II Construction de la théorie

Intégration

Leçon 11

Tale-Spé-Math- Lycée Gustave Eiel - Bordeaux Thierry Sageaux.

"L’intégrité est la recherche de l’honnêteté à soi et non la recherche de l’intégration aux autres." Blaise Pascal (1623-1662)

I Intégrales, une aaire d'aire

On cherche à calculer (comme Archimède en son temps)A, l'aire hypographe de la fonctionf :x7−→x² sur l'intervalle[0, b](b >0).

L'idée est de calculer une approximation par encadrement :

On commence par subdiviser l'intervalle [0, b] ennsegments de longueur _n^b. Les nintervalles sont I_k = [^(k−1)b_n ,^kb_n]aveck∈[[1, n]].

Ensuite, on détermine les aires desnpetits et desngrands rectangles en utilisant le fait que la fonction est croissante sur[0,+∞[et doncf

(k−1)b n

≤f(t)≤f kb

n

pourt∈Ik.

Dénition 11.1 Si f est une fonction continue positive, dénie sur [a, b], on appelle intégrale de f sur [a, b]et on noteZ b

a

f(t)dtle réel représentant l'aire, exprimée en unité d'aire, de la portion de plan délimitée par la courbe représentativeCf, l'axe(Ox) et les droites d'équationsx=aetx=b.

Le "t" dans l'intégrale s'appelle la variable muette. Elle permet de savoir par rapport à quoi on intègre surtout quand il y a plusieurs variables ou des paramètres.

On appelle intégrande la fonction f à intégrer.

Remarque: La notation avec ce grand "S" vient donc du fait que l'on fait bien une somme entreaet b des aires des rectangles décrits plus haut. Mais vu que la subdivision est limite, la base devient l'innitésimal dt et la hauteur vautf(t). C'est assez cohérent.

Exercice 1.

DéterminerZ n 0

e^btcdt.

S'il n'est pas très dicile de généraliser le raisonnement précédent à des fonction qui ne sont pas monotones (il sut de considérer le maximum et le minimum def sur les intervallesIk), on est, en revanche, vite restreint avec cette dénition car il nous manque la gestion des fonctions non nécessairement positives.

On utilise alors une notation très pratique :

2 Thierry Sageaux

f⁺(x) =nf(x) sif(x)≥0

0 sinon etf⁻(x) =n−f(x) si f(x)≤0

0 sinon

Les deux fonctions f⁺ et f⁻ sont positives et on a trivialement f(x) = f⁺(x)−f⁻(x) et |f(x)| = f⁺(x) +f⁻(x).

On peut ainsi dénir naturellement l'intégrale d'une fonction de signe inconnu par Z b

a

f(t)dt= Z b

a

f⁺(t)dt− Z b

a

f⁻(t)dt .

Attention ! Ceci n'est plus une aire dans le cas général ! ! En eet,si la fonction change de signe, les aires hypographes peuvent se compenser et dans le cas où la fonction est négative, l'intégrale est elle aussi négative !

II Construction de la théorie

Le minimum requis pour cette notion est qu'elle satisfasse la Proposition 11.2 (Relation de Chasles)

Z c

a

f(t)dt= Z b

a

f(t)dt+ Z c

b

f(t)dt

Autant on comprend que ceci doit être vrai sib∈[a, c], mais que se passe-t-il sinon ? On utilise la convention Z b

a

f(t)dt=− Z a

b

f(t)dt . On remarque aussi que l'on doit avoir Z a

a

f(t)dt= 0 .

On en conclut alors une propriété élémentaire qui est bien souvent oubliée par les élèves : Proposition 11.3 Sif est impaire, alors Z a

−a

f(t)dt= 0. Si f est paire, alors Z a

−a

f(t)dt= 2 Z a

0

f(t)dt.

Mais ce que l'on aimerait par dessus tout, c'est que cet objet soit linéaire ! ! Par exemple, a-t-onZ b

a

2f(t)dt= 2 Z b

a

f(t)dt?

