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MATHÉMATIQUES ET TI-Nspire

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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MATHÉMATIQUES ET

TI-Nspire

Christian VASSARD (IUFM Rouen)

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Préface

Chapitre 1. Autour des diviseurs d’un entier ... 1

Chapitre 2. Nombres abondants et déficients ... 21

Chapitre 3. Nombres parfaits ... 29

Chapitre 4. Autour du PGCD de deux entiers ... 43

Chapitre 5. Exponentiation modulaire ... 65

Chapitre 6. Autour des nombres premiers ... 73

Chapitre 7. Pseudo-primalité ... 97

Chapitre 8. Factorisation des entiers ... 117

Chapitre 9. Arithmétique de la calculatrice ... 151

Chapitre 10. Alfred Logarithme, un arrondi catastrophique ... 183

Chapitre 11. Des exemples de suites ... 195

Chapitre 12. Autour de  ... 239

Chapitre 13. Résolution approchée des équations ... 265

Chapitre 14. Théorème du point fixe ... 307

Chapitre 15. Calcul approché d’une intégrale ... 335

Chapitre 16. Autour des générateurs pseudo-aléatoires ... 389

Chapitre 17. Quelques exemples de simulation ... 427

Index des fonctions utilisées ... 493

Bibliographie ... 505

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Préface

Des progrès substantiels ont été accomplis depuis l’« incroyable » apparition vers 1995 des premières calculatrices formelles, les TI-92.

Avec la TI-Nspire CAS, un pas décisif a encore été franchi : plusieurs applications, dont on sait aujourd’hui combien elles sont essentielles à l’enseignement des mathématiques – un logiciel de calcul formel, un tableur, un logiciel de géométrie et de représentation graphique, un logiciel pour les statistiques et un éditeur mathématique –, sont proposées dans un même environnement, soit dans une calculatrice soit dans le logiciel correspondant.

Innovation à la fois décisive et unique en son genre : ces applications peuvent communiquer entre elles par l’intermédiaire de variables.

Avec ce livre, j’ai tenté d’illustrer les nouvelles possibilités de cette calculatrice – version 2.1 du système d’exploitation1 – dans des domaines différents des mathématiques, sans prétendre être exhaustif.

Il est le fruit d’une réflexion de plusieurs années, menée notamment à l’IUFM de Rouen, à l’occasion des cours que j’ai donnés à des étudiants préparant le CAPES. Qu’ils soient remerciés ici de leurs interrogations, de leurs bonnes idées et des échanges que nous avons eus chaque année ! Ils ont contribué à ce que ce travail évolue au fil du temps.

Si on le feuillette rapidement, on constate que Mathématiques et TI-Nspire est d’abord et avant tout un livre de mathématiques, constitué de dix-sept chapitres, qui peuvent être lus de façon autonome et recouvrant essentiellement des thèmes que l’on rencontre aux concours d’enseignement ou dans les programmes du secondaire.

Il n’en demeure pas moins que la TI-Nspire CAS, et son logiciel, occupent une place centrale au cœur de chacun de ces chapitres, dont ils éclairent les aspects les plus délicats. En aucune façon, il ne s’agit d’un livre d’initiation à l’utilisation de cette calculatrice, même si à l’occasion, je détaille quelques procédures importantes d’usage fréquent. Comme chacun pourra en juger, les exemples proposés sont la plupart du temps faciles à mettre en œuvre et ne demandent pas la technicité d’un expert.

1Les fichiers d’extension tns proposés avec ce livre peuvent être ouverts avec une calculatrice ou un logiciel TI-Nspire CAS

(6)

Soyons modestes : il n’est pas question ici de prétendre changer la nature profonde de la science mathématique : hypothético-déductive depuis plus de vingt siècles, elle le restera sans doute encore longtemps.

Mais certains aspects de l’activité mathématique – en amont de la tâche « noble » de démonstration des théorèmes –, de ceux précisément que l’on rencontre dans les classes avec les élèves et qui sont nécessaires à une bonne compréhension des concepts, se trouvent singulièrement mis en valeur avec un tel outil.

Car cette calculatrice donne à voir, donne à comprendre, donne à manipuler et ouvre la porte à un travail de conjecture et d’interrogation, d’exploration, d’appropriations des notions, d’« intimité » avec les objets mathématiques, bref à une approche à la fois expérimentale et dynamique des mathématiques.

De quoi redonner le goût à des mathématiques vivantes, en construction et en mouvement – à ce titre quelques références historiques sont proposées ici ou là dans cet ouvrage –, des mathématiques que l’on peut explorer, où l’on peut expérimenter, comprendre et conjecturer. J’espère l’avoir illustré le mieux possible et avoir suscité l’envie de poursuivre sur cette voie de la TI-Nspire, que d’autres ont déjà commencé à explorer.

Si je pouvais convaincre le lecteur, ou conforter l’opinion qu’il a déjà, que cette façon de faire des mathématiques est de nos jours incontournable, mon but serait atteint.

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Chapitre

Au début de l’arithmétique, il est fréquent que l’on cherche à déterminer la liste des diviseurs d’un entier naturel donné, ainsi que leur nombre et éventuellement leur somme.

Si le calcul peut être fait à la main pour de petits entiers, il devient très vite fastidieux.

Ainsi par exemple, il est immédiat d’établir que la liste des diviseurs de 12 est {1, 2, 3, 4, 6, 12}, leur nombre est de 6 et leur somme vaut 28… mais on ne se risquerait pas à faire les mêmes calculs à la main avec un entier comme 151 611.

Notre calculatrice peut donc nous apporter une aide appréciable. C’est aussi l’occasion pour nous d’aborder pour la première fois des fonctions arithmétiques importantes.

Sommaire

Chapitre 1. Autour des diviseurs d’un entier ... 1

1. Du tableur… ... 2

1.1 Une feuille de calcul pour répondre à nos questions… ... 2

1.2 Une première amélioration de l’algorithme… ... 3

2. …vers l’écriture de fonctions ... 5

2.1 Liste des diviseurs d’un entier ... 5

2.2 Nombre de diviseurs d’un entier ... 6

2.3 Application à la recherche d’entiers hautement composés ... 7

2.4 Somme des diviseurs d’un entier ... 10

Annexe : les nombres hautement composés ... 16

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1. Du tableur…

1.1 Une feuille de calcul pour répondre à nos questions…

 La première approche possible, sans aucun doute la plus simple, la plus facile à mettre en œuvre, passe par l’établissement d’une feuille de calcul avec l’avantage pédagogique de pouvoir observer ce qui se passe.

