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Submitted on 1 Jan 1929
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Théorie des sauts quantiques
J. Ullmo
To cite this version:
J. Ullmo. Théorie des sauts quantiques. J. Phys. Radium, 1929, 10 (1), pp.15-31. �10.1051/jphys- rad:0192900100101500�. �jpa-00205363�
THÉORIE DES SAUTS QUANTIQUES
par M. J. ULLMO.
Sommaire. 2014 La mécanique classique ne tient pas compte du fait que les forces d’in- teraction qui agissent sur l’électron sont propagées par ondes. D’autre part, la théorie de Maxwell ne définit aucune fréquence des ondes dont elle étudie la propagation. L’appa- rition de la discontinuité manifestée par les théories des quanta est attribuée à une pro- priété fondamentale de la matière, qui ne peut émettre ou recevoîr d’actions extérieures qu’à des intervalles d’action hamiltonnienne égaux à h. Ceci permet de définir des fré- quences pour le champ ambiant, champ des forces extérieures agissant sur l’électron.
Le champ ambiant apparaît ainsi discontinu du fait des électrons explorateurs qui sont nécessaires pour le faire apparaître, et on lui substitue, pour l’étude mathématique, un champ continu fictif de même amplitude et de même fréquence. Seules certaines de ces
fréquences sont stables, permettent l’équilibre entre le champ ambiant et l’électron qui
y est plongé : ce sont les fréquences données par l’équation de Schrodinger, qui est re-
trouvée à partir des conceptions précédentes : c’est donc une équation de condition ajoutée aux équations de la mécanique classique. C’est essentiellement parce qu’on traite
un problème de conditions aux limites que les « fréquences critiques » apparaissent.
(Le succès de l’interprétation statistique de l’équation de Schrodinger est attribuée aux propriétés générales d’une méthode d’intégration d’une équation aux dérivées partielles.)
En même temps, une interprétation de la cinquième dimension est proposée, et la raison donnée de la simplification qu’elle apporte aux calculs.
La théorie présente conduit naturellement à considérer le système d’équations de Dirac
et à donner une signification géométrique aux « spinvariables » qu’il a introduites.
1. - INTRODUCTION.
Lorsque M. Louis de Broglie a introduit ses « ondes de phasc » , il les concevrait comme un phénomène ondulatoire accompagnant le point matériel. La nature de ce phénomène
demeurait cependant imprécise, et les développements ultérieurs de la théorie, par Schrô-
dinger (’) puis par Dirac (2), la rendirent de moins en moins précise, au point qu’on
finit par renoncer à lui trouver une signification physique. Pourtant, les expériences de
Davisson et Germer (3), et toutes celles du même type, semblent attribuer à ces ondes une
réalité et démontrer qu’il y a en effet un phénomène ondulatoire qui accompagne l’électron
(et en général le point matériel).
Par ailleurs, lorsque la théorie moderne eut tout à fait renoncé à la notion d’action à distance, elle la remplaça par celle d’action propagée de proche en proche - par ondes
- avec la vitesse c de la lumière, et il existe un théorème pour démontrer que l’attraction
« neBvtonniennc » elle-même, due en yérité aux potentiels einsteiniens, se propage par ondes avec cette vitesse. Pour l’autre grande catégorie de phénomènes naturels, les phéno-
mènes électriques dus aux corps chargés (électrons), l’idée d’une propagation par ondes de vitesse c des interactions de nature électrique était encore plus naturelle; l’étude raisonnée
semble en avoir été faite pour la première fois par :.B1. Robert Lévi (~) qui chercha une
(1) Ann. der l’hys., t. 79 (1926), p. 351, 489, 73-li et numéros ultérieurs. >
(t) Proc. ro,y. Soc. (1927 et 1928).
(3) Nature, t. i19 (t92i), p. 558.
(~) J. Phys., t. 8 (avril 192 î), p. 182-198. désignerons ce mémoire par les lettres J. P. dans ce qui
-3uit.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0192900100101500
« loi de Coulomb généralisée », c’est-à-dire simplement l’effet des interactions des corps
chargés en mouvement, interactions propagées en sorte de vérifier l’équation des ondes
Si l’on avait pensé à cette généralisation toute naturelle de la théorie de Lorentz, on aurait vu aussi que ces émissions de « force de Coulomb » constituaient un phénomène
ondulatoire (nous préciserons ce point tout à l’heure), non seulement accompagnant l’élec-
tron mais encore déterminé par celui-ci et même déterJninant l’électron, en ce que les forces électromagnétiques d’interaction sont les seules qui agissent sur l’électron et déter- minent son mouvement, une fois éliminées les formes de gravitation par le choix géomé- trique d’un univers convenable. Ces ondes d’interaction, au sens propre du terme, sont des ojades pilotes.
