Int´egration et Probabilit´es (M43050) 2010-2011
Examen du lundi 16 mai 2011 dur´ee : 3 heures
On pourra admettre le r´esultat d’une question et traiter les questions suivantes.
— Exercice I —
On d´esigne par J l’intervalle ouvert ]0,+∞[, et par λ la mesure de Lebesgue sur (R,BR). On rappelle quen! =R
June−u dλ(u).
1. Pour quelles valeurs deα r´eel la fonctiont∈J→tαe−√t est-elle Lebesgue-int´egrable sur J ? Quand 2α+ 1∈N, montrer que
Z
J
tαe−√t dλ(t) = 2·(2α+ 1)!
2. Montrer que la fonctionf d´efinie sur J par
∀x∈J, f(x) = Z
J
sin2(xu) e−√u x2u3/2 dλ(u)
est continue ≥0 sur J, et d´eterminer sa limite en 0. Montrer quef est de classe C1 sur J.
3. Montrer que Z
J
f(x) dλ(x) =Z
J
sin2y
y2 dλ(y)Z
J
e−√u
√u dλ(u)
<+∞.
— Exercice II —
Sia < b, la loi uniforme sur [a, b]est la loi sur (R,BR) dont la densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgueλest ´egale `a(b−a)−11[a,b].
1. On suppose que U1et U2sont deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1]. Calculer la fonction de r´epartition du minimum V = min(U1,U2). Montrer que la loi de V admet une densit´e par rapport `a λ, et d´eterminer cette densit´e. Calculer l’esp´erance de V.
2. On pose S = U1/U2et T = U22/2 ; justifier le fait que S est d´efinie presque sˆurement. Montrer que la loi du couple (S,T) admet la densit´e 1A(s, t) par rapport `a la mesure de Lebesgue λ2
de R2, o`u
A ={(s, t)∈R2: 0< s,0< t <1/2, s√
2t <1}.
En d´eduire la loi de S. Montrer que P(x <S≤y) = (y−x)/2 quand 0≤x≤y≤1.
On rappelle que l’int´egrale de Riemann g´en´eralis´ee R+∞ 0
sinx
x dxest semi-convergente, et que sa valeur estR+∞
0 sinx
x dx= π2.
3. On suppose maintenant que U suit la loi uniforme sur [−1,1] ; justifier le fait que X = 1/U est d´efinie presque sˆurement. Montrer que la fonction caract´eristique de X est ´egale `a
∀t∈R, ϕX(t) = E eitX
= Z +∞
1
cos(ty) y2 dy.
Montrer que pour tout r´eels >0, on a
ϕX(s) = cos(s)−s Z +∞
s
sinx x dx.
Montrer queϕX(t) =ϕX(−t) = 1−π2|t|+|t|ε(|t|), o`u limt→0ε(t) = 0.
TOURNEZ S.V.P.
Uneloi de Cauchyadmet la densit´eaπ−1(a2+x2)−1par rapport `aλ, pour un certaina >0appel´e leparam`etrede la loi de Cauchy ; unevariable de Cauchyde param`etreaest une variable al´eatoire dont la loi est une loi de Cauchy de param`etre a; sa fonction caract´eristique est t→e−a|t|. 4. On suppose que les (Uj)j>1sont des variables uniformes sur [−1,1], ind´ependantes, et on pose pour toutn≥1
Yn= 1 n
n
X
j=1
1 Uj.
Exprimer la fonction caract´eristique ϕYn `a l’aide de la fonction ϕX de la question 3, et montrer que la loi de Yn converge vers une loi de Cauchy dont on d´eterminera le param`etre.
— Exercice III —
On fixe deux nombres r´eels p, q tels que 1 < p < +∞ et 1/p + 1/q = 1. On d´esigne par E l’espace Lp( ]0,+∞[,B]0,+∞[, λ) et par F l’espace Lp(R,BR, λ); dans ces deux espaces la norme d’une fonctionf sera not´ee kfkp.
1. `A chaque fonction ϕ∈ E on associe la fonction Tϕ d´efinie sur R par (Tϕ)(x) = ex/pϕ(ex).
Montrer que Tϕ∈F et que kTϕkp=kϕkp. Montrer que T est une bijection de E sur F.
2. On poseg(x) =1x>0e−x/q, pourx∈R. V´erifier quegest Lebesgue-int´egrable surR. Montrer que sih est une fonction bor´elienne positive, on a
Z
R
h(y)g(y) dy≤Z
R
h(y)pg(y) dy1/pZ
R
g(y) dy1/q
.
On rappelle que sif est une fonction bor´elienne≥0 sur R, les fonctions (x, u)→f(u)g(x−u) et(x, y)→f(x−y)g(y) sont mesurables de (R2,BR2) dans ([0,+∞],B[0,+∞]).
3. `A toute fonction f bor´elienne ≥0 sur Ron associe la fonction f∗g, `a valeurs dans [0,+∞], d´efinie en posant pour toutx r´eel
(C) (f ∗g)(x) =
Z
R
f(u)g(x−u) du.
Montrer que
(f ∗g)(x) = e−x/q Z x
−∞
f(u) eu/q du= Z +∞
0
f(x−y) e−y/q dy.
Montrer que
(f∗g)(x)p
≤qp/q Z +∞
0
f(x−y)pe−y/q dy, puis montrer que
Z
R
(f∗g)(x)p
dx≤qp Z
R
f(x)pdx.
4. On suppose maintenant que la fonctionf est un ´el´ement de l’espace F ; montrer que la fonction y∈R→f(x−y)1y>0e−y/qest Lebesgue-int´egrable surRpour presque toutx∈R, ce qui permet de d´efinir la fonctionf ∗g presque partout par l’´equation (C). Montrer quef ∗g est dans F et v´erifie l’in´egalit´e
kf∗gkp ≤qkfkp.
5. Si ϕ est une fonction de E, montrer que la fonction ψ:t >0 →t−1Rt
0ϕ(u) du est dans E et v´erifie l’in´egalit´ekψkp ≤qkϕkp (utiliser la bijection T et exprimer Tψ`a partir de Tϕ).
