Sur la théorie des liquides quantiques. Application a l'hélium liquide

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Sur la théorie des liquides quantiques. Application a

l’hélium liquide

L. Tisza

To cite this version:

SUR

LA

THÉORIE

DES

LIQUIDES QUANTIQUES.

APPLICATION A

_{L’HÉLIUM LIQUIDE (1).}

1

Par L. TISZA.

Laboratoire de

_{physique expérimentale}

du

_Collège

de France.

Sommaire. 2014 On

propose dans ce travail une définition semi-phénoménologique des _{liquides quantiques,} d’où découlent _beaucoup de leurs _{propriétés thermodynamiques} et hydrodynamiques. Il existe une

corrélation _{qualitative parfaite} entre les _{propriétés singulières} de l’He liquide, et celles du _liquide de Bose-Einstein. Ce dernier est _superfluide au zéro absolu. En discutant l’écoulement d’un liquide super-fluide, on _trouve, au _voisinage des _parois solides, des _{particularités qui permettent} de _comprendre le

« _grimpage » _(creeping) de l’He II. Aux _{températures finies,} le _liquide de Bose-Einstein _dégénéré a un

caractère _{hétérogène :} il _peut être considéré comme mélange d’une « _{phase superfluide} » et d’une « _phase

visqueuse ». _{L’hydrodynamique classique} ne _garde sa validité 2014 _{avec une} constante de viscosité définie 2014

que sous des conditions _{particulières.} Ces cas _particuliers font _l’objet du _présent travail, tandis que l’hydrodynamique générale du _{liquide dégénéré} (l’effet thermomécanique) sera _l’objet de la seconde partie.

1. Introduction. ---

D’après

un. résultat bien

connu de la

_{mécanique statistique classique,}

l’état

le

_plus

stable d’un

_système

de

_particules

au zéro absolu est un état cristallin avec un

_arrangement

régulier

des

_particules.

Selon une

_terminologie

_courante,

nous

définirons,

comme

_{liquides quantique,}

des

_systèmes

_pour

_lesquels

ce théorème de la

_statistique

_{classique perd}

sa

validité,

_qui

sont donc

_liquides

au zéro absolu. Suivant que les

_particules

du

_système

obéissent à la

_statistique

de Bose-Einstein ou de

Fermi-Dirac,

nous

_parlerons

d’un

_liquide

de Bose-Einstein ou

de

Fermi-Dirac,

ou brièvement : d’un

_liquide

de B-E

ou de F-D.

On sait _{bien que les noyaux}

_atomiques

lourds

et les électrons des métaux

_peuvent

être considérés

comme des

_liquides

de F-D. Par contre l’He forme

un

_liquide

de

_B-E,

c’est d’ailleurs

_parmi

les

_liquides

quantiques

le seul

_liquide

_proprement

dit.

L’He a deux modifications

_liquides,

l’He 1 et

l’He

_II;

l’He II est stable au zéro absolu. Cette modification

_possède

des

_propriétés

_{singulières,}

sortant du cadre des

_équations

différentielles de

l’hydrodynamique

et de la conductibilité

_thermique.

Nous nous _proposons d’étudier d’abord les

pro-priétés

générales

des

_{liquides quantiques (§ 2).}

Nous _{montrerons que} ces

_{systèmes possèdent}

des

propriétés simples,

découlant immédiatement de la définition

_{phénoménologique}

du

_liquide,

_pourvu que cette définition soit

appliquée

au zéro absolu.

(L’absence

totale des ondes transversales de

_Debye,

la

_disparition

de la

viscosité,

en tant _que due aux

forces

_{intermoléculaires,}

_etc.)

D’autre

_part,

et c’est

_{l’objet principal}

de nos

recherches,

nous étudierons les

_phénomènes

de

dégénérescence

d’un

_liquide

de B-E

_{(§ 3).}

Nous montrerons au

_paragraphe

_{4 que} cette

_{dégénérescence}

(1) Cf. les Notes _{préliminaires [ z Gl} et

_{[ 2 ~ ].}

nécessite sous certaines conditions la

_{généralisation}

des

_{équations hydrodynamiques,}

avec un effet

thermomécanique

se

_superposant

aux

_phénomènes

hydrodynamiques

purs. Nous discuterons aux

paragraphes

5 et

_6,

les

_phénomènes

hydrodyna-miques

purs

(viscosité, superfluidité

au zéro

_absolu),

la seconde

_partie

de ce mémoire sera consacrée à

l’effet thermomécanique qui

permet

de rendre

_compte

de la

_{supraconductibilité thermique}

et des

phéno-mènes observés dans les tubes

_capillaires.

Dans les

expériences

exécutées

_jusqu’ici,

l’effet

thermomé-canique

était

_toujours

_compliqué

_{par des}

_phénomènes

hydrodynamiques (turbulence)

ne

_permettant

_pas

une étude

_{quantitative.}

La théorie

_prévoit

la

propagation

d’ « ondes de

_température

» _pour

lesquelles

on ne rencontrera _pas ces difficultés. Finalement nous discuterons les idées de F. et H. Lon-don sur les

_phénomènes

de

_transport

dans l’He II.

Il a été reconnu

_{depuis longtemps}

_{que les}

_propriétés

remarquables

de l’ He

_liquide

sont dues à des effets

quantiques.

C’est ainsi _que Simon

_[2~]

a conclu

par un raisonnement

_{thermodynamique}

_que

_l’énergie

cinétique

au zéro absolu de l’He

_{liquide (et}

_solide)

doit être

_{exceptionnellement grande, dépassant}

plusieurs

fois son

_énergie

de liaison.

Étant

donné que

l’énergie

au zéro absolu

_augmente

fortement

avec la

densité,

elle

_joue

le rôle d’un

_potentiel

de

répulsion.

On trouve en effet dans l’He

_liquide

des

effets de

_{répulsion qui}

ne

_peuvent

être dus aux

forces de van der Waals : la distance

interato-mique

(3,5

A)

y est

beaucoup

plus

grande

que le diamètre

_cinétique

des atomes

_{(rv 1,9 À).}

Simon

a

_proposé

de rendre

_compte

ainsi de la stabilité de

l’état

_liquide

de l’He au zéro absolu:

Plus tard London

_[17]

a estimé

_quelle

devait être

l’énergie

au zéro

absolu,

étant donné le diamètre fini des atomes. Il a montré que les conditions

énergé-tiques

dans l’He sont

_compatibles

avec la

_conception

de Simon. Son

_point

de

_départ

fut

_{l’hypothèse}

d’un

165

arrangement régulier

des atomes dans

_l’espace,

quoiqu’une

telle structure fût en contradiction avec

l’état

_liquide

du

_système.