Dans la cellule A1, on met la valeur de l’entier n que l’on considère, par exemple 20 pour commencer, valeur que l’on stocke dans une variable n. Les diviseurs potentiels sont à rechercher parmi les entiers de 1 à n. Générons la liste de ces entiers dans la deuxième colonne en saisissant dans la zone grisée :

=seq(k,k,1,n)

Si l’on modifie la valeur de n, on peut constater que la deuxième colonne est ajustée à cette nouvelle valeur (…avantage très net sur les tableurs classiques…).

Il reste à tester chacun de ces nombres, pour savoir s’il divise n. C’est ce que l’on fait en entrant dans la cellule C11 :

=when(mod(n,b1)=0,b1,void,void)

Si B1 divise n, c’est bien lui, le diviseur trouvé, qu’on veut voir figurer ; sinon, on affiche void, c’est- à-dire une valeur vide, qui sera matérialisée par un tiret (dit underscore ou caractère de soulignement) dans la cellule correspondante2. Cette formule est recopiée sur un grand nombre de lignes (100 sur la calculatrice, 500 pour un ordinateur). On peut nommer dd la liste des diviseurs.

Quelques perfectionnements sont possibles à partir du modèle de base que l’on vient d’obtenir. Par exemple, il est possible de faire disparaître les valeurs void de la liste dd en saisissant dans la zone grisée de la colonne D :

=delvoid(dd)

1 Rappelons que le logiciel et la calculatrice TI-Nspire sont insensibles à la casse. Il est donc équivalent de saisir A1 ou a1, cette dernière façon de faire étant un peu plus rapide. C’est donc ce que nous privilégierons dans les indications de saisie.

2 When permet en effet de gérer trois éventualités selon la syntaxe when(condition, résultat si vrai [, résultat si faux][, résultat si inconnu]). Il est prudent ici d’afficher void quand on ne sait pas si le test est vrai ou faux.

(9)

1.2 Une première amélioration de l’algorithme…

 La feuille précédente s’appuie sur un algorithme maladroit pour déterminer les diviseurs : ainsi pour un nombre comme 1000, elle passe en revue tous les entiers compris entre 1 et 1000… ce qui est long et inutile…

… car on sait bien que les diviseurs peuvent être récupérés deux par deux. Voilà de quoi accroitre très facilement les performances de notre algorithme !

Un exemple vaudra mieux qu’un long discours : prenons le cas de 24. Avec le 1, on récupère aussi 241 = 24, avec 2, 242 = 12, avec 3, 243 = 8, et avec 4, 244 = 6… et c’est tout. Autrement dit, en quatre itérations, au lieu des 24 de la feuille précédente, on a tous les diviseurs.

Plus généralement, lorsque l’on écrit n sous la forme du produit i × j de deux entiers, nécessairement un des entiers, i par exemple, est inférieur ou égal à n, tandis que l’autre j = n

i est supérieur ou égal.

L’idée est donc de parcourir tous les entiers de 1 à n : on récupère tous les diviseurs i inférieurs ou égaux à n et d’une pierre deux coups, les diviseurs n

i supérieurs ou égaux à n. Aucun des diviseurs n’a été oublié par ce procédé.

3 C’est-à-dire le nombre de fois où on a recopié la formule vers le bas.

!

(10)

Mais un même diviseur peut-il apparaître deux fois ? En d’autres termes, existe-t-il un entier i tel que i = n

i ? Ce n’est pas tant gênant dans l’établissement de la liste des diviseurs, que dans le calcul de leur nombre ou de leur somme, calcul qui serait alors faussé.

Or il est clair que i = n

i équivaut à n = i2, c’est-à-dire que n est un carré parfait et que le diviseur i n’est autre que la racine de n (par exemple avec n = 25, i = 5, on a bien n/i = 5 aussi…). C’est un cas qu’il faut donc prévoir dans la feuille de calcul.

D’abord, dans la colonne B, on balaie les entiers de 1 à n … le gain en place est énorme par rapport à l’approche précédente et l’on pourra traiter des nombres beaucoup plus grands ! Remarquons que même lorsque n n’est pas un entier, l’instruction seq fonctionne…

Dans la colonne C, nommée divinf, on utilise le même test que dans la première feuille de calcul.

Dans la colonne D, nommée divsup, on récupère le cas échéant le diviseur n/i, à condition qu’il soit différent de i : voir la formule saisie tout en bas de la feuille ci-dessous.

Les formules des colonnes C et D sont recopiées comme précédemment sur 100 lignes à la calculatrice, ou 500 voire plus sur l’ordinateur.

Enfin dans E, on récupère la liste des diviseurs –attention la liste n’est pas ordonnée– en concaténant les deux listes divinf et divsup, débarassées de leurs void inutiles.

L’instruction est : augment(delvoid(divinf),delvoid(divsup)).

Ultimes améliorations avec une utilisation massive comme précédemment de seq et des colonnes qui s’ajustent toutes seules.

Remarquons qu’il est possible d’ordonner la liste divsup avec la fonction sort_asc5 de la bibliothèque Numtheory. D’où l’instruction qui figure dans la zone grisée de la colonne E :

augment(delvoid(divinf),numtheory\sort_asc(delvoid(divsup)))

5 Les instructions de tri de liste sortA, ou sortD, ne peuvent pas être utilisées dans une feuille de calcul.

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2. …vers l’écriture de fonctions

Ou plus précisément d’une fonction, reprenant les remarques précédentes. Si intéressant que soit le tableur – il nous permet de cerner le problème et d’apporter une première réponse – il reste limité dans son utilisation à 2500 lignes et donc à des entiers d’assez petite taille.

2.1 Liste des diviseurs d’un entier

Écrivons d’abord une fonction – nommons-la ldiv – listant les diviseurs d’un entier n.

L’entier n est maintenant un paramètre d’entrée de ldiv. La fonction est constituée essentiellement d’une boucle For : c’est celle que l’on emploie dès que l’on sait à l’avance combien de fois elle sera appelée. On peut visualiser les différentes étapes de cette boucle sur chacune des lignes de la feuille de calcul précédente.

On cumule dans la liste divinf tous les diviseurs i inférieurs à n et dans la liste divsup tous les diviseurs n/i supérieurs à n. Les premiers sont ajoutés à droite et les seconds à gauche pour être dans l’ordre croissant au moment où on concaténera les deux listes.

(12)

Enfin si n est un carré parfait, pour éviter le doublon n dans la liste des diviseurs, on ne renvoie de la deuxième liste que les éléments à partir du deuxième : c’est l’objet de l’instruction mid

mid(divsup,2)

qui renvoie tous les éléments de la liste divsup à partir de la position 2.

Ci-contre, quelques-uns des résultats obtenus, le dernier en une trentaine de secondes6.