Un petit dessin permet de s'en convaincre si la fonction n'es pas trop dicile.

Qu'en est-il deZ b a

f(t)dt+ Z b

a

g(t)dt= Z b

a

(f(t) +g(t))dt? C'est moins clair

Ainsi, on devrait avoir la

Proposition 11.4 (Linéarité de l'intégrale) Soit(α, β)∈R², soient f etg deux fonctions continues sur un intervalle[a, b], on a

Z b

a

(αf(t) +βg(t))dt=α Z b

a

f(t)dt+β Z b

a

g(t)dt

La démonstration vient directement de la dénition qui suivra en termes de primitives (et donc de la linéarité qui en découle).

Si l'on revient à la remarque faite au début sur la décomposition f =f⁺−f⁻, on trouve que Z b

a

f(t)dt= Z b

a

f⁺(t)dt− Z b

a

f⁻(t)dt .

III Intégrales et inégalités

Proposition 11.5 Soientf etg deux fonctions continues sur un intervalle [a, b], si f(x)≤g(x)pour tout x∈[a, b], alors

Z b

a

f(t)dt≤ Z b

a

g(t)dt

Démonstration: On commence par le démontrer trivialement pour les fonctions positives (via les rec- tangles). Puis avec la décompositionf =f⁺−f⁻.

Corollaire 11.6 Soitf une fonction continue sur un intervalle[a, b]. On a

Z b

a

f(t)dt

≤ Z b

a

|f(t)|dt

Démonstration:

Dénition 11.7 Soitf une fonction continue dénie sur[a, b]. On appelle valeur moyenne def sur[a, b]

le réel

µ= 1 b−a

Z b

a

f(t)dt

Cette formule est à rapprocher de la formule de la moyenne arithmétique :

x= 1 n

n

P

k=1

x_k

En eet, lorsque que l'on considère la sé- rie statistique via un histogramme, on com- prend bien que la moyenne est obtenue par compensation des valeurs de xk entre elles, les mieux dotés donnant aux autres. Tout comme dans le graphique ci-contre.

En reprenant la même idée, on obtient la

Proposition 11.8 (Inégalité de la moyenne) Soit f une fonction continue sur[a, b]. Soient m etM deux réels tels quem≤f(x)≤M pour toutx∈[a, b]. On a alors l'encadrement de la valeur moyenne :

m≤ 1 b−a

Z b

a

f(t)dt≤M

IV Lien avec les primitives

On rappelle

Dénition 11.9 Soitf une fonction continue sur[a, b]. On appelle primitivedef toute fonction dérivable sur [a, b], notéeF telle que F⁰=f.

On sait que les primitives sont dénies à constante près.

On a vu aussi que certaines fonctions résistent à l'expression simple d'une primitive. Ce qui n'empêche que, dans le cas continu, une primitive existe toujours :

Théorème 11.10 Soitf une fonction continue sur un intervalleI. Sia∈I, alors F :x7−→

Z x

a

f(t)dt est l'unique primitive de f dénie surI, s'annulant ena.

Corollaire 11.11 Soitf une fonction continue sur un intervalle[a, b], siF est une primitive def sur[a, b], alors

Z b

a

f(t)dt=F(b)−F(a)

Démonstration: On pose c ∈ [a, b] et on considère la fonction F dénie par le théorème : F : x 7−→

Z x

c

f(t)dt.

On a alors F(b)−F(a) = Z a

c

f(t)dt− Z b

c

f(t)dt= Z b

a

f(t)dtpar Chasles.

Remarques: •On remarque que quelle que soit la primitive choisie, la formule fonctionne dans la mesure où siG(x) =F(x) +k, alorsG(b)−G(a) =F(b) +

k−F(a)− k.

• Pour plus de uidité, on écrit souvent le calcul à eectuer sous forme de "terme tout intégré" : F(b)−F(a) = [F(t)]^b_a.

Exercice 2.