En

_précisant

ses évaluations

énergétiques,

il

_parvint

en effet à la conclusion que

l’incertitude

_quantique

des

_positions

des atomes est si

_grande

_{que ceux-ci} ne

_peuvent

_{pas être} enfermés

dans les domaines limités par leurs voisins

([188]

et

_[20~).

C’est

_pourquoi

il a

_proposé

une

_{approximation}

inverse : en

_renonçant

à la

localisation,

il attribua

aux atomes d’He des états

_quantiques

déterminés par leur

impulsion,

comme on le fait _pour les

élec-trons des métaux.

_(Description

dans

_l’espace

des

impulsions,

au lieu de

_l’espace

des

coordonnées.)

En distribuant les atomes sur ces états selon la fonction de

_répartition

de

Bose-Einstein,

il

_parvint

à résoudre de

_façon

_{remarquable quelques}

difficultés sérieuses concernant l’He

_liquide.

London mit en

_rapport

la

_température

de

dégéné-rescence

_Tao

d’un gaz

_parfait

_de

B-E avec le

_point-1,

de l’He. La chute

_rapide

de

_l’entropie

au-dessous du

_{point 7. proviendrait}

ainsi de la «

condensa-tion de B-E»

_{[dégénérescence}

de la translation

_(2)]

et l’ordre

_{qui règne}

dans l’He II et

_qui

est mis

en évidence par la

_disparition

de

_{l’entropie,}

serait

un « ordre dans

l’espace

des

impulsions

« et non

pas un ordre cristallin dans

_l’espace

ordinaire. Cette

_{interprétation}

devint

_possible

_{par suite} d’une mise au

_point

de la théorie du _gaz

_parfait

de B-E. London montra

_[19]

_{que la}

_{dégénérescence}

de ce

_système

_prend

_brusquement

à la

_température

de

_{dégénérescence To}

la forme d’une «

condensation »,

comme l’avait

_prévu

Einstein

_[6]

et contrairement

aux vues

_{répandues plus}

tard. En

_particulier,

à cette

_température

se

_présente

une discontinuité

de la dérivée

_{seconde de l’énergie :}

‘E

- dCj

de e la a dérivée erlvee selon seconde de e e

_{1 énergie :}

_pnergle:

o2E)

-B -âT’2 -

y

==

â T

(plus

précisément :

la discontinuité a lieu dans la

limite où N --7- o, V - _oo,

=

_const..

°

’

La

_conception

de _{London fut corroborée par le} fait

_qu’elle

donna la

_{possibilité d’interpréter}

les effets

_cinétiques

_paradoxaux

de l’He

II,

comme

nous l’avons

_indiqué

dans trois notes

prélimi-naires

_[26]

et

_1271.

Nous nous _{proposons ici} de

_préciser

les bases de cette

_{interprétation.}

Nous ne _pouvons nous contenter de considérer le _gaz

_parfait

de

B-E,

mais il faut tenir

_compte

_{du fait que} notre

_système

est

un

_liquide,

ou

_plus

_{précisément}

un

_{liquide quantique.}

2. La définition des

_{liquides quantiques.}

-Une théorie

_atomique

des

_liquides

_quantiques

se

heurte à de

_grandes

difficultés. Nous nous servirons (2) Dans la suite nous nous servirons plutôt de _{l’expression}

« _{dégénérescence}

», au lieu de « _{condensation »,} afin d’éviter

une confusion avec la condensation de van der Waals. Ces deux _phénomènes ont d’ailleurs un caractère _{complémentaire.} Coordonnées et impulsions se _{correspondent} mutuellement.

donc d’une méthode

_{semi-phénoménologique, qui}

est d’ailleurs très bien

_adaptée

à notre

_problème.

Nous

_préciserons

la définition du

_liquide

_quantique,

en

_exprimant

concrètement

_{qu’il s’agit}

d’un

_liquide

au zéro absolu.

Considérons l’~’

_particules

de masse m dans le

volume V,

avec la densité _p

-1V’n, que

nous

prendrons

comme

_paramètre.

Soient

_Eo

_{(p) l’énergie}

la

_plus

basse du

_système

_pour la densité _p et

rfo

( r,

2, ..., 1

N)

la fonction d’onde

correspondante.

1,2,...,

N

_{représentent}

les coordonnées des N atomes. Nous

_appellerons

le

_système

un

_liquide

_quantique

s’il a les

_propriétés

suivantes :

x.

E 0 (p)

a un minimum pour une certaine

valeur p

=

oo, c’est-à-dire

Évidemment

_{po est la} densité du

_système

au zéro absolu à

_pression

extérieure nulle

C’est le volume

Vo

N"?

que nous considérerons po

dans la suite. ,

p.

Le

_coefficient

de

_rigidité

du

_système

est nul dans l’état

_Eo

_{(p 0)’ ~ o.}

y. Les états excités d’une

particule,

soumise au

potentiel

de N autres

_particules

constituant l’état

E 0’

o,

+

*-peuvent

être caractérisés par des vecteurs d’ondes

k1, k2,

...

(quasi-impulsions).

Ces états

_{correspondent}

à une

translation des

_particules

dans le

_champ

des autres. Discutons maintenant les

_{propositions x, ~,}

_~~.

a est valable

quand

il existe des forces

d’attraction,

c’est-à-dire dans tout corps réel.

C’est la validité

_{de ~ qui}

tranche entre

_systèmes

classiques

et

_quantiques.

’

Considérons la définition

_précise

du coefflcient de

_rigidité

donnée dans une Note récente de

L. Brillouin

_[5].

Brillouin

_distingue

d’une

_part

un

coefficient de

_rigidité

_{microscopique}

déterminé _par les dérivées de

_l’énergie

suivant les

_composantes

du tenseur de déformation. Cette

_rigidité

est respon-sable des ondes

_hypersonores

au

_voisinage

de la limite de

_Debye.

