Brevet blanc du Deuxième trimestre 1998-99
Mathématiques
Consignes générales :
n
Chacune des trois parties sera rédigée sur une copie double (les figures géométriques demandées seront exécutées avec soin sur une feuille simple à part) .
n
La calculatrice est autorisée mais tout prêt est interdit .
n
Le soin et la rigueur de l’écriture mathématique seront pris en compte dans la note . (4points) L’usage du Blanco est interdit
1
èrepartie : Activités numériques
1°) Effectuer les calculs suivants (On donnera les résultats de A et B sous forme d’un entier ou d’une fraction et C sous forme scientifique)
A = −
+ −
3 5
7 3 4
11
3 B = − +
4 1
3 1 2
1 3
C = × × × ( )
×
−
−
12 10 5 10
24 10
5 4 3
2
2) Ecrire D sous la forme a b , où a est un entier relatif et b un entier naturel le plus petit possible.
D = 200 − 2 6 + 3 24 3) Calculer E = − ( 3 2 5 )
24) a) Résoudre l’équation 2 x − = − 7 5 x b) Factoriser F = 9 x ² − 49 5) Soit G = ( x + 1 )
2− 2 ( x + 1 3 )( x − 4 )
a) Développer et réduire G b) Factoriser G
c) Résoudre l’équation ( x + − + 1 )( 5 x 9 ) = 0
Deuxième partie : Construire un triangle ABC tel que AB = 3,6cm AC=4,8cm et BC=6cm.
1) Démontrez que ce triangle est rectangle.
2) Soit M le point de [AB] tel que AM = 3 cm. Par M on trace la perpendiculaire à la droite (AB).
Elle coupe le côté [BC] en N. Calculez BN et MN.
3) Calculer l’angle AMC ∧
(On donnera la valeur arrondie au degré) II. Tracer un triangle RST rectangle en S tel que SR=6 cm et RT=10cm.
1) Calculer ST 2)Placer le point U sur [SR] tel que SU = 4,5 cm et le point V sur [ST] tel que SV = 6 cm. Démontrez que les droites (UV) et (RT) sont parallèles.
Troisième partie : questions enchaînées Tracer un triangle CMR rectangle en M tel que CM = 6cm et MCR ∧
=30°. Placer sur le côté [MR] le point I tel que MI = 2,5 cm.
1) Calculer CI. 2) Calculer MR (valeur approchée arrondie au dixième)
3) Construire le point A symétrique de C par rapport à M. a) Démontrez que la droite (MR) est la médiatrice de [AC]. b) En déduire la nature du triangle AIC. c) Calculez l’aire et le périmètre de AIC.
4) On appelle S le milieu de [AM]. Tracer le cercle de diamètre [AC]. La droite (CR) coupe ce cercle en T. a) Quelle est la nature du triangle ATC ? b) Calculer AT.
5) Démontrez que le triangle ATM est équilatéral.
6) Démontrez que la droite (ST) est la médiatrice du segment [AM]
Brevet blanc du Deuxième trimestre 1998-99
Correction
1ère partie : Activités numériques
1°) Effectuer les calculs suivants (On donnera les résultats de A et B sous forme d’un entier ou d’une fraction et C sous forme scientifique)
3 20 6
2 7
5 7 2 8 12
35 7
16 12 44 12
9 7 5 7 21 3
11 4 3 7
3 5 = −
×
×
×
×
− ×
=
−
×
=
−
−
=
+ −
−
=
A
(1pt)B = −
+ = −
+ = = × =
4 1
3 1 2
1 3
12 3
1 3 3 6
2 6
11 3 5 6
11 3
6 5
22 5
(1pt)C = × × × ( )
× = ×
× × = ×
−
− − + +
12 10 5 10
24 10
12 5
2 12 10 2 5 10
5 4 3
2
5 12 2 9
,
(1pt)2) Ecrire D sous la forme
a b
, où a est un entier relatif et b un entier naturel le plus petit possible.D = 600 − 2 6 + 3 24 = 10 2 − 2 6 + 6 6 = 14 6
(1pt) 3) CalculerE = − ( 3 2 5 )
2= − 9 12 5 + × = 4 5 29 − 12 5
(1pt) 4) a) Résoudre l’équation (1pt)2 7 5
2 5 7
3 12 4
x x
x x x x
− = − + = +
=
=
La solution de l’équation est 4
b) Factoriser (1pt)
F x
F x x
= −
= + −
9 49
3 7 3 7
²
( )( )
5) Soit
G = ( x + 1 )
2− 2 ( x + 1 3 )( x − 4 )
a) Développer et réduire G (1,5 pt)G x x x
G x x x x
G x x x x x
G x x x x x x
= + − + −
= + + − + −
= + + − + − −
= + + − + + = − + +
( ) ( )( )
² ( )( )
² ( ² )
² ² ²
1 2 1 3 4
2 1 2 2 3 4
2 1 6 6 8 8
2 1 6 2 8 5 4 9
2
b) Factoriser G (1,5pt)
[ ]
) 9 5 )(
1 (
) 8 6 1 )(
1 (
) 4 3 ( 2 ) 1 ( ) 1 (
) 4 3 )(
1 ( 2 ) 1
(
2+
− +
=
+
− + +
=
−
− + +
=
− +
− +
=
x x
G
x x
x G
x x
x G
x x
x G
c) Résoudre l’équation
( x + − + 1 )( 5 x 9 ) = 0
(2pt)Lorsqu’un produit de facteurs est nul alors un des facteurs est nul.
x x
+ =
= − 1 0
1
ou− + =
− = −
=
5 9 0
5 9
9 5 x x x
Deuxième partie : Construire un triangle ABC tel que AB = 3,6cm AC=4,8cm et BC=6cm.
