Description des collisions électroniques triplement différentielles à faible transfert d'impulsion

HAL Id: jpa-00210199

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Submitted on 1 Jan 1986

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Description des collisions électroniques triplement différentielles à faible transfert d’impulsion

C. Dal Cappello, C. Tavard, A. Duguet

To cite this version:

C. Dal Cappello, C. Tavard, A. Duguet. Description des collisions électroniques triplement différentielles à faible transfert d’impulsion. Journal de Physique, 1986, 47 (2), pp.229-234.

�10.1051/jphys:01986004702022900�. �jpa-00210199�

Description des collisions électroniques triplement différentielles à faible transfert d’impulsion

C. Dal

Cappello,

^{C. Tavard}

C.M.S.R., Faculté des Sciences, Université de Metz, ^{Ile du} Saulcy, 57045 Metz Cedex 1, ^France et A.

Duguet

L.C.A.M., ^Bât. 351, Université de Paris-Sud, ⁹¹⁴⁰⁵ Orsay Cedex, ^France (Reçu ^le 10 juillet ^1985, révisé le 25 septembre, accepté le 3 octobre 1985)

Résumé. ²⁰¹⁴ Les modèles quantiques simples ^décrivant les sections efficaces triplement différentielles de collisions (e, 2e) apparaissent grossièrement ^faux lorsqu’on s’écarte des conditions impulsionnelles de choc. Le traitement

particulier ^de perturbation proposé ^{dans cet article} reproduit ^au second ordre la trajectoire coulombienne d’éjec-

tion d’un électron atomique, ^{comme le montre une} étude détaillée du cas de l’atome d’hydrogène. Ce traitement fournit actuellement la seule interprétation simple, ^en régime asymétrique ^de collision, ^{des résultats} expérimentaux

récents dont ceux relatifs à l’atome d’hélium qui ^serviront également ^de support à la discussion.

Abstract. ²⁰¹⁴ Simple quantum-mechanical ^{models are found to be in} strong disagreement ^{with all} (e, 2e) triply-

differential cross sections measurements out of the strict impulse collisional conditions. The second order pertur- bation method proposed in this article is found to reproduce ^the Coulomb-wave behaviour of the electron ejected

from a hydrogen target ^under (e, ² e) asymmetric conditions. As illustrated by ^the discussion of the helium atom

results, ^{this method} provides ^the unique ^{ab initio treatment} presently ^{known to describe} (e, ² e) measurements

performed upon non-hydrogenic targets ^{and at small momentum transfers.}

Classification Physics ^Abstract

34.50H - 34 . 80D

1. Introduction.

Transposées

^des

techniques

^de

physique

^nucl6aire

et en constant

d6veloppement depuis

¹⁹⁶⁹

[1, 2],

les collisions dites (e, 2e) d6finissent les _processus ionisants

produits

par

l’impact

^{d’un electron sur une} cible, ^en

phase

gazeuse ^ou solide, ^d’ou

emergent

^deux

electrons _que l’on d6tecte

angulairement

^{et en}

6nergie

par ^un

dispositif

de coincidences. Cette detection s’effectue sous des conditions

cinématiques

^vari6es (Fig.

1), principalement r6pertori6es

^{en situations}

sym6trique

^et

asym6trique.

Dans les

experiences (e,

2e)

sym6triques [2

^a 5]

oii kd = ke

^et

od

⁼

0e’

^{les deux}

particules

^{de la voie}

de sortie

p6n6trent

simultanément dans les détecteurs.

A la

simplicite expérimentale

^{de leur detection en}

coincidences

correspondent

des difficultes liees ^{a une}

prise

^en compte ^correcte des effets

d’échange

^quan-

tique [6].

^Au contraire, pour les situations tr6s

dissy- m6triques d’6mergence

[7, 8]

qui

^seront

uniquement

retenues dans la suite de cet article, l’effet

d’6change

peut ^{etre d6montr6}

négligeable

^et les deux electrons consid6r6s respectivement ^{comme diffuse et}

6ject6.