2.2 Nombre de diviseurs d’un entier

Le nombre des diviseurs d’un entier est une des plus simples fonctions arithmétiques que l’on peut définir.

On peut facilement calculer ce nombre à l’aide de la fonction ndiv… qui n’est qu’une adaptation du programme précédent7.

On obtient les résultats suivants :

6La fonction divisors de la bibliothèque numtheory est encore plus rapide : on y accède par le catalogue. Tout ceci ne dispense en aucune façon de l’intérêt qu’il y a à écrire sa propre fonction…

7dim(ldiv(n)) remplirait le même office, en demandant toutefois un tout petit plus de temps. Pour avoir le nombre des diviseurs, il n’est pas nécessaire de les stocker tous au préalable. Dans un souci d’efficacité et de performance, nous préférons donc réécrire une nouvelle fonction.

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Cherchons les nombres hautement composés inférieurs ou égaux à 100, en employant pour commencer une méthode graphique. Le tableur permet facilement d’avoir en colonne A la liste des entiers compris entre 2 et 100, nommée xx, et en colonne B la liste du nombre de leurs diviseurs, nommée yy.

Il reste à représenter graphiquement le nuage de points d’abscisse xx et d’ordonnée yy. On remarquera le point mobile, astreint à se déplacer sur la grille, qui permet de lire les maxima de la courbe précédente.

En conclusion, les nombres hautement composés inférieurs ou égaux à 100 sont : 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48 et 60.

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Certains, comme 24 et 60, sont un peu plus célèbres que d’autres : les 24 heures du jour ou le système de numération en base 60 des babyloniens ont probablement été choisis précisément pour leur grand nombre de diviseurs. Il se trouve qu’ils sont hautement composés…

Évidemment une recherche systématique peut être entreprise avec l’écriture d’une fonction :

L’idée est de parcourir tous les entiers de 2 à n en déterminant combien ils ont de diviseurs. À chaque étape, on compare le nombre des diviseurs de l’entier considéré avec le maximum de ce nombre de diviseurs mémorisé dans une variable l.

Si un entier a un nombre de diviseurs qui dépasse strictement le maximum l en cours, c’est qu’il est hautement composé : on le mémorise alors dans la liste list et on met à jour le nouveau maximum dans l.

On obtient les résultats suivants, le dernier au bout d’un temps non négligeable :

 Comme pour les nombres premiers, la répartition des nombres hautement composés semble relativement imprévisible. À quoi ressemblent ces nombres ? Qu’est-ce qui peut permettre de les reconnaître ?

Pour répondre, même partiellement, à ces questions, cherchons à factoriser dans une nouvelle page Tableur & Listes les nombres obtenus : on sauvegarde la dernière liste obtenue dans une variable l et on la copie dans la colonne A, puis on la factorise dans la colonne B. Dans la colonne C est rappelé le nombre de diviseurs du nombre hautement composé correspondant.

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Quelques remarques peuvent alors être faites sur les nombres hautement composés.

Tout d’abord sur les facteurs premiers qui interviennent dans les décompositions, 2, puis 2 et 3, puis 2,3 et 5, puis 2, 3, 5 et 7 etc. : chaque nombre premier depuis 2 est utilisé, sans saut. Par exemple, on ne rencontre pas 24327, d’où le 5 aurait été omis.

D’autre part, dans chaque décomposition, les exposants de ces nombres premiers – toujours en partant de 2 – sont décroissants, jusqu’à la valeur 1 incluse, sauf pour 4 et 36 qui se terminent l’un et l’autre sur un exposant 2. Ainsi 5040 2 432 5 7 donnent des exposants 4, 2, 1 et 1, conformes à nos prévisions.

À bien y regarder, une partie de ces remarques s’explique très simplement. En effet, un nombre comme 3 × 53 × 72 possède (1 + 1) × (3 + 1) × (2 + 1) = 24 diviseurs. Mais le nombre 2 × 33 × 52 est clairement plus petit (chacun des facteurs premiers est remplacé par un plus petit) et possède le même nombre de diviseurs puisque les exposants des facteurs premiers n’ont pas changé.

Mais on peut encore diminuer le nombre en conservant les mêmes exposants mais en les mettant dans l’ordre décroissant, les plus grands réservés aux plus petits facteurs premiers. On arrive à :

23 × 32 × 5…

qui est un nombre hautement composé… à savoir 360…

Nous admettrons que le dernier exposant vaut 1, sauf pour les nombres hautement composés 4 et 36 (ce résultat est démontré en annexe).

Les considérations précédentes nous autorisent à énoncer le résultat suivant.

Théorème

Si un nombre N est hautement composé, il s’écrit sous la forme : N p11p22 ... pnn.

où la suite  1, ,...,2n est une suite d’entiers naturels décroissante et où pi désigne le ie nombre premier (p1 = 2, p2 = 3, etc.)

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Remarquons qu’à cause de cet exposant 1 final, les seuls nombres hautement composés qui sont des carrés sont 4 et 36. De même une puissance de 2, à part 2 et 4, ne peut pas être un nombre hautement composé. Les nombres hautement composés, excepté 2 et 4, sont donc forcément des multiples de 68. Évidemment, comme souvent en arithmétique, la réciproque du théorème est fausse : tout nombre de la forme précédente n’est pas forcément hautement composé. Ainsi 24 × 33 × 5 = 2160 remplit parfaitement les conditions du théorème mais… n’est pas un nombre hautement composé, d’après la liste que nous avons établie9.

En d’autres termes, le théorème donne la « tête » des candidats possibles. Ou encore il donne le moyen de reconnaître à coup sûr un nombre qui ne sera pas hautement composé, comme par exemple 5 × 7 × 113.

Quelques propriétés sur les nombres hautement composés L’ensemble des nombres hautement composés est infini.

Démonstration

Soit k un entier quelconque.

L’ensemble des entiers naturels possédant k diviseurs est non vide : il contient par exemple 2k–1. Ce sous-ensemble de  possède donc un plus petit élément, qui par définition est un nombre hautement composé.

On établit donc une bijection entre l’ensemble des entiers naturels et l’ensemble des entiers hautement composés, ce qui prouve qu’il y a une infinité non dénombrable d’entiers hautement composés.

Une autre approche est possible pour cette démonstration. Soit n un entier hautement composé. Si on considère l’entier 2n, on sait qu’il possède strictement plus de diviseurs que n : plus précisément, l’ensemble des diviseurs de n est strictement inclus dans l’ensemble des diviseurs de 2n.

De deux choses l’une.

Ou bien 2n est hautement composé, ou bien il existe au moins un entier strictement compris entre n et 2n qui possède autant de diviseurs que 2n. Le plus petit de ces entiers est par définition hautement composé.