Soientf(x) = x

1 +x² et g(x) = x³ 1 +x². 1) CalculerI1=

Z 1

0

f(x)dx. 2) On poseI2=

Z 1

0

g(x)dx. CalculerI1+I2. 3) En déduireI2.

Corollaire 11.12 Soitf une fonction continue et à dérivée continue sur un intervalleIcontenanta; Alors pour toutx∈I, on a

f(x) =f(a) + Z x

a

f⁰(t)dt

V Calcul intégral

V.1 Par primitive directe

On applique le calcul précédent en cherchant une primitive de l'intégrande.

Exemple: CalculerZ b 0

t²dt. La boucle est bouclée.

On rappelle que le mieux est de (très) bien connaître ses formules de dérivées et d'essayer de les appliquer à l'envers.

Exercice 3.

Jouez au jeu suivant : Si la fonction f a une des expressions suivantes, quelles sont les formules de dérivée à essayer pour primitiver ?

1) une fraction

2) une fraction avec un carré au dénomina- teur3) une fraction avec une racine carré au dé-

nominateur 4) un exponentiel 5) une racine carrée 6) un cosinus Exercice 4.

Justier l'existence des intégrales suivantes puis les calculer : 1) I₁=

1

R

−1

(t+ 1)(t+ 2)²dt, 2) I₂=

4

R

1

1 y√

ydy, 3) I₃=

2

R

1

a²

√1 +a³da,

4) I₄=

e

R

1

(lnb)⁵ b db,

V.2 L'intégration par parties

Quand la recherche de primitive directe est mise en défaut, on peut toujours essayer ce théorème :

Théorème 11.13 Soientuetv deux fonctions dérivables et à dérivées continues sur un intervalle[a, b]. On a

Z b

a

(u⁰v)(t)dt= [(uv)(t)]^b_a− Z b

a

(uv⁰(t)dt Démonstration:

Exercice 5.

CalculerZ 1 0

te^tdt.

V.3 Le changement de variables

Beaucoup plus délicat à mettre en ÷uvre, mais fondamental quand on aire une simplication radicale en changeant la variable.

Par exemple, si l'on cherche à calculer Z 1 0

e^t

1 +e^tdt, il est clair que l'on a envie de poser x=e^t... Voici comment faire :

Théorème 11.14 Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit ϕ : [a, b] −→ I une fonction continue de dérivée continue. Alors,

Z ϕ(b)

ϕ(a)

f(x)dx= Z b

a

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt

Démonstration:

Exercice 6.

CalculerZ 1 0

e^t 1 +e^tdt. Exercice 7.

Eectuer les changements de variables proposés pour calculer les intégrales suivantes : 1) Z 1

0

1

1 +x²dx, avecx= tant. 2) Z 3

0

√ x

x+ 1dx, avect=√ x+ 1.

3) Z ¹₂

√1 2

√ du

1−u², avecu= sint. 4) Z

√ 2 2

dt t√

t²−1, avecu=1 t. Exercice 8.

On poseI= Z e

1

lnt t dt.

CalculerI avec les trois méthodes précédentes !

V.4 La décomposition en éléments simples

Exercice 9.

1) On poseg(x) = 1

x(x²−1) pour x∈]1,+∞[. a) Trouver(a, b, c)∈R³ tel queg(x) = a

x+ b

x−1 + c

x+ 1 pour toutx >1. b) En déduire la primitive degsur]1,+∞[qui s'annule en2.

2) On posef(x) = 1 (x−1)(x−2).

a) Déterminer la primitiveF₁ def sur]2,+∞[vériant lim

x→+∞F₁(x) = 2. b) Déterminer la primitiveF₂ def sur]1,2[vériantF₂(³₂) = 1.

c) Exprimer e^F1(x)ete^F2(x) sous forme simple.

d) CalculerZ 4 3

ln(x−1)

(x−2)² dx. En donner une valeur approchée en utilisantln(⁴₃)'0,288. Le cas général est un peu plus compliqué qu'il n'y paraît... et certainement pas au programme de terminale.

