Cours de math´ematiques
Thomas Rey Classe de premi`ere S
13 d´ecembre 2010
Ce qui est affirm´e sans preuve peut ˆetre ni´e sans preuve.
Euclide d’Alexandrie
Table des mati`eres
1 Fonctions 9
1.1 Pr´eliminaires. . . 9
1.1.1 Rappels sur les nombres . . . 9
1.1.2 Valeurs approch´ees. ´Ecriture scientifique . . . 11
1.1.3 Les intervalles deR. . . 11
1.1.4 Valeur absolue . . . 12
1.2 Fonction num´erique . . . 13
1.2.1 D´efinitions et vocabulaire . . . 13
1.2.2 Repr´esentation graphique . . . 14
1.3 R´esolutions graphiques d’´equations et d’in´equations . . . 14
1.4 Variations . . . 15
2 Barycentres 17 2.1 Vecteurs du plan. . . 17
2.1.1 D´efinition . . . 17
2.1.2 Op´erations sur les vecteurs . . . 17
2.1.3 Coordonn´ees d’un vecteur. . . 18
2.2 Barycentre de deux points pond´er´es . . . 19
2.2.1 D´efinition . . . 19
2.2.2 Propri´et´es . . . 19
2.2.3 Avec des coordonn´ees . . . 20
2.3 Barycentre de trois ou quatre points pond´er´es. . . 20
2.3.1 D´efinition . . . 20
2.3.2 Applications. . . 22
3 Le second degr´e 25 3.1 Fonction polyn ˆome . . . 25
3.2 Polyn ˆome de degr´e 2 . . . 26
3.2.1 Forme canonique . . . 26
3.3 ´Equation de degr´e 2. . . 27
3.4 Signe d’un trin ˆome de degr´e 2 . . . 28
3.4.1 Factorisation d’un trin ˆome du second degr´e . . . 28
3.4.2 Signe d’un trin ˆome du second degr´e . . . 29
3.5 R´ecapitulons. . . 30
3.5.1 Repr´esentation graphique d’un trin ˆome . . . 30
3.5.2 Programmons. . . 30
4 TABLE DES MATI `ERES
4 Trigonom´etrie et rep´erage 33
4.1 Trigonom´etrie . . . 33
4.1.1 Enroulement deRsur le cercle trigonom´etrique . . . 33
4.1.2 Angle de vecteurs non-nuls . . . 35
4.1.3 Lignes trigonom´etriques . . . 36
4.1.4 ´Equations . . . 37
4.2 Rep´erages du plan . . . 38
4.2.1 Rep´erage cart´esien . . . 38
4.2.2 Rep´erage polaire . . . 39
4.2.3 Changements de type de rep´erage . . . 39
5 D´erivation 41 5.1 S´ecante `a une courbe . . . 41
5.2 Nombre d´eriv´e . . . 42
5.2.1 Nombre d´eriv´e . . . 42
5.2.2 Interpr´etation graphique. . . 42
5.2.3 Interpr´etation cin´ematique . . . 43
5.3 Fonction d´eriv´ee. . . 44
5.3.1 Fonction d´eriv´ee . . . 44
5.3.2 Approximation affine . . . 44
5.3.3 M´ethode d’Euler1 . . . 45
5.3.4 D´eriv´ees des fonctions usuelles . . . 46
5.4 Op´erations sur les fonctions d´erivables . . . 48
5.4.1 D´eriv´ee d’une somme . . . 48
5.4.2 Produit par un r´eel . . . 49
5.4.3 D´eriv´ee d’un produit . . . 49
5.4.4 D´eriv´ee d’un quotient . . . 50
5.4.5 Compos´ee avec une fonction affine. . . 50
6 Produit scalaire 53 6.1 Produit scalaire de deux vecteurs . . . 53
6.1.1 Projection orthogonale . . . 53
6.1.2 Produit scalaire . . . 53
6.1.3 Vecteurs orthogonaux . . . 54
6.2 Autres expressions du produit scalaire . . . 55
6.2.1 G´eom´etriquement . . . 55
6.2.2 Propri´et´es alg´ebriques . . . 56
6.2.3 Dans un rep`ere orthonormal . . . 56
6.2.4 Avec les normes. . . 57
7 D´erivation : applications 59 7.1 Variations d’une fonction. . . 59
7.1.1 Des variations au signe de la d´eriv´ee. . . 59
7.1.2 Du signe de la d´eriv´ee aux variations . . . 59
7.2 Extrema d’une fonction . . . 60
1. Leonhard Euler(1707-1783) : math´ematicien suisse. Un des math´ematiciens les plus productifs de tous les temps. Il a travaill´e dans beaucoup de domaines (notre trigonom´etrie moderne provient essentiellement de sonIntroductiode 1748). Il est aussi l’inventeur de beaucoup de notations que nous utilisons encore aujourd’hui (π,Σpour les sommes,rpour les rayons,A,B, . . . pour les sommets d’un polygone, cos et sin, . . .)
