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Sur la théorie des liquides quantiques. Application à
l’hélium liquide. II
L. Tisza
To cite this version:
SUR LA
THÉORIE
DESLIQUIDES
QUANTIQUES.
APPLICATION AL’HÉLIUM LIQUIDE
(1).
II Par L. TISZA.Laboratoire de
physique
expérimentale
duCollège
de France.Sommaire. 2014 La théorie du
liquide de Bose-Einstein est étendue aux cas où les deux « phases »
(définies dans I) ont des vitesses différentes. En général, ces courants se compensent en ce qui concerne le flux de matière, mais ils sont toujours accompagnés d’un flux de chaleur (effet thermomécanique). Quant à la transition des atomes d’une phase à l’autre, elle comporte un échange de chaleur avec l’entou-rage. Ce mécanisme peut rendre compte de la supraconductibilité thermique observée dans l’He II. La théorie prévoit sous certaines conditions une vitesse de propagation des inégalités de température (ondes de température). La compensation du flux de matière n’est pas complète au voisinage des parois solides. Cet effet thermomécanique proprement dit permet de comprendre les phénomènes capillaires observés dans l’He II (le phénomène de la fontaine d’hélium, l’écoulement non hydrodynamique, etc.).
1. L’effet
thermomécanique
dans le gazparfait
de Bose-Einsteindégénéré.
-Quelques
traits essentiels de l’effetthermomécanique
duliquide
de B-Edégénéré
se retrouventdéjà
dans le gazparfait.
Nous allons donc discuter d’abord lespropriétés
de ce dernier.Considérons dans un volume V = const. un gaz
parfait
de B-E constitué par dessphères rigides
sansattraction
mutuelle,
dontl’énergie
est doncseule-ment une fonction de la
température,
mais nonde la densité
(2).
Rappelons
brièvementquelques
formulesconcer-nant le gaz
parfait
de B-E[7]
et[17].
La
température
dedégénérescence
estoù p est la densité totale du gaz, et
est une constante
(m
= masse desatomes).
Pour T
To
unepartie
seulement des atomes estrépartie
sur les niveaux excités. La densité de cesatomes excités est
Les autres atomes sont
dégénérés
et leur densité estr :t ,
(1) C f. la première partie de cet article (p. 164), désigné
brièvement par I, où l’on trouvera les définitions et notations.
(2) En principe, l’existence des chocs entraîne une énergie au zéro absolu dépendant de la densité et exclut ainsi la
possibilité d’un gaz parfait. Mais on peut se borner aux faibles densités et aux basses températures qui en résultent pour le domaine de dégénérescence du gaz. C f . (I).
La
pression
est donnée par des formules équiva-lentesCe
qui
nousimporte
surtout dans lasuite,
c’estque
l’équation
d’état ad’après (4 b)
la formecarac-téristique
dessystèmes
à deuxphases
En
effet,
malgré
sonhomogénéité
dansl’espace
ordinaire,
la gaz de B-Epeut
être considéré au-dessousde sa
température
dedégénérescence
comme unsystème hétérogène,
où laséparation
des deuxphases
a lieu dans
l’espace
desimpulsions.
Comme dansle cas de
l’équilibre
habituel,
lespotentiels chimiques
des deux
phases
sontégaux,
on a ~ = o pour toutesdeux.
Cette forme de
l’équation
d’état a pourconséquence
un mécanisme trèsparticulier
pour l’établissement del’équilibre.
Dans le cas d’unsystème
homogène
quelconque,
avecl’équation
d’état p =p
( T,
p),
on
peut distinguer
deuxétapes
dans ce processus :c’est d’abord la
pression qui s’égalise
parl’inter-médiaire des forces
mécaniques (processus
dupremier
ordre);
enparticulier
les faiblesinhomogénéités
depression
sepropagent
avec la vitesse du son. Lesdifférences de
température
et de densitéqui
subsistentà
pression
constante,s’égalisent
ensuiteplus
lente-ment par des processus nonadiabatiques
du second ordre(conductibilité thermique);
en mêmetemps
les vitesses
macroscopiques
s’amortissent par frot-tement.351
Par contre, dans notre cas, le processus du
premier
ordreimplique
aussid’après (~ b)
l’égalisation
de letempérature
liéeunivoquement
à lapression
(effet thermomécanique),
tandis que la densitétotale
s’égalise
seulement par des processus du second ordre. En tenantcompte
de(2)
et(3),
onvoit que le processus du
premier
ordre consisteen courants
hydrodynamiques
de laphase
excitée,
et le processus du second ordre tombe
uniquement
au
compte
d’une diffusion de laphase dégénérée.
Nous devons donc forcément renoncer à attribuer
un
champ unique
de vitesses moyennes ausystème
total,
possibilité
que nous avonsdéjà prévue
auparagraphe
4 deI ;
il faut considérer les deuxphases
séparément.
Nous n’examinerons que les processus du
premier
ordre,
où laphase
excitée est seule enjeu.
Danscette
approximation,
le mouvement de laphase
dégénérée
reste encore indéterminé.+
Nous attribuerons donc une vitesse moyenne Ucxc à la
phase
excitée(nous
laissons ouverte laquestion
de savoir s’il est
possible
ou non d’attribuer aussiune vitesse moyenne à la
phase
dégénérée).
Écri-vons enpremière approximation
leséquations
hydro-dynamiques
pour cettephase
seule(ci.
la discussiongénérale
duparagraphe
de 4 de1)
Ajoutons l’équation
de conservation del’énergie
en
première approximation
pour le gazparfait
monoatomique (Cf.
parexemple
Commela
phase dégénérée
ne contribue ni àl’énergie
nià la
pression
p, cetteéquation
serapporte
aussià la
phase
excitée seule(6)
est d’ailleurs la condition pour que les processusconsidérés soient
adiabatiques.