Nous essaierons de montrer que ces ondes « classiques », de nature électromagnétique,
sont en vérité les « ondes de phase » de de Broglie-Schrôdinger. Nous verrons en même temps
ce qui nous paraît être la raison profonde des « quanta », de la discontinuité fondamentale que révèlq l’étude des phénomènes intra-atomiques. La nécessité d’introduire une cinquième
dimension et le sens qu’il faut donner à cette introduction seront précisés.
Dans ce qui suit, nous ferons appel à une conception de M. Lévi, qui nous parait
l’évidence même : le champ électromagnétique ne nous apparait que lorsqu’il agit sur la matière; il n’a pas d’existence physique - c’est-à-dire expérimentale - en dehors de la
matière, il ne peut donc être défini qu’à l’aide de celle-ci, au moyen d’un « électron explo-
, rateur » dont les actions qu’il subit révèlent la présence de ce champ électromagnétique.
II. - L’ÉMISSION DISCONTINUE ET SA REPRÉSENTATION PAR UNE FONCTION Co,-iTINIJE.
THÉORIE MATHÉMATIQUE.
1. Nature du problème. - Le succès des équations de Schrôdinger peut se résumer
ainsi : elles ont interprété les conditions quantiques comme des conditions aux limites
imposées aux solutions d’une équation aux dérivés partielles. Pour que ces conditions aux
limites fassent intervenir la constante universelle h, il a fallu faire entrer celle-ci sous
forme d’une hypothèse de périodicité (E = h v).
Les équations classiques de l’électromagnétisme - résumées dans l’équation des ondes
D U = t), ou D U= li p, si U est un potentiel - ne pouvaient fournir de conditions quan-
tiques ’ pour deux raisons :-
1° Elles ne contiennent la notion d’aucune périodicité, la constante h ne peut donc y
apparaître.
21 Elles sont toujours étudiées sous la fjrme d’un problème de Cauchy, et non d’un problème de Dirichlet avec conditions aux limites.
Mathématiquement, on peut dire ceci : le succès de Schrôdinger vient de ce qu’il a pu mettre le problème du rayonnement sous forme d’équation de Fredholm : sous cette forme,
il a été amené naturellement à traiter un problème aux limites; de8 valeurs critiques sont
apparues, qui, grâce à son hypothèse fondamentale (E = hnl, étaient des fréquences critiques dont il a pu déterminer ainsi une suite discrète (1).
~. Discontinuité fondamentale. - Nous tâcherons de montrer qu’on peut mettre
sous cette même forme les équations de l’électromagnétisme à condition d’y avoir fait
entrer au préalable la notion de fréquence par une hypothèse appropriée. Nous supposerons, dans le mouvement de l’électron (ou tout autre point matériel), une discontinuité fonda- mentale. La quantité la plus simple qu’on puisse attacher à l’électron - celle si on veut qui
définit sa présence - est l’invariant
(1) Des circonstances analogues se produisené en élasticité, où le fait de mettre des équations différen-
tielles ordinaires sous forme d’équations intégrales fait apparaître des fréquences critiques.
le tenseur quantité de mouvement-énergie de M. Cartan, produit scalaire du vecteur impul-
sion d’univers covariant par le vecteur déplacement d’univers contravariant. On a d’ailleurs
sur la trajectoire
S étant l’action hamiltonnienlle.
Nous ferons l’hypothèse que
iiiatériel en général, décrit sa ligne d’Univers sauts
riant chacun il un qiiajitittïi d,tctioîî. Chaque saut de l’élech’on cO),J’esjJond il un !ral’ail du
ÙnJJulsion d’univers égal el h.