D’autre

_part,

on a un coefficient

macroscopique

déterminé par les dérivées de

_l’énergie

libre. Le coefficient

_{macroscopique}

_{d’un corps solide}

disparaît

au

_point

de

fusion,

tandis que le coefficient

microscopique

reste fini. Par

_conséquent

le

_liquide

ne

pourra résister aux efforts

_{tangentiels macroscopiques,}

mais - tout _au moins au

voisinage

du

_point

de fusion -

pourra être parcouru par des ondes

monoatomiques

reste environ 3 iYk au

_voisinage

du

_point

de fusion

_(3).

Le

_liquide

_quantique

est

_liquide

même au zéro

absolu. Ici

_l’énergie

et

_l’énergie

libre sont

_identiques.

La

_disparition

du coefficient de

_rigidité

_implique

la

disparition

de la

_{rigidité microscopique :}

les

_particules

peuvent

se

_réarranger

sans surmonter aucune

barrière de

_potentiel.

On

_peut

_exprimer

cela de la

façon

suivante : un

_liquide

au zéro absolu est

_{f orcément}

un

_{liquide parfait (4).}

Le

_{liquide quantique}

sera,

d’après

oc,

capable

de propager des ondes

longitudinales

de

Debye,

mais,

les ondes tranversales y seront totalement

absentes,

d’après

~3.

Aux

_{températures}

finies

_(T

>

_{o) l’énergie}

moyenne du

_système

contiendra donc un terme de

_Debye

qui

sera seulement un tiers de

_{l’énergie correspondante}

du solide.

Les mesures de Picart et Simon

₍₅₎

sur la chaleur

spécifique

de l’He II au-dessous de nK ont donné effectivement un terme

_{proportionnel}

à T3. De ces mesures on déduit 0 r, _{r 2~,} ce

_qui

est en accord satis-faisant avec la valeur 0 r-

14°

qu’on

_peut

tirer de la

vitesse du son

_[9].

Étant

donné

_qu’à

densité

constante,

le

réarrange-ment des

_particules

se fera sans

_qu’il

soit nécessaire de surmonter des barrières de

_potentiel,

les

mouve-ments

_{correspondants}

ne

_pourront

être

_décomposés

en ondes transversales de

_Debye.

Cette lacune dans

la

_{représentation}

des états excités du

_système

est comblée par

l’hypothèse

y,

qui prévoit

une translation

« libre » des atomes. Cette

hypothèse

a été formulée

sous une forme

_légèrement

différente

_{par London}

_[18].

Aussi,

de notre

_point

de vue

semi-phénoménolo-gique,

y a le

caractère d’une

_hypothèse,

dont les

conséquences

sont d’ailleurs entièrement confirmées par les

expériences

dans l’He 1 et II.

Nous croyons

pourtant

que y est une

_conséquence

(3) En _général on _peut toujours distinguer nettement entre l’état solide et _liquide d’un corps en considérant les _propriétés macroscopiques, telles que

rigidité

macroscopique, ordre à grande distance, ou _anisotropie, etc. En _particulier Landau _[16]

a insisté sur _{l’impossibilité} d’une transition continue du liquide au solide, analogue à la continuité gaz-liquide. Au contraire, on _peut rendre compte de certaines analogies entre solides et _liquides en considérant les propriétés à petite distance : rigidité microscopique, ordre à petite distance.

J’ai précisé en _partie ces idées _après discussions avec M. _Bauer; c f . un article _prochain de ce dernier dans le Journal de Physique.

(4) Dans la théorie

_cinétique

on _{appelle liquide parfait} un _liquide à _{rigidité microscopique} nulle. _{(Ne pas confondre}

avec le _{liquide parfait} de _{l’hydrodynamique} à viscosité nulle. CI. plus loin). Il s’est avéré que le liquide parfait présente une

mauvaise _{approximation} des _liquides ordinaires. Le fait que ce _{concept s’applique rigoureusement} aux liquides quantiques simplifie beaucoup la théorie de ces derniers.

(6) Je tiens à remercier M. Simon pour la communication

de ces résultats non _publiés encore.

de

_z3,

ce

_qu’il

faudrait démontrer par une théorie

atomique.

Une telle théorie devra tout d’abord

préciser

les conditions de validité de

~.

C’est un

«

_problème

des n _{corps »} essentiellement

_quantique,

puisque g

n’est

_jamais

valable dans le cadre de la théorie

_classique;

il ne

_parait

_guère

abordable actuel-lement.

Remarquons pourtant

que l’évaluation

énergétique

de London

_[20]

est un

_premier

_{pas dans cette} direction

et

_peut

donner une

_image

intuitive des conditions

énergétiques

extraordinaires

_qui

_règnent

dans l’He

liquide,

et

_qui

causent la structure

lâche,

nécessaire pour la validité

de ~

et de _y.

3. La

_{dégénérescence}

du

_liquide

de Bose-Einstein. - Nous ferons

l’hypothèse simplificatrice

que

l’énergie

du

_système

est la somme de

_l’énergie

de

_Debye

et de

_l’énergie

de translation

_prévue

par y, et que le

couplage

de ces deux sortes

_{d’énergies}

est

_{négligeable.}

Il en résulte

_qu’à

cette

_{approximation}

la fonction propre du

système

entier

_peut

s’écrire

lJ!’ = ~ ( l, 2,

...,

N~ûBxc~I,

2, ...~

ivexe)

(3)

où ~

diffère

_légèrement

de la _{fonction propre}

_do

au zéro absolu

(§2)

_{par suite de} la

_présence

des

ondes

_{longitudinales}

de

_{Debye, rfcxe correspond}

à la

translation,

et 1, 2, ...,

NI’..

représentent

les

coor-données des

Ncxc

atomes excités dans les différents états de translation.

Le

_premier

facteur de

_{(3) dépend}

des coordonnées de tous les atomes

et,

par suite des interactions

importantes régnant

dans le

_liquide,

ne

_peut

être

écrit,

même

_{approximativement,}

comme

_produit

des fonctions d’onde des atomes individuels. Par contre le deuxième

facteur,

ne

_dépendant

_{que des}

coordonnées des atomes

excités,

peut

être écrit

approximativement (sans normalisation)

dans le cas

limite où une

petite

fraction seulement des atomes

est excitée

_(Nexc

«

_{N) :}

+. .

où

₁

_r(Il,

...,

rl’)

sont les coordonnées des

Ni

, ,

atomes dans l’état

ki.