TABLE DES MATI `ERES 5
7.2.1 D´efinitions . . . 60
7.2.2 Propri´et´es . . . 60
7.3 R´esolution d’un probl`eme . . . 61
8 Produit scalaire : applications 63 8.1 ´Equations cart´esiennes dans le plan . . . 63
8.1.1 Projet´e orthogonal d’un vecteur sur une droite . . . 63
8.1.2 ´Equation de droite . . . 63
8.1.3 ´Equation d’un cercle . . . 64
8.2 Relations dans le triangle . . . 65
8.2.1 Th´eor`eme de la m´ediane. . . 65
8.2.2 Th´eor`eme d’Al-Kashi . . . 66
8.2.3 Trigonom´etrie dans le triangle . . . 67
8.3 Trigonom´etrie . . . 67
8.3.1 Formules d’addition . . . 67
8.3.2 Formules de duplication . . . 68
8.4 Lieux de points . . . 68
9 Les suites 71 9.1 Suite de nombres r´eels . . . 71
9.1.1 D´efinition . . . 71
9.1.2 Mode de g´en´eration . . . 71
9.2 Variations d’une suite . . . 74
9.3 Suites arithm´etiques . . . 74
9.3.1 D´efinition . . . 74
9.3.2 Calcul du terme g´en´eral . . . 75
9.3.3 Calcul de la somme des premiers termes . . . 75
9.4 Suites g´eom´etriques. . . 76
9.4.1 D´efinition . . . 76
9.4.2 Calcul du terme g´en´eral . . . 77
9.4.3 Calcul de la somme des premiers termes . . . 77
10 Limites de suites 79 10.1 Limite d’une suite . . . 79
10.1.1 Suite convergente . . . 79
10.1.2 Suite divergente. . . 80
10.2 Comparaison de suites . . . 81
10.2.1 Crit`ere de convergence . . . 81
10.2.2 Crit`ere de divergence . . . 82
10.3 Calculs de limites . . . 82
10.3.1 Op´erations alg´ebriques . . . 82
10.3.2 Cas des suites g´eom´etriques. . . 82
11 Statistiques 85 11.1 Vocabulaire des statistiques . . . 85
11.2 Param`etres de tendance centrale . . . 86
11.2.1 La m´ediane . . . 86
11.2.2 La moyenne . . . 86
11.3 Param`etres de dispersion . . . 87
6 TABLE DES MATI `ERES
11.3.1 L’´etendue . . . 87
11.3.2 Les quantiles . . . 88
11.3.3 Application : les diagrammes en boˆıtes . . . 89
11.3.4 Variance et ´ecart type. . . 89
12 Comportement asymptotique 91 12.1 Limites d’une fonction lorsquextend vers+∞ . . . 91
12.1.1 Limite infinie . . . 91
12.1.2 Limite r´eelle. Asymptote horizontale . . . 92
12.2 Limite d’une fonction lorsquextend vers−∞ . . . 92
12.2.1 Limite infinie . . . 93
12.2.2 Limite r´eelle. Asymptote horizontale . . . 93
12.2.3 Asymptote oblique . . . 94
12.2.4 Fonctions sans limite `a l’infini . . . 94
12.3 Limite d’une fonction lorsquextend vers un r´eela . . . 94
12.3.1 Limite infinie ena . . . 94
12.3.2 Limite finie ena . . . 96
12.4 Th´eor`emes sur les limites . . . 96
12.4.1 Limite d’une somme . . . 96
12.4.2 Limite d’un produit . . . 96
12.4.3 Limite d’un quotient gf . . . 96
12.4.4 Formes ind´etermin´ees . . . 97
12.5 Exemples . . . 97
12.5.1 ´Etude de fonction . . . 97
12.5.2 Lev´ee d’ind´etermination . . . 98
13 Homoth´eties 101 13.1 Transformations . . . 101
13.1.1 G´en´eralit´es . . . 101
13.1.2 Translations . . . 101
13.1.3 Homoth´eties. . . 102
13.2 Propri´et´es de conservation . . . 103
13.2.1 Barycentre2 . . . 103
13.2.2 Angles, distances, surfaces, volumes . . . 103
13.3 Image d’une figure . . . 103
13.3.1 Image d’une droite . . . 104
13.3.2 Image d’un segment . . . 104
13.3.3 Image d’un cercle . . . 104
13.3.4 Image d’un plan de l’espace . . . 104
14 Probabilit´es 105 14.1 Introduction. Premi`eres d´efinitions . . . 105
14.2 Distribution de fr´equences. Loi de probabilit´e . . . 105
14.2.1 Distribution de fr´equences . . . 105
14.2.2 Loi de probabilit´e . . . 106
14.2.3 Param`etres d’une loi . . . 107
14.2.4 Loi des grands nombres . . . 107
2. Ah ! Ca faisait longtemps. . .
TABLE DES MATI `ERES 7
14.2.5 ´Equiprobabilit´e . . . 107
14.3 Quelques exemples de r´ef´erence . . . 107
14.4 Intersection. R´eunion . . . 109
14.4.1 ´Ev´enement. ´Ev´enement contraire . . . 109
14.4.2 Intersection. R´eunion. . . 109
14.5 Variable al´eatoire . . . 109
14.5.1 D´efinition . . . 110
14.5.2 Loi de probabilit´e d’une variable al´eatoire . . . 110
14.5.3 Param`etres d’une loi . . . 110
A Second degr´e 111
B D´eriv´ees des fonctions usuelles 113
C Calculatrices et statistiques 115
D R´esolution de syst`emes par la m´ethode de Gauss 117
Ce qui est affirm´e sans preuve peut ˆetre ni´e sans preuve.
Euclide d’Alexandrie
Chapitre 1 Fonctions
Dans la vie courante, on rencontre souvent des situations o `u une chose d´epend d’une autre : prendre son parapluie ou non le matin d´epend du temps qu’il fait ; l’heure `a laquelle on programme son r´eveil d´epend de la dur´ee de transport pour se rendre au lyc´ee, le prix `a payer pour mon sachet de pommes d´epend de la masse de pommes qu’il contient. Dans ce dernier exemple on dit aussi que le prix estfonction de la masse. C’est ce mˆeme mot qu’on utilise en math´ematiques pour signifier qu’une quantit´ed´ependd’une autre.
C’est Leibnizqui, `a la fin duxviiesi`ecle, ´ecrit le premier dans un de ses textesxest fonction dey. Quelques ann´ees plus tard, JeanBernoulliemploie la notation f xpour d´esigner une fonction de lavariable x: l’acte de naissance desfonctions, nouveaux objets math´ematiques1
´etait sign´e, nous allons en commencer ici l’´etude.
1.1 Pr´eliminaires
1.1.1 Rappels sur les nombres
1.1.1.1 Les entiers naturels
L’ensemble des entiers naturels est not´eN(ou au tableau :N). Il est constitu´e des nombres qui permettent de compter des objets : 0, 1, . . ., 536, . . .. Un entier naturel s’´ecrit avec un nombrefinide chiffres. (Les dix chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
1.1.1.2 Les entiers relatifs
L’ensemble des entiers relatifs est not´eZ (ou au tableau : Z). Il est constitu´e des abscisses des points d’une droite gradu´ee, plac´es toutes les unit´es : −36, . . ., 0, . . ., 5, . . ., 17 532, . . ..
Un entier relatif s’´ecrit par un entier pr´ec´ed´e d’un signe−s’il est n´egatif et d’un signe
+facultatif s’il est positif.
1.1.1.3 Les nombres d´ecimaux
L’ensemble des nombres d´ecimaux est not´eDouD(ou encore au tableauD). Il est constitu´e de tous les quotients d’un entier relatif par une puissance de 10 :d= 10en, avece∈ Zetn∈N.
Un nombre d´ecimal s’´ecrit avec un nombrefinide chiffres et une virgule (´eventuellement).
Exemple 1.1
453,37= 45337102 est un nombre d´ecimal.
1. Qui allaient faire souffrir bon nombre de lyc´eens. . .
10 Fonctions
453 est appel´e lapartie enti`ere, et 37 est appel´e lapartie d´ecimale.
1.1.1.4 Les nombres rationnels
L’ensemble des nombres rationnels est not´eQ(ou au tableau :Q). Il est constitu´e de tous les quotients d’un entier relatif par un entier naturel non nul. r = pq, avec p ∈ Zet q ∈ N. Un nombre rationnel peut ne pas ˆetre d´ecimal, et dans ce cas il a une ´ecriture d´ecimale infinie maisp´eriodique.
Exemple 1.2
357
11 = 32,454545. . . et 3527 = 50,285714285714. . . sont des rationnels non d´ecimaux. Ils s’´ecrivent aussi : 35711 =32,45 et 3527 =50,285714.
1.1.1.5 Les nombres r´eels
L’ensemble des nombres r´eels est not´e R (ou au tableau : R). Il contient tous les nombres utilis´es jusqu’en terminale S (et bien d’autres . . .), mˆeme ceux qui ne sont pas rationnels.
Chaque point d’une droite gradu´ee correspond `a un nombre r´eel et r´eciproquement. On parle ainsi de ladroite des r´eels:
O 0
I 1
−2, 3 p
5
Exemple 1.3 0, 53,
√
2,π, cos 32◦sont des r´eels.
1.1.1.6 Remarque
Ces ensembles sont inclus les uns dans les autres :N⊂Z⊂D ⊂Q⊂R.
Il existe des r´eels non rationnels (
√
2). On les appelle lesirrationnels.
Il existe des rationnels non d´ecimaux (35711).
Il existe des d´ecimaux non entiers relatifs (3,57).
Il existe des entiers relatifs non entiers naturels (−6).
0; 1; 2; . . .N
Z
. . . ;−14; . . . ; −1
D
−2, 45; 7, 14; 1215 ; . . .
Q
−53; . . . ; 47
R
−π; p
2; cos 32◦; . . .
