CORRECTION DE L’EXAMEN DE FIN D’ANNEE 2004 EPREUVE DE MATHEMATIQUES

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CORRECTION DE L’EXAMEN DE FIN D’ANNEE 2004 EPREUVE DE MATHEMATIQUES

1. PARTIE NUMERIQUE : 16 points

Exercice 1

A = 3 - 5 × 9 + 7 B = (3 - 5) × (-9) + 7 C = 3 - 5 × (9 + 7) A = 3 – 45 + 7 B = (-2) × (-9) + 7 C = 3 – 5 × 16

A = -35 B = 18 + 7 C = 3 - 80

B = 25 C = -77

D = 3 - (5 × 9 + 7) E = 4 - [6 - (1 - 8)] F = [(-18) + 9] × (-3) D = 3 – (45 + 7) E = 4 – [6 – (-7)] F = (-9) × (-3)

D = 3 – 52 E = 4 – 13 F = 27

D = -49 E = -9

Exercice 2

Calcule les nombres suivants, les résultats seront donnés sous la forme d’une fraction irréductible :

G = 2

5 7 4 7 6− × G = 6

7 − 2×2×5 7×2 G = 6

7 − 10 7 G = - 4

7

H = 2

1 9 4 2 3 3

2− × + H = 2

3 − 3×2×2 2×3×3 + 1

2 H = 2

3 − 2 3 + 1

2 H = 1

2

J = 



 

 +

÷



 

 −

6 5 5 3 2 1

J = 

 6 3 − 1

3 ÷

 30

6 + 5 6 J = 5

3 ÷ 35 6 J = 5

3 × 6 35 J = 5×2×3

3×5×7 = 2 7

K = 10 3 7

5 2

− K =

2 5 30 10− ⁷

10 =

2 5 23 10 K = 2

5×10 23 K = 2×5×2

5×23 = 4 23 Exercice 3

1. Ecrire les nombres suivants sous la forme d’une seule puissance :

A = 2⁶ × 2 = 2⁷ ; B = (-4,5)³ × (-4,5)^{- 4} × (-4,5)⁵ = (-4,5)⁴; C =

( )

³⁵ ⁻⁷^{= 3}^-35^;

D =

( )

⁵² ⁴^×⁵^{= 5}⁹ ; E = 3 3

7

4 = 3³ ; F = 5 5

6

9 = 5³ ; G = 2⁸ × 0,5⁸ = 1⁸ 2. Mettre les nombres suivants sous forme scientifique :

106

725

a= × ; b=74×10⁻⁹ ; c=0,0272×10⁻⁴ ; d =127×10⁻³ a = 7,25×10⁶ ; b = 7,4×10^-8 ; c = 2,72×10^-2 ; d = 1,27×10^-1

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Exercice 4

1. Réduire les expressions suivantes :

A = x + 4 - 2x + 1 ; B = 6 - a + 9 - b - 12 + a A = x - 2x + 4 + 1 ; B = -a – b + a + 6 + 9 – 12

A = -x + 5 B = -b + 3

2. Développer et réduire les expressions suivantes :

C = - 3(x + 4) + 5(x - 7) ; D = 5(x + 2) - 2x - 2(x + 4) C = -3×x - 3×4 + 5×x - 5×7 D = 5×x + 5×2 – 2x - 2×x - 2×4 C = -3x – 12 + 5x – 35 D = 5x + 10 – 2x – 2x – 8

C = -3x + 5x – 12 – 35 D = 5x – 2x – 2x + 10 – 8

C = 2x – 47 D =x + 2

E = (4a + 3)(3a + 5) ; F = (- 3a + 2)(5a - 4)

E = 4a×3a + 4a×5 + 3×3a + 3×5 F = -3a×5a–3a×(-4) + 2×5a - 2×4 E = 12a² + 20a + 9a + 15 F = -15a² + 12a + 10a – 8

E = 12a² + 29a + 15 F = -15a² + 22a - 8

3. a) Voici un programme de calcul : « Pense à un nombre. Ajoute 7 à ce nombre. Multiplie le résultat par 3. Retranche 20 au résultat. Retranche le triple du nombre auquel tu as pensé. Divise le résultat par 2. Combien trouves-tu ? »

Ecrire toutes les étapes de ce programme à partir d’un nombre choisi au départ et calculer le résultat.