De(6)
et(4c)
on tire immédiatement
l’équation
de continuitépour la
phase
excitée seule(7)
peut
d’ailleurs être obtenu sanscalcul,
si l’onremarque que les
changements
adiabatiques
d’un gazparfait
ne modifient pas larépartition
desatomes entre les différents niveaux. En
particulier,
la
répartition
entre les deuxphases
est un invariantadiabatique.
Avant de discuter les
conséquences
deséquations (5)
et(7)
considérons, comment elles peuvent être établies à l’aide de la théoriecinétique
des gaz.Rappelons
brièvement la démonstration deséqua-tions
hydrodynamiques
d’un gazhomogène
en théoriecinétique (CI.
parexemple [II]
et[22]).
Pour les
petites
déviations del’équilibre,
le gaz est décrit par la fonction derépartition
f ~
est la fonction derépartition d’équilibre.
Parexemple
dans le cas du gaz de B-E non condensé( T
>T o)
où r est la vitesse des atomes, u = r est la vitesse moyenne. o est une fonction
petite
par rapport à l’unité et qui se détermine parl’équation
intégraledes chocs.
La fonction
f o
est caractérisée parcinq paramètres
-7-macroscopiques :
A, T, u.(Le potentiel chimique
est 1 = k T
log A).
En écrivant les
équations
detransport
pour la masse,l’impulsion
etl’énergie
et en prenant la moyenne, avec la fonctionf,
on obtient leséquations
hydrodynamiques générales;
si l’on se borne au termef o
il en résulte lapremière approximation
deséquations
hydrodynamiques
que nous allonsenvisager
mainte-nant etqui
prennent leur forme habituellelorsqu’on
introduit au lieu de A, T lesparamètres
densité etpression
avec U = r - u
(h
est la constante dePlanck).
Lesystème
est caractérisé par lescinq paramètres
p,+
p, u, ce
qu’on
peutexprimer
encore en disant quechaque
élément de volume peut êtreremplacé
parune masse
ponctuelle.
Cettehypothèse
fondamentale del’hydrodynamique (C f . ~
4 deI) peut
donc être établie en théoriecinétique
pour le gazparfait.
Toutefois, ces
équations
neprésenteront
uneapproxi-mation raisonnable que si le
développement (8)
est sufiisammentconvergent.
On voit immédiatement que ce n’est pas le cas du gaz de B-E condensé(T
To).
D’après
London[7],
la fonction derépartition
dece
système
est dans la limite : N -~ ~,,
N/ V =
const. discontinue la forme. On peut luidonner
Cette fonction se compose de deux termes
analyti-quement différents. Le premier
correspond
à laphase
excitée et estidentique
à la fonction derépartition
du gaz non condensé(9),
saufqu’elle
nedépend
que,
de quatre
paramètres
T, u,puisqu’on
a A = 1(
=o).
D’où il résulte que
l’équation
d’état a la forme. Le second terme est une ~- fonction de Dirac
-
multipliée
par lecinquième paramètre
macroscopique~ caractérisant le
système :
la densité des atomesOn se rend compte facilement que la fonction
(11)
ne peut pas servir à former des valeurs moyennes.
Ses deux termes
correspondent
à des constituants,dont les
propriétés
statistiques sont foncièrement différentes. Par exemple (10) et(11)
montrent que seule lepremier
donne une contribution à lapression.
Leséquations hydrodynamiques
( 5 ), (6)
et(7)
s’obtiennent en formant les valeurs moyennes à l’aide du premier terme de(11)
seul.Discutons maintenant le
système
deséquations ~5)
et(7),
ou bien lesystème
équivalent (4)
et(6),
surtout afin de voir comments’égalisent
lesdiffé-rences de
température
et depression. Après
l’élimi-nation de on a
quatre
équations
différentielles pour déterminer p et ou T et uexc*Étant
donné les conditions initiales et auxlimites,
onpourrait
enprincipe
déterminer latempérature
en fonction des coordonnées et dutemps.
Mais contrairement àl’équation
ordinaire de la conducti-bilitéthermique,
cesystème d’équations
n’est pas linéaire et sa discussion offre les mêmes difficultés que celles deséquations hydrodynamiques classiques
relatives auphénomène
de la turbulence.Envisageons
le casparticulier
où les vitessesprovoquées
par les différences de lapression (ou
de la
température)
sont assez faibles pour que l’onpuisse négliger
les termesquadratiques
de(5).
On obtient dans ce cas en éliminant u,,, de(4)
et(5),
comme dans
l’hydrodynamique classique
’
avec la vitesse de
propagation
des ondes sonores( 12)
estlinéaire,
on tire donc de(4 b)
Les différences de
température s’égalisent
donc dans un gazparfait
de B-E condensé suivant uneéquation hyperbolique
depropagation,
parl’inter-médiaire d’un effet
thermomécanique.
L’intérêtpratique
de ce mécanisme consiste dans le faitqu’il
peut
êtregénéralisé
auliquide
de B-E etpeut
être mis en
rapport
avec lasupraconductibilité
thermique
observée dans l’He II.2. L’effet
thermomécanique
dans leliquide
de B-E. - Nous avons vu auparagraphe
précédent
que les deux
phases
du gazparfait
de B-E condensé sontindépendantes,
tant que l’on se borne auxprocessus du
premier
ordre. Ouplus
précisément,
ces processus ne concernent que la
phase
excitée,
le mouvement de la
phase dégénérée
restant tout à fait indéfini à cetteapproximation.
Évidemment,
en tenantcompte
des chocs desparticules,
on obtiendra en deuxièmeapproximation
un
couplage
des deuxphases.
