des probabilit´es des diff´erentes branches qui constituent ce chemin :

pB(A)×p(B)=p(A∩B)

3.2 Formule des probabilit´es totales

D´efinition 3.2

Des ´ev´enements forment une partition de l’universΩsi les deux conditions suivantes sont r´ealis´ees :

3.3 Un probl`emetype bac 27

– ils sont deux `a deux disjoints (pas d’´eventualit´e commune) ; – leur r´eunion formeΩ.

Cela signifie que chaque ´eventualit´e deΩappartient `a un et un seul de ces ´ev´enements.

Exemple 3.3

Dans un jeu de cartes, on tire une carte au hasard. On note respectivementP,T,CaetColes

´ev´enementsobtenir un pique, un tr`efle, un carreau et un coeur. Les ´ev´enementsP,T,CaetCoforment une partition de l’univers.

Propri´et´e 3.1(Formule des probabilit´es totales)

On consid`ere une exp´erience al´eatoire d’universΩ. SiB1,B2, . . .,Bnforment une partition de Ω, alors pour tout ´ev´enementAdeΩ, on a :

p(A)=p(A∩B1)+p(A∩B2)+· · ·+p(A∩Bn)

Avec l’arbre vu dans les r`egles de l’arbre pond´er´e (page26), l’´ev´enementAest la r´eunion de deux chemins :p(A) est la somme des probabilit´es de ces chemins :

p(A)=p(A∩B)+p(A∩B) Exemple 3.4

On reprend les donn´ees de l’exemple3.1. On a alors : p(M)=p(F∩M)+p(G∩M)=0,52× 12

52 +0,48× 16

48 =0,12+0,16=0,28

3.3 Un probl`eme

type bac

Extrait du sujet du bac ES- La R´eunion - septembre 2006. 5 points.

On s’int´eresse `a une population de 135 000 personnes abonn´ees `a un fournisseur d’acc`es

`a Internet. Il existe deux fournisseurs A et B. Toute personne est abonn´ee `a un seul de ces fournisseurs. On sait qu’un tiers des personnes de cette population est abonn´e au fournisseur A. Par ailleurs, 60 % des personnes abonn´ees au fournisseur A acc`edent `a Internet par le haut d´ebit, et 51 % des personnes abonn´ees au fournisseur B acc`edent `a Internet par le haut d´ebit.

On choisit une personne au hasard dans cette population, et on admet que la probabilit´e d’un ´ev´enement est assimil´ee `a la fr´equence correspondante.

On note :

A, l’´ev´enement :la personne choisie est abonn´ee au fournisseur A B, l’´ev´enement :la personne choisie est abonn´ee au fournisseur B H, l’´ev´enement :la personne choisie acc`ede `a Internet par le haut d´ebit

1. D´ecrire cette situation al´eatoire par un arbre pond´er´e.

2. Montrer que la probabilit´e de l’´ev´enementla personne est abonn´ee au fournisseur A et acc`ede `a Internet par le haut d´ebitest ´egale `a 0,20.

3. Montrer que la probabilit´e de l’´ev´enement H :la personne acc`ede `a Internet par le haut d´ebitest ´egale `a 0,54.

4. CalculerpH(A), probabilit´e de A sachant H, puis en donner la valeur d´ecimale arrondie au centi`eme.

5. On choisit au hasard trois personnes dans cette population. On admet que le nombre de personnes est suffisamment grand pour assimiler le choix des trois personnes `a des tirages successifs ind´ependants avec remise. Calculer la probabilit´e de l’´ev´enement

exactement deux des personnes choisies acc´edent `a Internet par le haut d´ebit. On en donnera la valeur d´ecimale arrondie au centi`eme.

Chapitre 4

Fonctions exponentielles

4.1 Fonctions x 7→ q

4.1.1 Introduction : suites g´eom´etriques

Nous avons vu dans le chapitre1que les suites g´eom´etriques permettent de mod´eliser des situations d’´evolution de populations, de sommes d’agent, . . . qui subissent des variations constantes en pourcentages. Par exemple si le taux d’accroissement naturel d’une r´egion est constant au cours du temps et que ce taux est de 10 % par an, pour une population de d´epart P0 (prenons P0 = 1 million pour simplifier) la population n ann´ees apr`es est Pn = P0 × 1,10<sup>n</sup> = 1,10<sup>n</sup> millions d’habitants. Ainsi, apr`es 10 ans la population compte P10 ≈2,59 millions d’habitants.