T.Rey- Cours de premi`ere S 13 d´ecembre 2010
1.1 Pr´eliminaires 11
1.1.2 Valeurs approch´ees. ´Ecriture scientifique
1.1.2.1 Ordre de grandeur
Il est souvent utile de remplacer un nombre par une valeur approch´ee ayant seulement un ou deux chiffres non nuls. Ce nouveau nombre est appel´eordre de grandeurdu nombre initial.
Exemple 1.4
En l’an 2000, la population franc¸aise ´etait de 60 186 184 habitants. On dit plus g´en´eralement qu’elle ´etait de 60 000 000.
1.1.2.2 Arrondi d’un nombre
L’arrondi au dixi`eme d’un nombre est le d´ecimal ayant un chiffre apr`es la virgule qui est le plus proche de ce nombre. (Pour l’arrondi au centi`eme, c’est le d´ecimal ayant deux chiffres apr`es la virgule, . . .)
Exemple 1.5
L’arrondi au dixi`eme de 557 est 7,9. On note 557 ≈7,9.
L’arrondi au centi`eme de
√
2 est 1,41. On note :
√
2≈1,41.
1.1.2.3 ´Ecriture scientifique
Un nombre d´ecimal est not´e en ´ecriture scientifique s’il est sous la forme a × 10n, avec ( a∈R,1≤a<10
n∈Z Exemple 1.6
Chaque op´eration ´el´ementaire d’un ordinateur qui affiche une fr´equence de 500 MHz dure 0,000 000 002 s, soit : 2×10−9s.
En astronomie, 1 UA=149 600 000 km, soit 1,496×108 km. (distance moyenne entre la Terre et le Soleil)
1.1.3 Les intervalles de R
D´efinition 1.1
aetb ´etant deux nombres r´eels v´erifianta < b, l’ensemble des r´eelsxqui v´erifienta≤x≤b s’appellel’intervalle ferm´ed’extremit´esaetb. On le note [a; b].
G´eom´etriquement, cet ensemble correspond aux abscisses des points du segment [AB], o `u AetBsont les points de la droite r´eelle d’abscisses respectivesaetb.
Sur le mˆeme mod`ele, on peut d´efinir huit types d’intervalles regroup´es dans le tableau ci-dessous :
Notation de l’intervalle In´egalit´e v´erifi´ee par les
´el´ementsxde l’intervalle Repr´esentation graphique
[a; b] a≤x≤b
a b
]a; b[ a<x<b
a b
12 Fonctions
Notation de l’intervalle In´egalit´e v´erifi´ee par les
´el´ementsxde l’intervalle Repr´esentation graphique
[a; b[ a≤x<b
a b
]a; b] a<x≤b
a b
[a;+∞[ a≤x
a
]a;+∞[ a<x
a
]− ∞;a] x≤a
a
]− ∞;a[ x<a
a
Remarque 1.1(Vocabulaire)
– [a; b], [a; b[, ]a; b], ]a; b[ sont des intervallesborn´es. Les r´eelsaetbsont leursbornes; – la diff´erenceb−aest l’amplitudede ces intervalles ;
– la demi somme a+b2 est lecentrede ces intervalles ;
– [a; b] est un intervalleferm´e, ]a; b[ est un intervalleouvert; – on note aussi l’ensembleRpar l’intervalle ]− ∞; +∞[.
Remarque 1.2 On note :
R∗=]− ∞; 0[∪]0 ; +∞[; R+ = [0 ; +∞[; R− =]− ∞; 0];
R∗+ =]0 ; +∞[; R∗− =]− ∞; 0[;
1.1.4 Valeur absolue
D´efinition 1.2
Soit x un nombre r´eel et M le point d’abscisse x de la droite r´eelle d’origine O. La valeur absoluedexest la distanceOM. On note :|x|=OM.
O 1
|x| M
Exemple 1.7
En utilisant la d´efinition1.2, d´eterminer|−5,4|,|7,2|,|−1|,|0|.
On placeA,B,Cd’abscisses respectives−5,4, 7,2 et−1 sur un axe gradu´e d’origineO. On a alors :
| −5,4|=OA=5,4; |7,2|=OB=7,2; | −1|=OC=1; |0|=OO=0
T.Rey- Cours de premi`ere S 13 d´ecembre 2010
1.2 Fonction num´erique 13
Remarque 1.3
Pour tout r´eelx, on a :|x|=| −x|. Propri´et´e 1.1
Soitxun nombre r´eel : – six≥0, alors|x|=x; – six≤0, alors|x|=−x.
D´emonstration :
– six≥0, alorsOM=xM−xO =x−0=x; – six≤0, alorsOM=xO−xM =0−x=−x.
Exemple 1.8
En utilisant la propri´et´e1.1, d´eterminer|−5|,|6|, 5−
√ 2
et
2
√ 3−6
. On a√ −5<0 donc| −5|=−(−5)=5. De mˆeme, 6>0, donc|6|=6.
2≈1,4 donc 5−
√
2>0. Ainsi, 5−
√ 2
=5−
√ 2.
2
√
3≈3,5 donc 2√
3−6<0. Ainsi, 2
√ 3−6
=−(2
√
3−6)=−2
√ 3+6.
D´efinition 1.3
On appelledistance entre deux nombresla valeur absolue de leur diff´erence. Siaetbsont deux r´eels, la distance entre eux est :
d(a;b)=|a−b|=|b−a|
1.2 Fonction num´erique
1.2.1 D´efinitions et vocabulaire
D´efinition 1.4
Une fonction num´erique f permet d’associer `a chaque nombrexd’un ensembleDun autre nombre que l’on note f(x). On note :
f : D −→ R x 7−→ f(x)
Le nombre f(x) est appel´eimagedexpar la fonction f. L’image d’un nombre par une fonction num´erique est unique.
x est appel´eant´ec´edent de f(x) par f. Un nombre peut avoir plusieurs ant´ec´edents ; il peut aussi ne pas en avoir.
Exemple 1.9
On d´efinit la fonction f surRpar f(x)=x2−5. On a : f : R −→ R
x 7−→ x2−5 1 7−→ 12−5=−4
−5 7−→ (−5)2−5=20
5
2 7−→ 5
2
2
−5= 254 −5= 54 π 7−→ π2−5≈4,87
14 Fonctions
Dans cet exemple 20 a deux ant´ec´edents car l’´equationx2−5=20 a deux solutions :x=5 et x=−5.
Par contre -6 n’a pas d’ant´ec´edent car x2−5 = −6 n’a pas de solution. (car x2 = −1 n’en a pas.)
D´efinition 1.5
Soit f une fonction num´erique. On appelleensemble de d´efinitionde f et on note g´en´eralement Df l’ensemble des nombres pour lesquels f(x) existe.
Exemple 1.10
On consid`ere la fonction f d´efinie par f(x) = 3x+2
x−1 . Le nombre f(x) existe pour toutx ,1.
En effet si x = 1, pour calculer f(x), il faudrait diviser par 0 ce qui est impossible. Donc Df =R\ {1}.
1.2.2 Repr´esentation graphique
D´efinition 1.6
Soit f une fonction num´erique. Pour tout x ∈ Df, on pose y = f(x). `A chaque couple (x;y) on peut donc associer un point dans un rep`ere. L’ensemble de ces points est appel´ecourbe repr´esentativede la fonction f. On la note g´en´eralementCf.
1.3 R´esolutions graphiques d’´equations et d’in´equations
Soit f et gdeux fonctions num´eriques d´efinies sur un intervalle [a;b].
– R´esoudre graphiquement l’´equation f(x) = g(x) c’est trouver lesabscisses des points d’in- tersections deCf etCg.