L’approximation
du
paragraphe précédent
n’estapplicable qu’au
caslimite du
couplage
faible du gazparfait (petites
densités et faibles
interactions).
Dans le cas du
couplage
moyen(gaz
réel),
les conditions deviennent tréscomplexes.
L’équation
d’état n’aura
plus
la forme(4)
et lapression dépendra
aussi de la densité : p = p
(p, T).
On n’aura donc pas d’effetthermomécanique,
du moins de la formesimple
que nous venons de discuter.L’autre cas limite du
couplage
fort est réalisédans le
liquide
de B-E. Comme dans tous lesliquides,
lapression dépendra
essentiellement de la densité. Si l’onnéglige
la tension de vapeur duliquide
et sa dilatationthermique,
cequi
estpermis
au
voisinage
du zéroabsolu,
on obtientl’équation
d’état dans ce cas limite sous la forme
(3)
P ~ P ( p 1 .
Mais il existe en outre dans le
liquide
de B-Eune
pression
d’un caractère toutparticulier. D’après
notrehypothèse
fondamentale y(§
2 deI)
ils’y
trouve des états excitéscorrespondant
à unetranslation des
particules
individuelles : des nombresquantiques représentant
desimpulsions
peuvent
être attribués aux
particules
excitées. Cet état de chosespeut
s’exprimer
en disant que leliquide
contient un « gaz de
quanta
de translation o.Si ce « gaz » a une existence
réelle,
la translationdevra donner naissance à un tenseur des
pressions
[c f . (10)
deI].
Lescomposantes
nondiagonales
de ce tenseur
représentent
des effortstangentiels
et devraient se manifester par une viscosité. En
effet,
en estimant celle-ci d’une manière
analogue
au cas desgaz, nous avons pu rendre
compte
quantitativement
de la viscosité de l’He II
(Cf. §
5 deI.)
Les membres
diagonaux
de ce même tenseurreprésentent
unepression
scalaire :w
Nous allons montrer
que cette
pression
n’est rien d’autre que cellequi
se manifeste dans lephénomène
de fontaine et
qu’elle permet
de rendrecompte
dela
singulière
convection de matière liée à lasupra-conductibilité
thermique.
L’existence des deux
pressions
p, pexc a pourconséquence
que lesétapes
de l’établissement de - (3) Cette approximation est justifiée dans tous les casintéressants, sauf naturellement s’il s’agit de rendre compte de coefilcient négatif de dilatation thermique [15] et de Ja variation anormale de la conductibilité thermique avec la
pression [1]. Le coefficients de la conductibilité présente un
changement de signe à T = Il est positif
pour les
températures de pression basses. On peut rendre compte de
353
l’équilibre s’accomplissent
toutes deux par l’inter-médiaire de forcesmécaniques.
Le
premier
processus(établissement
del’équilibre
de
p)
sepoursuit
comme dansn’importe
quel
liquide
par des courantshydrodynamiques.
Enparticulier,
si les différences de
pression
et les vitessesprovo-quées
sontfaibles,
par l’intermédiaire d’ondessonores de vitesse
Nous allons vérifier que l’établissement de
l’équi-libre de se
poursuit plus
lentement. Il est doncpermis
de considérer ce deuxièmeprocessus à
pression
p consfanfe. Cette conditionpeut
êtreexprimée
par suite de(15)
sous la formeLa
pression
et la densité des atomes excités p,,, sont évidemment engénéral
fonctions de p et T.Mais étant donné que p est constant dans le
système
total,
cesgrandeurs
ne varierontqu’avec
T,
lorsdes processus considérés. «
L’équation
d’état »relative à pCÀ.c sera donc de la même forme que pour
le gaz
parfait
Un
gradient
de latempérature
entraîne doncun
grad
de p,,,,. et de pcxc et tend à s’évanouir parun courant de la
phase
excitée.Mais,
contrairementau cas du gaz
parfait,
les deuxphases
sont maintenantcouplées
mécaniquement
par la conditionp=const.,
ou bien par( l’7).
Si le
liquide
entier est au repos,chaque
courant de laphase
excitée estcompensé
par un courantopposé
de laphase
dégénérée.
Il est évidemment
impossible
d’attribuer unchamp
de vitesseunique
auliquide.
Nous tenteronsdonc de décrire
quantitativement
lesphénomènes
en attachant au
système
deuxchamps
devitesse,
correspondant
à chacune desphases,
selon lesprévisions
de la discussionplus
générale
dupara-graphe
4 de 1. Nous attribuerons ainsi une certaineindépendance
à cesphases,
cequi
estjustifié
par lefait
qu’une
transition deaN,,,
atomes de laphase
dégénérée
à laphase
excitée estaccompagnée
d’uneabsorption
de chaleur rv dN,.,e
k T. En sebornant donc aux processus
adiabatiques,
on n’aura enpremière approximation
aucune transition entreles deux
phases :
uneéquation
de continuité seravalable pour les deux
phases
séparément
Nous avons vu au
paragraphe précédent
que pourle gaz
parfait
ceséquations
peuvent
être tiréesrigoureusement
de la condition d’adiabaticité. Pourle
liquide,
dans le domaine de l’anomalie de la chaleurspécifique
- etnos résultats ne
s’appliqueront
qu’à
ce domaine -(29)
sera encore une bonneapproximation (4).
Considérons le cas
particulier,
où leliquide
est enfermé dans unrécipient
qui
est sigrand
que leseffets des
parois
solides soientnégligeables.
Suppo-sons
qu’il n’y
a pas de mouvement d’ensemble dans lesystème,
c’est-à-dire que(20) garantit
aussi que la constance de ladensité p
une fois
établie,
ne sera pasperturbée
lors desprocessus
envisagés.