Cette hypothèse est suggérée :
a) à partir des théories de de Broglie-Schrodinger [Voir 11.-T. FLiKT, J’oy. Soc.,
n° 778, p. 63~]. Elles rendent naturelle l’idée suivante : on construit dans l’univers des sur- faces équiactions comme on construirait des surfaces équipotentielles, pour les valeurs S = h, 2 h, ... nh, et on admet que les portions de lignes d’univers ainsi découpées sont
décrites successivement par l’électron. Flint en tire des conséquences sur la valeur maximum
du nombre Z du noyau ainsi que sur les erreurs expérimentales obligatoires.
b) à partir de l’électroniagtiétisme classique : si on cherche, avec M. Robert Lévi [J. P. J,
une loi de Coulomb généralisée au cas des charges en mouvement, la forme trouvée est telle que tout se passe comme si l’électron procédait par sauts; pendant l’intervalle d’un
« chronon », son existence ne se manifesterait pas, il n’émettrait et recevrait des actions
qu’à la fin de tels intervalles. Autrement dit, ici encore il décrit sa ligne d’univers par sauts, et nolre hypothèse peut être ramenée à celle de Ni. Lévi qui n’en est qu’un cas parti-
culier si l’on considère le système propre de l’électron et l’absence de champ permanent.
En résumé, l’idée fondamentale est que la périodicité qu’il faut introduire dans les
équations de Maxwell est due à ce que l’électron ne manifeste son existence qu’à des inter-
,valles finis, intervalles d’action (hamiltonienne) égaux à la.
C’est à-clii-e que si U est le électrique élnis jJar r élecij’on (vecteur qui assure
l’action de l’électron sur les aires électrons, analogue à la forme de Coulomb), la I)rol)aqa- tion de U véri fie r équation des ondes,. lna’is U énais que par 1>iteiualles, 1)(ir bouffées, correspondant chacune à une augJJlentation h de r action /l{uniltonieune S.
3. Représentation par une fonction continue. - Alors U pourra être 2-el)résenté
par
c’est-à-dire qu’on pourra faire la convention suivante : pour l’étude mathématique de U, discontinu, on lui substituera une quantité u émise continûment et égale à U à chaque
extrémité des intervalles, à chaque instant d’émission réelle. Une telle quantité sera par
exemple u = U cos pour S -- ith (moments d’émissiolî , zc = U, puis u varie sinusoï- h
dalement pendant que U n’existe pas, conservant son élongation égale à U émis, et se
retrouve égal à U à l’instant d’émission suivant. En d’autres termes U est une vite
scopique de u, à des intervalles dS - h.
2 7C s
Au lieu de u = U cos
h S, nous prendrons u = , étant entenciu que U est
l’élongation maximum de la partie réelle de u. Nous chercherons l’équation aux dérivées partielles à laquelle doit satisfaire Zc, dont nous nous occuperons maintenant exclusi- vement, quitte, physiquement les résultats obtenus, à ne
de u.
’
2
Calculons en iinposant à Û’ la condition classique 7 ~I ~ 0 (pour coin mencer)
d’où, en séparant le réel de rimagmaire, les deux équations
ou
e~ ,
(f) (Iiie r équation de la dis/»16utiu>1 de u,
image continue électro"iayîiétique classique (2).
Vérifions-le dans le cas le plus simple, celui d’un champ avec une énergie potentielle gb. L’énergie totale étant ici une constantes, il est parfaitement légitime, d’après la méthode
de
Poincaré (3) de chercher de l’équation (1) des solutions parliculières de la forme p e2 .’i. Br/h t.Nous avons
(1) s’écrit
ou
(avec l’approxiiiiatioii de S«lii.iidinger).
équation de SchrCtdinger avec
Remarque I. - Ici la fréquence ’J = est introduite sans hypothèse spéciale
t
Il est toujours permis de chercher des solutions particulières q; , de trouver
que chacune correspond à une onde de phase (vitesse de propagation apparente Y = longueur d’onde h/m2a)e Cela revient à décomposer une distribution initiale de quantités zc
(2) Pour l’inte=prétùtion de l’écuation (M), voir plus loin.
l’i Xous servons des dénomma-tions employées par :B1. Paul LEYY à l’occasion de l’équation des télégraphistes dans les « Contributions théoriques et pratiques à la technique des communications à longue distance ». [Les presses universiLaires de France (1926)j.
en leurs harm01l1.ques et à suivre ces harmoniques dans le temps pour avoir la distribution à chaque instant, sans qu’on puisse affirmer (ici le contraire est évident d’après la façon
dont u a été dPfini) que la distribution à un moment quelconque a été réalisée if cause de
ces ondes de phase : les vitesses de propagation réelles des quantités ~c sont c (comme pour le champ électromagnétique U). Les relations posées a priori par cle
/
et c
= _-
sont ici parfaitement justifiées en tant que mode de calcul.V p
remarque II. - Le fait que la longueur d’onde ainsi déterminée par un artifice de calcul soit retrouvée par l’expérience (Davisson) est de même nature que la réfraction lumineuse dans des milieux d’indice inférieur à l’unité : là aussi, quoique la vitesse de
phase de l’onde lumineuse ne soit qu’une vitesse apparente, et que la longueur d’onde correspondante ne corresponde pas à une propagation causale, mais à un régime, c’est pourtant celle-ci qu’on observe expérimentalement.