– R´esoudre graphiquement l’in´equation f(x) ≥ g(x), c’est trouver les abscisses des points M(x; f(x)) etN(x;g(x)) tels queMest au dessus deN.
Exemple 1.11
x M
N
x0 M0 N0
a x0 x1 x2 b
Cf
Cg
Sur la figure ci-dessus, on a trac´e les repr´esentations graphiques de deux fonctions f et g d´efinies sur [a;b].
L’´equation f(x)= g(x) admet trois solutions :S ={x0;x1;x2}. La solution de l’in´equation f(x)≥ g(x) estS=[x0;x1]∪[x2;b].
T.Rey- Cours de premi`ere S 13 d´ecembre 2010
1.4 Variations 15
Par exemple, pourx∈[x0;x1], on a bienM(x; f(x)) qui est au dessus deN(x;g(x)). Par contre pourx0 ∈[x1;x2], on aM(x0; f(x0)) qui est en dessous deN(x0;g(x0)).
1.4 Variations
D´efinition 1.7
On dit qu’une fonction f est strictement croissantesur un intervalleI si pour toutaet b deI tels quea<b, on a f(a)< f(b).
On dit qu’une fonction f eststrictement d´ecroissantesur un intervalleIsi pour toutaetbdeI tels quea<b, on a f(a)> f(b).
Remarque 1.4
Graphiquement, une fonction est croissante si sa courbemontelorsqu’on se d´eplace de la gauche vers la droite ; Et une fonction est d´ecroissante si sa courbedescendlorsqu’on se d´eplace de la gauche vers la droite.
Fonction strictement croissante :
~i
~j
Cf a f(a)
b f(b)
a < b f(a)< f(b)
Pour tous les r´eelsaetbdeItels quea<b, on a f(a)< f(b).
La courbe Cf monte lorsqu’on se d´eplace vers la droite.
Fonction strictement d´ecroissante :
~i
~j
Cf a
f(a)
b f(b)
a < b f(a)> f(b)
Pour tous les r´eelsaetbdeItels quea<b, on a f(a)> f(b).
La courbe Cf descend lorsqu’on se d´eplace vers la droite.
Parler pour ne rien dire et ne rien dire pour parler sont les deux principes ma- jeurs et rigoureux de ceux qui feraient mieux de la fermer avant de l’ouvrir PierreDac
Chapitre 2 Barycentres
Donnez-moi un levier, un point d’appui, et je soul`everai le monde.
Par cette phrase, Archimede` (iiie s. av. J.-C.) sugg`ere qu’en positionnant correctement un levier sur un point d’appui, une force quelconque peut soulever n’importe quelle masse.
Derri`ere cette affirmation, se cache la notion debarycentre(barus: lourd en grec). Cette notion est d’abord une invention de m´ecanique et de physique : recherche de centre de gravit´e, . . ..
Archimede` est le premier math´ematicien a avoir cherch´e des centres de gravit´e de surfaces telles qu’un demi-disque ou une parabole.
Les ´etudes d’Archimede` sur ce sujet seront poursuivies par les physiciens Guldinet K ¨onig au d´ebut duxviiiesci`ecle puis formalis´ee par le math´ematicien M ¨obius(1790-1868).
Le calcul barycentrique est tr`es utile en physique et m´ecanique mais se retrouve aussi en g´eom´etrie pour rep´erer des points par rapport `a d’autres (on parle de coordonn´ees barycen- triques), c’est ´egalement un tr`es bon outil pour r´esoudre des probl`emes d’alignement ou de points de concours.
On le retrouve ´egalement en statistiques (moyennes pond´er´ees) et en probabilit´e (calculs d’esp´erances).
2.1 Vecteurs du plan
2.1.1 D´efinition
D´efinition 2.1
SoitAetBdeux points distincts du plan. Le vecteur−→
ABest un objet math´ematique caract´eris´e par ladirection(AB), lesens(deAversB) et lanorme(not´ee
−→
AB ).
Si les pointsAetBsont confondus,−−→
AAest appel´evecteur nul. On le note→− 0 . L’´egalit´e−→
AB =−−→
CDsignifie que ces deux vecteurs ont la mˆeme direction, le mˆeme sens et la mˆeme norme. Elle est ´equivalente `a dire queABDCest un parall´elogramme (´eventuellement
aplati).
Remarque 2.1
Pour tout vecteuru~du plan et tout pointA, il existe un unique pointMtel que−−→
AM=~u.
2.1.2 Op´erations sur les vecteurs
D´efinition 2.2(Addition vectorielle)
Soit~uet~vdeux vecteurs du plan. La somme des vecteurs~uet~vpeut s’obtenir de deux fac¸ons :
18 Barycentres
par la relation de Chasles : on trace des repr´esentants des vecteurs u~ et ~v bout `a bout.
~ u
~v
~
u ~v
~u+~v B
A
C
−→AB+−→ BC=−−→
AC
par la r`egle du parall´elogramme : on trace des repr´esentants des vecteurs u~ et ~v de mˆeme origine.
~ u
~ v
~ u
~ v
~ u+~v
B
A
C
D
−→
AB+−−→ AD=−−→
AC D´efinition 2.3(Produit par un r´eel)
Soit~uun vecteur du plan etλun r´eel. On d´efinit le vecteurλ~udans les deux cas suivants : – siλ=0 ou~u=~0, alorsλ~u=~0 ;
– dans les autres cas, le vecteur λ~u est le vecteur du plan ayant la mˆeme direction queu,~
´etant de mˆeme sens que~usiλ >0 et de sens contraire siλ <0 et enfin, de norme|λ| × ||~u||. Propri´et´e 2.1
Pour tous les vecteurs~uet~vdu plan et tous les r´eelsλetµ, on a : (λ+µ)~u=λ~u+µ~u; λ(~u+~v)=λ~u+λ~v; λ(µ~u)=λµ~u D´efinition 2.4
Deux vecteurs non nuls sont dits colin´eaires s’ils ont la mˆeme direction. Le vecteur nul est colin´eaire `a tous les vecteurs du plan.
Propri´et´e 2.2
Deux vecteurs ~uet~vsont colin´eaires si et seulement si il existe un r´eelλtel que ~u = λ~vou
~ v=λ~u.
2.1.3 Coordonn´ees d’un vecteur
Dans cette partie, on munit le plan d’un rep`ere (O;~i, ~j).
D´efinition 2.5
Les coordonn´ees d’un vecteur~usont form´es de l’unique couple de r´eel (x;y) tel que~u=x~i+y~j.
Les coordonn´ees d’un vecteur~usont les coordonn´ees du pointMtel que−−→
OM=~u.
Les coordonn´ees du vecteur−→
ABsont (xB−xA;yB−yA).
Propri´et´e 2.3
Soit~uet~vdeux vecteurs de coordonn´ees respectives (x;y) et (x0;y0). On a : – ~u=~vsi et seulement six=x0et y= y0;
– les coordonn´ees de~u+~vsont (x+x0;y+y0) ;
– pour toutλ∈R, les coordonn´ees deλ~usont (λx;λy) ;
– les vecteurs~uet~vsont colin´eaires si et seulemnt sixy0−x0y=0.
T.Rey- Cours de premi`ere S 13 d´ecembre 2010
2.2 Barycentre de deux points pond´er´es 19
2.2 Barycentre de deux points pond´er´es
2.2.1 D´efinition
Propri´et´e 2.4
SoitAetBdeux points du plan et soitαetβdeux r´eels tels queα+β,0.