Le

_produit

doit être étendu

+

à tous les états

ki

et la sommation à toutes les

permutations

des atomes.

_L’énergie

_{correspondante}

est

Ei est

l’énergie

nécessaire pour exciter un atome

,

--dans l’état

ki,

tous les autres atomes étant dans l’état le

_plus

bas. Nous

_désignerons

dans la suite les s du nom de

_quanta

de translation.

Voici comment on

_{peut exprimer}

dans cette

167

Le

_liquide

de B-E est un

_{liquide auquel}

se _superpose un _{« gaz} de

_quanta

de translation ». Pour des densités

faibles

_{(Nexc ~ç N),}

ce _gaz

_peut

être considéré comme

parfait

(formules

(4)

et

_(5).

Ces formules

_perdent

pourtant

leur

validité,

si la densité du _{gaz devient}

grande

Nexc

N N.

Les états du

_système

seront encore caractérisés

par les nombres

Nl,

N2.. ; .,

mais

₍₅₎

_présentera

seulement la

_première

_{approximation}

du

dévelop-pement

de

_l’énergie

en fonction de ces nombres

Ni,

où l’on doit tenir

_compte

aussi des termes

_supérieurs.

Comme nous le montrerons dans la Note addition-nelle

_I,

cette validité restreinte suffit

_déjà

_pour

permettre

d’appliquer

à notre

_système

les résultats essentiels de la théorie de la

_{dégénérescence}

du gaz

parfait

de B-E

[1 g].

Il existe en

_particulier

une

température

de

_{dégénérescence}

_{T 0}

_{telle que}

pour

T>

1~o pour

T To

où A est une constante de l’ordre de

l’unité;

(6 )

est

une fonction

_qui

décroît de 1 à o

quand

T _passe

de

_To

à o.

Les

_quanta

de translation donnent une

_énergie

moyenne

qui s’ajoute

à celle de

Debye

et

qui

peut

être écrite

où é est

_l’énergie

moyenne par

quantum

de transla-tion. Pour T «

_To,

Ncxc ~ N, le

gaz des

_quanta

peut

être considéré comme

_parfait

et l’on a

_[61

et

_[Ig]

. .1

Pour l’He II

_{l’énergie (7)}

_joue

un rôle

_important

dans la

_région

T -

_{T 0}

où la formule

₍₈₎

n’est

_plus

valable. Nous ne nous _{proposons pas de}

cal-culer

_f

T

ni s

_(T)

dans ce

_domaine,

ce calcul

u 0 /

ne

_peut

_pas se faire dans le cadre d’un

problème

à un _corps et n’est

guère

abordable par les méthodes actuelles. Il faudrait tenir

_compte

des termes

supé-rieurs de

_(5).

Dans ce cas

_l’énergie

nécessaire _pour exciter un atome de l’état le

_plus

bas à l’état

ki

n’est

_plus

une constante Cl’ mais

_dépend

aussi de la

répartition

des autres

atomes,

des nombres

Ni :

selon la

_terminologie

_consacrée,

le

_phénomène

a

(6) On pourrait faire l’hypothèse : A = 2/3 et tenir _compte ainsi du fait que les quanta de translation _remplacent les 2 N

degrés de liberté des ondes transversales de Debye. Pourtant

nous ne _{voulons pas préciser} la distribution exacte des _degrés de _{liberté, d’autant moins que la valeur} de A n’a aucune

importance pour nos _{développements.} Dans la terminologie de London AN est le « nombre des atomes dans les états

de Bloch » _{[20]. Cependant} l’évaluation de A par London est fondée sur des _{hypothèses qui} ne sont sans doute pas

assez _générales.

un caractère «

_coopératif

_»,

_qui

renforce _encore

celui du _gaz de B-E.

C’est ce

_qu’on

a effectivement trouvé dans l’He

II,

où la chaleur

_spécifique

a une anomalie.

Dans la suite nous discuterons surtout les consé-quences

qualitatives

de la

_{dégénérescence, qui}

ne

dépendent

pas de la forme

particulière

de la fonction / 7 B

f 7,

La connaissance de cette fonction

_permettrait

TO

cependant

une

_comparaison

_quantitative

de nos

résultats avec

_{l’expérience.}

En faisant

_{l’hypothèse}

simplificatrice: s rv kT,

on tire

_{approximativement}

des mesures de la chaleur

_{spécifique [12],}

en les

com-parant

avec

_{(6 b)}

et

₍₇₎

la formule

_empirique

Jusqu’ici

nous n’avons pas fait _{usage de la} nature translatoire des

_quanta.

Les résultats obtenus

permettent

en effet des

_{interprétations physiques}

très

différentes,

comme nous allons le montrer dans

un article

_prochain

sur les transitions

de

second

ordre.

_(Ci.

aussi la théorie du

_{ferromagnétisme}

de

Bloch,

où le

_{ferromagnétisme apparaît}

comme un

phénomène

de

_{dégénérescence}

de B-E dans le

_champ

des ondes de

_{spin [~il.)}

Rappellons

maintenant _que

_{d’après l’hypothèse}

y

le

_{quantum s}

_correspond

à une translation d’un

atome avec la vitesse de

_groupe

Cette translation se manifestera

macroscopique-ment _par un tenseur de

_pression

(10)

est la

_{généralisation}

la

_plus

naturelle de la formule _{du gaz}

_parfait

Dans le

_liquide

_{de B-E il y} a donc des tensions dues aux

_quanta

de

_translation,

_auxquelles

contri-buent seulement les atomes excités et non _{pas les}

atomes

_{dégénérés.}

Lorsqu’il

y a

_isotropie,

en

_particulier

dans le

liquide

au _repos,

₍₁₀₎

et

₍₁₁₎

se réduisent à une

pression

scalaire. Pour le _gaz

_{parfait [ I g]}

Dans le

_liquide,

l’ordre de

_grandeur

de la

_pression

sera donné

_{grossièrement}

par une formule

_analogue

168

quanta

de _{translation pexe} de la

_pression

ordinaire du

_liquide

_{p. Une}

_compression

du

_liquide,

où le volume diminue de dV

_exige

le travail

_{p d V.}

Par contre le _{travail p,,,~ d V}

_correspond

à la

_compression

des

_quanta

de translation à densité constante du

liquide.