VI Applications

VI.1 Les intégrales à paramètres

Exercice 10.

On posef(x) = Z 2x

x

1

lntdt etD=]0,¹₂[∪]1,+∞[. 1) Montrer quef est dénie surD.

2) Montrer quef est dérivable surD. 3) Montrer que∀x∈D,on a x

ln 2x≤f(x)≤ x lnx. En déduire lim

x→+∞f(x)et lim

x→0f(x).

4) On noteϕ(x) = 2−2x+ lnxpourx∈]0; 1].

a) Montrer qu'il existe un uniqueα∈]0,¹₂]tel queϕ(α) = 0. b) Monter que∀x∈[α,1[on alnx≥2x−2.

c) ∀x∈[α,¹₂[, on af(x)≤ 1 2

Z 2x

x

1 t−1dt. d) En déduire lim

x→¹₂

f(x).

5) Montrer que∀t≥1, on a 0≤lnt≤t−1et en déduire lim

x→1x>1

f(x). 6) Etudier le sens de variation def.

VI.2 Les intégrales de Wallis

Exercice 11.

On pose pour toutn∈N,

W_n = Z ^π₂

0

sinⁿ(t)dt. 1) Montrer que(W_n)est bien dénie. CalculerW₀ etW₁.

3) Etudier le signe et le sens de variation de(Wn).

4) Montrer que pour toutn∈N, on a(n+ 2)Wn+2= (n+ 1)Wn. 5) Que dire de la suite((n+ 1)WnWn+1)?

6) En conclure que

W2p= (2p−1)(2p−3). . .1 (2p)(2p−2). . .2

π 2 et W2p+1= (2p)(2p−2). . .2 (2p+ 1)(2p−1). . .1 7) SimplierW2p etW2p+1 à l'aide de factorielles.

8) Montrer que lim

n→+∞

W_n+1 Wn

= 1. 9) En déduire la formule de Wallis :

p→+∞lim

√p1×3× · · · ×(2p−1) 2×4× · · · ×(2p)

√1 π

VI.3 La pyramide de Khéops

Calculer le volume de pyramide de Khéops :h= 137m et la base est un carré de côtéb= 230m

VI.4 Le volume de la boule

On pourra commencer par une demi boule...

VI.5 Le pavillon d'une clarinette

Le pavillon d'une clarinette est une surface de révolution obtenue par la rotation spatiale de la courbe représentative de la fonction f :x7−→ α

(x−β)^0,6 autour de l'axe des abscisses.

Dans notre étude, on supposeα= 12,β =−3et on étudie sur[0,15](le tout en centimètres).

VI.6 La trompette de Toricelli

(On dirait plutôt une vuvuzela)

On choisit la courbe d'équationy = ¹_x que l'on fait tourner de la même façon que pour la clarinette précédente. De plus, on la suppose innie en l'étudiant sur [1,+∞[.

Exercice 12.

1) Calculer le volume de la trompette.

2) Quelle est son aire ?

VI.7 Et la bouée ?

Solutions des exercices

Exercice 2.

1) I₁= [¹₂ln|1 +x²|]¹₀= ln√ 2. 2) I₁+I₂=

Z 1

0

x

1 +x² + x³ 1 +x²

dx=

Z 1

0

x(1 +x²)

1 +x² dx= [x² 2 ]¹₀= 1

2 3) DoncI2= ¹₂−ln√

2. Exercice 3.

1) ^u_v, ¹_u, √

uoulnu. 2) ^u_v, ¹_u

3) √ u 4) exp(u) 5) u^α 6) sinu Exercice 4.

4) I1= 34

3 ,I2= 1, I3= 2−2√ 2

3 ,I4= 1 6 Exercice 7.

1) π 4. 2) 8

3. 3) −π

12.

4) Idem que la précédente après le changement.

Exercice 8.