Il existe un unique pointGdu plan tel queα−−→
GA+β−→
GB=→− 0 . D´emonstration :
On a les ´equivalences suivantes : α−−→
GA+β−→
GB=→−
0 ⇐⇒ α−−→
GA+β−−→ GA+−→
AB
=→− 0
⇐⇒ (α+β)−−→
GA+β−→
AB=→− 0
⇐⇒ −−→
AG= α+ββ −→
AB
Par ailleurs, les pointsAetBsont fix´es, le r´eel α+ββ aussi (α+β,0), donc le pointGexiste et il est unique.
Remarque 2.2
En observant la derni`ere ´egalit´e obtenue dans la d´emonstration, on d´eduit mˆeme ais´ement queGest un point de la droite (AB).
D´efinition 2.6
Dans les conditions de la propri´et´e 2.4, le point G est appel´e barycentredes points pond´er´es (A, α) et (B, β).
Remarque 2.3
Siα+β= 0 avecα,0, l’´egalit´eα−−→
GA+β−→
GB=→−
0 ´equivaut `a−−→ GA=−→
GBsoit−→
AB=→−
0 . Le point Gn’existe donc pas siA,Bet il peut ˆetre n’importe quel point du plan siA=B.
Le casα=β=0 n’a aucun int´erˆet car le pointGpeut alors ˆetre n’importe quel point du plan.
2.2.2 Propri´et´es
Propri´et´e 2.5
Si G est le barycentre des points pond´er´es (A, α) et (B, β), alors pour tout r´eel k , 0, G est aussi le barycentre des points pond´er´es (A,kα) et (B,kβ).
Propri´et´e 2.6
SoitAetBdeux points du plan et soitαun r´eel non nul.
Alors le barycentre de (A, α) et (B, α) est le milieu de [AB].
D´emonstration :
On reprend la derni`ere ´egalit´e vectorielle obtenue dans la d´emonstration de la propri´et´e2.4 et on obtient :
−−→
AG= α+αα −→
AB; soit−−→
AG= 12−→
AB.
Ainsi,Gest le milieu de [AB].
20 Barycentres
D´efinition 2.7
Dans les conditions de la propri´et´e2.6, le barycentre de (A, α) et (B, α) est appel´eisobarycentre de ces points pond´er´es.
Propri´et´e 2.7
Soit Gle barycentre des points pond´er´es (A, α) et (B, β) tels queα+β , 0. Alors, pour tout pointMdu plan, on a :
α−−→
AM+β−−→
BM=(α+β)−−→
GM D´emonstration :
Gest le barycentre des points pond´er´es (A, α) et (B, β), donc : α−−→
GA+β−→
GB=→− 0 Alors pour tout pointM: α−−→
GM+−−→
MA
+β−−→
GM+−−→ MB
=→− 0 Donc : (α+β)−−→
GM+α−−→
MA+β−−→ MB=→−
0 Et donc : (α+β)−−→
GM=α−−→
AM+β−−→ BM
2.2.3 Avec des coordonn´ees
Dans cette partie, on se place dans un rep`ere (O;~i, ~j). On note (xA;yA) les coordonn´ees d’un pointAdans ce rep`ere.
Propri´et´e 2.8
SoitGle barycentre des points pond´er´es (A, α) et (B, β) o `uα+β , 0. Alors les coordonn´ees deGsont donn´ees par :
xG= αxA+βxB
α+β etyG = αyA+βyB
α+β D´emonstration :
On utilise la propri´et´e2.7en prenantM=O, l’origine du rep`ere. On obtient : (α+β)−−→
GO=α−−→
AO+β−−→
BOet donc−−→
OG= α+βα −−→
OA+ α+ββ −−→ OB.
Une ´egalit´e vectorielle est ´egalement vraie sur les coordonn´ees donc : xG= α+βα xA+α+ββ xB et yG= α+βα yA+ α+ββ yB. D’o `u le r´esultat.
2.3 Barycentre de trois ou quatre points pond´er´es
2.3.1 D´efinition
Propri´et´e 2.9
Soit (A, α), (B, β) et (C, γ) trois points pond´er´es tels queα+β+γ,0.
Il existe un unique pointGtel queα−−→
GA+β−→
GB+γ−−→ GC=→−
0 . D´emonstration :
T.Rey- Cours de premi`ere S 13 d´ecembre 2010
2.3 Barycentre de trois ou quatre points pond´er´es 21
On a : α−−→
GA+β−→
GB+γ−−→ GC=→−
0 ⇔ α−−→
GA+β(−−→ GA+−→
AB)+γ(−−→ GA+−−→
AC)=→− 0
⇔ (α+β+γ)−−→
GA+β−→
AB+γ−−→ AC=→−
0
⇔ −−→
AG= α+β+γβ −→
AB+ α+β+γγ −−→ AC
Il existe un unique pointGv´erifiant cette ´egalit´e car les points A,BetCsont fix´es ainsi que les r´eelsα,βetγ.
D´efinition 2.8
Ce pointGest appel´e barycentre des points pond´er´es (A, α), (B, β) et (C, γ).
Remarque 2.4
On peut de la mˆeme fac¸on d´efinir le barycentre de quatre (ou plus) points pond´er´es dans le cas o `u la somme des coefficients n’est pas nulle.
Propri´et´e 2.10
SiGest le barycentre des points pond´er´es (A, α), (B, β) et (C, γ) (o `uα+β+γ ,0) alors pour tout r´eelk,0,Gest aussi le barycentre des points pond´er´es (A,kα), (B,kβ) et (C,kγ).
Propri´et´e 2.11
SiGest le barycentre des points pond´er´es (A, α), (B, β) et (C, γ) (o `uα+β+γ ,0 etβ+γ,0) alorsG est le barycentre des points pond´er´es (A, α) et (K, β+γ) o `u K est le barycentre des points pond´er´es (B, β) et (C, γ).
Cette propri´et´e est appel´ee propri´et´e d’associativit´edu barycentre.
D´emonstration : On a :α−−→
GA+β−→
GB+γ−−→ GC=→−
0 (1) etβ−→
KB+γ−→
KC=→− 0 (2).
En utilisant l’´egalit´e (1) : (1) ⇐⇒ α−−→
GA+β(−−→ GK+−→
KB)+γ(−−→ GK+−→
KC)=→− 0
⇐⇒ α−−→
GA+β−−→
GK+β−→
KB+γ−−→
GK+γ−→
KC=→− 0 Or,β−→
KB+γ−→
KC=→−
0 (2), donc : (1) ⇐⇒ α−−→
GA+(β+γ)−−→ GK=→−
0
DoncGest le barycentre des points pond´er´es (A, α) et (B, β+γ).
Propri´et´e 2.12
Soit Gle barycentre des points pond´er´es (A, α), (B, β) et (C, γ) tels que α+β+γ , 0. Alors, pour tout pointMdu plan, on a :
α−−→
AM+β−−→
BM+γ−−→
CM=(α+β+γ)−−→
GM Propri´et´e 2.13
Soit G le barycentre des points pond´er´es (A, α), (B, β) et (C, γ). Alors les coordonn´ees de G sont donn´ees par :
xG= αxA+βxB+γxC
α+β+γ etyG = αyA+βyB+γyC
α+β+γ
22 Barycentres
Remarque 2.5
Les d´emonstrations des propri´et´es2.12et2.13sont identiques `a celles du cas de deux points ; elles sont donc laiss´ees en exercice au lecteur consciencieux. . .
Propri´et´e 2.14
Siα=β=γ ,0 alors le barycentre de (A, α), (B, β) et (C, γ) est le centre de gravit´e du triangle ABC.