Les

param6tres ajustables importants

^{de ces}

exp6-

riences sont alors respectivement

(Fig. 1)

le transfert

Fig. ^{1. -} Representation sch6matique d’une collision

(e, 2e).

[Schematic

representation ^{of a} (e, ² e) collision.]

d’impulsion

^{k =}

ki - kd

^{et la perte}

d’6nergie

AE,

6crite ici ^en unites

atomiques

De telles

experiences, qui

conduisent a la determina- tion de sections efficaces

triplement

diff6rentielles,

ont des

objectifs

varies dont celui de 1’etude des mécanismes r6actionnels du choc.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01986004702022900

230

Les conditions

cinématiques

^dites

impulsionnelles [9],

^dans

lesquelles

^{AE est}

approximativement

^6tablie

a des valeurs voisines de

kl/2,

^mais

sup6rieures

^à

1’energie

d’ionisation

Ii

de la sous-couche d’ou est extrait 1’61ectron

6ject6,

^sont par ailleurs particuli6re-

ment

appropri6es

a 1’6tude des structures électroni- ques des cibles

[10, 11].

^{En effet et sous} les conditions de validite de la

premiere approximation

^{de Bom, les}

mesures r6alis6es ^avec des electrons incidents

rapides s’interpr6tent [9]

^{en termes d’une}

simple proportion-

nalit6 a la densite

électronique d’impulsions pi(p) = Pi(ke -

k) de la sous-couche

particuli6re

ayant ^subi l’ionisation.

L’ensemble des r6sultats obtenus sur le spectro- m6tre

(e,

2e)

d’Orsay

permet actuellement une

large

confrontation entre theories et

experiences,

^avec

l’int6r8t

particulier

^de

pouvoir disposer

^{de mesures}

normalis6es a 1’aide des

r6gles

^{de somme de Bethe}

[10].

Le choix de conditions

cin6matiques appropriées

permet ^{de verifier la validite d’un mod6le}

impulsionnel.

La realisation de conditions differentes conduit A des situations actuellement mal

comprises,

^et pour les-

quelles 1’approximation

^de

l’impulsion

^n’a

plus

^aucune

signification.

Un traitement de

perturbation

^{a 6t6}

développé

^{pour décrire ces} situations non

impulsion-

nelles,

qui pr6sentent

^{un int6ret tout}

particulier

notamment a faible transfert

d’impulsion.

2. Modèles en collisions (e, 2 e)

asymétriques.

Pour

comprendre

^et

expliquer l’origine

des d6saccords entre

1’experience

^{et le mod6le}

impulsionnel,

^{il est}

n6cessaire de

rappeler quelques

formules essentielles de th6orie des collisions, restreintes ici au cas de chocs

asym6triques.

Les conditions les

plus

favorables de coincidence

correspondent

^alors

typiquement

^a

Od

1 D° et

0.

voisin de 90°.

En fixant

1’6nergie

des electrons incident et diffus6 à des valeurs suffisamment élevées _par

rapport i Ii,

les conditions de validity de la

premi6re approxima-

tion de Born

apparaissent remplies

^{et la} formulation

de la section efficace

triplement

diff6rentielle se r6duit

aux

expressions simples

^suivantes

ou

Oi et of d6signent respectivement

les 6tats initial et final de la cible et V

1’6nergie potentielle

^d’inter-

action entre 1’electron incident et cette cible, dont

1’expression

^{doit etre}

explicit6e

^{en unités}

atomiques puis

transformée à 1’aidc de la formule de Bethe

[12].

Les sommes portent ^{sur les N} electrons de la cible.

Les

d6veloppements

que ^nous allons en proposer

pourraient

^8tre

g6n6ralis6s

^aux collisions r6alis6es a

plus

^basse

6nergie

incidente,

impliquant

^la

prise

en compte des effets lies a la seconde

approximation

de Born.