,
D’ailleLirs ici, pour ce cas particulièrement simple de l’espace libre (qui est celui des
expériences envisagées), on peut faire correspondre la longueur d’onde observée h/mv à un phénomène « réel » , à une propagation véritable de cause à effet, par le procédé suivant : cherchons, de l’équation des ondes j 0, des solutions périodiques de période ce qui évidemment implique ldhypolhèse que v est une constante définie dans tout l’espace, hypothèse que légitime le principe d’inertie.
Appliquant même jusqu’au bout la mélhode de Poincaré, cherchons des solution de la forme exp. (yt + ai x -}- + avec y -== On trouvera unetelle solution
si
’
c’est-à-dire que Y, BÃ2 a3 seront les composantes de la quantité de mouvement de l’électron
émetteur, comme dans Schrodinger. La solution est alors
et correspond à des ondes propagées avec la vitesse c de longueur d’onde v.
L’idée que les conditions quantiques ne sont que le reflet des conditions aux limites
imposées à des équations classiques pour lesquelles on ne traitait que le problème de Cauchy, est particulièrement illustrée ici. L’application de la méthode précédente sur l’équation des ondes elle-même ne donne aucune conctition quantique dans le cas de l’espace indéfini, toutes les vitesses v d’électrons étant également possibles. Mais si on
considère Fmtérieur d’un récipient, la nouvelle aux ’ifuites que le champ électro- magnétique s’annule aux parois du récipient impose des conditions quantiques : les valeurs des co m posaii Les 1), de la quantité de mouvement qui vérifient cette condition diffèrent
de multiples entiers de la et l’on retrouve ainsi les statistiques discontinues de Bose-Einstein, Pauli, etc.
Remarque 111. - Nous avons insisté sur ce point que, dans la méthode précédente
la quantité u était définie en tous points de l’Univers, par le principe d’inertie. Nous touchons ici à la principale difficulté mathématique des équations de Schrüdinger telles qu’elles furent écrites tout d’abord. Ce sont des équations aux dérivées partielles, qui sont
donc valables en tous points de l’espace, alors que les fonctions qui y entrent (E, 1» n’étaient
définies que par une équation ponctuelle, l’équation d’Hamilton-Jacobi. Pour étendre ces
définitions à tout l,espace, il a fallu donner de E et p des définitions particulières dites
« ondulatoires », qui ne semblaient pas s’accorder avec leurs définitions initiales. D’où les difficultés relatives au « groupe d’ondes », par exemple.
Ce n’est que lorsqu’on introduit la conception statistique d’après laquelle E et 1) des équations de Schrodinger sont la valeur moyenne des énergies et quantités de mouvement
qui figurent dans l’équation dhamilto a- Jaco bi, que la difficulté est levée.
Ici, ces fonctions sont définies pour l’électron explorateur, détecteup si l’on veut, qui est
nécessaire pour faire apparaître le champ.
4. Générattsation de l’équation de Schrôdinger. - Nous voyons que toute tenta- tive d’étendre les équations (III) de Schrudinger au cas d’un champ extérieur non perma- nent, dérivant d’un potentiel ...--1~ ~,, -1 - V sont très aventurées, ce qui explique leur insuccès.
Mathématiquement, on ne plus chercher de solution de la forme car ici
n’est plus indépendant du temps, le potentiel vecteur n’étant pas nul.
Dans ce cas (dynamique de l’électron), il nous faut généraliser à la façon ordinaire
l’action
h .1’ ô
... scront les eoinposantes d’un Tecteur covariant fl Faction hamiltonienne :2013, 2013 2013, ... seront les composantes d’un vecteur covariant M ô t ’ ô.r
qu’on pose souvent égal à :
’
Mais une telle expression nous semble inexacte, les expressions écrites à droite n’étant pas les coefficients d’une différentielle totale comme cela est nécessaire ici. Flint [/oc. cil.
p. 6351 donne la raison pour quoi 11 est différente de l’expression écrite, et est une quantité
y
plus fondamentale que p., et J
( .