La d´emonstration est laiss´ee en exercice (faire intervenir le point I milieu de [BC] et se rappeler que le centre de gravit´e d’un triangle est situ´e aux 23 de chaque m´ediane en partant du sommet).
2.3.2 Applications
Exemple 2.1(Un probl`eme d’alignement)
SoitA, Bet Ctrois points non-align´es. On noteJ le barycentre des points pond´er´es (B,1) et (C,2), et on noteGle barycentre des points pond´er´es (A,−4), (B,1) et (C,2).
1. Justifier l’existence des pointsJetG.
2. D´emontrer que les pointsA, JetGsont align´es.
R´eponses :
1. Le pointJest d´efini car la somme des coefficients des points pond´er´es vaut 1+2=3,0.
De mˆeme la somme des coeffcients des points pond´er´es d´efinissantGvaut−4+1+2=
−1,0.
2. G est le barycentre des points pond´er´es (A,−4), (B,1) et (C,2). Donc d’apr`es la pro- pri´et´e2.11d’associativit´e du barycentre,Gest aussi le barycentre de (A,−4) et (J,1+2).
Donc, d’apr`es la remarque2.2, le pointGappartient `a la droite (AJ). Ainsi, les points G,Aet Jsont align´es.
Exemple 2.2(Un probl`eme de droites concourantes)
SoitABCun triangle. On consid`ere les pointsI, JetKd´efinis par : Iest le milieu de [AB] ;−→
JC= 23−→ JAet−→
BK =3−→ BC.
1. Faire une figure.
2. a. D´eterminer des coefficientsαetβpour queIsoit le barycentre de (A, α) et (B, β).
b. D´eterminer des coefficientsγetδpour queJsoit le barycentre de (C, γ) et (A, δ).
c. D´eterminer des coefficientsetηpour queKsoit le barycentre de (B, ) et (C, η).
3. D´emontrer que les droites (AK), (BJ) et (CI) sont concourantes au pointG barycentre des points pond´er´es (A,2), (B,2) et (C,−3).
R´eponses : 1.
T.Rey- Cours de premi`ere S 13 d´ecembre 2010
2.3 Barycentre de trois ou quatre points pond´er´es 23
A
B
C I
K
J G
2. a. I est le milieu de [AB] donc c’est l’isobarycentre de A et B. On peut donc prendre α=β=1.
b. On a−→
JC= 23−→
JAdonc−→ JC−2
3
−→ JA=→−
0 . En multipliant les deux membres de cette ´egalit´e par 3 on obtient1: 3−→
JC−2−→ JA=→−
0 . AinsiJest le barycentre des points pond´er´es (C,3) et (A,−2) :γ=3 etδ=−2.
c. On a−→
BK=3−→
BC. Par la relation de Chasleson obtient :−→
BK=3(−→ BK+−→
KC). Ainsi on a :
−2−→
BK−3−→
KC =→−
0 . Ou encore : 2−→
KB−3−→
KC =→−
0 , doncKest le barycentre des points pond´er´es (B,2) et (C,−3) :=2 etη=−3.
3. Le barycentre de (A,2) et (B,2) est le pointI (carI est le barycentre de (A,1) et (B,1) : voir propri´et´e2.5), donc par associativit´e (propri´et´e2.11), Gest le barycentre de (I,4) et (C,−3) et doncG∈(CI).
Le barycentre de (B,2) et (C,−3) est K, donc par associativit´e, G est le barycentre de (A,2) et (K,−1) et doncG∈(AK).
Le barycentre de (A,2) et (C,−3) est aussi le barycentre de (A,−2) et (C,3) (on multiplie les coefficients par −1) et c’est donc le point J. Donc, par associativit´e, G est aussi le barycentre de (J,−1) et (B,2), et doncG∈ (BJ).
Ainsi,G appartient aux trois droites qui sont deux `a deux distinctes, donc G est leur point de concours.
Exemple 2.3(Un probl`eme de lieu)
Soit ABC un triangle de centre de gravit´e G et K le barycentre des points pond´er´es (A,2), (B,2) et (C,−1). D´eterminer l’ensemble des pointsMdu plan qui v´erifient :
1. 2−−→
MA+2−−→ MB−−−→
MCcolin´eaire `a−→
AB; 2.
2−−→
MA+2−−→ MB−−−→
MC =
2−−→
MA−−−→ MB−−−→
MC ; 3.
2−−→
MA+2−−→ MB−−−→
MC =
−−→
MA+−−→ MB+−−→
MC .
1. Cette ´etape n’est pas indispensable mais elle permet d’obtenir des coefficients entiers.
24 Barycentres
R´eponses :
1. D’apr`es la propri´et´e2.12, pour toutM, on a 2−−→
MA+2−−→ MB−−−→
MC = (2+2−1)−−→ MKcar K est le barycentre des points pond´er´es (A,2), (B,2) et (C,−1).
Ainsi, la condition propos´ee est ´equivalente `a 3−−→
MKest colin´eaire `a−→
ABou encore `a dire queM=Kou (MK)//(AB).
Le lieu des pointsMest donc la parall`ele `a (AB) passant parK.
2. Transformons l’´ecriture de 2−−→
MA−−−→ MB−−−→
MC: 2−−→
MA−−−→ MB−−−→
MC = 2(−−→
MG+−−→
GA)−−−→
MG−−→
GB−−−→
MG−−−→ GC
= 2−−→
GA−−→
GB+−−→ GC
= 2−−→ GA−
−−−→ GA
car−−→ GA+−→
GB+−−→ GC=→−
0
= 3−−→ GA On obtient donc :
2−−→
MA+2−−→ MB−−−→
MC =
2−−→
MA−−−→ MB−−−→
MC
⇐⇒
3−−→
MK =
3−−→
GA
⇐⇒
−−→ MK =
−−→ GA
⇐⇒ MK=GA Ainsi, le lieu des pointsMest le cercle de centreKet de rayonAG.
3. On a : 2−−→
MA+2−−→ MB−−−→
MC =
−−→
MA+−−→ MB+−−→
MC
⇐⇒
3−−→
MK =
3−−→
MG
⇐⇒ MK=MG
Le lieu des points M est donc la m´ediatrice du segment [KG] (l’ensemble des points
´equidistants des extremit´esKetG).
T.Rey- Cours de premi`ere S 13 d´ecembre 2010
Chapitre 3 Le second degr´e
3.1 Fonction polyn ˆome
D´efinition 3.1
On appellefonction polynˆomeou plus simplementpolynˆometoute fonction f qui peut s’´ecrire sous la forme :
f :x7−→anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 o `u pouri=0,1, . . . ,n, on aai ∈R Remarque 3.1
Quelques points de vocabulaire :
– sinest le plus grand entier pour lequelan ,0, on dit que ledegr´edu polyn ˆome estn; – chaqueai est appel´ecoefficientd’ordreidu polyn ˆome ;
– les termesaixisont appel´es lesmonˆomes;
– un polyn ˆome form´e de trois mon ˆomes est parfois appel´e trin ˆome et plus particuli`erement, sia,0, le polyn ˆomex7→ax2+bx+cest appel´e trin ˆome du second degr´e (mˆeme sibouc sont nuls) ;
– par abus d’´ecriture on parle du polyn ˆomeax2+bx+c(`a la place dex7→ax2+bx+c).
Exemple 3.1
Soit f la fonction d´efinie sur R par f(x) = (x2 +2)(3x−5). La fonction f est une fonction polyn ˆome car en d´eveloppant, on peut ´ecrire :
f(x)=3x3−5x2+6x−10
Ainsi f est un polyn ˆome de degr´e 3. Le coefficient de f d’ordre 2 est−5.