Bref, on a prouvé10 qu’il existe forcément un autre entier hautement composé entre n et 2n : en d’autres termes, l’ensemble des entiers hautement composés est infini.

2.4 Somme des diviseurs d’un entier

 Une des plus célèbres fonctions arithmétique – sans doute la plus étudiée dans l’histoire – est la fonction somme des diviseurs d’un entier n, notée habituellement

 

n .

C’est ce que calcule la fonction sdiv1 suivante… en adaptant une fois de plus notre programme listant les diviseurs. Au lieu cette fois de mémoriser les diviseurs dans une liste, on les cumule dans une variable s.

Il faut juste penser, comme on l’a vu plus haut, à retirer n à la fin dans le cas où n est un carré parfait, car le diviseur n dans ce cas a été compté deux fois dans la somme.

8En conséquence, tous les nombres hautement composés au-delà de 6 sont abondants, car tous les multiples de 6, sauf 6, le sont (voir plus loin). La réciproque est fausse, comme nous le verrons plus loin.

9Il a 40 diviseurs ; 1680 est le nombre hautement composé qui possède 40 diviseurs…

10Remarquons que ceci prouve aussi que le quotient entre deux entiers hautement composés consécutifs est compris entre 1 et 2.

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On obtient les résultats suivants :

On peut remarquer que, même avec des valeurs assez grandes de l’entier, on obtient un résultat dans un temps raisonnable. Ceci étant, des entiers plus grands, disons au-delà d’une dizaine de chiffres, sont bien souvent inaccessibles à cette fonction.

Une autre approche est possible, mais une étude mathématique de la fonction somme des diviseurs s’impose.

Parenthèse mathématique sur la fonction somme des diviseurs

Commençons d’abord par calculer la somme des diviseurs de quelques types d’entiers particuliers.

Tout d’abord, il est évident que (p) = p + 1 si et seulement si p est un nombre premier.

Si p est premier et k est un entier naturel, alors :

(pk) = 1 + p + p2 + ... + pk = pk + 1 – 1 p – 1

Enfin, si p et q sont deux nombres premiers distincts, alors :

(pq) = 1 + p + q + pq = (1 + p)(1 + q) = (p)(q)

(p2q) = 1 + q + p + pq + p2 + p2q = (1 + p + p2)(1 + q) = (p2)(q)

(p2q2) = 1 + q + q2 + p + pq + pq2 + p2 + p2q + p2q2

= (1 + p + p2)(1 + q + q2) = (p2) (q2)

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Ces résultats se généralisent et on peut énoncer le théorème suivant, qui exprime que la fonction somme des diviseurs est une fonction multiplicative11 :

Théorème

Si a et b sont premiers entre eux, alors (ab) = (a)(b).

Démonstration :

Raisonnons à partir des décompositions en facteurs premiers. Posons :

1 2

1 2 ... r r

a pp  p

1 2

1 2 ... s s

b qq  q

où les facteurs pi et qj sont des nombres premiers distincts deux à deux, puisque a et b sont premiers entre eux.

Par suite, les diviseurs du produit ab s’obtiennent de façon unique comme produit d’un diviseur de a par un diviseur de b ; en d’autres termes, il y a une correspondance bijective entre l’ensemble des diviseurs du produit ab et l’ensemble des produits d’un diviseur de a par un diviseur de b.

Par conséquent, quand on développe le produit de (a) par (b), tous les termes s’obtiennent en multipliant entre eux un diviseur de a par un diviseur de b : chaque terme est alors un diviseur de ab.

D’après la bijection précédente, on est sûr dans la somme de rencontrer une fois et une seule chaque diviseur de ab.

Autrement dit, la somme calculée est bien (ab).

En conséquence, la décomposition en facteurs premiers12 d’un entier n permet le calcul effectif de

(n), sans passer par la liste des diviseurs.

En effet, si n = p11p22 ... pss, avec les notations habituelles où les pi sont des nombres premiers, le théorème précédent donne :

 

1 2

1 2

1 2

1

1 1

1 2

1 2

( ) ( ) ... ( )

1 1 ... 1

1 1 1

s s

s s

s

n p p p

p

p p

p p p

   

  

  

   

  

Exemples

L’application de la formule précédente donne les résultats suivants :

(2n ) = 2n + 1 – 1

(10n) = (2n + 1 – 1) 5n + 1 – 1 4

(2n × 5) = (2n + 1 – 1) × 6

(24 × 35 5) = 2 1 3 15 6 ... 5 12 67704

2 1 3 1 5 1

  

   

   .

11 Une fonction arithmétique multiplicative est une fonction f de * dans lui-même qui vérifie : a) f 1 1, b) pour tous entiers naturels n et p premiers entre eux, f nm  f n f m   . C’est le cas de la fonction nombre de diviseurs et de la fonction somme des diviseurs.

12 En ayant conscience que si elle est facile à obtenir avec de petits nombres entiers, c’est une autre paire de manches avec des grands entiers !

(19)

Remarquons que expr("2^4*3^5*5") évalue la chaîne de caractères et renvoie le résultat de départ, tout calculé…

Il nous reste à savoir extraire de cette chaîne de caractères les éléments dont nous aurons besoin.

Quelques instructions sont disponibles sur TI-Nspire pour nous aider à cette tâche : dim(chaine) donne le nombre de caractères d’une chaîne.

instring(chaine,sous-chaine) renvoie la position de la première lettre de la première occurrence de sous-chaine dans chaine (0 en cas d’absence de sous-chaine). Un exemple vaut mieux qu’un long discours :

left(chaine,n) renvoie, sous forme d’une chaîne de caractères, les n caractères les plus à gauche de chaine. Il existe de même une fonction right, qui obéit à la même syntaxe13.

13 La fonction mid, déjà rencontrée page 6, permet d’extraire des caractères à partir d’une position donnée. Nous ne nous en servirons pas

(20)

Enfin, l’opérateur & permet de concaténer des chaînes de caractères.

Nous sommes maintenant en mesure d’écrire le programme permettant le calcul de la somme des diviseurs d’un entier à partir de sa décomposition en facteurs premiers. L’idée est de « découper en tranches » une chaîne de caractères… Car c’est bien à cela que se résume le programme : découper en tranches pour pouvoir appliquer une formule !

On part de string(factor(n)), auquel on prend soin d’adjoindre le symbole "*" à la fin… pour être sûr qu’il y figure au moins une fois (ce n’est pas toujours le cas, par exemple pour un nombre premier !).

On commence alors à « saucissonner »… En gros, on découpe une « rondelle » à chaque fois que l’on rencontre un caractère "*"…

Le premier caractère "*" nous donne la première tranche, avec un facteur de type "p^a", éventuellement "p" tout seul ; la partie au-delà de cette tranche est conservée pour la suite… On recherche ensuite dans la partie gauche la présence ou non du caractère "^".