Cette conditionsignifie
que lesdeux courants se
compensent
au travers dechaque
élément de surface. Est-ce vrai pour des éléments de surface aussipetits
que l’on veut? Nousrevien-drons
plus
loin sur cettequestion.
Si les deux courants se
compensent
quant
autransport
dematière,
il n’en est pas de même pourle flux résultant de chaleur
qui
estégal
à(effet thermomécanique).
Pour obtenir les
équations hydrodynamiques
deces doubles courants, nous
généraliserons
la méthode habituelle enremplaçant
la substance dechaque
élément de volume d V par deux massesponctuelles
Jnexc J11üeg = d V
correspondant
chacune à l’une des deuxphases,
avec des vitesses U,,,, En
appliquant
à cespoints
lamécanique ponctuelle
et en tenantcompte
. de
(20)
on obtient leséquations hydrodynamiques
de notre
système
enpremière approximation (5)
(4 ) Dans le domaine de la chaleur spécifique anomale
l’entropie de Debye pourra être négligée et l’entropie du
système
sera S = Sexe est l’entropie par quantum de translation, en général une fonction de la température. Mais dans l’approximation où È N lc T, sc,c sera une constante de l’ordre de grandeur de 1c. On aura donc pour les chan-gements adiabatiques ôS = o etPar conséquent ( I g a) et ( 19 b) seront valables à cetle
approxi-mation.
(5) En effet la fonction de Lagrange du système des deux points est
1 .) 1 .)
L --- . nlexc
11-2 ex c -1- .1
u:2,g d
+ q (xexe),On
peut
se borner à discuter leséquations
relativesà l’une des
phases,
parexemple (19 a)
et(21 a).
Ces
équations
sontidentiques
à celles du gazidéal
(4 a)
et(4 b),
sauf le facteur pdegqui
provient
pdu
couplage
desphases.
On les discutera donc d’une manièreanalogue
et, dans le casparticulier
où les+
vitesses Ucxc
provoquées
par legradient
de latempé-rature sont
faibles,
on obtiendra de nouveau leséquations hyperboliques
depropagation (12),
(14)
pour la
pression
et latempérature.
Mais lavitesse de
propagation
sera maintenant au lieude
(13)
_____
,
En nous servant des formules
(9)
et(13)
deI,
nous obtiendrons pour la vitesse des ondes de
température
dans l’He II la loi dedépendance
de TLa constante
physique
caractérisantl’égalisation
de latempérature
dans l’He II n’est donc pas uncoefficient de conductibilité
thermique,
mais unevitesse de
propagation
d’onde detempérature.
Remarquons
qued’après (23)
c’est-à-dire la vitesse des ondes de
température
est inférieure à celle du son dans le gaz desparticules
considérées et parconséquent
inférieure à la vitesse du son dans leliquide (ci.
aussi la Note addition-nelle II dans lapremière partie
de cetarticle).
Nous étions donc
justifiés
d’admettre quel’équilibre
de lapression
p s’établitplus
vite que celui de pexcet de la
température.
L’effet
thermomécanique
permet
de rendrecompte
qualitativement
de lasupraconductibilité thermique
observée dans le domaine de la chaleurspécifique
anomale de l’He II(c f .
parexemple [3]
[ I 4]).
Pourles
températures plus
basses(au-dessous
d’environo,8 -
o,gO K)
la conductibilitéthermique
redevient normale[16].
Dans ce dernier domaine la chaleurspécifique
deDebye
estplus importante
que celle due àl’énergie
desquanta
detranslation,
et l’on nepeut
pasprévoir
d’effetthermomécanique
obser-vable.Pour obtenir une vérification
quantitative
dela
théorie,
ilfaudrait
mesurer la vitesse depropa-gation
des ondes detempérature.
Cela ne serait la phase dégénérée ne contribue pas à la pression pcxc). (20) donne l’équation de liaison-
mexc rndeb Udcg = (J.
, r
-w
En éliminant altcraativement ue,c et l’aide de cette
équation, en mettant = dV grad
po,c et divisant par d V,
úX(’xc
on obtient les équations du mouvement (21).
possible
qu’en
observant dans un volume notabled’He II la
propagation
de faiblesinégalités
detempé-rature obtenues soit par
chauffage brusque,
soit parchauffage
périodique.
Il seraitparticulièrement
intéressant de mesurerViemp
en fonction de lafré-quence m du
chauffage.
L’équation
parabolique
ordinaire de la conductibilité
thermique
donnerait aussi des ondes detempérature,
mais ces ondesseraient fortement amorties et leur vitesse serait
proportionnelle
à~% c~.
D’après (22), (23)
la vitesseest
indépendante
de M. La mesure de ladispersion
des ondes
permettrait
l’étude des effets du secondordre dont nous n’avons pas tenu
compte
dans cetteapproximation.
Ces effets sont d’abord ceux
qui
interviennentaussi dans le cas des ondes sonores ordinaires :
f rottement
intérieur(ici
de laphase
excitéeseulement)
et conductibilité
thermique
proprement
dite. Il existe en outre des effetsqui
n’ont pasd’analogue
classique :
corrections del’équation
de continuitépar suite des transitions entre les
phases
et surtoutun effet
qui pourrait
êtredésigné
commefrottement
extérieur et
qui
est dû à la différence des vitesses des deuxphases.
Les effets
classiques
peuvent
être estimésfacile-ment et ne
jouent
pas de rôleimportant,
pourvuque les dimensions du
récipient
soient assezgrandes.
Par contre nous ne sommes pas parvenus à une
discussion satisfaisante du frottement extérieur. L’effet devrait
pourtant
disparaître
à la limite desbasses
fréquences
et des faibles différences detempérature.
Noséquations
seront sans doutevalables dans ce cas limite
(6).
3. Phénomènes dans les tubes
capillaires.