Par changement de variableu= ln(t). Exercice 9.

1) a) Avec la technique du cours,(a, b, c) = (−1,¹₂,¹₂). b) G(x) =−ln|x|+¹₂ln|x−1|+¹₂ln|x+ 1| −ln

√3

2 la constante étant choisie pour faire en sorte queG(2) = 0.

2) a) On décompose en éléments simplesf(x) = −1 x−1+ 1

x−2. DoncF(x) =−ln|x−1|+ln|x−2|= ln

x−2 x−1

+Ksont les primitives def. Il faut choisirF1(x) = lnx−2

x−1+ 2(pas beosin des valeurs absolues sur]2,+∞[.

b) On prendF₂(x) = ln2−x x−1 + 1. c) e^F1(x)=e²x−2

x−1 ete^F2(x)=e2−x x−1. d) '0,432.

Exercice 10.

1) Si 0 < x < ¹₂, alors [x,2x] ⊂]0,1[. De même, si x > 1, alors [x,2x] ⊂]1,+∞[. Donc l'intervalle d'intégration ne contient pas de valeur négative ou égale à1et f est dénie.

2) La fonction 1

est continue sur avec , donc elle admet une primitive .

3) L'inégalité vient de la croissance duln. De plus, on en déduit lim

x→+∞f(x) = +∞et lim

x→0f(x) = 0. 4) a) Il sut d'étudier la fonctionϕpour voir qu'elle est continue et strictement croissante sur]0,¹₂].

Et commeϕ(¹₂) = 1−ln 2>0et lim

x→0⁺ϕ(x) =−∞, alors d'après le théorème de bijection monotone, il existe un uniqueα∈]0,¹₂]tel queϕ(α) = 0.

b) De plus,ϕ(1) = 0et doncϕ(x)≥0 pour toutx∈(α,1[. c) On utilise ce qui précède :0≥lnx≥2x−2 ⇔ 1

lnx≤ 1

2x−2 ≤0pour toutx∈[α,¹₂. En intégrant on trouve bien l'inégalité demandée.

d) On calcule Z 2x x

1

t−1dt= ln|2x−1| −ln|x−1|. Cette quantité tend vers−∞quandx→ ¹₂, x < ¹₂. Par comparaison, lim

x→¹₂

f(x) =−∞.

5) L'inégalité vient d'une propriété classique du cours (démontrée en étudiant là encore la fonction ob- tenue par diérence des deux quantités). En passant à l'inverse comme précédemment et en intégrant, on trouve

f(x)≥ Z 2x

x

dt

t−1 ⇔ f(x)≥ln|2x−1| −ln|x−1|

Ainsi, lim

x→1x>1

f(x) = +∞par comparaison.

6)

x

f⁰(x)

f

0 ¹₂ 1 2 +∞

− − 0 +

0

−∞

+∞

f(2) f(2)

+∞

+∞

Exercice 11.

1) W0=^π₂ etW1= 1.

2) Changer la variable :u= ^π₂−t. 3) positive et décroissante.

5) Constate égale à ₂₀^π. 7) W2p=

2p p

2^2p π

2 etW2p+1= 2^2p(p!)² (2p+ 1)!. 8) Par encadrement.

Exercice 12.

1) On trouveV_a= Z a

1

π x²dx=

−π x

^a

1

=−π

a +π−→ π quanda→+∞. 2) Il sut de minorer l'aire par les cylindres de rayons ¹₂, ¹₃,. . .,¹_n,. . .

Les aires valent respectivement ^2π₂ , ^2π₃ ,. . .,^2π_n ,. . . Donc l'aire cherchée est telle queA ≥2π

+∞

P

n=2 1

n. On retrouve la série harmonique dont on a montré la divergence. L'aire est donc innie.

N.B. Pour un calcul exact de l'aire, il faudrait calculer Aa = 2π Z a

1

q 1 +_x¹₂

x ≥ 2π

Z a

1

dx x = 2πlna.