=2013
varie du fait de 1 qui modifie le tenseurÎ
" " d sfondamental L’équations
dite généralisée de Schrodinger n’est donc pas valable dans le cas ou 4> dépend du temps, puisqu’elle est obtenue à partir de notre équation (1) en dérivant deux fois puis intégrant
une fois.
Remarque. - Entre deux sauts, le point matériel reçoit des actions extérieures ( Û ) qu’il
accumule et qui déterminent la modalité de son saut suivant. Ceci est vrai pour tous les
électrons explorateurs, et en posant
nous avons considéré que l’univers se déplace par sauts d’action « sirnultanés » (au sens généralisée simultanés pour ce qui est de l’action qui apparaît ainsi comme une cinquième
dimension (voir plus loin) : L’introduction de u qui remplit l’intervalle entre les sauts, revient à dire que l’univers (fictif ou règne u) a un mouvement périodique de période h dans
cette cinquième dimension. D’où la forme simple que prennent les équations de de Broglie quand on fait intervenir celle-ci.
Remarquons encore que si le point matériel effectue toujours un saut lz dans la cinquième dimension, la portion de ligne d’univers représentée par ce saut dépend des
actions de « Coulomb » reçues dans l’intervalle précédent.
III. - INTERPRÉTATION PHYSIQUE.
Jusqu’ici la quantité U que nous avons envisagée, émise et reçue discontinûment, représentée par une fonction continue u, ne remplit d’autres conditions que de vérifier
l’équation des ondes. Elle peut donc être aussi bien le champ électromagnétique émis par l’électron ou le champ électromagnétique reçu par l’électron : dans ce dernier cas, il est plus commode de considérer un électron explorateur (dont on négligera l’action propre c’est-à-dire dont la présence ne modifiera pas le champ ambiant), dont la présence en un point quelconque de l’espace fait apparaître le champ électromagnétique, d’ailleurs avec la
périodicité d S = h qui est due à la nature de tout élément matériel. u est alors l’image
du champ ambiant supposé sinusoïdal en un point quelconque, pour représenter le l’ qu’/-
ferait apparaître en ce point l’électron explorateur. De même, S serait l’action hamiltonienne de cet électron explorateur : à chaque point de l’univers correspondrait donc une action
hamiltonienne AS’ qui apparaîtrait bien ainsi comme une cinquième dÎlnension, dans laquelle
tous les phénoniènes ii seraient périodiques comme les U seraient discontinus.
Cette conception est légitimée par les conditions de Sebrôdiiiger, pour lesquelles la quantité Une doit devenir infinie nùlle part. Si l’on considérait un électron et son champ,
il serait infini au point où se trouve l’électron. D’ailleurs, il faudrait conserver la notion d’électron explorateur pour définir S en un point quelconque de l’univers, en sorte que
l’équation (1) fut bien une équation aux dérivés partiellés.
-->
La quantité T’ apparaît alors tout naturellement comme les actions.11 de R. Lévi, lesquelles vérifient l’équation des ondes, et ne sont d’ailleurs que les forces de Coulomb
généralisées, comme le veut mon hypothèse (que L’’ est ce qui détermine l’interaction des
électrons).
Ces actions (en un point ou se trouve un électron explorateur) étant supposées avoir la période 9 = fi , il est toujours possible de les représenter par une série de Fourier
Mon hypothèse, qui aboutit à l’équation de Schrôdinger, revient à ne prendre que le pre- mier terme de ce développement pour n -1.
Les déviations sont données en fonction de ces actions, donc de M qui les représente, et
l’onde u apparaît ainsi comme une onde-jJilote [J. P.].
Remarque. a. de t équation (II). - L’équation (II) ressemble à une équa-
tion obtenue par NI. L. de Broglie [équation 212, de t. 8 (mai t~27),
p. 23]. Les calculs faits par M. de Broglic vont nous servir et leur interprétation nous apparaître immédiatement.
D’après nos idées, au point où existe un électron vrai, c’est-à-dire un électron émetteur,
dont le champ propre n’est 1 pas négligé, par opposition avec l’élecùron-cxplorateur, non émetteur, dont on suppose qu’il ne modifie pas le champ ambiant, le champ électromagné-
’tique est infini, du fait du champ propre de l’électron. U est donc infini en tout point d’émission, et, comme il est de la forme il est infini en sorte que
étant une variable comptée dans une direction quelconque passant par la position M du
mobile émetteur à l’instant t.
Comptons n suivant la normale aux surfaces x5 = Constante. L’équation (II), en chaque point matériel (défini par U ~ infini) s’écrit alors
’
en appelant 81 le vecteur d’espace Or
