Math Sup CC06 30-05-2016

(1)

Math Sup

CC06

30-05-2016

T.S.V.P.

Math Sup ICAM Toulouse CC06

EXERCICE 1

On décide d’observer l’activité d’un individu sur une longue période. On note l’activité effectuée toutes les heures, et on remarque les choses suivantes :

• L’individu n’a que trois activités différentes : manger, dormir ou travailler ;

• A l’heure numérotée 0 où l’on commence l’expérience, l’individu mange ;

• S’il travaille à une certaine heure n, il mangera à l’heure suivante avec une probabilité ½ , et dormira avec une probabilité ½ ;

• S’il mange à l’heure n, il travaillera à l’heure suivante avec une probabilité ½ , et dormira avec une probabilité ½ également ;

• S’il dort à l’heure n, il travaillera à l’heure suivante avec une probabilité ¼ , mangera avec une probabilité ¼ , et continuera à dormir avec une probabilité ½.

On note An l’événement « l’individu travaille à l’heure n » ; Bn l’événement : « l’individu mange à l’heure n » ; Cn l’événement : « l’individu dort à l’heure n » .

On note an, bn et cn les probabilités correspondantes.

1. Relations de récurrence

a) Calculer les probabilités a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3 et c3. b) Calculer la probabilité conditionnelle P_C3

( )

A2 .

c) A l’aide de la formule des probabilités totales, déterminer an+1, bn+1 et cn+1 en fonction de an, bn et cn. 2. Première méthode de calcul de probabilités : à l’aide de suites

a) On pose un = an + bn et vn = an – bn ; montrer que les suites (un) et (vn) sont des suites très particulières, et donner leurs expressions en fonction de n.

b) En déduire an , bn et cn en fonction de n.

c) Déterminer les limites des trois suites quand n tend vers +∞. 3. Deuxième méthode : à l’aide des matrices

a) On pose

n

n n

n

c

X a

b

 

 

= 

 

 

. Déterminer une matrice ^A^∈^M³

( )

^ℝ ^{telle que}^Xⁿ+¹=^AXⁿ^.

b) Prouver rigoureusement que ∀ ∈n ℕ, X_n=A Xⁿ ₀. c) On pose

1 0 1

1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 P

−

 

 

= − 

 

 

. Montrer que P est inversible et calculer P^-1.

d) Calculer la matriceD=P AP⁻¹ et en déduire Aⁿ puis les expressions de an, bn et cn en fonction de n.

4. Troisième méthode : à l’aide d’applications linéaires

a) On considère l’application f définie sur ℝ³ par

(

^{; ;}

)

^; ² ^; ²

2 4 4

x y z x z x y

f x y z  + + + + 

= 

 .

Montrer que f est une application linéaire et déterminer son noyau et son image (on donnera une base de chaque).

b) Déterminer ^F⁼^Ker

(

^f ⁻^Id^ℝ³

)

^et^G⁼^Ker^^_ ^f ⁺¹₂^Id^ℝ³^^_^.

(2)

Math Sup ICAM Toulouse CC06

c) Montrer que tout vecteur ^u⁼

(

^{x y z}^{; ;}

)

^∈^ℝ³ peut se décomposer de manière unique sous la forme

F G H

u=u +u +u avec uF∈F u^, G∈G^etuH∈^Ker

( )

f .

d) On note p, q, r les trois applications : u֏u_F, u֏u_G, u֏u_H.

Montrer que p p = p q q, =q et r r =r, et déterminer ce que valent f p f, q et f r (on doit obtenir des expressions simples avec p, q et r).

e) En déduire une expression de f à l’aide de p, q et r, puis donner la forme explicite deⁿ ^fⁿ

(

^{x y z .}^{; ;}

)

f) Quel est le rapport avec le reste du problème ?

EXERCICE 2

Soit f l’application définie sur ℝ par : ^f( )⁰ ^{1 et} ^x ^*^,^{f x}( ) ^{Arc tan}^x

= ∀ ∈ℝ = x On note Cf la courbe de f dans un repère orthonormé du plan.

1. a) Montrer que f est paire, et continue sur ℝ.

b) Montrer que f est dérivable en 0 ; donner f ’(0) ainsi que l’équation de la tangente T à C_f au point d’abscisse 0, et la position relative de C_f et T au voisinage de ce point.

c) Justifier que f est dérivable sur ℝ^* et donner f ’(x) pour tout x de ℝ^*. d) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que :

( )

^{( )}

2

2 2 2

0

, d 1 '

1 2

x t

x t x f x

t

∀ ∈ =−

∫

+ ℝ

e) En déduire les variations de f.

2. Soit ϕ l’application définie sur ℝ par : ( ) ^* ( ) ( )

0

0 1 et , 1 d

x

x x f t t

ϕ = ∀ ∈^ℝ ϕ = x

∫

a) Montrer que ϕ est paire.

b) Montrer que ϕ est continue sur ℝ.

c) Montrer que ϕ est dérivable sur ℝ^* et que : ^x ^*^{, '}( )^x ¹

(

^{f x}( ) ( )^x

)

∀ ∈ℝ ϕ = x − ϕ d) Montrer que ϕ est dérivable en 0 et déterminer ^ϕ^{' 0}

( )

^.

e) Etudier les variations de ϕ.

f) Montrer qu’il existe une constante C telle que : ^t ^{1, 0} ^{f t}( ) ^C

∀ ≥ ≤ ≤ t En déduire que ( )

1

lim 1 d 0

x

x f t t

→+∞x

∫

= ^{puis que}x^lim

^{( )}

x ⁰

→+∞ϕ = . 3. On considère l’équation (E) : x y² '+xy=Arc tanx

a) Résoudre (E) sur

]

^−∞^;0

[

^{et sur}

]

^0;+∞

[

^.

b) Montrer que ϕ est l’unique solution de (E) sur ℝ.