Devoir de math´ ematiques n
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15 dec 2009 - 2H
Exercice 1 (5 points)
On consid`ere les fonctions f etg d´efinies sur R par :
f(x) = 3x2+ 6x−9 et g(x) = 3x3−2x2−10x+ 3 Afficher leur repr´esentation graphiqueCf etCg sur l’´ecran de la calculatrice
(fenˆetre d’affichage −4≤x≤4 et −10≤y≤40).
1. (a) Combien d’intersections semblent-avoir Cf etCg?
(b) V´erifier par le calcul, que l’une des intersections a lieu enx=−2.
2. (a) Montrer que r´esoudref(x) =g(x)⇔ r´esoudre P(x) =−3x3+ 5x2+ 16x−12 = 0.
(b) Factoriser P(x) et r´esoudre.
(c) Interpr´eter graphiquement.
Exercice 2 (5 points)
On consid`ere la fonction f d´efinie parf(x) = 1− 2 x2−2x+ 2. 1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de la fonctionf.
2. Montrer que la droite (D) d’´equation x= 1 est axe de sym´etrie pour sa repr´esentation graphiqueCf. 3. Montrer que pour tout r´eelx, on a −1≤f(x)<1. En donner une interpr´etation graphique.
4. En ´ecrivantf comme compos´ee de la fonctiong d´efinie parg(x) =x2−2x+ 2, trouver le sens de variation def.
Exercice 3 (6 points)
1. Etudier la limite en +∞ et−∞ des fonctions suivantes
(sans utiliser le th´eor`eme), en pr´ecisant les asymptotes ´eventuelles.
(a) f(x) =−5x4+x3−x+ 15 (b) g(x) = −x2−5x+ 4 2x2+x 2. Etudier lim
x→af(x) des fonctions suivantes, en pr´eciser les ´equations des asymptotes ´eventuelles.
(a) f(x) = 2x2−3x+ 1 x2+ 4x+ 3 poura=−3
(b) g(x) = 3x−6 x2−4x+ 4 pour a= 2
Exercice 4 (4 points)
Soit f d´efinie sur ]3; +∞[ par
f(x) = x2−4x+ 1 x−3
1. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition ; pr´eciser les asymptotes ´eventuelles.
2. (a) D´eterminer trois r´eels a, b, etctels que pour tout x∈]3; +∞[, on a f(x) =ax+b+ c
x−3
(b) Montrer alors queCf admet une asymptote oblique (D) dont on pr´ecisera l’´equation.
(c) Etudier la position relative deCf et de (D).