-Jusqu’ici
toutes lesexpériences
ont été faites dansles tubes
capillaires (et
sur des « surfacescapillaires »),
où les effets du second ordre et la turbulence ne
permettent
pas de discussionquantitative.
Cependant
l’influence desparois
solides sur leliquide
de B-E, dégénéré présente
des traits sicaractéristiques qu’on
parvient déjà
à l’aide d’une discussionqualitative
à une
interprétation
satisfaisante desphénomènes
capillaires
dans l’He II.Nous avons
souligné
auparagraphe
6 de I quel’influence des
parois
solides sur l’écoulement d’unliquide
n’est pas la même dans unliquide visqueux
(6) L’étude expérimentale des effets du second ordre
permettrait aussi d’attaquer la question de la compensation des deux courants. C f . (20). Si le frottement extérieur était beaucoup plus faible que le frottement intérieur, la compen-sation des deux courants aurait lieu au travers de tout élément de surface (assez grand pour qu’on puisse définir
encore une vitesse moyenne). Dans le cas contraire, la formation de couches laminaires serait plus favorable : la vitesse résultante serait opposée dans des couches voisines. Si l’on fait abstraction de l’effet des parois, l’élément de surface peut être toujours choisi assez grand pour que (20)
et ses conséquences restent valables, même si l’on devait
355
et dans un
liquide superfluide.
Dans lepremier
cas on atoujours
une couche mince laminaire attenant à laparoi,
où la vitesse tend vers zéro pour s’évanouirà la
paroi.
(Loi dePoiseuille).
Par contre, dans lesecond,
la vitesse d’écoulement de la couche attenant à laparoi
solide seraplutôt plus grande
que la vitesse à l’intérieur duliquide. (La
« résistanceturbulente à deux dimensions » est
plus
faible quecelle « à trois
dimensions ».)
Appliquons
ceci aux courantscouplés
de l’effetthermomécanique :
dans la couche mince attenant à laparoi,
la vitesse de laphase
excitée seranégli-geable,
u~,,~ =o, tandis que celle de la
phase
dégénérée
aura des valeurs considérables. L’effetthermomé-canique
se manifestera donc par un courantrésultant,
un
transport
de matière dans la direction destempé-ratures croissantes au
voisinage
de laparoi,
avec lavitesse
Il est
particulièrement
intéressant de considérerle cas limite des tubes très
minces,
où le diamètredu tube atteint l’ordre de
grandeur
de la coucheattenant à la
paroi.
Dans cestubes,
la vitesse Ucxcsera
négligeable
dans toute lasection,
tandis que la vitesse d’écoulement de laphase dégénérée
aurades valeurs considérables. Nous
appellerons
briève-ment de tels tubes des
capillaires semi-perméables.
Considérons maintenant lesprincipaux dispositifs
expérimentaux.
a. Conductibilité
thermigue
d’un ttf
d’He II ». -Ils’agit
dudispositif
habituel de mesure deconduc-tibilité
thermique :
les deux bouts d’un tuberempli
d’He II sont maintenus à l’aide de réservoirs
ther-miques
auxtempératures
constantesT2 ( T1 > T 2).
La diff érence de
pression
Pexc provoque des courantsopposés
qui
secompensent
au travers de la section totale du tube. Le courantsuperfluide
vers le réservoir chaud sera
prépondérant
à laparoi,
le courant
opposé
à l’intérieur.Les
équations
de continuité(19)
ne seront pasvalables aux lieux de contact avec les réservoirs de
chaleur. Au réservoir chaud on a une source d’atomes
excités : j atomes
dégénérés
font par seconde unetransition vers la
phase
excitée,
d’où résulte uneabsorption
de chaleurLe processus inverse a lieu au réservoir
froid,
où lachaleur
est
dégagée
par lesystème.
La différenceest utilisée pour l’accélération des courants et le
régime
stationnaire est atteint dés que cetteénergie
estdissipée
par les effets du second ordre. Le fluxde chaleur que
transportent
ces courants par unitéde
section
et detemps
estoù nous avons admis que
Uexc est la vitesse moyenne stationnaire.
Remarquons
que letransport
de chaleur lors de la convectionordinaire est
beaucoup
plus
petit
Pour obtenir le coefficient de conductibilité
apparent,
il faudrait calculer u,,, en fonctionde
(T1- T2),
ou bien dePexc(Tl) - Pexc(T2).
C’est unegénéralisation
duproblème,principal
del’hydrau-lique qui
nepeut
êtrerésolu,
même dans le casclassique,
que d’unefaçon
semi-empirique.
Nous allons essayer
provisoirement
la formuleL’introduction du facteur se
comprend
par, , P
l’équation (21).
Etant donnée la faible viscosité de laphase
excitée et lasuperfluidité
de laphase
dégénérée,
l’écoulement auraprobablement,
mêmedans des tubes
capillaires
trèsminces,
un caractèreturbulent. Dans
l’hydraulique
ordinaire on pose-c
C’est ce que nous admettrons en
première approche
et nous obtiendrons ainsi pour le courant de
chaleur,
en tenant
compte
de(9)
et(13)
de 1Cette formule est en bon accord avec
l’expérience.
Le fait découvert par
Allen,
Peierls et Uddin[3]
(c f .
aussi[ z 4])
que le courant de chaleur n’est pasproportionnel
augradient
detempérature,
seraitdonc dû à un effet
hydrodynamique,
à la turbulencesuperfluide.
(27)
rendcompte
aussi du maximumde la conductibilité
thermique
à unetempérature
donnée
[ 14]
etb. Le
phénomène
de lafontaine
d’hélium. -Considérons ledispositif
bien connu d’Allenet
[5].