Nous considérerons

_plus

loin ce _processus

en détail.

Les atomes excités se manifestent donc _par

certains effets

_cinétiques

_{(viscosité, pression) qui}

leur sont _propres. Il en résulte que,

_malgré

son

homogénéité parfaite

dans

_l’espace

ordinaire,

le

liquide

de B-E

_prend

un caractère

_{hétérogène}

d’origine

essentiellement

_{quantique, qui}

ne

_permet

pas

l’application

de

_{l’hydrodynamique classique.}

4. Discussion de la validité de

l’hydrodyna-mique

dans le

_liquide

de Bose-Einstein. - Il

a été mis en _{évidence par} de nombreuses

_expériences

que l’He II se

_comporte

dans certaines conditions d’une manière

_qui

ne

_peut

_pas être décrite dans le cadre des

_{équations hydrodynamiques}

ordinaires.

Ainsi,

tandis

_qu’on

est _parvenu à mesurer la

viscosité _{par la} méthode du

_disque

oscillant

_[13],

cette valeur de la viscosité -

pourtant

très faible

-ne

_permet

_pas de

_comprendre

les

_grandes

vitesses

d’écoulement par des tubes

capillaires

très minces

([ Il,

[2] et [11]).

Étant

donné que cet écoulement n’est pas

laminaire,

il est

_impossible

d’en déduire des valeurs de la viscosité. _{Mais l’écoulement n’est pas} turbulent

non

_plus

et ses lois

_présentent

une

_grande

variété

suivant les conditions

_{expérimentales.}

Ainsi ces

phénomènes

sortent de toute

_façon

du cadre de

l’hydrodynamique

ordinaire.

_[Cf.

surout le travail détaillé d’Allen et Misener

_{[2] (7)].}

Cette non-validité des

_équations

_{hydrodynamiques}

est d’autant

_plus

_surprenante

que celles-ci ont été établies sous des conditions très

_générales.

En effet la démonstration élémentaire des

équa-tions

_{hydrodynamiques}

est fondée sur

_{l’hypothèse}

suivante : le fluide en

_question

est

_partagé

en élé-ments de

volume,

dont les masses sont considérées

comme des masses

_ponctuelles,

soumises aux lois

de la

_mécanique

du

_point

matériel. La force

_agissant

sur ce

_point

est en

_première

_{approximation}

_égale

au

_gradient

de la

_pression.

En deuxième

approxima-tion,

on admet en _{outre que la substance est}

carac-térisée par un coefficient de

viscosité,

déterminant la force due au cisaillement.

Cette démonstration cesse d’être

valable,

si la substance contenue dans un élément de volume

subit des

_changements

au cours du processus

même;

il n’est

_{plus permis}

alors de la considérer encore comme une masse

_ponctuelle

sans structure. C’est

ce

_qui

se

_produit

_par

_exemple

dans le cas de certains colloïdes et cristaux

_{liquides qui}

subissent un

changement

de structure lors de l’écoulement : (7) Je tiens à remercier 11I. AIIen pour la communication de ses résultats avant _publication.

il n’est pas

possible

de leur attribuer une constante de viscosité.

Quant

au

_liquide

de B-E

_{dégénéré,}

nous avons

discuté au

_{paragraphe précédent}

son caractère

hétérogène.

Une fraction des

atomes,

la «

_phase

excitée » est en translation

_thermique,

_{tandis que} pcur l’autre

fraction,

la «

_{phase dégénérée}

_», cette translation est

_gelée.

Si la vitesse des atomes excités

est

_répartie

d’une

_façon

_anisotrope,

il en résulte

forcément des vitesses moyennes différentes _pour les deux

_phases.

En

_plus,

si le

_système

absorbe de la

_chaleur,

une

partie

des atomes fait une transition de la

_phase

dégénérée

à la

_phase

excitée,

et inversement s’il

dégage

de la chaleur. La substance contenue dans

un élément de volume n’aura évidemment pas la

structure invariable _{nécessaire pour être} considérée

comme une masse

_ponctuelle.

Pour rendre

_compte

de ces

_{phénomènes,}

la

géné-ralisation la

_plus

_simple

de

_{l’hydrodynamique}

consiste à

_remplacer

_la

substance de l’élément de

volume;

non _par un

_point,

mais _par deux

_points,

correspondants

aux deux

_{phases. Quoique couplés}

d’une

_façon

déterminée,

ces

_points

auront en

_général

des vitesses différentes

_(vitesses

différentes des deux

_{phases). L’augmentation}

du nombre des

_degrés

de liberté

_{hydrodynamiques}

_qu’on

obtient ainsi est

_juste

_{suffisante pour} rendre

_compte

des

_propriétés

singulières

de l’He II.

La différence

_d’énergie

entre les deux

_phases

est

égale

à

_l’énergie

de translation

_{thermique (énergie}

anomale).

Donc

_lorsque

les vitesses _{moyennes des} deux

_phases

sont

différentes,

il en résulte un

_transport

d’énergie,

lié au mouvement de la

_phase

excitée. En

particulier

une source

_(divergence)

de la

_phase

excitée

sera aussi une source de chaleur. Nous

_appellons

ce

phénomène

« l’effet

_{thermomécanique ».}

L’objet

de notre

_{hydrodynamique}

_{généralisée}

se

confond avec l’étude de cet effet.

Dans le cas

_particulier

où les vitesses des deux

phases

sont

_égales,

on retombe sur

_{l’hydrodynamique}

ordinaire. On verra _{que cela} ne se

_produit

_pas si le

liquide

est en mouvement d’ensemble

_{(écoulement),}

mais seulement s’il est au _repos et si les courants

peuvent

être considérés comme de

_petites

corrections. C’est ainsi que la

propagation

des ondes sonores ne

présente

pas de

propriétés

anomales

_[g].

, Les

équations

hydrodynamiques

gardent

une

validité

apparente

et

_permettent

la définition d’une constante de viscosité dans certains cas, même si les

vitesses des deux

_phases

ne _{sont pas forcément}

identiques.