Cependant cette augmentation de population n’a pas lieubrusquementchaque nuit de la Saint Sylvestre. Il est donc judicieux de se poser la question :quelle est la population au 30 juin d’une ann´ee, au 30 septembre, . . . ?Pour cela le mod`ele utilisant la suite num´erique Pne convient pas.

En repr´esentant graphiquement les termes de cette suite on observe qu’on peut tracer une courbe passantau mieuxparmi les points et ainsi lire graphiquement la population apr`es 3,5 ans, ou bien 7,75 ans, . . . Cette courbe est alors la repr´esentation graphique d’une fonction not´eex7−→1,10^xappel´eefonction exponentielle de base 1,10.

~i

~j

3,5 7,75

x7→1,1^x

4.1.2 D´efinition

D´efinition 4.1

Soitqun r´eel strictement positif. La fonction exponentielle de baseqest leprolongementde la suite g´eom´etrique (qⁿ)n≥0 `a l’ensemble des r´eels :

f :x7−→q^x Remarque 4.1

Pour calculerq^xpourx∈R, on utilise la calculatrice.

Propri´et´e 4.1(admise)

Soitqun r´eel strictement positif. La fonction exponentielle de baseqest d´erivable surR.

Exemple 4.1

Ci-dessous, quelques exemples de repr´esentations graphiques de fonctions exponentielles de baseqpour plusieurs valeurs deq:

~i x7→1,5^x ~j

x7→1,2^x x7→

0,7x

x7→

0,3_x

On remarque que toutes ces courbes passent par le pointJ(0; 1).

4.1.3 Relation fonctionnelle

Vous avez appris depuis la classe de quatri`eme que pourmet nentiers on aq^m+n = q^m×qⁿ. Cette propri´et´e reste vraie pour les r´eels :

Propri´et´e 4.2(admise)

pour tous r´eelsaetbet toutq>0 on a :

q^a+b=q^a×q^b Remarque 4.2

Si on note f la fonction exponentielle de baseq>0 on a donc pour tous les r´eelsaetb: f(a+b)= f(a)× f(b)

Ainsi les fonctions exponentiellestransformentles sommes en produits.

4.2 La fonction exponentielle 31

Propri´et´e 4.3(Cons´equences)

Soitqetrdeux r´eels strictement positifs. Pour tous les r´eelsaetbon a : 1. q^−a = _q¹a

2. q^a×r^a =(qr)^a

3. (q^a)^b=q^ab 4. ^q_q^ab =q^a−b.

4.1.4 Variations

Propri´et´e 4.4

Soit f :x7→q^xune fonction exponentielle o `uq ∈R^∗₊. On a : – si 0<q<1 alors f est d´ecroissante surR;

– siq=1 alors f est constante surR; – siq>1 alors f est croissante surR.

Par ailleurs, f(0) = 1 c’est-`a-dire que les courbes repr´esentatives de toutes les fonctions exponentielles passent par le point de coordonn´ees (0; 1).

4.2 La fonction exponentielle

4.2.1 D´efinition

D´efinition 4.2

Parmi toutes les fonctions exponentielles, une seule admet le r´eel 1 comme nombre d´eriv´e en 0. Cette fonction est appel´eelafonction exponentielle.

Cette fonction f est une fonction exponentielle donc il existe un r´eelqtel que pourx∈Ron a f(x)=q^x. Ce nombreqest l’image de 1 par f et on le note e. Ainsilafonction exponentielle est not´ee :

x7−→^exp e^x

On dit aussi qu’il s’agit de la fonction exponentielle debasee. On la note aussi exp.

Enfin, on a e≈2,718.

Propri´et´e 4.5

La fonction exponentielle est d´erivable surRet est ´egale `a sa d´eriv´ee : pourx∈R, exp⁰(x)=exp(x)

De plus, puisque e>0 on a e^x >0 donc exp est strictement croissante surR.

4.2.2 Premi`eres propri´et´es

Propri´et´e 4.6

La fonction exponentielle est continue surR.

La fonction exponentielle est convexe surR.