1) Démontrez que ce triangle est rectangle.
2) Soit M le point de [AB] tel que AM = 3 cm. Par M on trace la perpendiculaire à la droite (AB). Elle coupe le côté [BC] en N. Calculez BN et MN.
3) Calculer l’angle
AMC ∧
(On donnera la valeur arrondie au degré)
A M B
C
N
(0,5pt)
1) (2pt)Dans le triangle ABC : BC²=6²=36
AB²+AC²=3,6²+4,8²=12,96+23,04=36 donc BC²=AB²+AC²
D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B.
2) (MN) et (AB) sont perpendiculaires, (AC) et (AB) sont perpendiculaires. Lorsque deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles. (1pt) Les points B, N, C et B, M, A sont alignés (AC) et (MN) sont parallèles :
Le théorème de Thalès appliqués aux triangles BMN et BAC affirme que :
BN
BC
BM BA
NM
= = AC
BN MN
6
3 6 3
3 6 4 8
= , − =
, ,
BN 6
0 6
= 3 6 ,
,
BN = 0 6 × = 6 cm
3 6 1
,
,
MN 4 8
0 6 3 6 ,
,
= ,
MN 0 , 8 cm 6
, 3
6 , 0 8 ,
4 × =
=
(3,5pt)2) Dans le triangle AMC rectangle en C :
tan ,
,
A M C AC
AM t A M C A M C
∧ ∧ ∧
= coté opposé = = = ≈ °
coté adjacent an 4 8 donc
3 1 6 58
II. Tracer un triangle RST rectangle en S tel que SR=6 cm et RT=10cm.
Cette équation admet deux solutions : -1 et 9
5
1) Calculer ST 2)Placer le point U sur [SR] tel que SU = 4,5 cm et le point V sur [ST] tel que SV = 6 cm.
Démontrez que les droites (UV) et (RT) sont parallèles.
R
V U
S T
1) Dans le triangle RST rectangle en S, appliquons le théorème de Pythagore : RT²=RS²+ST² 10²=6²+ST² 100-36=ST² 64 = ST² ST= 8 cm
2) Les points S, U, R sont alignés
Les points S, V, T sont alignés et dans le même ordre
SU ST SV ST
= = =
= = 4 5 6
9 12
3 4 6
8 3 4 ,
donc
SU SR
SV
= ST
D’après la réciproque du théorème de Thalès (UV) et (RT) sont parallèles
Troisième partie : questions enchaînées Tracer un triangle CMR rectangle en M tel que CM = 6cm et
MCR ∧
=30°. Placer sur le côté [MR] le point I tel que MI = 2,5 cm.
1) Calculer CI. (1pt) 2) Calculer MR (valeur approchée arrondie au dixième) (1,5pt)
3) Construire le point A symétrique de C par rapport à M. a) Démontrez que la droite (MR) est la médiatrice de [AC]. (1,5pt) b) En déduire la nature du triangle AIC.(1pt) c) Calculez l’aire (1pt)et le périmètre de AIC.(0,5pt)
4) On appelle S le milieu de [AM]. Tracer le cercle de diamètre [AC]. La droite (CR) coupe ce cercle en T.
a) Quelle est la nature du triangle ATC ? (1pt) b) Calculer AT. (1,5pt) 5) Démontrez que le triangle ATM est équilatéral. (1pt)
6) Démontrez que la droite (ST) est la médiatrice du segment [AM] (1pt)
I C
M R
T A
S
1) Dans le triangle CIM rectangle en M, appliquons le théorème de Pythagore : CI²=CM²+MI² CI²=6²+2,5² CI²=36+6,25=42,25 ST=
42 25 , = 6 5 , cm
2) Dans le triangle CMR rectangle en M :tan cot
M C R cot oppos adjacent
MR MC
∧ = é é = é
tan 30
° = MR 6 × ° ≈
M c
R = 6 tan30 3,5 m
3) a) A est le symétrique de C par rapport à M donc M est le milieu de [AC]
(CA) et (MR) sont perpendiculaires. La médiatrice d’un segment et la perpendiculaire à ce segment en son milieu. (MR) est donc la médiatrice de [CA]
b) I appartient à la médiatrice de [CA] donc I est équidistant de C et de A. IC=AI donc AIC est isocèle en I.
c) CA=2×MC=2×6=12 Périmètre de AIC=AI+IC+AC=6,5+6,5+12=13+12=25 cm
AIre AIC MI AC
cm
( ) ,
= × ≡ × = ²
2
2 5 12
2 15
4)a) T appartient au cercle de diamètre [AC]. Lorsqu’un triangle ATC est inscrit dans le cercle de diamètre [AC] alors il est rectangle en T. ATC est donc un triangle rectangle en T.
b) Dans le triangle ATC rectangle en T
sin C Coté AT CA
∧
= opposé =
hypoté nuse
sin 30
° = 12 AT AT = 12 × sin 30 ° = 6 cm
5) [AM] et [MT] sont des rayon du cercle de diamètre [AC] donc AM=MT=6cm AT=6cm (d’après la question 4b)
Le triangle AMT à trois côtés de même mesure donc AMT est un triangle équilatéral.
6) Dans le triangle AMT, S est le milieu de [MA] donc [TS] est une médiane du triangle équilatéral. Dans un triangle équilatéral, une médiane est à la fois médiatrice, hauteur axe de symétrie et médiatrice. Donc (ST) est la médiatrice de [MI]