Exemple 3.2
Les fonctions affines non constantes sont des polyn ˆomes de degr´e 1.
Les fonctions constantes sont des polyn ˆomes de degr´e 0.
La fonction constante nulle est aussi appel´ee polyn ˆome nul.
Propri´et´e 3.1(admise)
Deux polyn ˆomes sont ´egaux si et seulement si ils ont le mˆeme degr´e et que leurs coefficients de mˆeme ordre sont deux `a deux ´egaux.
Exemple 3.3
Pour tout r´eelxon a 2x3−5x2+4=a3x3+a2x2+a1x+a0. Alors la propri´et´e3.1nous permet d’affirmer que :
26 Le second degr´e
a3 =2,a2=−5,a1 =0 eta0 =4.
3.2 Polyn ˆome de degr´e 2
3.2.1 Forme canonique
Propri´et´e 3.2
Soitax2+bx+cun trin ˆome du second degr´e (donca,0). Il existe des r´eelsαetβtels que : ax2+bx+c=a(x+α)2−β
L’´ecriturea(x+α)2−βest appel´eeforme canoniquedu trin ˆome.
D´emonstration :
ax2+bx+c = a
x2+ bax+ ca
= a
x2+2×x× b
2a +
b 2a
2
−
b 2a
2
+ ca
= a
x+ 2ab2
− b2
4a2 − −4ac
4a2
= a
x+ 2ab2
− b2−4ac
4a2
= a
x+ 2ab2
− b2−4ac
4a
On a alorsα= 2ab etβ= b2−4a4ac. Exemple 3.4
D´eterminer la forme canonique du trin ˆome du second degr´e f d´efini par f(x)=2x2−5x+3, puis r´esoudre f(x)=0.
2x2−5x+3 = 2 x2− 5
2x +3
= 2
x2−2×x× 5
4 +
5 4
2
−
5 4
2 +3
= 2
x− 5
4
2
− 25
16
+3
= 2 x− 5
4
2
− 25
8 + 248
= 2 x− 5
4
2
− 1
8
R´esolvons l’´equation f(x)=0 : f(x)=0 ⇐⇒ 2
x−5
4
2
−1
8 =0
⇐⇒
x−5
4
2
− 1
16 =0
⇐⇒
x−5
4
2
−
1 4
2
=0
⇐⇒
x−5
4 − 1
4 x− 5
4 +14
=0
⇐⇒
x−3
2
(x−1)=0
⇐⇒ x= 32 oux=1 S =
1; 3 2
T.Rey- Cours de premi`ere S 13 d´ecembre 2010
3.3 ´Equation de degr´e 2 27
3.3 ´Equation de degr´e 2
D´efinition 3.2
Un ´equation du second degr´e est une ´equation pouvant s’´ecrire sous la forme : ax2+bx+c=0 aveca,0
On appellediscriminantd’une telle ´equation le r´eel not´e∆ =b2−4ac.
Remarque 3.2(Vocabulaire)
SiPest un polyn ˆome du second degr´e, alors l’´equationP(x)=0 est une ´equation du second degr´e. Les solutions de cette ´equation sont appel´ees lesracinesdu polyn ˆomeP.
Th´eor`eme 3.1
Soitax2+bx+c = 0 (o `ua , 0) une ´equation du second degr´e. On note∆ son discriminant.
On a trois cas possibles :
– si∆<0 alors l’´equationax2+bx+c =0 n’a pas de solution ;
– si∆ =0 alors l’´equationax2+bx+c =0 a une unique solutionx0 =−b
2a. – si∆>0 alors l’´equationax2+bx+c =0 a deux solutions distinctes :
x1= −b+ √
∆
2a etx2 = −b−
√∆
2a D´emonstration :
D’apr`es la propri´et´e3.2et sa d´emonstration, on sait qu’il existeαetβr´eels tels que : ax2+bx+c=a(x+α)2−βavecα= b
2a etβ= b2−4ac 4a Ainsi, en posant∆ =b2−4acon a :
ax2+bx+c =0 ⇐⇒ a
x+ 2ab2
− ∆
4a =0
⇐⇒
x+ 2ab2
− ∆
4a2 =0
En remarquant que 4a2 >0 (cara,0), on a alors trois cas possibles : – si∆ <0 alors− ∆
4a2 > 0 et l’expression
x+ 2ab2
− ∆
4a2 est donc la somme d’un carr´e et d’un r´eel strictement positif ; elle ne peut donc pas ˆetre nulle : l’´equation n’a pas de solution ; – si∆ =0, alors l’´equation de d´epart est ´equivalente `a
x+ 2ab2
=0 qui a une unique solution : x0=−b
2a; – si∆>0 alors
√∆existe et on a :
ax2+bx+c=0 ⇐⇒
x+2ab2
−√∆
2a
2
=0
⇐⇒
x+2ab −
√∆
2a x+ 2ab +
√∆ 2a
=0
⇐⇒
x+b−
√∆
2a x+ b+
√∆ 2a
=0 Ainsi, l’´equation a alors deux solutionsx1 =−b−
√∆ 2a = −b+
√∆
2a etx2 =−b+
√∆ 2a = −b−
√∆ 2a .
28 Le second degr´e
Exemple 3.5
R´esoudre dansRl’´equationx2−x−1=0.
On calcule le discriminant :∆ =(−1)2−4×1×(−1)=5>0.
L’´equations a donc deux solutions distinctes : x1 = 1−
√ 5 2×1 = 1−
√ 5
2 etx2 = 1+ √ 5 2 On a donc :S =n1−√5
2 ;1+
√ 5 2
o. La solutionx2est appel´eenombre d’oret souvent not´eΦ.
Exemple 3.6
D´eterminer l’ensemble de d´efinition de la fonction f d´efinie par f(x)= 2x22x+1−3x−2.
La fonction f est une fonction rationnelle1; elle est donc d´efinie pour tous les x qui n’an- nulent pas le d´enominateur. Les valeurs interdites sont donc les solutions de l’´equation 2x2−3x−2=0.
Calculons le discriminant de cette ´equation du second degr´e :∆ =(−3)2−4×2×(−2)=25>0.
L’´equation a donc deux solutions :x1= −(−3)+
√ 25
2×2 =2 etx2 = −(−3)−
√ 25 2×2 =−1
2. L’ensemble de d´efinition de f est doncR\{−1
2; 2}. Remarque 3.3
Soitax2+bx+c=0 une ´equation du second degr´e (a,0).
Siaetcsont de de signes contraires, alorsac≤0 et donc−4ac≥0. Dans ce cas,∆≥0.
Remarque 3.4
Il est parfois utile de chercher des solutions´evidentes: par exemple sia+b+c= 0 alors x=1 est une solution ´evidente cara×12+b×1+c=a+b+c=0.
L’autre solution est alors ca.
En effet six= ac alorsax2+bx+c=a
c a
2
+b× c
a +c. En simplifiant on obtient : ax2+bx+c= ac2+bc+ca
a = c(a+b+c)
a =0
Donc ac est bien solution de l’´equation.
3.4 Signe d’un trin ˆome de degr´e 2
3.4.1 Factorisation d’un trin ˆome du second degr´e
Th´eor`eme 3.2(admis)
Soitax2+bx+cun trin ˆome du second degr´e (a , 0) et∆ son discriminant. On a alors trois cas possibles :
– si∆<0 alorsax2+bx+cn’est pas factorisable ; – si∆ =0 alorsax2+bx+c=a(x−x0)2o `ux0 =−b
2a; – si∆>0 alorsax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2) o `ux1= −b−
√∆
2a etx2 = −b+
√∆ 2a . Exemple 3.7
Factoriser le trin ˆome 3x2−5x−2.