D´emonstration :

exp est d´erivable donc continue. De plus exp⁰ = exp qui est croissante donc puisque sa d´eriv´ee est croissante, la fonction exponentielle est convexe.

Propri´et´e 4.7

Pour tous r´eelsaetbon a : e^a =e^bsi et seulement sia=b.

e^a <e^bsi et seulement sia<b.

4.2.3 Propri´et´es alg´ebriques

Propri´et´e 4.8

Pour tous r´eelsaetbon a : 1. e^−a = _e¹a

2. e^a+b=e^a×e^b

3. (e^a)^b =e^ab 4. ^e_e^ab =e^a−b.

4.2.4 Courbe repr´esentative

Tangente en 0 :

L’´equation de la tangente `aCexpau pointAd’abscisse 0 est : y=exp⁰(0)(x−0)+exp(0), soit y=x+1.

Courbe repr´esentative :

~i

C

T

4.3 ´Etude d’une fonction compos´ee e

4.3.1 D´eriv´ee. Variations

Propri´et´e 4.9

Soit u une fonction d´erivable sur un intervalle I. Alors la fonction f = e^u = exp◦u est d´erivable surIet pourx∈I, f⁰(x)=u⁰(x)e^u(x).

Exemple 4.2

Soit f la fonction d´efinie surRpar f(x)=e^2x2−3x. f s’´ecrit e^uavec pourx∈R,u(x)=2x²−3x.

La fonction u est d´erivable sur R donc f est ´egalement d´erivable sur R et pour x ∈ R, f⁰(x)=(4x−3)e^2x2−3x.

4.3 ´Etude d’une fonction compos´eee^u 33 Remarque 4.3

La fonction exponentielle est strictement croissante surRdonc les fonctions u et e^u ont les mˆemes variations.

4.3.2 Exemple d’´etude

Exemple 4.3

Soit f la fonction d´efinie surRpar f(x)=e^−x2. 1. Pourx∈R, calculer f⁰(x) et ´etudier son signe.

2. Dresser le tableau de variation de f.

3. D´eterminer l’´equation de la tangente∆ `aCf au pointAd’abscisse 1.

4. Tracer∆etCf dans un rep`ere.

Chapitre 5

Logarithme n´ep´erien

Les logarithmes (du grec logos = rapport,arithmeticos = nombres) sont apparus grˆace¹ au math´ematicien ´Ecossais John Napier (1550-1617) qui cherchait `a simplifier les calculs as- tronomiques. Les math´ematiciens de l’´epoque cherchaient des relations entre des suites g´eom´etriques et des suites arithm´etiques permettant de transformer un produit (difficile `a calculer) en une somme (beaucoup plus simple `a effectuer). En 1614, John Napier publie des tables de correspondances entre deux s´eries de valeurs telles que le produit de deux nombres d’une colonne correspond `a la somme des nombres correspondants de l’autre co- lonne. Il vient d’inventer leslogarithmes. En fait Napier(ou N´eperen franc¸ais) n’a pas invent´e defonction logarithme mais juste les tables de correspondance ; c’est en 1647 que Gr´egoire deSaint-Vincent(J´esuite et math´ematicien belge. 1584-1667) met en ´evidence une nouvelle fonction, s’annulant en 1 et dont la d´eriv´ee est la fonction inverse qui s’av´erera ˆetre la fonc- tion qu’on appelera logarithme n´ep´erien. Ce lien entre la fonction trouv´ee par Gr´egoire de Saint-Vincent et les tables de logarithmes de Napier sera ´etabli par Christiaan Huygens (math´ematicien, astronome et physicien n´eerlandais. 1629-1695) en 1661.

John Napier(1550-1617) Christiaan Huygens(1629-1695)

1. Ou`a cause, c¸a d´epend des points de vue. . .

5.1 La fonction logarithme n´ep´erien

5.1.1 D´efinition

D´efinition 5.1

Pour tout x > 0, l’´equation e^y = xadmet une unique solution sur R. La fonction qui a tout x>0 associe ce r´eel ytel que e^y =xest appel´eelogarithme n´ep´erien. On la note ln.

Exemple 5.1

On d´eduit de la d´efinition :

– ln(1) est le r´eel ytel que e^y =1 donc ln(1)=0 ; – ln(e) est le r´eel ytel que e^y=e donc ln(e) =1 ; – ln(e²) est le r´eelytel que e^y=e²donc ln(e²)=2 ; – ln

1 e

est le r´eel ytel que e^y = _e¹ donc ln

1 e

=−1.