Un tubesemi-perméable
verticalplonge
dansun bain d’He II à
température
T2
constante etaboutit en haut à un
récipient
maintenu àtempérature
constanteT 2.
La différence depression
peut
maintenir la différence de niveau entre lerécipient
et le bain et provoquer un couranttravers la vapeur.
Supposons
que dans lerégime
stationnaire son intensité soit de v atomes parseconde. On aura W = v w, où W est le courant
de chaleur traversant le
dispositif
et w la chaleurd’évaporation
par atome(plus
précisément
le travailde sortie d’un atome
dégénéré
qui
est un peuplus
grand). Soulignons
que le tubesemi-perméable
n’esttraversé par aucun courant de
chaleur,
mais seulementpar un courant de convection de « maflère
f roide
».Notre
pression hypothétique
p~,~ est doncdirec-tement mise en évidence dans ce
phénomène.
Samesure
quantitative
n’estpourtant
paspossible
par cedispositif.
La différence depression
(28)
estéquilibrée
seulement enpartie
par la différence depression hydrostatique,
elle entretient aussi le courant de la fontaine. Nous ne pouvons pas estimeractuellement cette
partie
de lapression,
la relationentre
grad
pcxc et Ucxc étant inconnue(7).
Si le tube est
trop
large
pour êtresemi-perméable,
le courant de la fontaine serapartiellement
ouentiè-rement
compensé
par les courantsopposés
à l’inté-rieur du tube. L’effetpeut
mêmechanger
designe
et le niveau durécipient
seraplus
bas que celuidu
bain,
comme on l’a observé récemment[5].
c.Écoulement.
-L’écoulement par un tube
semi-perméable
est dans une certaine mesure leprocessus inverse du
phénomène
de fontaine. Envi-sageons donc le mêmedispositif,
avec une différencede niveau entre
récipient
etbain,
mais sanschauffage.
Sous l’influence de la
pression hydrostatique
laphase
superfluide
s’écoulera par le tubesemi-perméable.
La concentration de laphase
excitéecroîtra donc dans le
récipient :
pexe,1 > etpar
conséquent
pl’),.e, > etT,
>T2.
Ilpar écoulement une
différence
detempérature qui
nepeut
pasprendre
degrandes
valeurs à cause de ladistillation
qu’elle
provoque. Cette différence detem-pérature,
que nous avonsprévue
par la théorie[20],
a été récemment observée par Daunt etMendels-sohn
[9] (8).
Un autre trait
caractéristique
de cet écoulement est sonindépendance
de lapression hydrostatique
qui
le provoque. Nous avonspensé pouvoir
interpréter
ce fait en admettant que la vitesse d’écoulement estdéterminée par la vitesse de la distillation
qui
l’accompagne
nécessairement. Mais desexpériences
récentes ont infirmé cettehypothèse [ I o].
Nous trouvons icipeut-être
la seule loiexpérimentale
nettement établiequi
n’ait pas trouvé encore sonexplication
dans notre théorie.Le cas des tubes
qui
sonttrop
larges
pour arrêterla
phase
excitée estbeaucoup plus complexe.
L’écou-lement
peut
être alors considéré comme lasuperpo-(7) Dans une note préliminaire [21] I nous avons affirmé
l’égalité entre (T2) et la différence de pression hydrostatique, ce qui n’est pas correct.
’
(8) Je tiens à remercier Mendelssohn pour la
commu-nictation de ses résultats avant leur publicaLion.
sition de deux processus : 10 écoulement du
liquide
~ entier àcomposition
inchangée;
20 écoulementsuperfluide
de laphase
dégénérée accompagné
d’une différence detempérature
et d’une distillation(inversion
de l’effetthermomécanique).
Lepremier
processus a lieu surtout à l’intérieur du
tube,
ledeuxième surtout à la
paroi.
L’étude la
plus systématique
de laquestion
est due à Allen et Misener[2]
(c f .
aussi[6], [ 1 ~]
et[ 13]).
En variant les conditions
expérimentales (section
et
longueur
destubes,
latempérature
et la différencede
pression),
ils ont trouvé unegrande
variété delois reliant la vitesse d’écoulement et la différence
de
pression.
Les courbes obtenues nes’interprètent
que dans les cas limites par
l’hypothèse
d’écoulementshydrodynamiques,
laminaires ou turbulents.Pour rendre
compte
de leursrésultats,
ils ont été amenés à admettre l’existence de deuxcomposantes
de l’écoulement
qu’ils
ontappelées :
10 « bulk flow »;2° «
capillary
flow ». Cettedécomposition
est mise enévidence très clairement dans les
expériences
lesplus
récentes[5]
et ellecorrespond
bien à ladécom-position
où nous sommes parvenus dupoint
de vuethéorique.
Néanmoins il n’est pas
possible
d’obtenir les loisprécises
desuperposition
des deuxcomposantes
del’écoulement. Il faudrait étudier d’abord les processus
plus simples (quoique plus
difficiles à réaliserexpéri-mentalement),
comme l’écoulementsuperfluide
purau-dessous de o,8 -
o,go
K(c f . ~
6 de 1). Il nousmanque aussi une notion
plus précise
du « frottementextérieur ». Enfin la
superposition
des deux processus semble être influencée par des circonstancesplutôt
fortuites, comme par
exemple
lalongueur
des tubes(Effet
desbords,
etc.).
d. Le
phénomène
degrimpage.
- Nousavons
interprété
auparagraphe
6 de I la couche mobileobservée dans ce
phénomène [8]
et[10]
comme unecouche d’un
liquide superfluide
en mouvement« turbulent à deux dimensions ». Dans le cas
actuel,
il faut
simplement
tenircompte
du fait que ce n’estpas le
liquide
entier; mais seulement laphase
superfluide qui prend
part
augrimpage.