Æ Pour le nombre 10, on effectue le calcul suivant : 10 + 7 = 17

17×3 = 51 51 - 20 = 31

31 – 3×10 = 31 – 30 = 1 1 ÷ 2 = 0,5

On trouve 0,5.

b) Pour un nombre x quelconque, on doit effectuer le calcul suivant :

[(x + 7)×3 – 20 – 3x]÷2 = [3x + 21 – 20 – 3x] ÷ 2 = (3x – 3x + 21 – 20) ÷ 2

= (0 + 1)÷2 = 1 ÷ 2 = 0,5.

On voit que le résultat final est constant et ne dépend plus de x, donc quel que soit le nombre x choisi au départ, le résultat sera toujours 0,5.

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2. PARTIE GEOMETRIQUE : 10 points

Exercice 1 :

Exercice 2

1. Les trois propriétés issues du théorème de la droite des milieux sont:

P1 : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

P2 : Dans un triangle, si une droite est parallèle à un côté et passe par le milieu d’un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

P3 : dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.

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2. a) Figure :

b) Dans le triangle ABC, on sait que I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC].

D’après la propriété P1, donc (IJ) // (BC) .

c) Dans le triangle ABD, on sait que I est le milieu de [AB] et que la parallèle à (BD) passant par I coupe [AD] en K,

D’après la propriété P2, donc K est le milieu de [AD].

d) Dans le triangle ABC, on sait que I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC], d’après la propriété P3,

donc IJ = 1

2 BC or BC = 3 cm donc IJ = 1,5 cm.

Dans le triangle ABD, on sait que I et K sont les milieux respectifs de [AB] et [AD], d’après la propriété P3,

donc IK = 1

2 BD or BD = 8 cm donc IK = 4 cm.

Exercice 3 1. Figure :

2. On sait que [AB] est un diamètre du cercle et que le point D est sur le cercle.

Or, si un triangle s’inscrit dans un cercle dont le diamètre est l’un des côtés du triangle, alors ce triangle est rectangle et ce côté est

l’hypoténuse.

Donc le triangle ABD est rectangle en D.

3. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABD rectangle en D :

AB² = AD² + BD²

d’où BD² = AB² − AD² BD² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16 BD = 16 BD = 4 cm

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3. PROBLEME : 10 points

1. On sait que [AD] est un diamètre du cercle et que les points B et C sont sur le cercle.

Or, si un triangle s’inscrit dans un cercle dont le diamètre est l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et ce côté est l’hypoténuse.

Donc le triangle ABD est rectangle en B et le triangle ACD est rectangle en C.

2. On sait que la parallèle à (BD) passant par C coupe [AB] en E, donc (CE) // (BD).

On sait aussi que le triangle ABD est rectangle en B donc (AB) ⊥ (BD).

Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Donc (CE) ⊥ (AB).

Une hauteur dans un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

Donc (CE) est la hauteur issue de C du triangle ABC.

3. * On sait que (CE) est la hauteur issue de C du triangle ABC et que la perpendiculaire à (BC) passant par A coupe (CE) en H.

donc (AH) ⊥ (BC), (AH) est donc la hauteur issue de A du triangle ABC.

Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé l’orthocentre du triangle,

Donc H est l’orthocentre du triangle ABC.

* La troisième hauteur de ce triangle est donc la droite (BH) qui sera perpendiculaire au côté [AC].

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* On sait que le triangle ACD est rectangle en C, donc (AC) ⊥ (CD).

On sait aussi que (BH) est la hauteur issue de B du triangle ABC, donc (BH) ⊥ (AC).

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Donc (BH) // (CD).

4. On sait que (BD) // (CE) (question 2), et comme H ∈ (BD) alors (BH) // (CE).

On sait aussi que (BH) // (CD) (question 3).

Or, si un quadrilatère a ses côté opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.

Donc BHCD est un parallélogramme.

Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Donc K est le milieu des diagonales de BHCD, en particulier de [HD].

5. a) On sait que [AD] est un diamètre du cercle et que J est un point du cercle.

Or si un triangle s’inscrit dans un cercle dont le diamètre est l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle, et ce côté est l’hypoténuse.

Donc le triangle ADJ est rectangle en J, donc (AJ) ⊥ (DJ) et comme I ∈ (AJ), alors (AI) ⊥ (DJ).

De plus, on sait que la perpendiculaire à (BC) passant par A coupe (BC) en I, donc (AI) ⊥ (CI).

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Donc (CI) // (DJ).

b) Dans le triangle HDJ, on sait que K est le milieu de [HD] et que (CI) // (DJ) avec K ∈ (CI), donc (IK) // (DJ).

Or, dans un triangle, si une droite est parallèle à un côté et passe par le milieu d’un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Donc I est le milieu de [HJ].