Si oui, on récupère à gauche le facteur premier, à droite l’exposant ; sinon on a directement le facteur premier avec un exposant égal à 1.

Et on coupe la rondelle qui suit, jusqu’au premier caractère "*" du « bout » qui reste… en poursuivant l’analogie charcutière. On s’arrête bien sûr quand la chaîne se réduit au dernier caractère *, donc quand sa dimension est égale à 1. Voilà pour la boucle While.

Le code est le suivant14 :

L’efficacité de cette nouvelle fonction, liée avant tout à celle de Factor, est redoutable : la plupart des réponses renvoyées ci-après sont données immédiatement. Malheureusement, on sait que, pour des nombres très grands, la factorisation va demander beaucoup de temps, trop de temps bien souvent pour qu’on puisse attendre le résultat. On atteint ici les limites de notre fonction sdiv.

14 Deux précautions sont prises au début : renvoyer 1, au lieu d’un message d’erreur, lorsque n vaut 1 ; tester le type de la variable (impérativement type numérique, sinon le programme plante la calculatrice…)

(21)

Mais c’est de loin la fonction la plus performante que nous ayons écrite : si nécessaire, nous pourrions par exemple l’enregistrer dans une bibliothèque publique pour en disposer depuis n’importe quel répertoire.

Si l’on veut faire très vite – oral de concours ou travail en temps limité – on peut se servir de la bibliothèque Numtheory et de la fonction divisors qui renvoie la liste des diviseurs d’un entier : facile alors d’en faire la somme ! Toutefois, pour des entiers possédant beaucoup de diviseurs, un message d’erreur peut être renvoyé, dû à la gestion d’une liste possédant trop de termes.

(22)

Annexe : les nombres hautement composés

Complétons l’étude faite précédemment sur les entiers hautement composés par quelques théorèmes et leur démonstration.

Théorème

Aucune puissance de 2, hormis 2 et 4, ne peut être un entier hautement composé.

Démonstration

On sait que 2 et 4 sont des entiers hautement composés.

Soit donc maintenant N21 un entier quelconque avec 13, entier qui possède donc 11 diviseurs.

Considérons alors le nombre ' 3 3 21 2 4

NN   , clairement entier et strictement inférieur à N. Il possède quant à lui 2

1 1 2

12 diviseurs.

Il est clair que 21 2 11 puisque cela équivaut à 13.

Bref, N’, strictement inférieur à N, possède au moins autant de diviseurs que N. Il est donc exclu que N soit un nombre hautement composé.

Théorème

Les seuls entiers hautement composés de la forme 2132, où 1 et 2 sont des entiers naturels au moins égaux à 1, sont 6, 12, 24, 36 et 48.

Démonstration

Soit donc N un entier hautement composé de la forme N2132, où 1 et 2 sont des entiers naturels au moins égaux à 1. On sait que N possède

11



21

diviseurs et que, d’après la décroissance des exposants,  12.

L’idée du raisonnement est de chercher à fabriquer un entier N’ strictement inférieur à N. Comme N est hautement composé, on est sûr que N’ possède strictement moins de diviseurs que N.

Considérons l’entier N’ défini par :

11 2 1

' 5 2 3 5

2 3

NN

qui possède 2 1 2 diviseurs. On a donc :

  

1 2 1 2

2    1  1  1 2 121

1 2 1 2 1

     

11



2 1 2

11



2 1 1

Il reste à examiner les différentes possibilités.

 Si 11, l’inégalité précédente est toujours vérifiée. Mais tenant compte du fait que  12, on en déduit que 21. On obtient alors N = 2131 = 6, qui est bien un entier hautement composé.

 Si maintenant 12, l’inégalité est vérifiée si et seulement si 22. On obtient comme candidats possibles N = 2232 = 36, qui est bien hautement composé, et N = 223 = 12, qui l’est aussi.

(23)

1

1 2

4   3 4 12 diviseurs.

Par conséquent, comme précédemment, on peut écrire que :

1 1

4 12 2  2

ce qui équivaut à 17. Les seuls candidats possibles, en dehors de ceux qu’on a déjà signalé, sont donc : 2 3 1926  , 2 3 965  … qui ne sont pas hautement composés d’après la recherche exhaustive menée dans ce chapitre. Donc tout entier naturel N213 avec 15 ne peut pas être hautement composé.

En conclusion, on a bien prouvé que les seuls entiers hautement composés de la forme 2132 sont 6, 12, 24, 36 et 48.

D’après l’étude précédente, si l’on exclut les entiers hautement composés 2 et 4 – qui sont des puissances de 2 – et 6, 12, 24, 36 et 48 – de la forme 2132–, tous les autres entiers hautement composés sont donc forcément des multiples de 2 3 5 30   … cette remarque permet de rendre plus performant notre programme de recherche des nombres hautement composés. Après avoir mis dans une liste les premiers nombres hautement composés (ceux qui ne sont pas multiples de 30), on fait une recherche des autres nombres hautement composés parmi les multiples de 3015.

(24)

On obtient alors des résultats qui étaient inaccessibles avec notre fonction de recherche précédente.

Quelques longues minutes sont quand même nécessaires pour le dernier résultat, même avec l’ordinateur :

On ne peut que remarquer la relative rareté des entiers hautement composés : 37 seulement parmi les entiers de 1 à 1 000 000… surtout quand on la compare à la rareté des nombres premiers !

Une propriété étonnante peut être relevée : il semble que les nombres hautement composés sont très souvent des voisins immédiats de nombres premiers. La feuille de calcul suivante montre 72,9 % des 37 nombres hautement composés inférieurs à 1 000 000 sont dans ce cas.

Théorème

Hormis pour 4 et 36, le dernier exposant de la décomposition en facteurs premiers d’un entier hautement composé est toujours 1.

Démonstration

Tout en se basant sur des principes analogues à ceux qu’on a déjà vus, la démonstration est cependant plus technique que les précédentes16.

16Je la dois à Oliver Bordellès, membre éminent de l’excellent forum du site les-mathematiques.net : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,606256,page=1

(25)

Considérons alors l’entier :

1 1 2 1

1 1 2 1

1

' n ... nn n n

N p N p p p p

p p .

On sait d’après le postulat de Bertrand que pn+1 est strictement compris entre pn et 2pnp p1 n. En conséquence, on a bien : N’ < N.

Comme N est hautement composé, le nombre de diviseurs de N’ est donc strictement inférieur au nombre de diviseurs de N ce qui se traduit par l’inégalité :

      

1 2 1 ... 2 1 1 2 1 ... 1

   n      n ce qui après simplification donne :

  

1 1

2 n  1 n1

Comme précédemment, cette inégalité équivaut à :

11



n 1 1

. Plusieurs cas sont à envisager.