C’est ce

_qui

est réalisé dans deux

dispo-sitifs de mesure de la viscosité : io la méthode de la chute d’une

_sphère

dans le

_{liquide (Stokes);}

’2° la méthode du

_disque

oscillant. On verra

_plus

loin que, dans ces cas, la vitesse de la

phase

dégénérée

est

_partout

nulle et la

_divergence

du courant de la

_phase

excitée

_disparaît.

Il en résulte

_qu’il

ne se

169

ni effet

_{thermomécanique.}

Nous montrerons au

paragraphe

suivant que cette valeur de la viscosité

et surtout sa variation avec la

_température

_peuvent

être estimées à l’aide de nos

_hypothèses,

en accord excellent avec les mesures.

Nous discuterons au

_paragraphe

6 les

_phénomènes

hydrodynamiques

purs au zéro

absolu,

où le

_liquide

redevient

_homogène

et où l’effet

_{thermomécanique}

disparaît.

La discussion de l’effet

_{thermomécanique,}

de

l’hydrodynamique

généralisée,

est _{réservée pour}

la seconde

_partie

de

cet article.

5. La viscosité du

_liquide

de B-E. - On sait

bien que la viscosité est due à deux mécanismes

cinétiques

essentiellement différents. Le

_premier

mécanisme est

_responsable

de la viscosité des _gaz de faible densité et consiste dans un

_transport

d’impulsion

par la translation

thermique

des molé-cules : c’est ce _que nous

_appellons

brièvement la viscosité

_cfnétique.

Son ordre de

_grandeur

est donné

par

la formule connue

où p

est la

_{densité, v}

la vitesse _moyenne

_thermique

et 1 _{le lihre parcours moyen des} molécules. Pour un

1

gaz idéal de Boltzmann on a 7/ T2 et _par

consé-quent

d-rildt

> o.

Par

contre,

dans les états condensés de la

_matière,

les molécules sont entravées dans leur libre

mouve-ment et c’est un autre mécanisme

_{qui joue}

le rôle

principal.

Il n’en existe pas encore de théorie

satis-faisante

_{(Cf .}

_pourtant

_[23]),

mais ses traits essentiels

peuvent

être résumés ainsi dans notre

_{terminologie :}

Si l’on

_applique

au

_liquide

un effort

_tangentiel,

celui-ci tend à

s’évanouir,

car le

_liquide

ne

_possède

pas de

rigidité

macroscopique.

La vitesse de ce

processus, vitesse de

relaxation,

dépend

de la

rigidité

microscopique.

Il en résulte une viscosité que nous

_appellerons

_pour

_abréger

la viscosité

dynamique. (Nous

soulignons

ainsi

_{l’importance}

des forces intermoléculaires dans ce

_mécanisme.)

La viscosité des

_liquides

ordinaires

_(classiques)

provient

essentiellement de ce dernier - surtout

au

_voisinage

du

_point

de fusion. Leur viscosité

dynamique

est

_{prédominante}

et l’on a, pour tous Ies es

_liquides

_lqul es e

_classiques,

d ’r

o.

c l o.

On

_peut

_prévoir

_{que les}

_{liquides quantiques}

se

comporteront

autrement. En effet ils sont caractérisés

d’après

par la

disparition

totale de la

_rigidité

-même

_{microscopique.}

Par

_conséquent,

leur viscosité

dynamique

est nulle.

Mais la translation

_thermique

des atomes excités

prévue

par y donnera un effort

_tangentiel

₍₁₀₎

et _par

_conséquent

une viscosité

_cinétique.

Nous

_appliquerons

la formule

₍₁₄₎

au

_liquide

de B-E pour obtenir une évaluation

_grossière

de

la loi de variation de la viscosité avec la

tempé-rature.

Nous attribuons aux atomes excités

_(quanta

de

_translation)

un libre parcours

_indépendant

de la

_{température,}

déterminé _par les chocs contre des atomes de

_{n’importe quelle phase.}

La

_dissipation

des

_quanta

de translation _{par ondes de}

_Debye

n’a pas lieu en

_{première approximation,}

comme nous le montrerons dans la Note additionnelle II.

Nous admettons pour la vitesse moyenne des atomes excités la valeur

approchée jj rv t /’

-2013

en

Bi rn

négligeant

les faibles effets de la

_{dégénérescence}

sur la vitesse _moyenne et les différences entre l’état réel du gaz des

_quanta

de translation et l’état idéal. Cette

_{approximation}

est d’autant

_{plus légitime}

_que l’effet

_principal

de la

_{dégénérescence}

_qui

commence

brusquement

à T ==

T 0

est relatif au nombre des atomes excités

_{(condensation).}

On aura, en

_effet,

pour

T ~

T o

pour

T ~ T 0

pexe (T 0) == Po la

viscosité est donc continue au

point/.

En nous servant de la formule

_{empirique (9)}

pour le cas de l’He II

_(tiré

des mesures de la chaleur

spécifique),

nous obtenons :

pour l’He 1

pour l’He II

Cette

_loi

de variation avec la

_température

est

en excellent accord avec les mesures exécutées _par la méthode du

_disque

oscillant

_{[ 13]}

_{par Keesom}

et Mac

Wood,

entre n K et

_{4~ K}

_{(CI. fig. 1 ).}

Ces

mesures donnent donc une confirmation directe de

notre

_{hypothèse -}

et

_justifient

aussi notre distinction

nette entre les viscosités

_cinétique

et

_dynamique.

C’est cette dernière

_qui

cause

_{l’augmentation}

forte de la viscosité des

_liquides

ordinaires

_quand

la

température

diminue.

Pour T = o la viscosité est nulle

d’après (15 b) :

le

_liquide

de B-E est

_superfluide

au zéro absolu,. Ce fait est vérifié non _{seulement par les}

_expériences

citées

_plus

_haut,

mais mieux encore _{par les}

expé-riences d’écoulement et de «

grimpage »

_que nous

allons discuter

_plus

loin.

Du

_point

de vue

_{microscopique,}

la

_{superfluidité}

La

_comparaison

avec

le

_liquide

de F-D est inté-ressante. La viscosité

_cinétique

de celui-ci tend

pour T -~ o vers une limite finie

où _vo est la vitesse limite de Fermi

(fig.

I).