Les difficult6s de calcul des

expressions (2)

^et

(3) proviennent

^{notamment de la}

description

^{de 1’6tat}

final of

^{du continuum de la cible, dans}

lequel

^{doit se}

manifester la situation

asymptotique d’6jection

^d’un

electron sous forme d’une onde

plane

^{dont le vecteur}

d’onde est associ6 a

1’impulsion k,,.

^Ces difficult6s

seront 6vit6es, ^au niveau de la formulation d’une section efficace doublement diff6rentielle de diffusion

ad ,

^par

^1’emploi

^{de la relation} de fermeture relative

aux

of.

En effet et par

integration

^sur 1’ensemble des

angles d’6jection,

^{a(3) doit} permettre ^de

reproduire 1’expres-

sion de cette section efficace de diffusion

[12], qui

s’6crit ainsi formellement

ou K

repr6sente

1’hamiltonien de la cible, ^tel que

K I oi >

⁼

Ei [ §;

>. ^Cette

expression g6n6rale prend

^une

forme encore

plus simple

^{dans le cas}

particulièrement

int6ressant d’une cible

d’hydrog6ne atomique

(pour

lequel

^{des r6sultats}

exp6rimentaux

devraient tres

prochainement

^etre

produits),

^{se r6duisant à}

Une

representation

temporelle ^{de la}

cinématique

^{du choc} permet enfin, par transformation de Fourier de la fonction

avec P

^{= a +}

k’/2

⁼

kd/2

⁺

Ii

⁺

k:/2 - k2/2, d’expliciter

^un

d6velOppement

^de

Taylor

pour la

perturbation

X ⁼ K -

kf/2, soit

La section efficace diff6rentielle de diffusion

(5)

devient alors

expressions

ou interviennent la relation de fermeture des ondes

planes

^{et la} transform6e de Fourier _X

de 0 (et ^qui

conduit a la densit6

6lectronique d’impul-

sions

p(P) = I X(p) I’

^{dans la} cible, ^avec p ⁼

ke - k).

Le

premier

^{terme du}

développement (8) correspond

tres exactement au r6sultat du module dit

impul-

sionnel

[9],

^{construit sur les} conditions de conser-

vation

d’énergie

^et

d’impulsion

^{au cours du choc}

et que l’on

interpr6te

^au niveau des coincidences en

6crivant

Dans le cas d’une cible constituee d’atomes

d’hydro- g6ne

^{et en l’attente de r6sultats}

exp6riinentaux,

^un

calcul exact des

expressions (2)

^et

(3)

^est

possible.

Il conduit essentiellement a

remplacer

dans les calculs

impulsionnels

^1’onde

plane exp(lke r)

^{d6crivant 1’61ec-}

tron

ejecte

par ^une onde coulombienne, _{telle que}

ou r et

iFl repr6sentent respectivement

les fonctions gamma ^et

hyperg6om6trique

confluente usuelles

[13].

La confrontation de ces deux mod6les permet ^de conclure a la validit6 de

1’approximation impul-

sionnelle lorsque les conditions k

= ke

^et

ke21/2

> 3

Ii

sont

approximativement

satisfaites

[14].

Avant de

poursuivre

1’examen des contributions provenant ^{des termes} suivants du

développement,

il convient de revenir aux

expressions

initiales, ^et

notamment a

1’equation (3)

^dans

laquelle V

^contient

a la fois les interactions de l’électron incident ^avec les electrons-cible et avec les _noyaux. Cette derniere contribution ne peut ^se manifester en

premiere approximation

^{de Born}

qu’au

niveau de la diffusion

61astique,

compte ^{tenu de}

l’orthogonalité de of

^et

Oi.