Cons´equence :pour toutx>0 et touty∈Ron a : e^y =x⇐⇒y=ln(x) Remarque 5.1

Six∈R^∗₊alors e^ln(x)=x.

Six∈Ralors ln (e^x)=x.

Remarque 5.2

La touche logarithme n´ep´erien de la calculatrice est g´en´eralement not´eelnouLN(`a ne pas confondre avec la touchelog).

5.1.2 ´Etude de la fonction logarithme n´ep´erien

Dans cette partie, on note f : x7→ln(x).

Propri´et´e 5.1(admise)

La fonction logarithme n´ep´erien est d´erivable surR^∗₊et on a : pourx>0, ln⁰(x)= 1

x

x 0 1 +∞

1

x + +

ln

%0% Tangente en 1 :

l’´equation de la tangente `a la courbe au point d’abscisse 1 est : y= f⁰(1)(x−1)+ f(1).

Or f⁰(1)= ¹₁ =1 et f(1)=ln(1)=0 d’o `u :

T1 : y=x−1

5.1 La fonction logarithme n´ep´erien 37

Remarque 5.3(Cons´equence des variations)

Pourx<1 on a ln(x)<0 et pourx>1 on a ln(x)>0.

Courbe repr´esentative :

~i

~j

C

e

5.1.3 Propri´et´es

Propri´et´e 5.2

Pour tous r´eels strictement positifsaetbon a : ln(ab)=ln(a)+ln(b) et ln

1 a

=−ln(a)

D´emonstration :

Par d´efinition, ln(ab) est la solution de l’´equation exp(y)=ab. Notons cette solutionyab(c’est-

`a-dire qu’on a exp(yab)=ab). De mˆeme ln(a) et ln(b) sont respectivement les nombresyaet yb

solutions respectives de exp(y)=aet exp(y)=b(donc exp(ya)=aet exp(yb)=b).

On a donca×b=exp(ya)×exp(yb)=exp(ya+yb) (d’apr`es la propri´et´e4.8) ;

Soitab=exp(ya+yb). En prenant le logarithme n´ep´erien de cette derni`ere ´egalit´e on obtient : ln(ab)=ln exp(ya+yb)

donc ln(ab)= ya+yb(car pour toutxon a ln(exp(x))=x).

Or par d´efinition on a ya =ln(a) et yb=ln(b), d’o `u : ln(ab)=ln(a)+ln(b)

Le deuxi`eme point est laiss´e en exercice au lecteur consciencieux qui souhaite vraiment r´eussir son examen de fin d’ann´ee. . .

Propri´et´e 5.3(Cons´equences - admise)

Pour tout r´eela>0, tout r´eelb >0 et tout entier relatifnon a : ln(aⁿ)=n×ln(a) et ln

a b

=ln(a)−ln(b) ainsi que ln√ a

= 1

2 ×ln(a)

Exemple 5.2

Simplifier l’´ecriture suivante :

ln(256)−5 ln(2)=ln(2⁸)−5 ln(2)=8 ln(2)−5 ln(2)=3 ln(2) Propri´et´e 5.4(Convexit´e)

La fonction logarithme n´ep´erien est concave surR^∗₊. D´emonstration :

Soit f la fonction logarithme n´ep´erien. Pourx ∈R^∗₊ on a f⁰(x)= ¹_x et f”(x) =−¹

x² < 0 d’o `u le r´esultat en utilisant le th´eor`eme2.6.

5.2 Application aux r´esolutions d’´equations

5.2.1 Avec l’exponentielle

On rappelle que d’apr`es la d´efinition 5.1, pour tout a > 0, ln(a) est l’unique solution de l’´equation exp(x)=a.

Exemple 5.3

R´esoudre exp(3x)=2 :

exp(3x)=2⇐⇒ln exp(3x) =ln(2)

⇐⇒3x=ln(2)

⇐⇒x= ^ln(2)₃ Exemple 5.4

R´esoudre 4 ln(2x)=−5 : cette ´equation est d´efinie pourx>0.