Fig. i , - variation de la viscosité avec la _{température pour :}

- - -

gaz parfait classique,

2013.2013.2013 liquide de F-D (schématique),

20132013201320132013 liquide de B-E d’après (16), où l’on a _{fixé le}

para-mètre _{1 par} la mesure pour T = 4o~

o _points fournis par les mesures de Keesom et et Mac Wood [13].

Le

_liquide

de F-D n’est donc _pas

_superfluide,

mais évidemment sa viscosité

_{dynamique (rigidité}

microscopique) disparaît.

Ce fait est

_{d’importance}

dans la discussion de l’existence des niveaux de rotation des noyaux lourds

[2 5].

6. La

_{superfluidité}

du

_liquide

de B-E au

zéro absolu. - Nous

avons

_déjà

insisté sur le

fait que

l’hétérogénéité

du

liquide dégénéré

de B-E ne

permet

pas

l’application

des

_équations

hydrodyna-Fig. ~. -

Répartition

miques

à l’écoulement de schématique desvitesses ce

_liquide.

_{Il y} a

_pourtant

lors de l’écoulement tur-

une

_{exception :}

le

_liquide

bulent :

... redevient

homogène

au

a.

dans un

liquide vis-

zéro

absolu,

quand il

n’y

queux;

a plus d’atomes

excités,

b dans un liquide super-

a _plus a omes

_excItes,

fluide. ni par

conséquent

d’effet

thermomécanique.

L’effet

thermomécanique

dans l’He II

_disparaît

sensiblement à

_partir

de

_{0,8~2013o,g~K.}

La conductibilité

_thermique

devient normale

_[i5]

et ce

_liquide

se

_comporte

donc

_pratiquement

_déjà

aux

_{températures}

accessibles comme un

_liquide

homogène

superfluide.

La vitesse d’écoulement d’un

_{liquide superfluide}

est déterminée

_uniquement

_par une résistance

tur-bulente. Cet écoulement sera

_pourtant

différent de

l’écoulement turbulent d’un

_liquide

ordinaire. La

superfluidité,

en

_supprimant

les corrélations entre les

vitesses,

même à

_petite

distance,

change

essentiel-lement le caractère de la turbulence. En

_particulier,

dans le cas d’un

_liquide

_visqueux,

on a

_toujours

aux

_parois

solides une couche laminaire mince

(couche

limite de

_Prandtl),

où la vitesse tend vers

zéro. Dans le cas du

_{liquide superfluide,}

il

_n’y

a _pas

de couche laminaire.

Cette « _{turbulence moléculaire} » n’a _pas encore été étudiée

_jusqu’ici.

On

_peut

_prévoir

_pourtant

_{que si} les couches

_{superficielles}

sont encore dans ce cas le

_siège

d’effets

_{particuliers,}

ces derniers seront inverses de

ceux _que

_présentent

les

_{liquides visqueux.}

La

résis-tance

_{(dissipation d’impulsion)}

a _pour cause les tour-billons désordonnés. Dans la couche

_{superficielle}

la

composante

normale de la vitesse

_disparaît.

La résis-tance due à cette « turbulence

superficielle

à deux

dimensions » sera donc

_plus

_{faible que la turbulence} à trois dimensions » : : la vitesse d’écoulement sera

plus grande

à la

_{paroi qu’au}

centre

_{(fig. 2).}

Nous n’avons pas encore calculé

_{l’importance}

de

cette

différence de vitesse mais nous

_espérons

_{y revenir}

prochainement.

Les mesures d’écoulement exécutées

_jusqu’ici

ne

_peuvent

servir à une

_comparaison

immédiate avec la théorie : la

_température

a été

_toujours

au-dessus de io

_K,

où le caractère de l’écoulement est

beaucoup plus complexe.

Nous les discuterons dans la seconde

_partie

de cet article.

Seules les mesures à des

températures

assez

basses

_pourront

mettre en évidence les

_propriétés

quantitatives

de l’écoulement

_superfluide.

L’effet

_particulier

des

_parois

solides sur un

_liquide

superfluide

se manifeste le

_plus

nettement dans le

singulier phénomène

de

_{grimpage (creeping)}

de l’He II.

Déjà Kamerlingh

Onnes

_{[10 a]}

avait observé que les niveaux de l’He II dans deux

_{récipients s’égalisent}

même

_quand

ceux-ci ne _{sont pas} reliés par des

_tubes,

mais il n’a pas cherché à

_expliquer

ce

_phénomène.

Plus tard Rollin

_[2il

et

_[22]

a démontré

_{qu’il s’agit}

de couches

_{superficielles}

mobiles,

grimpant

à la

paroi

et obéissant ainsi à une traction due selon le

dispositif expérimental,

soit à une

_évaporation

en

haut,

soit à une couche descendant de l’autre côté

(siphon).

Ce

_{phénomène rappelle}

immédiatement

_l’image

dynamique

des

_{phénomènes capillaires}

_développée

par

Guye

(C f .

par

exemple,

Handb. d.

_Phys..,

VII,

p.

370) :

l’ascension d’un

liquide

à une

_paroi

_qu’elle

mouille

_partout,

_peut

être considérée comme un

équilibre

dynamique

entre le «

_grimpage

» et

l’évapo-ration au bout de la

_paroi.

La vitesse de ce _processus

est déterminée par la

gravité

et _par la viscosité du

liquide.

Elle sera

_négligeable

dans les cas

_ordinaires,

mais aura des _{valeurs considérables pour} un

_liquide

superfluide.

La vitesse _y sera déterminée par la

171

d’une théorie

_plus

détaillée consisterait surtout dans le calcul de cette turbulence.

Les

_propriétés

_{quantitatives}

du

_phénomène

de

grimpage

ont _{été étudiées récemment par Kikoin}

et Lasarew

_{[ 1}

_]

et surtout _{par Daunt} et Mendels-sohn

_[]

et

_[8].

Ces

_expériences

ont été faites aussi à

_{températures}

au-dessus de i°

K;

nous _y

revien-drons dans la seconde

_partie.

Notes additionnelles.

1.

Résumons brièvement les traits essentiels de la démonstration de la

condensation

_{du gaz}

_parfait

de B-E

_d’après

London

_[19],

pour montrer dans

quelle

mesure il est

_légitime

de

_{l’appliquer}

au

_liquide.