Alors _que le traitement

propose

^{substitue a la base}

des

q6f

celles des ondes

planes exp(lke r),

^{alors non}

orthogonales

^a

oi,

il convient de conserver cette

contribution nucl6aire

(que

^{nous noterons correction}

d’ordre

zero)

^{afin de}

pouvoir

^décrire correctement, A faible transfert

d’impulsions,

^le comportement

dipolaire

de la diffusion.

Le

premier

^{terme correctif} n6cessite, ^en

place

de

x;(p),

le calcul de

L’int6gration

^{restante sur t} peut s’effectuer en faisant intervenir une derivation en y ⁼

k’/2, puis

^{une int6-}

232

gration

par

parties

^en y, ^ce

qui

conduit a restituer a cet ordre

I’argument

^correct

de la fonction 6, ^{lie au} comportement

asymptotique

des

particules.

^Une

procedure

^{similaire est mise en}

oeuvre pour le calcul de la correction de second ordre.

On remarquera toutefois _que ce calcul _pourra s’effec- tuer, soit par

application

^{directe de}

l’op6rateur X 2,

dans un calcul

analogue

a celui de

1’expression (12),

soit _par

découplage

^{de X 2 en} X . X . Dans ce dernier cas, 1’6valuation de

fait

appel

^aux r6sultats des calculs ant6rieurs relatifs

aux corrections d’ordre ^un. Les evaluations nume-

riques qui

^ont 6t6 r6alis6es montrent que ^cette seconde

procédure,

relativement

simple

^{a mettre en oeuvre,}

apparait

suffisante et

qu’une prise

^en compte ^selon la

m6thodologie quantique

^du

poids statistique

^de

chacune de ces deux

possibilites

^{de calcul}

n’apparait

finalement pas n6cessaire.

3. R6sultats et discussion.

Les

figures

^{2 et 3} permettent de suivre le comporte-

ment de la section efficace

triplement

diff6rentielle pour ^une cible

d’hydrogène atomique,

^{sous des}

conditions

cin6matiques expérimentalement

^r6ali-

sables et

proches

de celles actuellement utilis6es _pour I’h6lium. Elles d6crivent

pratiquement,

pour

l’angle d’éjection

^choisi, la cr8te de la surface de Bethe- Ehrhardt

(ou

^encore les maxima de la section effi-

Fig. ^{2. -} Section efficace triplement différentielle de colli- sion 6lectron-hydrog6ne atomique, ^{en fonction} de Bd

(k2/2

⁼ 8 113,6 eV,

ka/2

^{= 8 000 eV,}

ke2/2

^{= 100 eV,} 0. ⁼ 820). ^{- onde} Coulombienne; ^-- approximation ^im- pulsionnelle ; corrections successives : ^.... ordre (0) ;

--- ordre (1) ;’-’- ordre (2).

[Triply-differential ^{cross sections of} electron-hydrogen ^atom

as a function Of Od

(k2/2

^{= 8 113.6 eV,}

kd2/2

^{= 8 000 eV,}

ke2/2

^{= 100 eV,} 6e ⁼ 82°). ^{20132013 Coulomb wave; --} impulse

approximation;

successive corrections : ^....

order (0) ; ^{--- order} (1) ; ^{-.- order}

(2).]

Fig. ^{3. - Section efficace} triplement différentielle de colli- sion électron-hydrogène atomique, ^{en fonction} de Od

(k2/2

^{= 8} 059,6 eV,

kJ/2

^{= 8 000}

eV, ^k;

^{= 46 eV, Oe =}

820). ^Les conventions sont identiques a celles de la figure ^2.

[Triply-diff’erential ^{cross sections of} electron-hydrogen

atom as function of Od

(k2/2

^{= 8 059.6} eV,

k 2/2

^{= 8 000 eV,}

k.2/2

^{= 46} eV, 0, ⁼ 82°). The conventions ^are the same as

those of the figure

2.]

cace) ^en fonction de

1’angle

de diffusion et correlati- vement du transfert

d’impulsion.