4 ln(2x)=−5⇐⇒ln(2x)=−⁵

4

⇐⇒exp(ln(2x))=exp

−⁵

4

⇐⇒2x=exp

−⁵

4

⇐⇒x= ¹₂e⁻⁵⁴ >0 Exemple 5.5

R´esoudre ln(x²−1)=ln(3x+3).

Cette ´equation est d´efinie pour x²−1 > 0 c’est-`a-dire x < −1 ou x > 1 (faire un tableau de signes pour s’en convaincre) et 3x+3 > 0 c’est-`a-dire x > −1. Finalement, l’´equation est d´efinie pourx>1. Dans ce cas, on a :

ln(x²−1)=ln(3x+3)⇐⇒exp ln(x²−1)=exp (ln(3x+3))

⇐⇒x²−1=3x+3

⇐⇒x²−3x−4=0

Cette ´equation est une ´equation du second degr´e dont le discriminant vaut∆ =25>0 ; elle a donc deux racines : ⁻⁽⁻³⁾⁻

√ 25

2 =−1 et ⁻⁽⁻³⁾⁺

√ 25

2 =4. Or l’´equation est d´efinie pourx>1 donc on ne conserve que la solutionx=4.

5.3 ´Etude compar´ee de repr´esentations graphiques 39

5.2.2 Avec les suites g´eom´etriques

Dans cette partie, nous allons utiliser la propri´et´e5.3pour d´eterminer desseuilslors de l’´etude de suites g´eom´etriques.

Exemple 5.6

Pendant les soldes, chaque jour, un commerc¸ant baisse ses prix de 2%. `A partir de combien de jours le prix d’un article valant au d´epart 100evaudra-t-il 70e?

Soitunle prix de cet article len^ejour.

On a donc u0 = 100 et pour n ≥ 0, un+1 = 1− ²

100

×un = 0,98un. Donc u est une suite g´eom´etrique de premier terme u0 = 100 et de raison q = 0,98. Donc pour n ∈ N on a un=100×0,98ⁿ.

On cherche doncntel que 100×0,98ⁿ=70. R´esolvons cette ´equation : 100×0,98ⁿ=70⇐⇒0,98ⁿ=0,7

⇐⇒ln (0,98ⁿ)=ln(0,7)

⇐⇒n×ln(0,98)=ln(0,7)

⇐⇒n= _ln(0,98)^ln(0,7) ≈17,7 Donc c’est apr`es 18 jours que le prix sera inf´erieur `a 70e.

5.3 ´Etude compar´ee de repr´esentations graphiques

Depuis le d´ebut de l’ann´ee, nous avons d´ecouvert (au moins) deux nouvelles fonctions : la fonction exponentielle et la fonction logarithme n´ep´erien. Si on ajoute la fonction identit´e (x 7→ x), on se retrouve avec trois fonctions strictement croissantes. En s’int´eressant `a leurs repr´esentations graphiques respectives, on peut se poser la question des positions relatives de celles-ci.

Propri´et´e 5.5

Pour toutx>0 on a :

ln(x)<x<e^x

Cela signifie que la courbe repr´esentative de la fonction ln est en dessous de la droite d’´equation y = x qui est elle-mˆeme en dessous de la courbe repr´esentative de la fonction exponentielle (voir figure plus loin).

D´emonstration :

Soit f la fonction d´efinie sur R^∗₊ par f(x) = ln(x)−x. Cette fonction f est d´erivable sur R^∗₊,

´etudions ses variations. . .

Pour toutx>0 on a f⁰(x)= ¹_x −1= ¹⁻_x^x. On a donc :

x 0 1 +∞

f⁰(x) + 0 −

f %

−1

&

Donc pour toutx>0 on a f(x)≤1<0 donc ln(x)<x.

De mˆeme, pour toutx≥ 0, on pose g(x)=e^x−x. La fonctiongest aussi d´erivable surR₊et on a pourx≥0, g⁰(x)=e^x−1. On a donc :

x 0 +∞

g⁰(x) 0 +

g 1%

D’o `u, pourx≥0 on a g(x)≥1>0 donc e^x >x.

~i

~j

C

e e

C

y = x

Remarque 5.4

Nous avions d´ej`a vu en activit´es que les courbesCln et Cexp sont sym´etriques par rapport `a la droite d’´equationy=x.

Chapitre 6

Calcul int´egral

Chapitre trait´e par M. Grosjean.