1. Une fonction rationnelle est le quotient de deux polyn ˆomes.
T.Rey- Cours de premi`ere S 13 d´ecembre 2010
3.4 Signe d’un trin ˆome de degr´e 2 29
On calcule∆ = (−5)2−4×3×(−2)=49>0 ; donc le trin ˆome a deux racines : α= −(−5)−
√ 49 2×3 =−1
3 etβ= −(−5)+
√ 49
2×3 =2. On a alors : 3x2−5x−2=3(x+ 13)(x−2).
3.4.2 Signe d’un trin ˆome du second degr´e
Th´eor`eme 3.3
Soitax2+bx+cun trin ˆome du second degr´e. On pose∆ =b2−4ac.
si∆ <0, alors pour toutx∈R,ax2+bx+cest du signe dea.
si∆ = 0, alors pour toutx,−b
2a,ax2+bx+cest du signe dea.
si∆ >0, alorsax2+bx+c
– est du signe deapourx`a l’ext´erieur des racinesdeax2+bx+c, – est du signe contraire dea`a l’int´erieur des racinesdeax2+bx+c.
D´emonstration :
Si∆ < 0, on aax2+bx+c= a
(x+ 2ab)2− ∆
4a2
(D’apr`es la d´em de la prop3.2.) La parenth`ese est donc strictement positive pour toutx∈R, doncax2+bx+cest du signe dea.
On utilise une d´emonstration analogue pour le cas o `u∆ =0.
Enfin, si∆>0, on utilise un tableau de signes pour obtenir le r´esultat annonc´e.
Exemple 3.8
On consid`ere le trin ˆome 6x2−10x−4.∆ = 102−4×6×(−4)= 196. Les racines du trin ˆome sont :x1 = 10−
√ 196 2×6 =−1
3 etx2 = 10+
√ 196 2×6 =2.
Repr´esentons sur un axe gradu´el’int´erieuretl’ext´erieurdes racines :
−13 O I 2
En vert,l’ext´erieurdes racines, et en bleul’int´erieurdes racines : – pourx ∈ i
−1
3; 2h
(x `a l’int´erieur des racines), 6x2−10x−4 est du signe contraire de 6 soit 6x2−10x−4<0 ;
– pourx∈i
−∞;−1
3
h∪]2;+∞[ (x`a l’ext´erieur des racines), 6x2−10x−4 est du signe de 6 soit 6x2−10x−4>0.
On regroupe ces r´esultats dans un tableau de signes :
x −∞ −1
3 2 +∞
6x2−10x−4 + 0 – 0 +
Remarque 3.5(Un trin ˆome, quatre in´equations possibles)
Lorsqu’on a un trinome du second degr´e par exemple celui de l’exemple pr´ec´edent, on a quatre in´equations possibles :
– la solution de l’in´equation 6x2−10x−4>0 est :S =]− ∞; −1
3[∪]2 ; +∞[ ; – la solution de l’in´equation 6x2−10x−4≥0 est :S =]− ∞; −1
3] ∪ [2 ; +∞[ ; – la solution de l’in´equation 6x2−10x−4<0 est :S =]− 1
3; 2 [ ; – la solution de l’in´equation 6x2−10x−4≤0 est :S =[−1
3; 2].
30 Le second degr´e
3.5 R´ecapitulons. . .
3.5.1 Repr´esentation graphique d’un trin ˆome
Soit P une parabole d’´equation y=ax2+bx+c dans un rep`ere orthogonal. On ne connait pas la position pr´ecise deP dans le rep`ere, mais on peut ´etudier sa position par rapport `a l’axe des abscisses ; en effet :
si∆ >0, l’´equation ax2+bx+c = 0 a deux solutions donc P coupe l’axe des abscisses en deux points ;
si∆ = 0, l’´equationax2+bx+c=0 a une unique solution : on dit queP esttangente`a l’axe des abscisses ;
si∆ <0, l’´equationax2+bx+c = 0 n’a pas de solution doncP ne rencontre pas l’axe des abscisses.
De plus, en utilisant le signe du trinome, on montre que sia>0, la parabole esttourn´eevers le haut, et sia<0, la parabole esttourn´eevers le bas.
Enfin, en utilisant l’´ecriture canonique du trin ˆomeax2+bx+c =a(x+α)2−β, on obtient les coordonn´ees du sommetSde la parabole :S(−α;−β). (On avait trouv´eα= 2ab etβ= b2−4a4ac.) On regroupe les r´esultats dans le tableau suivant en notant :
– P la parabole d’´equationy=ax2+bx+co `ua,0.
– ∆ =b2−4acavecx0 =−b
2a si∆ = 0 etx1 = −b−
√∆
2a ,x2= −b+
√∆
2a si∆ >0.
∆>0 ∆ = 0 ∆<0
a>0
O x1 x2
O x0 O
a<0 x2 O x1 O
x0
O
3.5.2 Programmons. . .
Voici l’algorithme et les programmes permettant `a votre calculatrice de vous donner le discriminant et les ´eventuelles racines d’un polyn ˆome du second degr´e s’´ecrivant sous la formeax2+bx+c:
T.Rey- Cours de premi`ere S 13 d´ecembre 2010
3.5 R´ecapitulons. . . 31
Entr´ees: Demander les coefficientsa,b,cde l’´equationax2+bx+c=0;
1
d´ebut
2
∆←b2−4×a×c;
3
si∆ = 0alors
4
N←1;
5
X1← −b/(2×a);
6
Afficherune solution :X1;
7
sinon
8
si∆ >0alors
9
N←2;
10
X1←(−b−
√∆)/(2×a);
11
X2←(−b+ √
∆)/(2×a);
12
Afficherdeux solutions :X1 etX2;
13
sinon
14
N←0;
15
AfficherPas de solution;
16
fin
17
R´esultat: N,X1,X2;
18
Algorithme 1: Calcul du discriminant et solutions d’une ´equation de degr´e 2 Programme pour une casio :
”CALCUL DISCRIMINANT :”
”AX2+BX+C”
”A” ?→A
”B” ?→B
”C” ?→C
”DELTA=” :B2−4×A×C→ D D=0⇒Goto 1
D<0⇒Goto 2 D>0⇒Goto 3 Lbl 1
”UNE SOLUTION”
−B/(2×A) Stop Lbl 2
”AUCUNE SOLUTION”
Stop Lbl 3
”2 SOLUTIONS”
”X1=” :(−B− √
D)/(2×A)
”X2=” :(−B+ √
D)/(2×A) Stop
Programme pour une TI : PROGRAM :DEGRE2
Disp ”CALCUL DISCRIMINANT :”
Disp ”AX2+BX+C”
PromptA,B,C ClrHome
B2−4×A×C→D
Disp ”DISCRIMINANT”,D If abs(D)=0
Then
Disp ”1 SOLUTION”,−B/(2×A) Else
IfD>0 Then
Disp ”2 SOLUTIONS”
Disp (−B− √
(D))/(2×A) Disp (−B+ √
(D))/(2×A) Else
Disp ”AUCUNE SOLUTION”
End End
Le programme TI correspond (`a peu pr`es) `a l’algorithme1, le programme casio, pas tout-`a- fait.
He who can, does. He who cannot, teaches.
G.B. Shaw