Considérons le gaz à volume constant. La fonction de

_répartition

est

où ~

est le

_{potentiel chimique}

et se détermine par

la relation

Soit ’£0

== 0 le niveau

d’énergie

le

_plus

bas. On a

pour T

== 0 : ~

= o. Pour des

_{températures}

finies ~

= o

est un

_{point singulier}

de

₍₂₎

et aussi

de

la somme

d’états

(« partition

function

_»)

du

_système,

et l’on a

touj ours ~

o.

Une « condènsation » _a

_lieu

_{dans le cas où} il existe

déjà

une

_température

finie

_{T 0}

_pour

_{laquelle ~}

devient

nul.

_{(Plus précisénxent i}

devient

de l’ordre de gran-deur de

_1/N

et _{s’annule par}

_conséquent

dans

la limite : N --~ oo V -~ _ce,

_Nl

_V = const. Pour les

détails du _passage à la limite

_{c f .}

London

_[19]).

Les fonctions

_{thermodynamiques}

du

système

consistent,

dans ce cas, en deux

_{parties analytiquement}

diffé-rentes. On a, en

_particulier,

’

pour

pour

où la _{sommation n’est pas étendue}

au niveau le

_plus

bas.

_Nd~

= N -

Nexc

_{atomes sont}

dégénérés,

« condensés _», dans l’état le

_plus

bas.

Cette discontinuité se

_comprend

du

_point

de vue

mathématique

comme

_conséquence

de

la singularité

de

₍₂₎

_{pour s}

= o. Celle-ci

_correspond

dans le

langage

de la

_{thermodynamique}

au _{fait que les}

états i >

o deviennent instables à cause de

l’exis-tence de la «

_phase

condensée au _pour

_laquelle

:- o

_(8).

Le cas de la

_{dégénérescence}

_progressive

sans

discontinuité se

_présente

comme un cas

_particulier

pour

lequel To

= o.

To

peut

ètre déterminé à l’aide de

_(2),

si l’on

remplace

la somme _par une

_intégrale

en admettant pour la densité des niveaux

g (E) dE rv .::0152-J d.::.

On obtient

où

To

est

_fini,

on a une condensation

_discontinue,

si

l’intégrale (~1)

est

_convergente,

_{c’est-à-dire pour} cr> ~, tandis _que

_{l’intégrale}

est

_divergente

_{pour a-}

1 :

alors

_{T 0 ==}

o et l’on a une

_{dégénérescence}

_progressive

sans discontinuité.

On obtient ainsi une discontinuité _{pour le gaz}

parfait

à trois dimensions

_{(u = 3/2)}

mais non

pour le gaz à deux dimensions

(a-::= i).

Il est

_remarquable

_{que la}

_divergence

éventuelle de

₍₄₎

provient uniquement

de la limite inférieure : z - o, c’est-à-dire 8 2013~ o. Par

_conséquent,

l’existence de la

discontinuité

_dépend

seulement de la distribution des niveaux

_d’énergie

les

plus

bas.

C’est cette

circonstance

_qui

_permet

l’extension

de

ces résultats au

_liquide

de B-E. Dans

l’approxi-mation du

_paragraphe

3

_{(indépendance}

entre

_l’énergie

de

_Debye

et celle des

_quanta

de

translation)

on

intro-duit pour ces derniers un

_{potentiel chimique}

_j.

~

= o

_correspondra

de nouveau à l’état

complè-tement

_dégénéré

et sera un

_{point singulier}

de la somme d’états.

_{L’énergie E}

des

_quanta

sera une certaine

fonc-tion de k2

_(par

suite de

_{l’isotropie}

du

_liquide)

et l’on

aura _pour les

faibles

valeurs de k la formule

en

_négligeant

les termes

_supérieurs.

Il est

donc

raisonnable d’admettre _que la

_répartition

des niveaux les

_plus

bas

₍₅₎

sera la même _que dans le cas

du _gaz

_parfait

à trois

dimensions,

ce

_{qui implique}

- _{comme nous venons} de le voir - l’existence

d’une

_température

de condensation finie

To.

Par

_contre,

on ne

_peut

_pas discuter les

_propriétés

du

_système

au

_voisinage

de

_To

à l’aide de

l’inté-grale

(4).

Dans ce cas les termes

_supérieurs

de la formule

₍₅₎

du

_paragraphe

3 sont à considérer

(interaction

des

_quanta,

«

coopérativité

» du

phéno-mène)

et même la formule

₍₁₎

de B-E

_perd

sa

(8) L’importance d’une telle _singularité a été _soulignée dans la théorie de lYlayer-Born-Uhlenbeck sur la condensation

validité. Il _{n’est pas}

_légitime

de rendre

_compte

de l’anomalie _{1. par} un

_simple

choix d’une constante

(par

exemples

=

5)

[20]

tout en restant dans le cadre d’un

_problème

à un seul corps.

II.

Nous allons montrer que la

_dissipation

des

_quanta

de _{translation par} ondes de

_Debye

n’a _{pas lieu} au

premier

ordre

_(interaction

d’un

_quantum

de transla-tion et d’un

_quantum

de

_Debye).

Donnons au

quantum

de translation la valeur

_{approximative}

Écrivons

_pour le «

_{rayonnement o}

d’un

_quantum

de

Debye

par un atome excité la conservation de la

quantité

de mouvement et de

_l’énergie

- >

où _{Pl’ V2 sont les} vitesses du

_quantum

de translation avant et

_après

le _processus

_{(VI> V2);}

CD,

V;,""

sont

fréquence

et

vitesse du

_quantum

de

_Debye

émis.

6 est

un vecteur unité dans la direction d’émission. Ces

relations

nous donnent

et par

conséquent

Le _processus de

_dissipation

a donc lieu en

_première

approximation

seulement si la vitesse du

_quantum

de translation est

_{plus grande}

_que celle du son. Mais en

’ ry

nxoyenne b -

l‘2

est du même ordre de

_grandeur

»i

que la vitesse du son dans _{l’état gazeux, elle} est donc

toujours inférieure

à la vitesse du son dans le

_liquide

(sauf

au

_{point critique,}

où

_liquide

et _gaz se

con-fondent).

En

_particulier

_{pour l’He}

_II,

on a T =

2,19°,

donc inférieur au

point critique

_Ter

= a~.

(A suivre.)

Manuscrit reçu le ? 3 octobre 1939.

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