Chapitre 7

Lois de probabilit´e continues

Dans les situations de probabilit´e ´etudi´ees jusqu’`a pr´esent, les variables al´eatoires X pre- nanient un nombre fini de valeurs x1, x2, . . . xn ou ´eventuellement infini mais qu’on peut

´enum´erer, d´enombrer. On dit que de telles variables al´eatoires Xsontdiscr`etes. Il existe des variables al´eatoires non discr`etes qui prennent toutes les valeurs d’un intervalle deR; ces va- riables al´eatoires sont ditescontinues. La d´efinition d’une loi de probabilit´e sur un intervalle sera donc li´ee `a la notion de probabilit´e d’un intervalle quelconque deI, ainsi on calculera la probabilit´e qu’une variable prenne une valeur comprise entre 3 et 5 par exemple et on notera cette probabilit´ep(3<X<5).

7.1 Lois de probabilit´es continues

7.1.1 Un exemple

Dans le plan, on d´elimite la zone colori´ee ci-dessous comprise entre les abscisses 0 et 2, l’axe des abscisses et la courbe C repr´esentant une fonction f continue sur [0; 2]. Cette zone a pour aire 1 u.a. Un jeu consiste `a choisir deux nombresaetbtels que 0≤a≤ b≤2, puis, un ordinateur d´esigne au hasard un pointMde la zone colori´ee.

~i

~j

C

La probabilit´e de gagner peut donc ˆetre assimil´ee la probabilit´e que l’intervalle [a;b] contienne l’abscisse du pointM.

En notantAa,bl’aire d´elimit´ee par la courbeC, l’axe des abscisses, et les droites d’´equations x=aetx=b, on a donc :

p(gagn´e)=p([a;b])=A_a,b= Z b

a

f(x)dx Dans ce cas, on dit que la fonction f est une fonctiondensit´e de probabilit´e.

7.1.2 Densit´e de probabilit´e

D´efinition 7.1

On dit qu’une variable al´eatoire X estcontinue si elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalleIdeR.

Exemple 7.1

La dur´ee de vie d’une ampoule ´electrique, le temps d’attente `a un guichet, . . . sont des variables al´eatoires continues.

D´efinition 7.2

Une fonction f est unedensit´e de probabilit´ed’une loi de probabilit´e sur un intervalleI=[c;d]

si les conditions suivantes sont remplies : – elle est continue et positive surI; – on a

Z d

c

f(x) dx=1.

Propri´et´e 7.1

SoitXune variable al´eatoire continue d´efinie sur un intervalleIdont la densit´e de probabilit´e est la fonction f. Alors pour touta∈Iet toutb∈Iaveca≤bon a :

p(X∈[a;b])= Z b

a

f(t)dt

C’est-`a-dire quep([a;b]) est l’aire d´elimit´ee parCf, l’axe des abscisses et les droites d’´equations x=aetx=b.

Remarque 7.1(Cons´equence) Pour touta∈Ion ap(X=a)=0.

Ceci peut paraˆıtre surprenant. Prenons l’exemple de la variable al´eatoire ´egale `a la dur´ee de vie d’une voiture. Celle-ci suit une loi continue surR<sub>+</sub>. Si on se fixe une dur´ee, disons 5 ans, la probabilit´e que la dur´ee de vie de la voiture soit ´egale `a cinq ans est donc nulle ! Ceci est moins surprenant si on consid`ere qu’une dur´ee de cinq ans (dont une ann´ee bissextile) est

´egale `a 157 766 400 secondes ; en effet, la probabilit´e que la voitureviveexactementcette dur´ee est proche de 0 (en passant aux dixi`emes voire au centi`emes de seconde c’est encore plus parlant. . .).

D´efinition 7.3

Soit f la densit´e de probabilit´e d’une variable al´eatoireXsur un intervalle [c;d]. Si l’int´egrale Z d

c

t f(t) dtexiste, on dit que c’estl’esp´erancede la variableX. On note :

E(X)= Z d

c

t f(t) dt

7.1.3 La loi uniforme

On a vu en premi`ere la loi uniforme discr`ete qui d´ecrit toutes les situations d’´equiprobabilit´e.

Intuitivement la loi uniforme continue caract´erise aussi une situation d’´equiprobabilit´e : les probabilit´es de deux intervalles de mˆeme amplitude sont ´egales.