Lesparois
jouent
donc le rôle d’un tubesemi-perméable.
L’analogie
entre les deuxphénomènes
a étésoulignée
aussi par Allen et Mendelssohn
(loc. cil.).
L’augmentation caractéristique
de la vitesse degrimpage, quand
latempérature
diminue,
s’explique
simplement d’après (24)
par une concentrationcroissante de la
phase superfluide,
donc de laquantité
de matièreprenant part
augrimpage.
4. Discussion des idées de H. et F. London
sur les effets de
transport
dans l’He II. -- Dansun article récent H. London
[.1 9]
a donné une discus-sionthermodynamique
de l’effetthermomécanique
dans l’HeII,
qui
estpurement
phénoménologique.
357
diamètre d
rempli
d’HeII,
entrelesquelles
existeune différence de
température àT,
on observeune différence de
pression hydrostatique
Ilph
queH. London traite comme une
grandeur
thermo-dynamique ;
elledépend
de p,T, 11 T
et encoreessentiellement de d. Cette différence de
pression
accomplit
du travail lors dutransport
dechaleur;
ce processlts est donc au moins en
partie
réversible.H. London admet que les
parties
irréversibles etréversibles sont
indépendantes
et ne calcule que ces dernières.A la limite d ~ o
(tubes semi-perméables),
sesrésultats sont
identiques
aux nôtres :àpi,
se confondavec notre
Apexc.
c’est donc dans ce casparticulier
une fonctioncaractéristique
duliquide.
Latrans-mission de chaleur est entièrement
réversible,
abstraction faite del’énergie dissipée
par le courantsuperfluide
(turbulence,
frottementextérieur).
Maissi l’on
augmente
la section du tube à etApcxc
restantconstants,
Apl,
diminue pour s’évanouirquand
c’est-à-dire à I«intérieur duliquide,
loin des
parois.
Dans ce cas letransport
réversibledisparaît,
la théoriethermodynamique
de London neconduit donc à aucune conductibilité
thermique
anomale.Quoique
l’étudeexpérimentale
de lasupra-conductibilité
thermique à
l’intérieur duliquide
soit "encore à
peine
ébauchée,
l’existence même de cettesupraconductibilité paraît
être un faitexpérimental
(9).
London doit donc admettre
qu’en
dehors de son« mécanisme réversible »
jouant
un rôle àproximité
des
parois,
il existe un « mécanisme irréversible »qui
reste tout à fait
étranger
à sa théorie.(Celui-ci
estbien à
distinguer
de la conductibilité de chaleurnormale,
touj ours irréversible).
Par contre notre essai
d’interprétation
ne considèrequ’un
mécanismeunique,
un seul effetthermo-mécanique.
Celui-ci ne donne à l’intérieur duliquide
aucun courant résultant observable, aucun travail
utilisable. Les
phénomènes qui
en résultent sontdonc irréversibles. C’est seulement au
voisinage
desparois,
où laphase
excitée estfigée qu’apparaissent
les mouvements
macroscopiques (effet
thermo-mécanique
proprement
dit)
et à la limite des tubessemi-perméables
les processus deviennent réversibles. Ils’agit
là pour nous seulement d’un cas limite.C’est parce
qu’il
est très saillant et facile à observerqu’il
a attiré depréférence
l’attention.Tandis que la théorie de H. London est
purement
phénoménologique,
F. London a choisi un modèletrès
particulier
de l’Heliquide,
afin de donner unfondement
atomique
à cette théorie.Il considère l’He
liquide
comme unmétal,
dont(9) L’établissement d’inégalités de température dans l’He II n’est possible que dans les tubes minces [2]. En refroidissant l’He liquide par évaporation, il cesse de bouillir dès que la température s’abaisse au-dessous du point A, ce qui ne
s’explique que par sa grande conductibilité thermique à l’intérieur du liquide.
les électrons et les ions sont
remplacés
par des atomes d’He. Chacun des atomes se trouve dans lechamp
« self-consistant » des autres(1°).
Laftuidité
du
liquide
seraitreprésentée
dans cetteimage
parla conductibilité du métal. On se rend
compte
aisé-mentqu’un
métal dont les électrons obéiraient à lastatistique
de B-E serait unsupraconducteur.
Cette
supraconductibitité correspondrait
donc à lasuperfluidité
duliquide.
Sans discuter
jusqu’à quel point
on a le droitde
développer
l’analogie
entre la fluidité et laconduc-tibilité,
nous noteronspourtant
que certains traits essentielsparaissent échapper
à une telle discussion.Ainsi,
pour rendrecompte
de lapression
il faut établirqu’il
n’existe pas de courant de laphase
excitée dans une couche mince attenant à la
paroi.
Pour nous, c’est la vitesse d’écoulement de cettephase
qui
s’évanouit par suite de sa viscosité. PourLondon,
la conductibilité étant un effet devolume,
l’influencede la
paroi
nes’explique
que par unehypothèse
supplémentaire :
il admet que la densité de laphase
excitée est fortement diminuée dans la couche atte-nante. Cette modification considérable de la structure
même du
liquide
à uneprofondeur
deplusieurs
centaines d’ ~ serait due auxforces
de van der Waalsprovenant
de laparoi.
’
Conclusion. - Nous
avons
développé quelques
propriétés
desliquides quantiques
et obtenu entre autres les résultats suivants :I° Les
liquides quantiques
n’ont pas de « viscositédynamique », engendrée
par les forcesinteratomiques.
20 Ils ont une « viscosité
cinétique
» due autrans-port
d’impulsion
par translation des atomes. Pour T - o, celle-ci tend vers une limite finie dans le casdu
liquide
de Fermi-Dirac et vers zéro dans le casdu
liquide
de Bose-Einstein. Ce dernier estsuper-fluide au zéro absolu.