Les corrections d’ordre zero, ^{un et} deux, successive- ment

ajoutées

^{au mod6le}

impulsionnel

^conduisent

ainsi

progressivement

^a

reproduire

^le comportement

en onde coulombienne de 1’electron

6ject6

^{a toutes}

valeurs de k. L’accord reste encore tr6s bon _pour des valeurs relativement faibles de

1’energie

de 1’elec- tron

6ject6 (Fig. 3).

Le calcul des termes correctifs d’ordre trois et quatre, ^assez

complexe

^et

qui

^n’am6-

liore les

precedents

^r6sultats que de fagon ^faiblement

significative,

^a

également

6t6 effectue a des fins d’6tudes

sur la convergence du

développement propose.

D’autres formes de

d6veloppement

^ont par ailleurs 6t6 examinées,

qui

conduisent A une convergence moins

rapide

des calculs _pour les. situations

asym6- triques

ici étudiées.

Pour le cas de l’hélium, ^un traitement similaire peut ^etre

d6velopp6. L’hypoth6se

^{de choc binaire a 6t6}

adoptee

a des fins de

simplification, qui

^{ram6ne les}

développements

^{a de}

simples manipulations d’op6-

rateurs

monoéleetroniques.

^Les calculs deviennent ainsi

analogues A

^{ceux relatifs aux cibles}

hydrog6-

noides, ^{et se}

d6veloppent A partir

de la forme

explicite

de

l’opérateur

^de

perturbation

^X,

qu’il

^convient

d’écrire alors

Les

figures

^{4 et 5}

représentent

pour 1’helium un

ensemble de r6sultats

correspondant

^{aux conditions}

des

figures

^{2 et 3,}

compl6t6es

par les valeurs

exp6ri-

mentales normalis6es

[7, 10].

^La fonction d’onde utilis6e _pour

repr6senter

^1’6tat fondamental

cPi

^de

l’hélium est ici celle de Clementi

[15].

^Les

pr6c6dentes

conclusions relatives a la convergence du

d6veloppe-

Fig. ^4. - Section efficace triplement dinerentielle _pour I’h6lium en fonction de Od

(k2/2

^{= 8} 124,6 eV, ki/2 ⁼

8 000 eV,

ke/2

^{= 100 eV,} 0. ⁼ 820). - onde Coulom- bienne (Z * ⁼ 1); ^{- -} approximation impulsionnelle;

corrections successives : .... ordre (0) ; ^{--- ordre} (1) ;

20132013 ordre (2) ; ^{I r6sultats} expérimentaux [7, 10].

[Triply-differential ^cross sections for helium as a function

of Od

(kF/2

^{= 8 124.6 eV,}

kd2/2

^{= 8000 eV,}

ke2/2

^{= 100 eV,} (Je ⁼ 82). ^{- Coulomb wave} (Z* ⁼ 1); ^-- impulse approximation; successive corrections : ^.... order (0) ;

--- order (1); ^{-.- order} (2); ^I experimental ^results [7, 10].]

Fig. ^5. - Section efficace triplement diff6rentielle _pour 1’helium en fonction de Od

(k2/2

^{= 8 070,6 eV,}

kd/2

⁼

8 000 eV,

k: /2

^{= 46} eV, 0. ⁼ 820). ^Les conventions sont

identiques ^{a celles de la} figure ^4.

[Triply-differential ^cross sections for helium as a function

Of Od

(kr/2

^{= 8 070.6 eV,}

kd/2

^{= 8 000 eV,}

k:/2

^{= 46 eV,} 0. ⁼ 820). The conventions are the same as those for figure

4.]

ment

propose

^restent

6galement

valables. Le calcul faisant intervenir une

description

^{de la}

trajectoire d’6jection

^sous forme d’une onde coulombienne ne

peut

plus

^servir directement de reference aux mod6les,

car il

implique

le choix d’une

charge

nucl6aire effec- tive Z*

(dont

le meilleur choix semble 8tre ici

6gal

^à

1’unite _pour s’accorder aux r6sultats

exp6riinentaux).