 Si 11, comme la suite des exposants est décroissante, tous les exposants jusqu’à n valent 1.

C’est bien ce qu’on voulait prouver.

 Si 12, l’inégalité équivaut à n2. Si n 1, le problème est réglé.

Montrons donc que n ne peut pas être égal à 2, en n’oubliant pas que N possède au moins 3 facteurs premiers.

Si 1 n 2, du fait de la décroissance des exposants, on peut écrire :

2 2 2

1 2 ...

n

N p p p .

Considérons alors l’entier '' 1214 22... n

n

N p N p p p

p . Cet entier est inférieur à N car p12  4 pn et pn

est au moins égal à 5 dans la mesure où N possède au moins trois facteurs premiers.

Par conséquent, le nombre de diviseurs de ''N est strictement inférieur au nombre de diviseurs de N, ce qui s’écrit :

5 3 ... 2 3 3 ... 3      

qui équivaut après simplification à 5 2 3 3   , ce qui est impossible. Par conséquent, n ne peut pas être égal à 2.

(26)

 Enfin si 12, l’inégalité n’est possible que lorsque n1, ce qui permet encore de conclure sur le dernier exposant.

(27)

Chapitre

Un nombre abondant est intuitivement un nombre qui possède beaucoup de diviseurs, tandis qu’un nombre déficient en possède peu. Entre l’abondance et la déficience, que l’on peut voir comme un excès ou comme un manque, trône le nombre parfait, juste équilibre entre un nombre et ses diviseurs.

Rien de plus simple… mais nous verrons que derrière cette simplicité apparente, se cache un domaine d’une grande richesse, comme souvent en arithmétique. Ce chapitre est l’occasion d’utiliser la fonction somme des diviseurs que nous avons écrite dans le chapitre précédent.

Sommaire

Chapitre 2. Nombres abondants et déficients ... 21 1. Abondance et déficience ... 22 1.1 Que sont ces nombres ? ... 22 1.2 Recherche à la calculatrice… ... 22 2. Quelques conjectures… et leurs démonstrations ... 24

(28)

1. Abondance et déficience

1.1 Que sont ces nombres ?

C’est la somme des diviseurs d’un nombre, que nous noterons  qui nous sert à mesurer le caractère abondant ou déficient d’un nombre. Plus précisément :

Un nombre est dit abondant lorsque 

 

n 2n et déficient lorsque 

 

n 2n.

Juste à la frontière des deux contraintes précédentes, un entier sera dit parfait1 lorsque

 

n 2n

  .

Quelques exemples, au hasard des premiers nombres entiers : 9 est déficient car (9) = 1 + 3 + 9 = 12  2  9 = 18 ;

12 est par contre abondant car (12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28  2  12 ; 6 est parfait car 1 + 2 + 3 + 6 = 2  6.

Signalons aussi que dans l’histoire, on ne considérait pas le nombre lui-même dans la liste de ses diviseurs. Ainsi par exemple un nombre était dit parfait lorsqu’il était exactement égal à la somme de ses diviseurs2. Les définitions alternatives des nombres abondants et déficients étaient du même type.

Pour faire une recherche, on peut réutiliser la fonction sdiv que nous avons écrite lors du précédent chapitre (à partir d’une bibliothèque publique comme numtheory par exemple). On peut aussi la réécrire rapidement à l’aide de la fonction divisors de la bibliothèque numtheory.

1.2 Recherche à la calculatrice…

Le plus simple est de faire une recherche systématique au tableur. Les formules utilisées sont apparentes sur la feuille de calcul ci-dessous.

1 Les nombres parfaits seront étudiés dans le prochain chapitre.

2 Au début du VIIe livre des Éléments, Euclide donne la définition suivante d’un nombre parfait (définition 23) : le nombre parfait est celui qui est égal à ses parties.

(29)

cette propriété particulière, propriété qui doit impérativement être énoncée dans une chaîne de caractères contenant obligatoirement la variable x, comme par exemple "sdiv(x)>2.x" pour la recherche des nombres abondants, ou "isprime(x)=true" pour celle des nombres premiers.

En quelques secondes, on obtient très rapidement la liste des nombres abondants, déficients et parfaits inférieurs ou égaux à 200 :

 En conclusion de ces deux études, on peut finalement établir le tableau suivant. N’y figurent pas les deux seuls nombres parfaits inférieurs à 200 : 6 et 28…

déficients abondants

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 81, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 101, 103, 105, 106, 107, 109, 110, 111, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 127, 128, 129, 130, 131, 133, 134, 135, 136, 137, 139, 141, 142, 143, 145, 146, 147, 148, 149, 151, 152, 153, 154, 155, 157, 158, 159, 161, 163, 164, 165, 166, 167, 169, 170, 171, 172, 173, 175, 177, 178, 179, 181, 182, 183, 184, 185, 187, 188, 189, 190, 191, 193, 194, 195, 197, 199.

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 198, 200.

(30)

2. Quelques conjectures… et leurs démonstrations

À partir de ces listes, on peut conjecturer, puis tenter de prouver ou d’infirmer, certains résultats.

Même si on la pratique à un niveau élémentaire, n’est-ce pas là l’essence de l’activité mathématique, celle d’un chercheur par exemple ? Encourageons les élèves à avoir, sur ce type de problème, la

« conjecture facile »4

Quelques conjectures sur les nombres déficients, à partir des listes obtenues Conjecture 1 : toute puissance de 2 est un nombre déficient.

Démonstration

La somme de diviseurs de 2n, pour n entier naturel non nul, vaut : 1 + 2 + … + 2n = 2n + 1 – 1

2 – 1 = 2n + 1 – 1 < 2n+1 = 2 × 2n.

À un près, un tel nombre est parfait... mais il est quand même déficient.

Conjecture 2 : tout nombre premier est déficient.

Est-il besoin d’en dire plus ? C’est bien le moins qu’on attende d’un nombre premier, qui possède le moins de diviseurs possibles. On peut en déduire, même si l’on s’en doutait, que l’ensemble des nombres déficients est infini.

Conjecture 3 : tout entier qui s’écrit sous la forme p × q où p et q sont des nombres premiers impairs et distincts, est un nombre déficient.

Démonstration

C’est le cas, par exemple, de 21 ou de 35.

Soit donc p et q deux entiers premiers impairs et distincts. On peut, sans restreindre la généralité, supposer que p < q.

La somme des diviseurs de pq, avec p et q premiers impairs vaut 1 + p + q + pq, dont on doit montrer qu’elle est inférieur strictement à 2pq.