30 La vitesse d’écoulement
superfluide
dans lacouche attenant aux
parois
solides( «
turbulencemoléculaire à deux
dimensions » )
estplus grande
que la vitesse au centre du tube.4°
Leliquide
de B-E a deuxmodifications,
déli-mitées dans lediagramme
T,
V par une courbe dedégénérescence Ta ( V).
Leliquide
de B-Edégénéré
( T
To)
est unmélange
d’une« phase
excitée » dont lesatomes sont en translation
thermique
et d’une (lo) En employant la méthode Hartree on décrit chaque atome par une fonction d’onde individuelle. En particulieraux atomes dégénérés correspondent des fonctions d’onde à longueur d’onde infinie. London a insisté sur les difficultés résultant de ce fait (a omniprésence » de ces atomes). Il faut
noter que ces difficultés ne se posent pas dans notre discussion du liquide de B-E, où nous avons évité d’attribuer des
fonc-tions d’ondes individuelles aux atomes. Il nous a suffi de
séparer dans la fonction d’onde du système total les ondes
planes des quanta de translation correspondant aux atomes excités (C f . § 3 de I).
«
phase
dégénérée
» pourlaquelle
la translation est«
gelée
». On doit attribuer un tenseur depression
à laphase
excitée. Celle-ci a une viscositécinétique;
la
phase dégénérée
estsuperfluide.
50 Les différences de
température
àpression
constanteprovoquent
des courantsopposés
desdeux
phases,
accompagnés
d’untransport
important
de
chaleur,
mais secompensant
engénéral
quant
autransport
de matière.(Effet
thermomécanique.)
La théorieprévoit
sous certaines conditions lapropagation
d’ondes detempérature.
Une transitionentre les deux
phases
n’a lieu enpremier
approxi-mation
qu’aux
lieuxd’échange
de chaleur avecl’entourage.
60 La vitesse d’écoulement de la
phase visqueuse
estdiminuée,
celle de laphase
superfluide
estaugmentée
auvoisinage
desparois
solides. Dans lestubes très
minces,
une différence detempérature
provoque un flux de matière dans la direction des
températures
croissantes(effet thermomécanique
proprement
dit).
70
Lespropriétés qualitatives
duliquide
de B-E sont en accordparfait
avec les faits observés dansl’He
liquide.
Pour une étudequantitative
de lasuperfluidité
le domaine destempératures
basses T 0Jo,8-o,g~
auraitl’avantage
d’éliminer lescompli-cations
thermiques (présence
de laphase visqueuse).
L’étudequantitative
dethermomécanique
seraitpossible
en observant lapropagation
des faiblesiné-galités
detempérature
(périodiques,
ou nonpério-diques),
dans des volumes notables duliquide.
Onpourrait
observer ainsi les courantsprovoqués
par leurspropriétés thermiques
sous des conditionshydrodynamiques
relativementsimples. (Pas
deturbulence,
ni d’effetscapillaires.)
Finalement
je
tiens à remercier M. PaulLangevin
qui
a bien voulum’accepter
dans son laboratoire. Je remercie vivement M. E. Bauer pour l’intérêt constantqu’il
aporté
auprésent
travail et pour sesnombreuses remarques
critiques.
Je remercie MM. F. London et F. Simon pour les discussions fructueuses que
j’ai
eues avec eux.Je remercie le « Comité
français
pour l’accueuilet
l’organisation
du travail des savantsétrangers »
qui
m’a aidé àpoursuivre
mes recherches à Paris. Manuscrit reçu le 23 octobre 1939.BIBLIOGRAPHIE.
[I] J. F. ALLEN et E. GANZ, Proc. Roy. Soc., I939, A, 945, p. I7I.
[2] J. F. ALLEN et A. D. MISENER, Proc. Roy. Soc., I939,
A 172, p. 467.
[3] J. F. ALLEN, R. PEIERLS et M. Z. UDDIN, Nature, I937, 140, p. 62.
[4] J. F. ALLEN et J. REEKIE, Proc. Camb. Soc., I939,
35, p. II3.
[5] J. F. ALLEN et J. REEKIE, Nature, I939, 144, p. 475. [6] E. F. BURTON, Nature, I938, 142, p. 72.
[7] A. EINSTEIN, Berl. Ber., I925, p. 3.
[8] J. G. DAUNT et K. MENDELSSOHN, Nature, I938, 141,
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[9] J. G. DAUNT et K. MENDELSSOHN, Nature, I939, 143, p. ooo.
[I0] J. G. DAUNT et K. MENDELSSOHN, Proc. Roy. Soc.,
I939, 170, 423.
[II] ENSKOG DISS. Upsala, I9I7.
[I2] W. F. GIAUQUE, J. W. STOUT et R. E. BARIEU, Phys.
Rev., I938, 54, p. I47.
[I3] P. KAPITZA, Nature, I938, 141, p. 74.
[I4] W. H. KEESOM, A. P. KEESOM et B. F. SARIS, Physica, I938, 4, 28I.
[I5] W. H. KEESOM, A. P. KEESOM et B. F. SARIS, Commun. Kamerlingh-Onnes, Lab. Leyden Univ., n° 224 d et 224 e.
[I6] N. KÜRTI et F. SIMON, Nature, I938, 141, p. 207.
[I7] F. LONDON, Phys. Rev., I938, 54, p. 947.
[I8] F. LONDON, Journ. Phys. Chem., I939, 43, p. 49.
[I9] H. LONDON, Proc. Roy. Soc., I939, 171, p. 484. Cf. aussi Nature, I938, 142, p. 6I2.
[20] L. TISZA, Nature, I938, 141, p. 9I3.
[2I] L. TISZA, C. R. Acad. Sc., I938, 207, p. I035 et II86.