Les

figures

⁶ rapportent enfin, ^en coordonn6es

Fig. ^{6. -} Diagramme polaire ^{de la} section efficace triple-

ment différentielle _pour I’hydrog6ne ^{en fonction} de 0.

(kf/2

^{= 8113,b} eV,

k’/2

^{= 8 000} eV,

k’/2

^{= 100} eV).

Figure ^{6a :} 0 d ^{= 7.5°;} Figure ^{6b :} 0 d ⁼ 5°. Les conventions sont identiques a celles de la figure ^4.

[Polar

diagram ^of triply-differential ^cross sections for hydro-

gen ^{as a} function of 0.

(kf/2

^{= 8 113.6 eV,}

kd/2

^{= 8 000 eV,}

ke2/2

^{= 100} eV). Figure ^{6a :} 0d ⁼ 7.5°; Figure ^{6b :} 0d ^{= 50.}

The conventions are the same as those for figure

4.]

polaires (representation d’Ehrhardt)

^les details de comportement des corrections successives _pour des situations

cin6matiquement oppos6es

^{par reference}

aux conditions

impulsionnelles,

^{et dont on} pourra situer les maxima sur la

figure

^2.

4. Conclusion.

Le traitement

particulier

^de

perturbation

^succinte-

ment

d6velopp6

^{dans cet article} permet ainsi, ^du

moins _pour les deux cas 6tudi6s de

I’hydrog6ne

^{et de}

234

1’helium, ^de

reproduire

^le comportement ^coulom- bien de la

trajectoire d’6jection

^et finalement de d6crire le _processus d’ionisation ^en situation

asym6- trique

^de choc, ^tel

qu’il

^peut 8tre étudié a 1’aide du

spectromètre 6lectronique

^a coincidences

d’Orsay.

Il serait

applicable

^sans difficult6s

particuli6res

^autres

que celles d’une

complexit6

^des

expressions analyti-

ques, a des situations ^de

plus

^basse

6nergie

^incidente

notamment

d6velopp6es

^a l’Universit6 de Brest

[16]

et

qui

n6cessitent

d6ji

^la

prise

^en compte ^{de la} seconde

approximation

^{de Born}

[17, 18].

Les

premi6res

tentatives d’utilisation de ce traite- ment a

plus

^basse

6nergie

^font

apparaitre

^{des correc-}

tions

quantitativement

correctes. Toutefois elles se

heurtent actuellement a la difficult6 d’une

repr6senta-

tion correcte de la perte ^de

sym6trie [19]

^{constat6e sur}

les mesures de sections efficaces

triplement

^diff6ren-

tielles autour de la direction du transfert

d’impulsion

et dont 1’effet est

particulièrement

^{sensible sur le lobe}

de recul

(diffusion

dans la direction

oppos6e ! k).

Enfin, ^la

rapidite

^de convergence du

développement propose

^{ne semble} pas

pouvoir

^lui permettre ^d’inter-

pr6ter

correctement les chocs au

voisinage

^{des condi-}

tions de seuil

[20].

Actuellement, ^le traitement

propose

constitue la seule

approche

existante, ^{a haute}

6nergie

incidente, permettant ^un calcul ab initio des sections efficaces de collisions (e, 2e), ^{dans la mesure ou les calculs de} type onde coulombienne

impliquent

^{une selection}

relativement arbitraire, ^{et variable} avec k, ^{des valeurs}

de

paramètres

^{d’6cran. Des}

applications

^{sont en}

cours pour le n6on,

I’argon

^{et Ie}

krypton.

Remerciements.