Or 1 + p + q + pq < 2pq équivaut à 1 + p + q < pq soit, en divisant par q, 1 q + p

q + 1 < p Or p est supérieur ou égal à 3, tandis que 1q + p

q + 1 < 1 + 1 + 1 = 3.

Ceci prouve bien que 1q + p

q + 1 < p et donc que pq est bien déficient.

Conjecture 4 : tout carré de nombre premier est déficient.

Démonstration

Soit donc p un entier premier.

La somme des diviseurs de p2 est égale à : 1 + p + p2.

Or, 1 + p + p2 < 2 × p2 équivaut à 1 + p < p2 : ceci est manifestement vrai pour tout entier premier car 1 + p = p(1 + 1p) < p × p.

Conjecture 5 : toute puissance de nombre premier est un nombre déficient.

Démonstration

C’est immédiatement le cas si le nombre premier considéré est 2, d’après la conjecture 1.

4 Ce qu’a dit Daniel Perrin dans une conférence à l’IUFM de Rouen il y a quelques années…

(31)

p

Conjectures sur les nombres abondants

De la même façon, l’examen de la liste des entiers abondants obtenues plus haut peut conduire à émettre les conjectures suivantes.

Conjecture 1 : tout multiple non nul de 6, sauf 6, est abondant.

Démonstration

On sait que 6 est un nombre parfait… il n’est donc pas abondant.

Soit n = 6k un multiple de 6, avec k > 1.

n est divisible par 1 et par n mais aussi par 2, donc par n

2, par 3, donc par n

3, par 6, donc par n 6 (qui n’est pas égal à 1 car n > 6) : n, n

2, n 3, n

6 et 1 sont deux à deux distincts.

On a donc :

(n)  n + n 2 + n

3 + n

6 + 1 = 2n + 1 > 2n.

n est bien un nombre abondant.

Remarquons que le raisonnement peut être mené à la calculatrice...

On peut en déduire, si on avait encore un doute, qu’il y a une infinité de nombres abondants. On sait qu’à partir de n = 60, les nombres hautement composés (chapitre précédent) sont des multiples de 6 : ils sont donc aussi, à partir de cette valeur, des nombres abondants.

Remarque

Par un raisonnement analogue, on peut montrer que tout nombre de la forme kp, où p est un nombre parfait et k un entier naturel strictement supérieur à 1, est abondant.

Appelons d1, d2, …, dn les diviseurs strictement positifs de p : on sait donc que : d1 + d2 + ... + dn = 2 × p.5

Comme di divise p, il divise aussi kp : par suite, kp

di divise aussi kp.

D’autre part, aucun des kp

di n’est égal à 1, car k lui-même est strictement supérieur à 1. On a donc :

5 Égalité d’où l’on tire au passage que d1 d2 ... dn 2

p p  p , c’est-à-dire encore que n 1 2 d

.

(32)

(kp)

i i

kp

d + 1 = kp 1

i di

+ 1 = 2kp + 1 ce qui prouve que kp est abondant.

Conjecture 2 : tout multiple non nul de 20 est abondant.

Démonstration

Soit n = 20k un multiple de 20, avec k  1.

n est divisible par n mais aussi par 2, donc par n

2, par 4, donc par n

4, par 5, donc par n

5, par 10, donc par 10n, et cette liste de diviseurs suffit car elle dépasse déjà 2n, comme on peut facilement le voir à la calculatrice.

Conjecture 3 : tout multiple non nul d’un nombre abondant est abondant.

Démonstration

Soit n un nombre abondant et kn un de ses multiples avec k > 1. Si on note di tous les diviseurs de n,

on a donc

 

i 2

i

n d n

 

 , que l’on peut aussi écrire

 

2

i i

n n n

 

d.

Il est clair que di qui divise n divise aussi kn ; comme précédemment, on peut affirmer que

i

kn

d divise kn.

Par conséquent,

 

2 2

i i i i

kn n

kn k k n kn

d d

 

   , ce qui prouve bien que kn est abondant.

Conjecture 4 : tout nombre abondant est pair. ( Conjecture fausse !)

C’est ce que l’on observe pour les nombres inférieurs ou égaux à 200, et même bien au-delà si l’on a la patience de poursuivre la recherche. Jusqu’à n = 800, tous les nombres abondants sont pairs, comme le montre l’écran suivant (remarquer l’utilisation de delvoid combiné avec seq pour obtenir la liste demandée) :

Cette conjecture peut avoir l’air vraie de prime abord… Elle vaut en tout cas la peine qu’on y regarde de plus près. On se doute que les nombres pairs sont de bons candidats pour être abondants, tout simplement parce qu’ils ont un diviseur n/2 assez grand. Pour autant rien n’interdit a priori à un nombre impair d’être abondant, pourvu qu’il ait beaucoup de diviseurs. Cherchons comme précédemment à ne cumuler que des diviseurs impairs, pour parvenir à ce que leur somme dépasse 2n.

(33)

Reste à reconstituer un entier qui doit être divisible par 3, 5, 7, 9, 11 et 13 (il le sera forcément par 15) : le plus simple de ces nombres est 32 × 5 × 7 × 11 × 13 = 45 045, qui est bien impair et abondant, comme le montre l’écran suivant :

Remarquons que n’importe lequel de ses multiples impairs sera aussi un nombre abondant impair, ce qui permet de prouver qu’il existe une infinité de nombre abondants impairs.

Y-a-t-il plus petit ? Supprimons les facteurs 11 et 13. Si on veut que le nombre ne grossisse pas trop, il faut plutôt travailler avec des puissances de 3. Avec 3, 5 et 7, on a aussi comme diviseurs 15, 21 et 35, donc , et

15 21 35

n n n ; on introduit alors les diviseurs 9 et 27.

Par exemple, 33 × 5 × 7 = 945 est un nombre abondant impair, inférieur au précédent.

Recherche de nombres abondants impairs

Bien sûr, une recherche systématique peut être entreprise. Remarquer une fois de plus l’utilisation de void et seq. Attention cependant, la TI-Nspire ne gère pas les listes dépassant un peu plus de 16 300 termes… avant la suppression des void, on dépasse parfois cette valeur (notamment pour obtenir la liste des nombres abondants de 1 à 100 000…).

Il faut alors préférer la fonction select_range de la bibliothèque numtheory, déjà utilisée précédemment.

(34)

Le plus petit nombre abondant impair que l’on trouve est 945 = 33 × 5 × 7.

Les calculs de l’écran précédent confirme qu’un tel nombre, et n’importe lequel de ses multiples impairs comme 2 835 = 3  945 ou 4 725 = 5  945, est abondant.

