Taylor g´en´eral

Taylor g´ en´ eral

D´edou

Mars 2012

De Taylor 2 ` a Taylor n

Ce qu’on a fait

pour n= 1 : les accroissements finis, pour n= 2 : Taylor quadratique,

on va le faire maintenant pourn quelconque.

Rappel : l’approximation quadratique

L’approximation de Taylor d’ordre 2, ou polynˆome de Taylor d’ordre 2 d’une fonctionf deux fois d´erivable en un point a, c’est ce qu’on a appel´e l’approximation quadratique def ena :

Q :=Qf,a:=x 7→f(a) +f⁰(a)(x−a) +f⁰⁰(a)(x−a)²

2 .

C’est l’unique trinˆome Q du second degr´e v´erifiant Q(a) =f(a), Q⁰(a) =f⁰(a), Q⁰⁰(a) =f⁰⁰(a).

L’approximation de Taylor

Etant donn´e une fonction f qui estn fois d´erivable en un point a, y’a un unique polynˆome T de degr´e n (au plus) avec les mˆemes d´eriv´ees que f ena jusqu’`a la n-i`eme :

T(a) =f(a),T⁰(a) =f⁰(a),· · · ,T⁽ⁿ⁾(a) =f⁽ⁿ⁾(a).

On l’appellepolynˆome de Taylor d’ordre n def ena ou encored´eveloppement limit´e d’ordren def ena ou encoreDL d’ordren def ena et c’est

x 7→f(a) +f⁰(a)(x−a) +· · ·+f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ n! ,

autrement dit

x7→

n

X

i=0

f⁽ⁱ⁾(a)(x−a)ⁱ i! .

Conventions

Pour pouvoir formaliser

f(a) +f⁰(a)(x−a) +· · ·+f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ n!

en

n

X

i=0

f⁽ⁱ⁾(a)(x−a)ⁱ i!

il faut activer trois conventions :

pour tout nombre r´eel y(icix−a), on a pos´ey⁰:= 1 ; on a pos´e 0! := 1 ;

pour toute fonction f, on pose f⁽⁰⁾ :=f. Cette convention concr´etise l’id´ee que, quand on d´erive z´ero fois une fonctionf, on retrouve f.

Exemple

Exo corrig´e

Calculer le DL `a l’ordre 3 de x 7→x⁴ en 1.

Exercice

Exo 1

Calculer le DL `a l’ordre 3 de x 7→√ x en 1.

La variante en h

Pour concr´etiser le fait qu’on s’int´eresse plutˆot aux valeurs de x qui sont proches dea (mˆeme si ¸ca ne veut rien dire), on pose h:=x−ace qui conduit aux variantes

T(a+h) =f(a) +f⁰(a)h+· · ·+f⁽ⁿ⁾(a)hⁿ n!, T(a+h) =

n

X

i=0

f⁽ⁱ⁾(a)hⁱ i!.

Taylor g´ en´ eral

On a une fonctionf qui estn fois d´erivable sur un intervalleI, aveca∈I. On suppose que, sur l’intervalle I, on a un encadrement

m≤f⁽ⁿ⁾≤M.

Alors, pour toutx dansI,f(x) est encadr´e par les deux expressions suivantes, obtenues en rempla¸cant respectivement, dans le DL de degr´e n de f ena,f⁽ⁿ⁾(a) par m puis parM :

f(a) +f⁰(a)(x−a) +· · ·+f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)(x−a)ⁿ⁻¹

(n−1)! +m(x−a)ⁿ n!

et

f(a) +f⁰(a)(x−a) +· · ·+f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)(x−a)ⁿ⁻¹

(n−1)! +M(x−a)ⁿ n! .

Quel est le plus grand ?

Entre nos deux encadrants,

f(a) +f⁰(a)(x−a) +· · ·+f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)(x−a)ⁿ⁻¹

(n−1)! +m(x−a)ⁿ n!

et

f(a) +f⁰(a)(x−a) +· · ·+f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)(x−a)ⁿ⁻¹

(n−1)! +M(x−a)ⁿ n! , lequel est le plus grand ?

Pourx ≥a, la seconde expression est plus grande que la premi`ere, mais pourx≤a, ¸ca d´epend de la parit´e de n : on a bien vu que pourn= 1 on a deux droites qui se croisent, et pour n = 2, on a deux paraboles qui se touchent sans se croiser.

Exemple

Prenons pourf la fonction exponentielle, avecI := [0,1] et a:= 0.

Comme on sait, toutes les d´eriv´ees de f sont ´egales `af, et on a donc, pour toutn et toutx dansI, l’encadrement

1≤fⁿ⁾(x)≤e.

On obtient, pourx ∈I,

1 +· · ·+ xⁿ⁻¹

(n−1)!+xⁿ

n! ≤e^x ≤1 +· · ·+ xⁿ⁻¹

(n−1)!+exⁿ n!.

Exo 2

Ecrivez la mˆeme formule avecn := 4, et sans les points de suspension.

Le calcul de e

Pourx = 1, on obtient par exemple 1 +· · ·+ 1

(n−1)!+ 1

n! ≤e ≤1 +· · ·+ 1

(n−1)!+ 3 n!. On encadre ainsie entre deux nombres rationnels dont la diff´erence _n!² tend vers 0 (”tr`es vite”) avecn.

Exo : le calcul de

Exo 3

On prend pourf la fonctionx 7→e^−x avec I := [0,1] eta:= 0.

a) Dessinezf.

b) Calculez puis encadrezf⁽²ⁿ⁾ sur I. Faites de mˆeme pourf⁽²ⁿ⁺¹⁾. c) Donnez l’encadrement de Taylor def(x) `a l’ordre 4 pourx∈I. d) Donnez l’encadrement correspondant de ¹_e.