Les auteurs remercient les Drs Azzedine Lahmam- Bennani

(Orsay)

^{et Richard Tweed}

(Brest)

pour leurs commentaires portant ^{sur le} manuscrit, ^ainsi que MM. Senot et Stockemer _pour leur

participation

a sa realisation. Par ailleurs, ^{ce travail} s’inscrit dans le cadre des activit6s de la R.C.P. ^no 784 du C.N.R.S.

Bibliographie

[1] EHRHARDT, H., SCHULZ, M., TEKAAT, ^{T. et} WILLMANN, K., Phys. Rev. Lett. 22 (1969) ^89.

[2] AMALDI, U., EGIDI, A., MARCONERO, ^{R. et} PIZZELLA, G., Rev. Sci. Instrum. 40 (1969), ^1001.

[3] WEIGOLD, E., HOOD, ^{S. T. et} TEUBNER, ^{P. J.} O., Phys.

Rev. Lett. 30 (1973) ^475.

[4] STEFANI, G., CAMILLONI, ^{R. et} GIARDINI-GUIDONI, A., Phys. ^{Lett. 64A} (1978) ^364.

[5] ^{LEUNG, K. T. et BRION, C. E., Chem.} Phys. ⁸² (1983) ^113.

[6] HOOD, ^S. T., McCARTHY, ^I. E., TEUBNER, ^{P. J. O. et} WEIGOLD, E., Phys. ^{Rev. A8} (1973) ^2494.

[7] LAHMAM-BENNANI, A., WELLENSTEIN, ^H. F., ^DAL CAPPELLO, ^{C. et} DUGUET, A., ^J. Phys. ^{B 17} (1984)

3159.

[8] LAHMAM-BENNANI, A., WELLENSTEIN, ^H. F., DUGUET, A. et ROUAULT, M., ^J. Phys. ^{B 16} (1983) ^121.

[9] GLASSGOLD, ^{A. E. et} IALONGO, G., Phys. ^{Rev. 175} (1968) 151.

[10] LAHMAM-BENNANI, A., WELLENSTEIN, ^H. F., ^DAL CAPPELLO, C., ROUAULT, ^{M. et} DUGUET, A., ^J.

Phys. ^{B 16} (1983) ^2219.

[11] DAOUD, A., LAHMAM-BENNANI, A., DUGUET, A., ^DAL CAPPELLO, ^{C. et} TAVARD, C., ^J. Phys. ^{B 18} (1985)

141.

[12] ^{TAVARD, C. et BONHAM, R. A., J. Chem.} Phys. ⁵⁰ (1969)

1736.

[13] ABRAMOWITZ, ^{M. et} STEGUN, I., ^Handbook of ^Mathe-

matical Functions (Dover Ed., N.Y.) 1972, p. 504.

[14] ^DAL CAPPELLO, C., TAVARD, C., LAHMAM-BENNANI, ^A.

et DAL CAPPELLO, ^M. C., ^J. Phys. ^{B 17} (1984) ^4557.

[15] CLEMENTI, E., ^Tables of Atomic Functions (IBM

Research Laboratories, ^San Jose, California) ^1965.

[16] POCHAT, A., TWEED, ^R. J., PERESSE, J., JOACHAIN, ^C. J., PIRAUX, ^{B. et} BYRON Jr. F. W., ^J. Phys. ^{B 16} (1983) ^775.

[17] EHRHARDT, H., FISCHER, M., JUNG, K., BYRON, ^F. W., JOACHAIN, ^{C. J. et} PIRAUX, B., Phys. Rev. Lett. 48

(1982) ^1807.

[18] ^LOHMANN, B., McCARTHY, ^I. E., STELBOVICS, ^{A. T. et} WEIGOLD, E., Phys. ^{Rev. 30} (1984) ^758.

[19] ^{INOKUTI, M. et MANSON, S. T., XIIIe} I.C.P.E.A.C., Berlin (1983), ^151.

[20] FOURNIER-LAGARDE, P., MAZEAU, ^{J. et} HUETZ, A.,

J. Phys. ^{B 17} (1984) ^591.