Tous les nombres abondants impairs semblent être des multiples de 5 : il n’en est rien (on s’en doute !) comme le montre la dernière ligne de calcul de l’écran précédent : 81 081 est le plus petit nombre abondant impair et non multiple de 5.

(35)

Chapitre

Entre l’abondance et la déficience, la perfection… Juste ce qu’il faut de diviseurs stricts, ni trop, ni trop peu, pour que leur somme soit exactement égale au nombre considéré… Quels sont donc ces nombres que l’on dit parfaits, équilibre idéal entre l’excès et le défaut ? Leur étude, bien plus encore que celle des nombres abondants et déficients, révèle de nombreux trésors arithmétiques. Comme d’habitude, nous noterons  la fonction somme des diviseurs.

Sommaire

Chapitre 3. Nombres parfaits ... 29 1. Définition et recherche de nombres parfaits... 30 1.1 Que sont ces nombres ? ... 30 1.2 Premiers exemples ... 30 1.3 Étude à la TI-Nspire ... 31 1.4 La proposition d’Euclide... 31 1.5 La réciproque de la proposition d’Euclide ... 35 2. Les nombres de Mersenne ... 36 2.1 L’origine historique de ces nombres ... 36 2.2 Premiers ou pas ? ... 37

(36)

1. Définition et recherche de nombres parfaits

1.1 Que sont ces nombres ?

L’entier naturel non nul n est dit parfait lorsque (n) = 2n.

Remarquons que (n) = 2n équivaut à (n) – n = n : autrement dit n est parfait si et seulement si n est égal à la somme de ses diviseurs stricts (de ses parties aliquotes, disait-on autrefois1...).

Nous aurons donc une fois de plus besoin de la fonction somme des diviseurs : celle du premier chapitre est parfaite. Sinon une telle fonction peut se réécrire très facilement avec divisors, comme le montre l’écran suivant :

Attention toutefois à des risques de dépassement de ressources dans ce cas : la calculatrice ne peut pas générer des listes de plus 16 380 termes ; si le nombre possède plus de 16 380 diviseurs – c’est le cas par exemple de 1030 + 1 –, la calculatrice renvoie un message d’erreur. À bannir donc pour tout calcul sur des nombres un peu grands.

1.2 Premiers exemples

La recherche au tableur menée dans le chapitre 2 nous a fourni 6 et 28. En effet, si on ne travaille que sur les diviseurs stricts, 6 = 1 + 2 + 3 est parfait, ainsi que 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

1Pour Euclide, un nombre parfait est « égal » à ses parties.

(37)

… qui n’est autre que notre « formule », appliquée à n = 101.

Les Égyptiens utilisaient-ils ces notions reliant un entier et la somme de ses diviseurs ? Nul ne le sait aujourd’hui faute d’avoir une information précise sur l’assise théorique des mathématiques égyptiennes, mais on pourrait y voir un intérêt à l’étude très ancienne de ces problèmes...

1.3 Étude à la TI-Nspire

Tout au plus peut-on conclure que les nombres parfaits sont rares, d’où leur nom sans doute. Cela rend leur recherche à la main très fastidieuse. Autant laisser la calculatrice gérer ce travail pénible ! La fonction select_range de la bibliothèque numtheory, nous permet de lister, en une poignée de secondes, les nombres parfaits compris entre 1 et 1000 :

La recherche peut être poursuivie au delà mais elle est peu fructueuse : entre 1000 et 10 000, en 4 minutes et demie4, on obtient le quatrième nombre parfait, 8 128.

Au delà de 10 000, les recherches n’aboutissent plus… ou bien il faudrait y passer beaucoup trop de temps pour les piles de la calculatrice... et la patience de l’utilisateur… L’intelligence, et les mathématiques5, doivent prendre le relais !

1.4 La proposition d’Euclide

 Nous avons donc obtenu quatre nombres parfaits : 6, 28, 496 et 8 128. Est-il possible de mettre en évidence un point commun simple6 entre ces nombres, suffisamment simple pour qu’on puisse calculer les suivants ?

C’est leur décomposition en facteurs premiers qui apporte des éléments intéressants.

2Rappelons l’importance de la duplication dans l’algorithme de multiplication égyptienne.

3 À part 2/3, les Égyptiens n’utilisaient que des fractions de numérateur 1 : c’est bien ces dernières que nous appelons fractions égyptiennes.

4Une quarantaine de secondes avec le logiciel.

5 Ce qui prouve qu’elles sont encore indispensables, même et surtout à l’époque des ordinateurs puissants, contrairement aux affirmations péremptoires d’un ministre, il y a quelques années...

6

(38)

Les nombres obtenus présentent des similitudes troublantes. Passons sur le premier facteur, clairement une puissance de 2 ; l’œil mathématique un tant soit peu habitué à la fréquentation des nombres reconnaît une puissance de 2, diminuée de 1.

Plus précisément on peut écrire : 6 = 2  (22 – 1) 28 = 22 × (23 – 1)

23 (24 – 1) = 8  15 = 120 ? 496 = 24 × (25 – 1)

25 (26 – 1) = 32  63 = 2016 8128 = 26 × (27 – 1)

… avec des entiers dont on ne peut que remarquer l’absence… Pourquoi n’a-t-on pas 120 et 2016 dans les nombres parfaits ? Déterminons la somme des diviseurs de ces entiers :

Ces derniers nombres sont en fait abondants : en d’autres termes, ils ont trop de diviseurs pour être parfaits, le fragile équilibre est rompu.

On peut penser que c’est dû au fait que 24 – 1 et 26 – 1 sont composés, tandis que les autres, 22 – 1, 23 – 1, 25 – 1, 27 – 1, sont tous premiers.

Nous voici en mesure de faire une conjecture sur les nombres parfaits.

un nombre parfait est de la forme 2n – 1 × (2n – 1) avec 2n – 1 premier.

 Testons au moyen du tableur cette conjecture avec les valeurs suivantes de n. Dans la première colonne figurent les valeurs de n ; la deuxième colonne teste la primalité de 2n – 1 ; la troisième calcule 2n – 1 × (2n – 1) ; enfin la dernière vérifie si le nombre calculé est parfait ou non (avec la fonction sdiv de la bibliothèque numtheory, pour être plus rapide).

(39)

La conjecture émise plus haut n’est pas réfutée et semble au contraire bien confirmée. Au passage nous récupérons quatre autres nombres parfaits, que nous n’aurions jamais obtenus par balayage systématique, tant ils sont grands :

212 × (213 – 1) = 33 550 336 216 × (217 – 1) = 8 589 869 056 218 × (219 – 1) = 137 438 691 328

230 × (231 – 1) = 2 305 843 008 139 952 128

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